Адсорбционная Марангони неустойчивость плоского слоя жидкости с градиентом ПАВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

АДСОРБЦИОННАЯ МАРАНГОНИ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ С ГРАДИЕНТОМ ПАВ

Р.В. Бирих1, Р.Н. Рудаков2

1 Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24 2 Пермский государственный технический университет, 614600, Пермь, Комсомольский пр., 29 а

Исследуется устойчивость механического равновесия плоского слоя слабого раствора поверхностно активного вещества (ПАВ) с поперечным градиентом концентрации в условиях невесомости. В принятой модели поверхностная фаза ПАВ обменивается активными молекулами с объемными фазами адсорбционными и десорбционными процессами. Сформулирована краевая задача для амплитуд нормальных возмущений. Для монотонных возмущений приведено точное решение задачи. Показан предельный переход к задаче неустойчивости Марангони в постановке Пирсона.

Ключевые слова: Марангони неустойчивость, адсорб-

ция / десорбция, поверхностная фаза, монотонные возмущения.

ВВЕДЕНИЕ

Эксперименты по изучению концентрационно -капиллярной конвекции показывают ее заметное отличие от термокапиллярной конвекции. Это отличие в первую очередь связано с большими значениями диффузионного числа Прандтля (числа Шмидта). Во-вторых, механизм выхода поверхностно-активного вещества (ПАВ) на границу раздела фаз отличается от механизма формирования температуры границы. Кроме того, граница раздела, рассматриваемая как отдельная фаза, обладает инерционными свойствами и вдоль поверхности раздела возможен конвективный перенос ПАВ и его поверхностная диффузия. Влияние однородно распределенного ПАВ

© Бирих Р.В., Рудаков Р.Н., 2007

на порог гравитационной и термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое, подогреваемом снизу, рассмотрено в [1]. Показано, что наличие в жидкости растворенного ПАВ приводит к повышению порога конвекции. В постановке, принятой в [1], ПАВ, от которого зависит поверхностное натяжение, является фактически пассивной примесью, увеличивающей диссипацию в системе. С этой точки зрения представляет интерес рассмотреть задачу о концентрационно-капиллярной неустойчивости равновесия слоя в невесомости с неоднородным распределением ПАВ. Данной проблеме посвящена настоящая работа.

1. СОСТОЯНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ

Рассмотрим устойчивость плоского слоя жидкости (0 < 2 < И) с неоднородно распределенным растворимым поверхностно активным веществом относительно малых возмущений. Скорость конвективного движения V и концентрация ПАВ с описываются уравнениями

Эу 1

----+ (уУ)у = —Ур + уДу ,

Эt р

а™ у = 0, (1.1)

Эс

---+ (уУ)с = Б Ас .

Эt

Здесь р - плотность жидкости, V и Б - коэффициенты кинематической вязкости и диффузии.

При формулировке граничных условий на свободной поверхности 2 = И будем считать, что переход молекул ПАВ из объемной фазы на поверхность осуществляется адсорбционно-десорбционными процессами, и граница слоя рассматривается как отдельная фаза с поверхностной концентрацией ПАВ Г. Закон сохранения вещества на границе объемной и поверхностной фаз может быть записан в виде

- Б = к,с - к_х Г . (1.2)

Эг

Первое слагаемое в правой части уравнения (1.2) дает количество вещества, которое за счет адсорбции поступает в поверхностную фазу за единицу времени ( к1 - коэффициент адсорбции), а второе -описывает обратный процесс ( к-1 - коэффициент десорбции).

Закон сохранения вещества в поверхностной фазе запишем с учетом возможного конвективного переноса вещества вдоль фазы (вдоль оси х X поверхностной диффузии и обмена с объемной фазой:

где В5 - коэффициент поверхностной диффузии, а к-2 - коэффициент десорбции во внешнюю среду (испарение ПАВ с поверхности слоя). Другой вариант этого граничного условия приводится в [2].

Свободная граница слоя предполагается плоской vz = 0 , и уравнение для касательных напряжений запишем с учетом конечности поверхностной массы в виде

Здесь не учитывается поверхностная вязкость. Коэффициент поверхностного натяжения предполагается зависящим от концентрации ПАВ в поверхностной фазе: о = 00 - 01Г.

На нижней твердой границе поставим условия

Краевая задача (1.1) - (1.5) имеет стационарное решение, соответствующее механическому равновесию:

Градиент концентрации А в слое определяется конкуренцией диффузии и десорбции ПАВ во внешнюю среду и равен А = Г0 (к-2 / Б).

(1.3)

(1.4)

2 = 0: у = 0, с = С0.

(1.5)

2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Уравнения для малых возмущений стационарного состояния (1.6) могут быть получены обычным путем из приведенных полных уравнений концентрационной конвекции. Рассмотрим плоские нейтральные нормальные возмущения вида:

(V2,с,Г) = (и(2), 5(2),g)ехр(/£г-Ш), (2.1)

где к - волновое число, ю - частота возмущений.

Безразмерные уравнения для амплитуд возмущений имеют вид:

-1ю{и" - к2и) = и1' - 2к V + к4и , (2.2)

-iScюs = (5'" - к25) + и ; (2.3)

2 = 0: и = 0, и = 0, 5 = 0;

(2.4)

2 = 1: и = 0, [юБи = и + к2Ма^ ,

т к 2

-ІScЮg = (К^НГи' + ^ - НКа (К, + 1 + -5—^ , (2.5)

НКа

5 + Ка (5 - ^) = 0.

Здесь в качестве единиц измерения расстояния, времени, скорости, концентрации и поверхностной концентрации взяты, соответственно, И, И2 /V, Б /А, АА и АИ2. В краевую задачу входят следующие независимые безразмерные параметры:

Ма = (-Эо/Эс)АИ2 /Б^ - число Марангони;

, = ScJ / Sc , Sc = V / Б и ScJ = V / Б5 - числа Шмидта для объемной и поверхностной фаз;

Н = Ик-1 / к1 = И / 5 - отношение толщины слоя к толщине поверхностной фазы (к гиббсовой глубине);

Б = Г0 /Ир = (Г05/р)/ Н - параметр, характеризующий инерционные свойства поверхностной фазы;

Ка = к1 И / Б - параметр, задающий отношение диффузионного времени к характерному времени адсорбции;

К, = к-2 / к-1 - отношение скоростей десорбционных процессов с разных сторон поверхностной фазы.

3. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО МОНОТОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Для случая монотонных возмущений ( ю = 0 ) легко написать общее решение уравнений (2.2), (2.3), удовлетворяющее условиям на твердой границе (2.4):

и = С1 (бИ к2 - к2 сИ к2) + С2 2 бИ к2 ,

5 = С1(-32сИк2 + к22 бИк2)/4к + С2(2бИк2-к22 сИк2)/4к2 + С3 бИк2.

В этом решении остаются неопределенными константы С[, неопределенной осталась также амплитуда поверхностной концентрации g . Если ее исключить из граничных условий на свободной поверхности, то из (2.5) получаются уравнения:

2 = 1: и = 0, и + к2Ь1Ма(5 + Ь2и') = 0,

5' + Ка [(1 - Ь1)5 - Ь1Ь2и'] = 0, (3.1)

Ь = [1 + К, + к2й, /(КаН)]-1, Ь2 = (К,К2Н)-1.

Условие разрешимости системы уравнений (3.1) для коэффициентов С[ определяет критическое число Марангони

Ма = -А / Д1,

где матричные элементы ак определителя А равны:

а11 = t - к , а12 = t, а13 = 0,

а.

-21

к 2(ї + к), а22 = к (кї + 2), а23 = 0,

а

31

■3к - к2ґ + к3 + ^а [(1 - Ь )(-3к + к2ґ) + 4к4Ь1Ь2ґ],

а

32

к - к2ї + ї + ^а [(1 - Ь1)(-к + ¿) - 4к2Ь1Ь2 (к + ї)],

а33 = к + ^а (1 - Ь1)ї, ї = Ш к.

Матричные элементы определителя Д1 отличаются элементами второй строки:

Обратим внимание, что при Ь = 1 и Ь2 = 0 граничные условия (3.1) переходят в граничные условия для задачи Пирсона [3, с. 285] с числом Био Ы = 0 .

Численно рассмотрен случай относительно слабой объемной диффузии Ка = 10, характерной для растворов спиртов в воде. В расчетах не было замечено существенного влияния на устойчивость поверхностной диффузии. Параметр Кл, характеризующий поток ПАВ с границы слоя во внешнюю среду, равен 0.1. Для принятых значений этих параметров число Био в задаче Пирсона равнялось

Нейтральные кривые устойчивости в модели с поверхностной фазой при ее различной "толщине" приведены на рис. 1 (кривые 3— 6). На этом же рисунке приведены нейтральные кривые для задачи Пирсона (1, 2). Как видно из рисунка, наличие поверхностной фазы приводит к повышению устойчивости равновесия слоя относительно монотонных возмущений. В области коротких волн нейтральные кривые имеют асимптоту, ограничивающую область монотонной неустойчивости при положительных значениях числа Марангони.

а21 = Ь1 [0.25(-3к + к2ґ) - Ь2к4ґ],

а22 = Ь1 [0.25(-к + ї) + Ь2к2 (к + ї)],

а23 = к2Ь1ї .

бы 0.9.

500

Ма

400

300

200

100

0 1 2 3 4 £ 5

Рис. 1. Нейтральные кривые: задача Пирсона с Bi = 0 (1) и 0.9 (2); 3-6: Н = 10000, 500, 200, 100. Kd = 0.1, Ka = 10, ds = 1

Правее этой асимптоты появляется неустойчивость для Ma < 0 . С уменьшением H асимптота сдвигается в область более длинных волн. Возникновение неустойчивости при отрицательных значениях числа Марангони связано, по-видимому, с конвективным переносом ПАВ в поверхностной фазе.

Заключение. Сформулирована задача об устойчивости механического равновесия плоского слоя жидкости с градиентом растворимого ПАВ в модели с поверхностной фазой. Для монотонных возмущений построено точное решение задачи и приведены нейтральные кривые для различной толщины гиббсового слоя. Показано, что с увеличением этой толщины устойчивость системы повышается. Проведено сравнение с задачей устойчивости плоского слоя в модели без поверхностной фазы (задача Пирсона).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 06-01-00221).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Palmer H.J., Berg J.C. Hydrodynamic stability of surfactant solutions heated from below // J. Fluid Mech. 1972. Vol. 51. №. 2. P. 385-402.

2. Братухин Ю.К., Макаров С.О. Гидродинамическая устойчивость межфазных поверхностей. Пермь: Перм. ун-т, 2005. 239 с.

3. Гершуни Г.З. Жуховицкий ЕМ. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М: Наука, 1972. 392 с.

ADSORPTION MARANGONI INSTABILITY OF PLANE LIQUID LAYER SUBJECT TO SURFACTANT GRADIENT

R.V. Birikh, R.N. Rudakov

Abstract. Stability of a mechanical equilibrium of a plane layer with a dilute solution of a surface active solute subjected to a transversal gradient of concentration was investigated in weightlessness conditions. In the accepted model the surface surfactant phase and the volume phases exchange active molecules through adsorption/desorption process. Boundary value problem for normal amplitude disturbances was formulated. For neutral monotonic disturbances the exact solution was obtained. Transition to the Marangoni instability problem in Pearson’s form was demonstrated.

Key words: Marangoni instability, adsorption/desorption, surface phase, monotonic disturbances.