CC BY
25
УДК 519.713.8,512.53,514.146
АБСТРАКТНАЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ПОЛУГРУПП ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТОВ
В. А. Молчанов
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретических основ компьютерной безопасности и криптографии, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Универсальные планарные автоматы являются универсальными притягивающими объектами в категории автоматов, у которых множества состояний и выходных сигналов наделены структурами плоскостей. Получены необходимые и достаточные условия, при которых произвольный автомат изоморфен универсальному планарному автомату и произвольная полугруппа изоморфна полугруппе входных сигналов универсального планарного автомата.
Ключевые слова: автомат, полугруппа, плоскость.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей статье продолжаются исследования автоматов, у которых множества состояний и выходных сигналов наделены дополнительной алгебраической структурой плоскости. Согласно [1] под плоскостью здесь понимается алгебраическая система вида П = (X, Ь), где X — непустое множество точек и Ь - семейство его подмножеств, именуемых прямыми, удовлетворяющее следующим аксиомам: (Ах) через любые две точки проходит одна и только одна прямая; (А2) каждая прямая содержит по крайней мере три точки; (А3) в множестве X есть три точки, не лежащие на одной прямой.
Пусть X, У — непустые множества. Обозначим: Т(X) — множество всех преобразований X, F(X, У) — множество всех отображений X в У, 5(X, У) — декартово произведение Т(X) х F(X, У) множеств Т(X), ^(X, У). Элементами множества 5(X, У) являются упорядоченные пары (Д, /2) отображений / : X ^ X, /2 : X ^ У, которые могут рассматриваться как вектор-функции / : X ^ X хУ, определяющиеся по формуле: /(х) = (/(х),/2(х)) (где х £ X). Отображения /,/2 называются соответственно первой и второй компонентами вектор-функции /. Таким образом, вектор-функции могут отождествляться с упорядоченными парами их компонент.
Произведение вектор-функций /,д £ 5(X,У) определяется [2] по формуле: /■д = (/,/2)•(#!,д2) = = (/1 д/д2), где /хдх и /хд2 — композиции отображений /х,дх и /х,д2, соответственно. Так как эта операция ассоциативна, то множество 5(X, У) с операцией умножения вектор-функций образует полугруппу, которая называется симметрической полугруппой вектор-функций на X со значениями в X х У. Подполугруппы 5(X, У) называются полугруппами вектор-функций на X с значениями в X х У. Пусть Пх = ), П2 = , Ь2) — некоторые плоскости. Напомним, что точки плоско-
сти называются коллинеарными, если они лежат на некоторой прямой этой плоскости. Отображение ^ : X1 ^ X2 называется гомоморфизмом плоскости Пх в плоскость П2, если оно коллинеарные точки плоскости Пх отображает в коллинеарные точки плоскости П2. В частности, из аксиомы (Ах) следует, что для любой точки х £ X2 постоянное отображение сх : X1 ^ {х} является гомоморфизмом плоскости Пх в плоскость П2. Множество всех гомоморфизмов обозначается Нот(П1, П2). Гомоморфизм плоскости П1 в себя называется эндоморфизмом этой плоскости. Множество всех эндоморфизмов плоскости П1 с операцией композиции образует полугруппу Епё(П1). Множество 5(Щ, П2) = Епё(П1) х Нот(П15 П2) с операцией умножения вектор-функций образует полугруппу вектор-функций на X с значениями в X х У.
Следуя [2], под автоматом будем понимать алгебраическую систему А = (X, У, А), состоящую из множества состояний X, множества выходных сигналов У, полугруппы входных сигналов 5, функции переходов 5 : X х 5 ^ X и выходной функции А : X х 5 ^ У таких, что для любых х £ X и а, Ь, с £ 5, выполняются равенства
(аЬ)с = а(Ьс), 5(х, аЬ) = 5(5(х,а),Ь), А(х, аЬ) = А(5(х, а),Ь). (1)
Для каждого 5 £ 5 определим отображения 5^ : X ^ X, А8 : X ^ У и вектор-функцию / = (55, А5) по формулам: 55(х) = 5(х, 5), А8 (х) = А(х, 5), где х £ X .По определению автомата последовательное действие входных сигналов £ 5 удовлетворяет следующим условиям:
(//)(х) = /г (/(х)) = (5 (5(х, 5), *), А (5(х, 5), £)) = (5(х, А(х, = /в4(х). © Молчанов В. А., 2015
Это означает, что соответствие 5 ^ / (в £ 5) является гомоморфизмом полугруппы 5 в симметрическую полугруппу вектор-функций 5(X, У). В частности, это соответствие является мономорфизмом полугруппы 5 в симметрическую полугруппу 5(X, У), если А = (X, У, 5, Л) является автоматом без равнодействующих входных сигналов, т.е. для любых 5, I £ 5, 5 = выполняется условие / = / .В этом случае действие входного сигнала 5 £ 5 полностью определяется действием пары отображений 5^, Л5 и можно отождествить входной сигнал 5 с вектор-функцией / = (55, Л5).
По определению [2] планарные автоматы являются структуризованными автоматами А = (Х1 ,Х2,Л) с множеством состояний Хх и множеством выходных сигналов Х2, наделенными структурами плоскостей Пх = (Х15Хх) и П2 = (Х2, Х2), полугруппой входных сигналов 5, функцией переходов 5 : Хх х 5 ^ Хх и выходной функцией Л : Хх х 5 ^ Х2, для которых при каждом фиксированном 5 £ 5 отображение 5^ является эндоморфизмом плоскости Пх, и отображение Л8 является гомоморфизмом плоскости Пх в плоскость П2. Такие автоматы обозначаются символом А = (Пх, П2,5,5, Л).
Главное внимание в наших исследованиях уделяется так называемым универсальным планарным автоматам [2], подавтоматы которых охватывают все гомоморфные образы рассматриваемых планар-ных автоматов. Такой универсальный автомат определяется для произвольных плоскостей Пх, П2 как автомат Л1ш(Пх, П2) = (Пх, П2,5,5, Л) с полугруппой входных сигналов 5 = 5(Пх, П2), функцией переходов 5(ж, 5) = ^(ж) и выходной функцией Л(ж, 5) = ^(ж) (где ж £ Хх, 5 = £ 5(Пх, П2)).
В таком контексте алгебраическая теория универсальных планарных автоматов имеет непосредственное отношение к одному из основных разделов современной алгебры - обобщенной теории Галуа, которая посвящается изучению математических объектов путем исследования некоторых производных алгебр отношений, специальным образом связанных с исходными объектами. В нашем случае изучаемым математическим объектом является универсальный планарный автомат Л1ш(Пх, П2), а производной алгеброй отношений — его полугруппа входных сигналов 5(Пх, П2).
Ввиду проблемы С. Улама [3] об определимости математических структур их эндоморфизмами и результатов Б. Йонсона [4] о конкретной и абстрактной характеризации алгебр отношений представляет интерес исследование таких проблем для универсальных планарных автоматов и их полугрупп входных сигналов. Основной результат работы [5] показывает, что универсальные планарные автоматы полностью определяются (с точностью до изоморфизма) своими полугруппами входных сигналов. Решение проблемы конкретной характеризации таких автоматов получено в работе [6]. В настоящей работе приводится решение проблемы абстрактной характеризации универсальных планарных автоматов и их полугрупп входных сигналов.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Проблема абстрактной характеризации универсальных планарных автоматов формулируется следующим образом: при каких условиях произвольный автомат А будет изоморфен универсальному планарному автомату Л1ш(Пх, П2) для некоторых плоскостей Пх, П2.
Проблема абстрактной характеризации полугрупп входных сигналов универсальных планарных автоматов формулируется следующим образом: при каких условиях произвольная полугруппа 5 будет изоморфна полугруппе входных сигналов универсального планарного автомата Л1ш(Пх, П2) для некоторых плоскостей Пх, П2. Для исследования этих проблем напомним основные понятия и результаты из работы [6]. Пусть П = (X, X) — произвольная плоскость. Отношением коллинеарности плоскости П называется тернарное отношение С(П) на множестве X, которое определяется по формуле
С(П) = {(хх,ж2,жз) £ X3 : ж1,ж2,жз — коллинеарные точки плоскости П}.
В работе [6] доказано, что такое отношение С = С(П) удовлетворяет следующим условиям:
(Тх) (ж, ж, у) £ С для любых ж, у £ X;
(Т2) из (жх,ж2,жз) £ С следует (жгх , жг2 , ж2э
) £ С для любых 1 < ¿1, ¿2, ¿3 < 3;
(Т3) для любых различных элементов жх, ж2 £ X из (ж,жх,ж2) £ С, (жх,ж2,у) £ С следует (ж, ж1, у) £ С;
(Т4) для любых жх, ж2 £ X найдется такой элемент ж £ X, что ж = жх, ж = ж2 и (жх, ж2,ж) £ С; (Т5) С = X3.
Тернарное отношение С С X3, удовлетворяющее условиям (Тх)-(Т3), называется 3-эквивалент-ностью на множестве X [6]. При этом 3-эквивалентность называется квазиполной (соответственно нетривиальной), если она удовлетворяет условию (Т4) (соответственно условию (Т5)).
Пусть Я — некоторое тернарное отношение на множестве X. Подмножество У С X называется ^-ограниченным [6], если У3 С Я. Легко видеть, что любое Я-ограниченное множество содержится в максимальном (относительно теоретико-множественного включения) Я-ограниченном множестве.
Лемма 1 (см. [6]). Пусть X — непустое множество, Я — нетривиальная квазиполная 3-экви-валентность на множестве X и Ь — множество всех максимальных Я-ограниченных множеств. Тогда алгебраическая система П = (X, Ь) является плоскостью с отношением коллинеарности С (П) = Я.
Для автомата А = ,5,5, А) канонические тернарные отношения Я1, Я2 на множествах X1,
X2 определяются по следующему правилу [6]: упорядоченная тройка (а1 ,а2,а3) элементов множества X1 (соответственно X2) в том и только том случае принадлежит отношению Я1 (соответственно Я2), если для любых различных элементов х1, х2, х3 £ X1 найдется такой элемент 5 £ 5, что для каждого % = 1,3 выполняется равенство ) = а^ (соответственно А8(х^) = а^).
Лемма 2 (см. [6]). Для любых плоскостей П1 = ), П2 = ^2,Ь2) канонические тер-
нарные отношения Я1, Я2 универсального планарного автомата Л1т(П1, П2) удовлетворяют следующим условиям:
1) Я1 = С(П1), Я2 = С(П2);
2) отображение ^ : X1 ^ X1 в том и только том случае будет эндоморфизмом плоскости П1, если выполняется ^3(Я1) С (Я1);
3) отображение ф : X1 ^ X2 в том и только том случае будет гомоморфизмом плоскости П1 в плоскость П2, если выполняется ф3 (Я1) С (Я2).
Теорема 1 (см. [6]). Пусть А = (X1,X2,5,5, А) - автомат без равнодействующих входных сигналов. Тогда А в том и только том случае будет универсальным планарным автоматом Л1т(П1, П2) для некоторых плоскостей П1 = ) и П2 = ^^Ь^, если канонические отно-
шения Я1, Я2 этого автомата являются нетривиальными квазиполными 3-эквивалентностями соответственно на множествах X1 и выполняется следующее условие: (Т6) если для отображений /1 : X1 ^ X1, /2 : X1 ^ X2 при любых значениях х1 ,х2,х3 £ X1, удовлетворяющих условию (х1 ,х2,х3) £ Я1, существуют такие £ Б, что /1 (х^) = 58(х^) и /2(хг) = Аг(х^) для всех % = 1,3, то найдется такой элемент а £ что /1 (х) = 5а(х) и /2(х) = Аа (х) для всех х £ X1.
Как известно [7], автомат А = ,X2,5,5, А) с алгебраической точки зрения представляет собой трехсортную алгебру с тремя базисными множествами X!, X2, 5 и с удовлетворяющими условиям (1) тремя бинарными операциями: полугрупповая операция умножения входных сигналов ■ : 5 х 5 ^ 5, функция переходов 5 : X1 х 5 ^ X1 и выходная функция А : X1 х 5 ^ X2. Изоморфизмом таких алгебраических систем А = ,5,5, А), А' = , X2,5', 5', А') явля-
ется упорядоченная тройка 7 = (/, д,п) биекций / : X1 ^ X1, д : X2 ^ X2, и п : 5 ^ 5', сохраняющих операции этих систем, т.е. для любых х £ X1, а, Ь £ 5 выполняются условия / (5(х,а)) = 5' (/(х),п(а)), д (А(х, а)) = А' (/(х),п(а)), п(аЬ) = п(а)п(Ь). Согласно [7] для описания свойств автомата А = (X1,X2,5,5, А) используется язык узкого исчисления предикатов (УИП) сигнатуры теории автоматов О = {-,5, А}, которая состоит из символа «■» бинарной операции полугруппы 5 и символов 5, А бинарных операций функции переходов и выходной функции автомата А. Алфавит такого языка состоит:
1) из счетного множества индивидуальных переменных первого сорта х(1), у(1),... для обозначения состояний автомата;
2) счетного множества индивидуальных переменных второго сорта х(2), у(2),... для обозначения выходных сигналов автомата;
3) счетного множества индивидуальных переменных третьего сорта х(3), у(3),... для обозначения входных сигналов автомата;
4) двухместного функционального символа ■ для обозначения операции умножения полугруппы входных сигналов автомата;
5) двухместных функциональных символов 5 и А для обозначения функции переходов и выходной функции автомата;
6) конечного множества логических и технических символов, таких как —, Л, V, V, 3,
Для языка Ьа термы трех сортов получаются обычным комбинированием символа «■» с двумя термами третьего сорта и символов Л с термами первого и третьего сорта, т. е. это выражения вида х(1), х(2), х(3), Ь(3) ■ ¿13), 5(Ь(1),Ь(3)), Л(Ь(1),Ь(3)), где х(1) и Ь(1) — переменная и терм первого сорта,
х(2) — переменная второго сорта, х(3) и Ь(3), ц } — переменная и термы третьего сорта. При этом получаются термы 5(Ь(1), Ь(3)), Л(Ь(1),Ь(3)) и Ь(3)-ь13) первого, второго и третьего сортов соответственно.
Атомарными формулами языка Ьа являются выражения вида Ь = Ь', где Ь, Ь' — термы одного и того же сорта. Формулы языка Ьа определяются по индукции обычным образом (см., например, [8]). Рассмотрим следующие формулы языка Ьа :
Ф1(«<1>,«21) .»3") = (V »11),у21) ,У31})
Ф2(42),х22},х<а') = р/ у<1},у<1},у31})
33
У(1} = у(1} ^ (3 г(3)) Д ¿(у(1),г(3))= х
= \г=1.
Л
(1}
3
3
Л у
(1}
= У1} ^ (3 г(3)) Д Л(у(1} (3} )= х(2)
чг=1
Лемма 3. Пусть А = А1ш(Пь П2) — универсальный планарный автомат для некоторых плоскостей П1 = (Х1,Х1), П2 = (Х2,Х2). Тогда для любого г = 1,2 формула Фг определяет на множестве Хг отношение коллинеарности С(Пг) соответствующей плоскости Пг, т.е. точки а, Ь, с £ Хг, в том и только том случае коллинеарны в плоскости Пг, если для автомата А выполняется условие Фг(а, Ь, с).
Доказательство. Если точки а, Ь, с £ Х1 коллинеарны в плоскости П1, то любое отображение ^ : Х1 ^ {а, Ь, с} является эндоморфизмом плоскости П1. Тогда для любых различных элементов у1, у2, у3 £ Х1 эндоморфизмом плоскости П1 будет отображение ^ : Х1 ^ Х1, определенное по формуле: ) = а, ^(у2) = Ь и ^(х) = с для остальных значений х £ Х1. Следовательно, для любого ^ £ Иош(П1, П2) элемент 5 = является входным сигналом автомата А1ш(П1? П2), и по
определению выполняются равенства: 5(у1,5) = ) = а, 5(у2,з) = ^(у2) = Ь, 5(у3,з) = ^(у3) = с. Это означает, что выполняется условие Ф1 (а, Ь, с). С другой стороны, из условия Ф1(а,Ь,с) следует, что для любых различных элементов у1, у2, у3 £ Х1 найдется такой входной сигнал 5 = автомата А1ш(Пь П2), что 5(у1,5) = ) = а, 5(у2,з) = ^(у2) = Ь, 5(у3,з) = ^(у3) = с. Так как по аксиоме (А3) в плоскости П1 можно выбрать три коллинеарные точки у1, у2, у3 £ Х1 и ^ является эндоморфизмом этой плоскости, то точки а, Ь, с также коллинеарны в плоскости П1. Аналогично доказывается, что коллинеарность точек а, Ь, с £ Х2 в плоскости П2 равносильна выполнимости условия Ф2(а, Ь, с). □
Таким образом, свойства (71 )-(Т5) канонических отношений ^1, ^2 можно выразить следующими формулами языка Ьа :
(01) (V х(г), у(г))Фг(х(г), х(г), у(г)) (здесь и далее г = 1, 2);
(02) (V х1г},х2г},х3г})(Фг(х!;,,х3;) ^ / Фг,х;(2},х^(3})), где Т — множество всех преобразований множества {1, 2,3};
„(г) Л)
(03) (V х(г),у(г),х1г) = х2г))(Фг(х(г),х1г),х2г)) Л Фг(х2г), х^, у(г)) ^ Фг(х(г),х1г), у(г)));
,(г) х(г) х(г)
(г) х(г) у(г)
,(г) х(г)
(04) (V х1г),х2г))(3 х(г))(х(г) = х1г) Л х(г) = х2г) Л Фг(х1г), х2г), х(г)));
,(г)
(г)
,(г) ™(г)
(05) (3 х1г) ,х2г) ,х3г))-Фг(х!;,х3;).
Свойство (Т6) канонических отношений Д1, Л2 также можно выразить с помощью формул языка Ьа следующими образом:
(06) для любых отображений /г : Х1 ^ Хг выполняется
(г) ™(г) ™(г)4
(V х11} ,х21},х31})(Ф1 (х11} ,х21} ,х31} ) ^ Фг (/г(х11}),/г (х21} ),/г(х31})))
г=1
^ (3! г (3) )(Vx(1))(5(x(1),z(3) ) = /1( х(1)) Л Л(х(1), г(3)) = /2(х(1))). ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Теорема 1 дает возможность получить следующую абстрактную характеризацию универсальных планарных автоматов с помощью языка УИП сигнатуры теории автоматов.
Теорема 2. Автомат А = (XI, ^2,5,5, А) в том и только том случае будет изоморфен универсальному планарному автомату Л1т(П1, П2) для некоторых плоскостей П1, П2, если этот автомат А удовлетворяет условиям (в1)-(в6).
Доказательство. Рассмотрим универсальный планарный автомат А = Л1т(П1, П2) = (П1, П2, 5,5, А) для некоторых плоскостей П1 = ,Ь1), П2 = (X2,Ь2). Из лемм 2, 3 следует, что канонические отношения Я1 и Я2 такого автомата А определяются формулами Ф1 и Ф2 соответственно. По теореме 1 эти отношения Я1, Я2 удовлетворяют условиям (Т1)-(Т5), которые на языке выражаются формулами (в1)-(в5). Предположим, что для некоторых отображений /1 : X1 ^ X1, /2 : X1 ^ X2 выполняется посылка импликации (в6), т.е. формула
2
(V х11),х21),х31})(Ф1 (х11},х21),х31)) ^ Д Ф/(х11}),/г(х21}),/г(х31}))).
1=1
В силу вышеизложенного это означает, что /3(Я1) С Я1, /2(Я1) С Я2, и по лемме 2 /1 £ Епё(П1), /2 £ Нот(П1, П2). Тогда элемент 5 = (/1,/2) является входным сигналом автомата А, для которого при любых х £ X1 выполняются равенства 5(х, 5) = /1 (х), А(х, 5) = /2(х). Это означает, что для автомата А выполняется формула (в6).
Обратно, пусть автомат А = (XI. ,5,5, А) удовлетворяет условиям (в1 )-(в6). Из свойства (в6) следует что А является автоматом без равнодействующих входных сигналов и, значит, биекция п : 5 ^ (5з, Аз) (где 5 £ 5) определяет изоморфизм автомата А и автомата А' = (X1,X2,S',5', А') с полугруппой входных сигналов вектор-функций 5' = {(58,А8) : в £ 5}, функцией переходов 5'(х, (5з, Аз)) = 5з(х) и выходной функцией А'(х, (5з, Аз)) = Аз(х) (где х £ X, 5 £ 5). Тогда автомат А' удовлетворяет условиям (в1 )-(в6) и, значит, канонические отношения Я1, Я2 этого автомата А' удовлетворяют условиям (Т1 )-(Т5). Следовательно, по теореме 1 автомат А' является универсальным планарным автоматом Л1т(П1,П2) для некоторых плоскостей П1 = ,Ь1) и П2 = ,Ь2). Таким образом, автомат А изоморфен универсальному планарному автомату Л1т(П1, П2). □
Напомним [9], что входной сигнал а £ 5 автомата А = , У1,5,5, А) называется автономным, если его действие не зависит от состояний этого автомата, т. е. найдутся такое состояние автомата, обозначаемое а1, и такой выходной сигнал автомата, обозначаемый а2, что 5(х, а) = а1, А(х,а) = а2 для всех состояний автомата х £ X1. Основной результат работы [9] показывает, что любой универсальный планарный автомат А = Л1т(П1, П2) изоморфен многосортной алгебраической системе, канонически построенной из автономных входных сигналов исходного автомата с помощью следующих канонических отношений:
1) множество С всех автономных входных сигналов автомата А;
2) бинарное отношение е1, которое состоит из таких упорядоченных пар (а, Ь) автономных входных сигналов, при действии которых автомат А переходит в одинаковые состояния, т. е. 5(х, а) = 5(х, Ь) для всех х £ X1;
3) бинарное отношение е2, которое состоит из таких упорядоченных пар (а, Ь) автономных входных сигналов, при действии которых автоматом А выдаются одинаковые выходные сигналы, т. е. А(х, а) = А(х, Ь) для всех х £ X1;
4) бинарное отношение п, которое состоит из таких упорядоченных пар (а, в) элементов а = (а, Ь) и в = (с, й) с автономными входными сигналами а, Ь, с, d £ С, при действии которых любые состояния автомата А отображаются в коллинеарные точки а^, Ь^, с, di соответствующих плоскостей П (% = 1, 2).
Покажем, что такие канонические отношения универсального планарного автомата определяются формулами элементарной теории полугрупп. Рассмотрим произвольные плоскости П1 = ,Ь1), П2 = , Ь2) и полугруппу 5 = 5(П1, П2). Обозначим через Zs множество всех правых нулей полугруппы 5, а через Us — множество всех левых единиц этой полугруппы 5. Эти множества в полугруппе 5 определяются соответственно формулами теории полугрупп ЯZ(х) = (V у)(ух = х) и Ь1 (х) = (V у)(ху = у). В работе [5] получен следующий результат.
Лемма 4 (см. [5]). Для любых плоскостей П1, П2 и полугруппы 5 = 5(П1, П2) справедливы следующие утверждения:
1) элемент а £ 5 в том и только том случае будет правым нулем полугруппы 5, если найдутся такие элементы а1 £ X1, а2 £ X2, что а = (са1 ,са2) для постоянных отображений са1 : Xl ^ {а1}, Са2 : Xl ^ {а2};
2) элемент s е S в том и только том случае будет левой единицей полугруппы S, если s = (AXi, для тождественного пробразования AXi множества Xi и некоторого элемента ^ е Hom(ni, П2);
3) элементы a, b е S в том и только том случае удовлетворяют условию
Ei(a, b) = RZ(a) Л RZ(b) Л (V x)(L1 (x) ^ ax = bx),
если найдутся такие элементы ai, bi е Xi, a2, b2 е X2, что a = (cai , ca2), b = (cbl ,cb2) и ai = bi.
Рассмотрим следующие формулы элементарной теории полугрупп:
3 / 3 3 /3
Ф(х1 ,Х2,Х3) = Д RZ(xi) Л (V yi,y2, y3) Д RZЫ Л Д —Ei(y¿, y¿) ^ (3 z) I Д угz = Xi i=1 \i=1 i,j=1,i=j \i=1
E2(x, y) = RZ (x) Л RZ (y) Л (V z )(L1 (z) ^ Ф(х, y, xz)),
3 / 3 3
Фг(х1 ,Х2,Х3)= Д RZ(Xj) Л (V yi,y2, y3 M Д RZ(yj) Л Д -Ei(yj,yk) ^
j=1 \j = 1 j,k=1,i=j
^ (3 z) j Ei(yjz,Xj)jj , i = 1, 2.
Лемма 5. Для любых плоскостей П1 = (X1 ,L1), П2 = (X2,L2) и полугруппы S = S(П1, П2) справедливы следующие утверждения:
1) элементы a, b, d е S в том и только том случае удовлетворяют условию Ф^, b, d), если найдутся такие коллинеарные точки a1, b1, d1 е X1 плоскости П1 и коллинеарные точки a2, b2, d2 е X2 плоскости П2, что a = (cai ,ca2), b = (сь1 , сь2) и d = (cd1 ,cd2);
2) элементы a, b е S в том и только том случае удовлетворяют условию E2(a, b), если найдутся такие элементы a1, b1 е X1 и a2, b2 е X2, что a = (cai ,ca2), b = (cbl ,cb2) и a2 = b2.
3) элементы a, b, d е S в том и только том случае удовлетворяют условию Ф1 (a, b, d) (соответственно Ф2^, b, d)), если найдутся такие коллинеарные точки a1, b1, d1 е X1 плоскости П1 и некоторые точки a2, b2, d2 е X2 плоскости П2 (соответственно коллинеарные точки a2, b2, d2 е X2 плоскости П2 и некоторые точки a1, b1, d1 е X1 плоскости П1), что a = (cai,Ca2), b = (cbi, c^) и d = (cdi ,Cd2).
Доказательство. Пусть элементы a, b, d полугруппы S удовлетворяют условию Ф^, b, d). Тогда RZ (a), RZ (b), RZ (d), т.е. a, b, d е ZS, и в силу леммы 4 a = (cai ,ca2), b = (cbi ,cb2), d = (cdi ,cd2) для некоторых элементов a1, b1, d1 е X1 и a2, b2, d2 е X2. Кроме того, для любых элементов x, y, z полугруппы S, удовлетворяющих условиям RZ (x), RZ (y), RZ (z), -E1 (x,y), -E1 (x, z) и -E1(y,z), найдется такой элемент s е S, что xs = a, ys = b и zs = d. Тогда в силу леммы 4 x = (cxi , cx2), y = (cyi ,cy2), z = (czi ,cz2) для некоторых различных элементов x1 ,y1 ,z1 е X1 и некоторых элементов x2,y2,z2 е X2. Кроме того, по определению s = , ) для некоторых е End(n1), ^2 е Hom(ni, П2). Тогда xs = (cxi, Cx2) ■ (^1,^2) = (cxi^i,Cxi^2) = (c^i (xi), c^>2 (xi )) и равенство xs = a равносильно условию (c^i(xi),c^2(xi)) = (cai,ca2), или ^1(x1) = a1, ^2(x1) = a2. Аналогично, равенства ys = b и zs = d равносильны условиям (y1) = b1, ^2(y1) = b2 и (z1) = d1, (z1) = d2. В силу произвольности элементов x, y, z е S их можно выбрать так, что x1, y1, z1 — три коллинеарные точки плоскости П1, которые существуют по аксиоме (A1), и x2, y2, z2 — произвольные точки плоскости П2. Такие элементы x, y, z удовлетворяют условиям RZ (x), RZ (y), RZ (z), -E1(x,y), —E1(x, z), — E1 (y, z), и, значит, найдется такой элемент s = ) е End(n1) х Нот(П1, П2), что
^(x1) = ai,^i(y1) = bi,^i(z1) = di. Следовательно, по определению гомоморфизма плоскостей точки ai, bi, di коллинеарны в плоскости ni (здесь i = 1, 2).
В то же время, если для элементов a, b, d е ZS точки ai, bi, di коллинеарны в плоскости ni, то любые отображения ^ : X1 ^ {ai,bi,di} являются гомоморфизмами плоскости П1 в плоскость ni (здесь i = 1,2). Тогда для любых элементов x, y, z полугруппы S, удовлетворяющих условиям RZ (x), RZ (y), RZ (z), —E1 (x,y), —E1 (x,z) и —E1(y, z) определим отображения : X1 ^ Xi по формуле: (x1) = ai, (y1) = bi и ^(u) = di для остальных значений u е X1. Так как для
каждого г = 1, 2 отображение ^ является гомоморфизмом плоскости П1 в плоскость П, то элемент 5 = , ) принадлежит полугруппе 5 и выполняются условия: х5 = (с^1 (Х1), с^2(Х1)) = (са1, са2) = а, у 5 = (с^1 (У1 ),с^2(У1)) = (сЬ1 ,сЬз) = Ь, = (с^1 (21 ),с^2(21)) = (с^1, с^) = й. Это означает, что выполняется условие Ф(а, Ь, й) и справедливо утверждение 1) леммы.
Пусть элементы а,Ь полугруппы 5 удовлетворяют условию £2(а, Ь). Тогда RZ(а), RZ(Ь), т.е. а, Ь £ Zs ив силу леммы 4 а = (са1 ,са2), Ь = (сЬ1 ,сЬ2) для некоторых элементов а1, Ь1 £ X1 и а2, Ь2 £ X2. Кроме того, для любого элемента г £ 5, удовлетворяющего Ы(г), выполняется условие Ф(а, Ь, аг). Тогда по лемме 4 г = (АХ1 , ф) для некоторого ф £ Нот(П1, П2) и по определению произведения вектор-функций аг = (са1 ,са2)-(АХ1, ф) = (са1, са1 ф) = (са1, с^(а1)). Так как для любого й £ X2 по аксиоме (А1) отображение с^ £ Нот(П1, П2), то при выборе ф = с^ получаем равенство аг = (са1 , с^) и из условия Л(а, Ь, аг) в силу уже доказанного свойства 1) следует, что точки а2, Ь2, й коллинеарны в плоскости П2. В силу произвольности выбора элемента й £ X2 из аксиомы (А3) следует, что точки а2, Ь2 не могут быть различными, т.е. выполняется равенство а2 = Ь2. В то же время, если элементы а, Ь £ Zs удовлетворяют условию а2 = Ь2, то для любого й £ X2 по аксиоме (А1) точки а2, Ь2, й коллинеарны в плоскости П2 и любое отображение ф множества X1 в множество {а2,Ь2,й} является гомоморфизмом плоскости П1 в плоскость П2. Тогда для любого элемента г = (АХ1 ,ф) с компонентой ф £ Нот(П1, П2) выполняется условие Ф(а, Ь, аг), так как аг = (са1, с^(а1)), точки а1,Ь1 коллинеарны в плоскости П1 и точки а2,Ь2,ф(а1) коллинеарны в плоскости П2. Это означает, что выполняется условие £2 (а, Ь) и справедливо утверждение 2) леммы.
Если элементы а, Ь, й полугруппы 5 удовлетворяют условию Ф1 (а, Ь, й), то RZ(а), RZ(Ь), RZ(й) и в силу леммы 4 а = (са1 ,са2), Ь = (сЬ1 ,сЬ2), й = (с^1 ,с^2) для некоторых элементов а1 ,Ь1 £ X1 и а2, Ь2, й2 £ X2. Кроме того, для любых элементов х,у, г полугруппы 5, удовлетворяющих условиям RZ(х), RZ(у), RZ(г), -Е1 (х, у), -Е1(х,г) и -Е1 (у, г), найдется такой элемент 5 £ 5, что Е1 (х5,а),Е1 (у5,Ь) и Е1 Тогда в силу леммы 4 х = (сХ1 ,сХ2), у = (сУ1 ,сУ2), г = (с21 ,с22)
для некоторых различных элементов х1, у1, £ X1 и некоторых элементов х2, у2, г2 £ X2. Кроме того, по определению 5 = (^1,^2) для некоторых (^1,^2) £ Епё(П1) х Нот(П1,П2). Значит х5 = (сЖ1 ,с^2) ■ (^1 ,^2) = (сЖ1 ,сЖ1 ^2) = (с^1 (Ж1 ),с^2(^)) и условие Е1 (х5, а) по лемме 4 равносильно тому, что для элементов х5 = (с^1 (Х1 ),с^2(Х1)) и а = (са1 ,са2) выполняется равенство (х1) = а1. Аналогично, условия Е1 (у5,Ь) и равносильны тому, что выполняются равенства (у1) = Ь1
и (г1) = .В силу произвольности элементов х, у, г £ 5 их можно выбрать так, что х1, у1, — три коллинеарные точки плоскости П1, которые существуют по аксиоме (А2), и х2, у2, г2 — произвольные точки плоскости П2. Такие элементы х, у, г удовлетворяют условиям RZ(х), RZ(у), RZ(г), —Е1(х, у), —Е1(х,г), —Е1 (у, г), и, значит, найдется такой элемент 5 = , ) £ Епё(П1) х Нот(П1, П2), что (х1) = а1, (у1) = Ь1, (г1) = Следовательно, по определению гомоморфизма плоскостей точки а1, Ь1, коллинеарны в плоскости П1. С другой стороны, если для элементов а, Ь, й £ Zs точки а1, Ь1, коллинеарны в плоскости П1, то все отображения : X1 ^ {а1 ,Ь1 } являются эндоморфизмами плоскости П1. Тогда для любых элементов х,у, г полугруппы 5, удовлетворяющих условиям RZ(х), RZ(у), RZ(г), —Е1(х,у), —Е1 (х, г) и —Е1(у, г) определим отображение : X1 ^ X1 по формуле: (х1) = а1, (у1) = Ь1 и ^1(м) = для остальных значений и £ X1. Кроме того, для любого V £ X2 отображение : X1 ^ {V} является гомоморфизмом плоскости П1 в плоскость П2. Значит, элемент 5 = , ) принадлежит полугруппе 5 и выполняются равенства: х5 = (с^1 (Х1 ),с^2(Х1)) = (са1 ,с„), у5 = (с^1 (У1),с^2(У1)) = (сь1 ,с„), = (с^1 (21 ),с^2(21)) = (с^1 ,с„). Отсюда в силу леммы 4 следует, что Е1 (х5,а), Е1(у5,Ь), Е1(г5,й), т.е. выполняется условие Ф1 (а,Ь,й) и справедлива первая часть утверждения 3) леммы. Аналогично доказывается вторая часть этого утверждения. □
Теорема 3. Полугруппа 5 в том и только том случае будет изоморфена полугруппе входных сигналов некоторого универсального планарного автомата, если она удовлетворяет следующим условиям:
(во) у) Л £2(у, г) ^ £2(у, х) л Ег(х, г)) Л
(в1) ^х, у, г)(Е(х, у) Л ^(г) ^ Ф^х, у, г)) (здесь и далее г = 1, 2);
(в2) (V х1 ,х2,х3) ( Фi(х1 ,х2,х3) ^ Д Фi(xt(1),х^(2),х^(3)) ), где Т — множество всех преобразо
V /
ваний множества {1, 2,3};
(¿з) (V Х1,Х2, X, у)(-Ег(х1 ,Х2) Л Фг(ж,Ж1,Ж2) Л Фг(Х2,хЬу) ^ Фг(х, Х1, у)); (¿4) (V Х1,Х2) ^Л (х^) ^ (3 х) ^ \ -Ег(х,х^) Л Фг (Х1,Х2, х)^;
(¿5 ) (3 х1,х2 ,хз \ ) Л-Фг (х1 ,х2,хз)^ ;
(¿6) для любых отображений /1, /2: 5 ^ 5 выполняется
2
(VX,X1 ,х2,хз)(Е1 (х,х1) Л Ф1(х1,х2,хз) ^ Д (Е^(/(х),/(х1))Л
5 = 1
ЛФ^(/(х1),/(х2),/(хз)))) ^ (3! г)^х) (х) ^ /=1 Е(х/х))
Доказательство. Покажем, что для любых плоскостей П1 и П2 полугруппа входных сигналов 5 универсального планарного автомата А = Л1ш(П1, П2) удовлетворяет условиям (¿0) — (¿6). Из лемм 4, 5 следует, что полугруппа 5 удовлетворяет условию (¿0). В силу леммы 5 элементы а, Ь, й £ 5 в том и только том случае удовлетворяют условию Ф1 (а, Ь, й) (соответственно условию Ф2(а, Ь, й)), если найдутся такие точки аг,Ьг£ Хг, что а = (еа1 , еа2), Ь = (сЬ1 , еЬ2), й = (е^ ) и (а1 ,Ь1,й1) £ С(П1) (соответственно (а2,Ь2,й2) £ С(П2)). Тогда из лемм 4, 5 и свойств (Т1 )-(Т5) отношений коллинеарности плоскостей следует, что полугруппа 5 удовлетворяет условиям (¿1 )-(6>5). Для доказательства (¿6) рассмотрим отображения /1 ,/2: 5 ^ 5, для которых при любых значениях х,х1 ,х2,хз £ 5 выполняется условие
2
Е1(х,х1) Л Ф1(х1 ,х2,хз) ^ Д (Е^(/(х),/(х1)) Л Ф^ (/(х1),/Ы, /(хз)))
=1
В силу свойства (¿1) отсюда следует, что для любого 5 £ 5, удовлетворяющего условию ЛД(в), при каждом г = 1, 2 выполняется ЛД(/г(в)) и можно корректно определить отображения : Х1 ^ Хг по правилу: для элемента х £ Х1 значение (х) = хг, если для некоторого г £ Х2 выполняется равенство /г(ех, е2) = (еХ1, еХ2). Кроме того, из леммы 5 следует, что эти отображения , коллинеарные тройки точек плоскости П1 отображают в коллинеарные тройки точек соответственно плоскостей П1, П2. Значит, по лемме 2 £ Епё(П1), £ Нош(П1, П2) и 5 = ,^2) - входной сигнал универсального планарного автомата А = Л1ш(П1, П2), который при любом а = (еа1 ,еа2) £ удовлетворяет условию:
ав = (еа1 ,еа2 ) ■ (^1 ,^2 ) = (е^1(а1) ,еЫа1) )-
Так как по построению для любого г = 1,2 выполняется (а1) = (/г(а))г, то в силу леммы 5 Ег(ав,/г(а)). Следовательно, полугруппа входных сигналов 5 универсального планарного автомата А = Л1ш(П1? П2) удовлетворяет условию (¿6). Обратно, пусть полугруппа 5 удовлетворяет условиям (¿>0)-(6>6). Тогда из условия (¿5) следует, что эта полугруппа имеет непустое множество правых нулей . Для каждого г = 1, 2 формула Ег определяет на множестве бинарное отношение ег по правилу: ег = {(х,у) £ |Ег(х,у)}. Легко видеть, что отношение е1 является эквивалентностью на множестве . Из условия (¿0) следует, что отношение е2 рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. также является эквивалентностью на множестве . Более того, из условия (¿0) следует, что эти отношения удовлетворяют условию
(х, у) £ в1 ^ (^ £ 5) ^ Д(хв, ув) £ . (2)
Для каждого г = 1, 2 обозначим фактор-множество Хг = /ег и рассмотрим автомат А = (Х1,Х2, 5,А) с множеством состояний Х1, множеством выходных сигналов Х2, полугруппой входных сигналов 5, функцией переходов 5 : Х1 х 5 ^ Х1 и выходной функцией А : Х1 х 5 ^ Х2, которые для значений х £ , в £ 5 определяются по формулам
5(е1 (х), в) = е1 (хв), А(е1(х), в) = е2(хв).
Заметим, что корректность такого определения следует из свойства (2) и равенств
(ж), = ^(ж^)) = £1 ((жз)£) = 6 (^ (же), £) = 5 (ж), в), £), Л(е1 (ж), = £2(ж(з£)) = £2((жз)£) = Л (е1 (жв), £) = Л (6(е1 (ж), в), £),
которые выполняются для любых ж £ ^ и в, I £ 5 .Из свойств (¿^ )-(^б) следует, что автомат А удовлетворяет условиям (01)-(0б) и по теореме 2 этот автомат изоморфен универсальному планарному автомату Л1ш(П1, П2) для некоторых плоскостей П1, П2. Значит, полугруппа 5 входных сигналов автомата А будет изоморфна полугруппе 5(П15 П2) входных сигналов универсального планарного автомата Л1ш(П1, П2). □
Библиографический список
1. Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. М. : Наука, 1980. 320 с.
2. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов. М. : Высш. шк., 1994. 192 с.
3. Улам С. Нерешенные математические задачи. М. : Наука, 1964. 168 с.
4. Jonson B. Topics in Universal Algebras. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 250. Berlin ; N. Y. : Springer-Verlag, 1972. 220 p.
5. Molchanov V. A. A universal planar automaton is determined by its semigroup of input symbols // Semigroup Forum. 2011. Vol. 82. P. 1-9.
6. Молчанов В. А. Конкретная характеризация универсальных планарных автоматов // Фундамент. и прикл. матем. 2013. Т. 18, вып. 3. С. 139-148.
7. Birkhoff G., Lipson J. D. Heterogeneous Algebras // J. Combinatorial Theory. 1970. Vol. 8. P. 115-133.
8. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2011. 356 с.
9. Молчанов В. А. Представление универсальных планарных автоматов входными сигналами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. 2. С. 31-37.
Abstract Characterization of Semigroups of Input Signals of Universal Planar Automata
V. A. Molchanov
Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, [email protected]
Universal planar automata are universally attracted objects in the category of automata, for which sets of states and output signals are endowed with structures of planes. The main results of the paper give us necessary and sufficient conditions under which an arbitrary automaton is isomorphic to a universal planar automaton and an arbitrary semigroup is isomorphic to the semigroup of input signals of a universal planar automata.
Key words: automaton, semigroup, plane. References
1. Karteszi F. Introduction to finite geometries. Amsterdam, North-Holland, 1976. 266 p. (Rus. ed. : Karteszi F. Vvedenie v konechnye geometrii. Moscow, Nauka, 1980, 320 p.)
2. Plotkin B. I., Greenglaz L. Ja., Gvaramija A. A. Algebraic structures in automata and databases theory. Singapore ; River Edge ; NJ, World Scientific, 1992. (Rus. ed. : Plotkin B. I., Greenglaz L. Ja., Gvaramija A. A. Elementy algebraicheskoi teorii avtomatov. Moscow, Vysshaya Shkola, 1994, 192 p.)
3.Ulam S. M. A Collection of Mathematical Problems. New York, Interscience Publishers, 1960. 150 p. (Rus. ed. : Ulam S. Nereshennye matematicheskie zadachi. Moscow, Nauka, 1964, 168 p.)
4. Jonson B. Topics in Universal Algebras. Lecture Notes in Mathematics, vol. 250, Berlin, New York, SpringerVerlag, 1972, 220 p.
5. Molchanov V. A. A universal planar automaton is
determined by its semigroup of input symbols. Semigroup Forum, 2011, vol. 82, pp. 1-9.
6. Molchanov V. A. Concrete characterization of universal planar automata. Fundamentalnaya i prikladnaya mate-matika, 2013, vol. 18, iss. 3, pp. 139-148 (in Russian).
7. Birkhoff G., Lipson J. D. Heterogeneous Algebras. J. Combinatorial Theory, 1970, vol. 8, pp. 115-133.
8. Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Mathematical Logic. Moscow, Mir Publishers, 1984, 303 p. (Rus. ed. : Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matematicheskaya logika. Moscow, FIZMATLIT, 2011, 356 p.)
9. Molchanov V. A. Representation of Universal Planar Automata by Autonomous Input Signals. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2013, vol. 13, iss. 2, pt. 2, pp. 31-37 (in Russian).
