Об определимости канонических отношений универсальных планарных автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

По аналогии с [2, лемма 1] имеем

^(ао,... ,0^-1),/(во,...

,в/—0) = {

^^, /), если (а0,..., а1У-1) = вт, 0, иначе.

Уравнение (а0,..., -1) = в7 разрешимо относительно 7 лишь в том случае, если I < V и а0 = в0? • • • ? а/—1 = в/-ь При этом |71 = V — / и а/ = 70, ..., а»—1 = 7^—1—1. Таким образом, устраняя заведомо равные нулю слагаемые, окончательно находим

Применяя рекуррентные соотношения (1) с заменой (а0,..., ак—1) на (а/,..., ак—1) получаем, что (/*,/) = 0 при к = /. Если же к = /, то (/*, /в) отлично от нуля в том и только в том случае, когда а = в? при этом (/*, /в) = х1у1 = 1.

Представление (2) показывает, что функции / биортогонально сопряженной системы суть полиномы порядка п по системе Уолша.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для молодых российских ученых (проект МД-1354-2013.1) и гранта РФФИ (проект № 13-01-00102).

1, Терехин П. А. Аффинные системы функций типа Уолша, Ортогонализация и пополнение // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2014, Т. 14, вып. 4, ч, 2,

2, Терехин П. А. О сходимости биортогопальпых рядов по системе сжатий и сдвигов функций в пространстве Ьр[0,1] // Математические заметки, 2008, Т. 83, вып. 5,

ОБ ОПРЕДЕЛИМОСТИ КАНОНИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТОВ

В настоящей работе продолжаются исследования автоматов, у которых множества состояний и выходных сигналов наделены дополнительной алгебраической структурой плоскости.

/в) = ^2 УК,..., ,/)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

С. 722-740.

УДК 519.713.2, 512.534

В. А. Молчанов

Следуя [1], под автоматом понимается алгебра А = (Х1, Х2, S, 5, X) с тремя основными множествами Х-[,Х2^ и тремя бинарными операциями: • : S х S ^ S, 5 : Х1 х S ^ Х1, X : Х1 х S ^ Х2, которые при любых значениях х € Х\, а,Ь,с € S удовлетворяет условиям: (а • Ь) • с = а • (Ь • с), 5(х, а • Ь) = 5 (5(х, а), Ь), Х(х, а • Ь) = X (5(х, а),Ь). При этом Х1 называется жио^еетвож состояний автомата, Х2 - множеством выходных сигналов, S - полугруппой входных сигналов с операцией умножения •, 5 - функцией переходов и X - выходной функцией автомата. Для каждого входного сигнала а € ^ ^^томат А определяет функцию переходов 5а : Х\ ^ Х\ и выходную функцню Ха : Х\ ^ Х2 по формулам: 5а(х) = 5(х,а) и Ха(х) = Х(х,а), где х € Х1. Входной сигнал а € ^ ^^томата А = (Х1,Х2^,5,Х) называется автономным, если его действие не зависит от состояний этого автомата, т. е. найдутся такое состояние автомата а1 и такой выходной сигнал автомата а2, что 5(х, а) = а1, Х(х, а) = а2 для всех состояний автомата х € Х1.

Следуя [2], под плоскостью в работе понимается алгебраическая система вида П = (Х, Ь), где Х - непустое множество точек и Ь - семейство его подмножеств, именуемых прямыми, удовлетворяющее следующим аксиомам: (А1) через любые две точки проходит одна и только одна прямая; (А2) каждая прямая содержит по крайней мере три точки; (А3) в множестве Х есть три точки, не лежащие на одной прямой. В

П

мые имеют общую точку, и аффинной, если для любой прямой I € Ь и любой точки х € Х \ I существует такая единственная прямая I', что х € /'и I П I' = 0.

По определению [1] планарные автоматы являются структуризован-ными автоматами А = (Х1,Х2, ^ 5, X) с множеством состояний Х1 и

Х2,

костей П1 = (Х1,Ь1) и П2 = (Х2,Ь2), полугруппой входных сигналов ^функцией переходов 5 : Х1 х S ^ Х1 и выходной функцией X : Х1 х S ^ Х2, для которых при каждом фиксированном а € S преобразование 5а : Х1 ^ Х1 является эндоморфизмом плоскости П и отображение Xa : Х1 ^ Х2 вляется гомоморфизмом плоскости П в плоскость П2. Такие автоматы обозначаются символом А = (П1, П2, S, 5, X).

Главное внимание в наших исследованиях уделяется так называемым универсальным пли парным автоматам, подавтоматы которых охватывают все гомоморфные образы рассматриваемых планарных автоматов.

П1 , П2

ется как автомат А^^^ П2) = (П1, П2^, 5, X) с полугруппой входных сигналов S, состоящей из всех пар в = (р, ф) эндоморфизмов р плос-

кости П1 и гомоморфиз мов ^плоское ти П1 в плоское ть П2, функцией переходов £(х,в) = ^>(х) и выходной функцией Л(х,в) = ф(х) (здесь х е Х1, в = е S).

Основной результат работы [3] показывает, что универсальные пла-нарные автоматы полностью определяются (с точностью до изоморфизма) своими полугруппами входных сигналов. В работе [4] показано, что любой универсальный планарный автомат изоморфен многосортной алгебраической системе, канонически построенной из автономных входных сигналов исходного автомата. Эти исследования показывают, что главным инструментом изучения универсального планарного автомата А = Л1ш(П1, П2) являются следующие канонические отношения этого автомата:

1) множество С всех автономных входных сигналов автомата А;

2) бинарное отношение £1, которое состоит из таких упорядоченных пар (а, Ь) автономных входных сигналов, действия которых оди-

А,

(а, Ь) е £1 ^^ 5(х, а) = 5(х, Ь) для всех х е Х1;

3) бинарное отношение е2, которое состоит из таких упо-

( а, Ь)

А

ся одинаковые выходные сигналы, т.е. по определению (а, Ь) е е2 ^^ Л(ж, а) = Л(ж, Ь) для всех х е Х1;

4) бинарное отношение п, которое состоит из таких упорядоченных пар (а, в) элементе в а = (а,Ь) и в = (с, () с автономными входными сигналами а, Ь,с,( е С, при дей-

А

ся в коллинеарные точки ai,Ьi,Ci,di соответствующих плоскостей П (для каждого г = 1,2), т.е. по определению (а, в) е п ^^ точки а,;, Ь,;, с,;, di коллипеарны в П (г = 1, 2).

В настоящей работе доказывается, что все канонические отношения универсального планарного автомата определяются формулами элементарной теории полугрупп.

А

ливы следующие утверждения:

СА

Яг(х) = (Уу)(ух = х);

2) каноническое отношение £\ автомата A определяется формулой Ei(x, y) = RZ(x) Л RZ(y) Л (Vz)(LI(z) Л xz = yz), где LI(x) = (Vy)(xy = y).

Рассмотрим следующую формулу элементарной теории полугрупп:

3 3

R(x1,x2,x3) = Д RZ(xi) Л (Уу1,У2,Уз) (Д RZ(yi) Л

i=i i=i

33

Л Д -Е1 (У^Уз) (3z)(/\yiz = xi)).

i,j=l,i=j i=l

Теорема 2. Каноническое отношение е2 универсального планарного автомата A определяется формулой

E2(x,y) = RZ(x) Л RZ(y) Л (Vz)(LI(z) R(x,y,xz) Л R(x,y,yz)).

Теорема 3. Каноническое отношение п универсального планарного A

4 4

N(x\,x2,x3,x4) =/\ RZ(xi) Л Д R(xi,xj,xk).

i=l i,j,k=l

Полученные результаты позволяют доказать относительно элементарную определимость рассматриваемых универсальных планарных автоматов в классе полугрупп и проанализировать взаимосвязь важных свойств элементарных теорий классов планарных автоматов и элементарных теорий классов полугрупп, таких как проблема элементарной определимости универсальных планарных автоматов их полугруппами входных сигналов, проблема алгоритмической разрешимости элементарных теорий классов универсальных планарных автоматов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов. М, : Высш. шк,, 1994. 191 е.

2. Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. М, : Наука, 1980. 320 е.

3. Molchanov V. A. A universal planar automaton is determined by its semigroup of input symbols // Semigroup Forum. 2011. Vol. 82. C. 1-9.

4. Молчанов В. А. Представление универсальных планарных автоматов входными сигналами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. 2. С. 31-37.