Об универсальных Р-планарных автоматах Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. И. И шина

УДК 519.4

ОБ УНИВЕРСАЛЬНЫХ Р-Н Л АН АРНЫХ АВТОМАТАХ*

В статье изучаются алгебраические свойства проективно-планарных (сокращенно Р-планарных) автоматов. Под Р-планарным автоматом будем понимать полуфупповой структурированный автомат [1] А=(Х,Г,Х,8,т\) с множеством состояний X, наделённым структурой проективной плоскости [2] П=(Х^), множеством выходных сигналов X, наделённым структурой проективной плоскости П'=(АГ,£')) полугруппой входных сигналов Г, функцией переходов 6 и функцией выходных сигналов т|, удовлетворяющих известным аксиомам полугруппового автомата [1]. При этом для любого уеГ функция переходов 5-,: х 8(х,^) (хеХ) является эндоморфизмом проективной плоскости П, а функция выходных сигналов г|у: х ь-> г|(х,у) (хеХ) является гомоморфизмом проективной плоскости П в проективную плоскость П'. Обозначать такой автомат будем также символом

Л=(П,Г.П',5,Т]).

Важный пример Р-планарного автомата даёт универсальный Р-иланарный автомат А1т(Г1,П')=(П,Епс1ПхНот(П,П'),П',8,Г|). Множеством состояний такого автомата является проективная плоскость П=(Л",£) с множеством точек X, множеством выходных сигналов - проективная плоскость П'=(Л',£') с множеством точек X. Полугруппой его входных сигналов является полугруппа Г пар отображений (<р,\|/)е Епс1ПхНот(П,П') с

операцией умножения (ф,ф)(ф|,ф|)=(ф|°ф,\)/10ф). функция переходов 6 и функция выходных сигналов Г] определяются по формулам: 5(х, у)=ф(х), Г)(х, у)=ф(х) при любых хеХ, уеГ, где у=(ф,\|/).

Очевидно, что автомат А1ш(П,П') является Р-планарным автоматом. Более того, этот автомат является универсальным притягивающим объектом в категории Р-планарных автоматов с множеством состояний П и множеством выходных сигналов П', т.е. обладает следующим универсальным свойством: для всякого Р-планарного автомата А=(П,Г,1Г,6,Т\) существует и притом единственный гомоморфизм по входным сигналам [ 1] этого автомата в автомат Лип(П,П').

Пусть Г' - полугруппа пар отображений (ф,у), где ф - преобразование множества X, а \|/ - отображение множества X в множество X. Тогда Г определяет на множествах X и X следующие канонические отношения: Х./=и{ф3|(ф,у)бГ, для некоторого \|/}; Хг=1~'{у3|(ф,11')е1. Для некоторого ф}; Яг= {(х|ЛЛ)еА*: А*/Ду с ^ЛЛ)};

' Работа выполнена при поддержке 1ЫТА8, фант № 99-1224.

40

й- = {(х|тх2гх3)еЛв: Л3 с

Л'г= {(*|ЛЛ)6 А"3: Х3/Ах>с *г'(*,ЛЛ)}; б'г= Л'г, где ф3 (х|гх2гх3)=(ф (.V,), <р(*г). ф(*з));

Х-г'1 = и{(ф"')3|(ф,ф)еГ, для некоторого \|/};

Ал"' = = *> > ДО« некоторых 1< / #у < 3}.

Алгебраические системы Л/Г=(ЛГ, /?г) и М'Г=(А', /?', ) будем называть каноническими релятивами полугруппы Г.

Полугруппу пар отображений Г будем называть 3-ограничснио замкнутой, если она содержит все такие пары отображений (ф,ф), где ф -преобразование множества X, — отображение множества Хъ X, что для любого трехэлементного множества Ус:Х выполняются равенства ф | У=ф| | У и ф | Г=ф21 при некоторых (фьф|), (ф2,ф2)еГ.

Для некоторого тернарного отношения Д на множестве X множество УсХназывается /?-связным, если ГсЛ.

Тернарное отношение ДсА3 будем называть эквивалентностью на множестве X, если оно удовлетворяет следующим условиям:

(Т1) (ХуХ^еЯ для любого х&Х\

(Т2) (*|лл)е*=>(адл)1 (*1, *з> х2)еЛ;

(ТЗ) для любых попарно различных элементов еХ и любых ху еХ

При этом эквивалентность Л называется нетривиальной, если выполняется условие

(Т4) Л*.*3,

и квазиуниверсалыюй, если выполняется условие

(Т5) для любых х]гх2 еХ найдётся такой элемент х} еХ, что

Для произвольной проективной плоскости П=(Х,Ь) определим отношение коллинеарности по следующей формуле:

В(П)={(л:|^с2тхз) еЛ3: точки х|гх2гх3 принадлежат некоторой прямой /е/.}.

ЛЕММА. Пусть и П'=(Х- проективные плоскости и Г -

полугруппа входных сигналов универсального Р-планарного автомата А1т(П,П'). Тогда канонические отношения Дг и Д'г полугруппы Г удовлетворяют следующим условиям:

1) отношения коллинеарности точек В(П) и 5(ПГ) совпадают, соответственно, с каноническими отношениями Лр и Д'г полугруппы Г;

2) отношения /?р и являются нетривиальными квазиуниверсальными эквивалентностями на множествах Хи X, соответственно;

3) множество УсХ в том и только том случае является прямой проективной плоскости П, если оно является максимальным /?[-связным множеством;

4) множество Кс_Лл в том и только том случае является прямой проективной плоскости ГГ, если оно является максимальным Р'(-связным множеством;

5) для любого преобразования ф множества X, условие феЕпсШ равносильно тому, что ф3(Лг) с Лг;

6) для любого отображения V)/ множества X в множество X, условие фе Нош(11,11') равносильно тому, что ф3(Л'г)

7) для любого'преобразования ф множества Л", условие фeEndII равносильно тому, что для всех УаХ, удовлетворяющих условию | у\ < 3, найдется (ф|,ф|)еГ, для которой выполняется равенство ф | К=ф( | К;

8) для любого отображения ф множества X в множество X, условие фбНот(Г1,ГГ) равносильно тому, что для всех КсД удовлетворяющих условию | И < 3, найдется (ф2,ф2)еГ\ для которой выполняется равенство

VI/1 К=ф21 У-

Основной результат статьи посвящен решению задачи конкретной характеризации универсальных Р-планарных автоматов.

ТЕОРЕМА. Пусть Л=(Х1Г,Х,8,Г|) полугрупповой автомат и Г рассматривается как полугруппа пар отображений (ф,ф), где ф - преобразование множества X, ф - отображение множества X в X. Тогда А в том и только том случае является универсальным Р-планарным автоматом А1ш(П,1Т) для некоторых проективных плоскостей 1\={Х,Ц и П'=(А\£'), если выполняются следующие условия:

1) полугруппа Г является 3-ограниченно замкнутой;

2) канонические отношения Рг и Р'г являются нетривиальными квазиуниверсальными эквивалентностями на множествах X и X соответственно;

3) для любой пары (ф,ф)еГ и любых {х\гк1^)еХ выполняются свойства:

(х,А2Л)е/?г Ф 3(х|ЛЛ)еЛг, (х|Д2л)еРг => Ф3(*1ЛЛ) е Я'у. Причём в этом случае существует единственный (с точностью до изоморфизма) универсальный Р-планарный автомат с множеством состояний X и множеством выходных сигналов X, для которого полугруппа пар отображений Г является полугруппой входных сигналов.

Нетривиальной частью доказательства теоремы является проверка достаточности ее условий. Если полугруппа Г является 3-ограниченно замкнутой и её канонические отношения Рг, Р'г удовлетворяют условиям 1) - 3), то эти отношения определяют проективные плоскости П=(Х,1и П'=(Х,Ь'), множествами прямых которых являются множества всех максимальных Рг-связных и Р'г-связных множеств соответственно. Чтобы показать, что Г=Епс1ПхНот(П,П')> достаточно проверить равенства Епс1П=ЕпсШг и Ногп(П,П')=Нош(Л/г,Л^г)- Доказательство первого равен-

ства аналогично доказательству теоремы в [3]. Включение Гс Hom(yV/|-,Af г) следует из условия 8) леммы. Обратное включение доказывается с помощью аксиом проективной плоскости.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ппоткии Б.И., Гричглаз Л.Я., Г'варамия A.A. Элементы алгебраической теории автоматов. М.: Высшая школа, 1994.

2. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. М.: Мир, 1970.

3. Ишина СИ. Об универсальных проективно-планарных автоматах // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 54 - 58.

УДК 515.126.83

А. Б. Коноплев

О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧЕК ДО ОБРАЗОВ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Пусть X =R",Y = Rm,Z = X хГ, F:X-> 2V - многозначное отображение с замкнутыми образами. Рассмотрим функцию расстояния (ФР) от точек до образов многозначного отображения в произвольной норме dF(z) = inf Jy-v||, z = (x,y).

veF(x)

Введём обозначения z0 = (jc0, y0) e domF x Y, z=(x,y)eZ,

W(z0) = {w e УI \\y0 - *fl <dF (z0)}, 0(zo) = W(za) n F(x0), Ч^ = {ц/: [0,сх0]->У| За0 >0, <x~V(a) ~> 0,а 10}, LF (z0, v,х) = {у е Y | За0 > 0, н<а) е W(z0), ц,(а) е : vv(a) -> V, а 10, w(a) + а у + у(а) е F(xo + а*)> а 6 [0,fx0]}, K(x0,v,x) = {yeY\ За0 >0, V(a)е : V + а у + нЧа) е l-(xQ + a jc), а е [0, а0]}, Я(а) = a"1 [dF (z0 + a z) - dF (zQ)]. Как и в [1], будем считать, что inf 0 = -ко. Получим оценку сверху для верхней производной Дини ФР. ТЕОРЕМА 1. Справедливо неравенство

4(20,г) = ПшЯ(а)< inf inf (1)

niO veQ(z0)c,eLF(z„,v.x) д(у~С,)

Доказательство. Если для всех veQ(z()) множество LF(zn,v,x) = 0, то неравенство (1) становится тривиальным. Если же существуют точки veQ(z0), для которых L¡. (z0,v,x) * 0, то внешний инфимум в правой части (1) очевидно достигается именно в этих точках. Возьмём произвольно точку v е Q(z0), для которой LF (z0,v,x) ^ 0 , и

43