2-нормальные экстремалии управляемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

(РЭпз/(1К2 = КхК}ехр{-К2Ккр).

Так как К\ > 0, то (12Эпз/с1К2 < 0 и оптимальные расходы (Кх) равны Кх = 1п(К2Ку)/К2.

При снижении величин коррозионных (и любых других) потерь в тп раз из самых общих соображений имеем (Ккр ^ 0): тп = К^к/Кикп; тп =

Окончательно базовое уравнение имеет вид тп = К\/[К\ехр{— К2Ккр) + Ккр].

Учтем инфляцию (дефляцию), когда потребитель и заказчик - один физический представитель. Пусть в единицу времени т коэффициент инфляции (дефляции) равен а, выражен в долях затрат и можег быть соответственно больше или меньше нуля. Тогда

Эпз = (1 + ат)[Кх - ехр(-К2Ккр) - Ккр/{ 1 + ат)Кх).

Откуда

с1Эпз/с1Кр = (1 + ат)К1К2ехр(-К2Ккр) - 1,

<12Эпз/(?Ккр = ~{1 + ат)К,К^ехр{К,Ккр),

К£„ = [(\ + ат)К1Кг)1К2.

Вместо 1 + ат удобно использовать М = (1 + а)т, т. е.

К%=1пЦ1+а)т)К1Кг]/Кг, АГ2 = 1п

**кр

(\+аУ)Кх-Эпз-Ку

кр

(1+аУ)К,

При (ат) <1 1 ± ат = еат, т. е. М = еат.

В некоторых случаях следует учесть зависимость а от т . В простейшем варианте т = Кт+ао, что применимо при 0 < К < (1 — ао)/т, т. е. ао < 1 — от. Тогда М = е(ао+кт)т и

Эпэ = ехр(ат)К1{1 - ехр{-К2Ккр) - Ккр/[ехр(ат)К1]}\ К£р = (1 / К2)\п[ехр(ат)К1К2\.

2-НОРМАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМАЛИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ © В. Ячимович (Москва)

Рассмотрим задачу оптимального управления

х =/(я,и,*), £ € [*ь£2], К{р) = 0, (1)

*2

./(я, и) = К0{р) + I /°(я,и,г)<2£. , (2)

и

Здесь р = (х\,х2), х\ = х(<1), х2 = х(^), t е [<1,^2] ~ время, Ьх < Ь2 - заданы, /°,/,К0 и К дважды непрерывно дифференцируемы по всем переменным. В качестве класса допустимых управлений рассматривается множество измеримых, существенно ограниченных функций и € \,Ь2].

Для системы (1), (2) определим гамильтониан и малый лагранжиан по формулам

Н(х,и,Ь,-ф, А0) = (/(х,и,г),^) - А0/0 (я, и,*);

1(р, А) = Х°К0(р) + (у, К(р)}, А = (А0, г,). Введем сопряженную систему

с условиями в точках

г) Н

^ «<>(«), Ь,Щ, А0), (3)

’/’(*!) = т^-(Ро, А), 0(*2) =-^-(ро,А).

Здесь р0 = (аг°(^ 1), а:°(<2))-

Введем в рассмотрение систему уравнений в вариациях

^6х = 6х^{х°{г),и°Ц), Ь) + 6и{г)^{х°{Ь), и°(*),0- (4)

Здесь 6и € а решение уравнения в вариациях 6х должно удовлетворять условию

дК

(бхЦ^тбх^))—(Ро) = 0.

Экстремаль (х°, и0) называется нормальной, если система уравнений в вариациях (4) является управляемой. Из последнего вытекает локальная управляемость (1) в окрестности (х°,и°).

Если экстремаль (х°,и°) является нормальной, то верны классические необходимые условия экстремума второго порядка. Если же экстремаль анормальна, то необходимые условия первого порядка выполняются автоматически со множителем А £ А(х°,и°), и содержательной информации не несут, а условия второго порядка, вообще говоря, неверны.

В [1] доказаны необходимые условия второго порядка, которые остаются верными и в анормальном случае. В этой статье введено понятие 2-нормальных экстремалей. Для 2-нормальных экстремалей условия второго порядка из [1] являются содержательными. Получены дос и. в частности, следующая :

Теорема. Пусть экстремаль (х°,и°) не является 2-нормальной. Тогда существует решение сопряженного уравнения (3) ф, удовлетворяющее необходимым условиям из [1] и такое, что для любого р ^ 0 выполняются условия:

д с1р дН, оо т хсь ~

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В. Необходимые условия второго порядка в задачах оптимального управления // Докл. РАН. 2000. Т. 371. № 1.

*