CC BY
18Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 6. 2006
УДК 512.772+515.165.4
ЖЕСТКИЕ ИЗОТОПИИ ТРЕХЧЛЕННЫХ КРИВЫХ С МАКСИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ОВАЛОВ
В.И. Звонилов
В настоящей работе для каждого п находится точная верхняя оценка числа овалов вещественной трёхчленной кривой уп + Ъ(х)у + ы(х) = 0. Под жёсткой изотопией понимается путь в пространстве неособых вещественных трёхчленных кривых с фикси-п
вых такого вида с максимальным числом овалов. В частности, при п = 3 получена жёсткая изотопическая классификация три-гональных М-кривых.
§1. Введение
В настоящей работе трёхчленной кривой называется алгебраическая кривая на поверхности Хирцебруха, задаваемая уравнением
уп + Ь(х)уп-к + эд(х) = 0. (1)
Понятие жесткой изотопии как пути в пространстве неособых плоских вещественных алгебраических кривых данной степени было введено в 1978г, Рохлиным [1], В более широком смысле под жесткой изотопией кривых некоторого класса понимается путь в пространстве таких кривых, К настоящему времени классификация неособых вещественных алгебраических кривых с точностью до жестких изотопий известна для кривых степени т < 6 на ИР2 (см, [1], [2], [3]), для кривых бистепеней (т, 1) (т, 2) и (3, 3) на гиперболоиде и эллипсоиде (см, [4], [5], [6]), а также для кривых бистепени (т, 3) та поверхности Хирцебруха £1 (см,
17]).
© Звонилов В.И., 2006.
В работе для к = n — 1 получена жёсткая изотопическая классификация неособых вещественных трёхчленных кривых с максимальным числом овалов. При этом использован метод, предложенный С.Ю.Оревковым [8] для построения тригональных кривых с помощью техники dessins d’enfant, В частности, при n = 3 получена жёсткая изотопическая классификация тригональных M-кривых ,
§2. Кривые на поверхностях Хирцебруха
Нам потребуются следующие хорошо известные свойства поверхности Хирцебруха Se, e G N (см,, напр, [9]). Это рациональная линейчатая поверхность, которая является пространством линейного расслоения п : Se ^ P1. В частноети, Si есть P2 с раздутой точкой. Для всех, кроме одного, голоморфных сечений этого расслоения образ R такого сечения имеет индекс самопересечения R2 = e, а для образа E исключительного сечения (единственного при e > 0 E2 = —e. Пусть L - один из слоев расслоения п, Тогдa {mL + nR | m,n G Z>0} U {E = R — eL} есть множество всех простых дивизоров на Se, Бистепенью кривой F = mL + nR назовем пару (m, n) для всех, кроме E, неприводимых mn
мой кривой бистепени (m, n) есть
n(n — 1) . ч
g=(m-l)(n-l)-\------------e. (2)
Пусть conj - антиголоморфная инволюция на множестве CSe комплексных точек поверхности Se, такая, что \/z G СЕе точка ттconj(z) = n(z) комплексно сопряжена с n(z) в CPТогда вещественная часть RSe = fix conj поверхности гомеоморф на тору RP1 х RP1 при четном e и бутылке Клейна RP 1#RP1 при нечетном e, e
нии (1) выполняются неравенства deg b < ek, deg w < en с n > 1, Тогда многоугольник Ньютона левой части этого уравнения содержится в треугольнике с вершинами (0, 0), (ne, 0), (0, n), Торическая поверхность, построенная по этому треугольнику, является поверхностью Хирцебруха Se, a x, y являются аффинными координатами в карте, полученной удалением из Se кривой E и одного из слоёв расслоения п. Уравнение (1) задаёт на Se кривую бистепени (0, n). Если m =НОД(п, к) > 1, то в уравнении (1) можно сделать замену y1 = ym. Поэтому всюду будем считать, что n и к - взаимно простые числа.
Пусть С - трёхчленная кривая, заданная уравнением (1), А = тп-к-1й(х) - дискриминант по у этого уравнения, где
й(х) = пптк - (—1)п(п - к)п-кккЬп (3)
(см,, напр,, [10, Гл.1, п.3.3]). Будем говорить, что х = то € ИР1 является корнем кратности т многочлена й (соответственно, Ь, т), если deg й = екп — т (соответственно, deg Ь = ек — т, deg ад = еп — т). Следующие леммы доказываются стандартным вычислением.
Лемма 1. Кривая С имеет в точке (хо,уо) € ИР1 х И особенность тогда, и только тогда, когда, либо у0 = 0, Ь(х0) = 0, т(х0) = 0, й(х0) = й'(х0) = 0 ° у0 = 0 х0 - кратный корень многочлена, т и, если
к = п — 1, Ъ(хо) = 0. □
Лемма 2. Точка (х0,у0) € ИР1 х И кривой С является точкой п-кратного пересечения, с вертикальным слоем тогда, и только тогда, когда, у0 = 0 а, х0 - простой корень мно гочлена, т и к-кратный корень многочлена, й (и потому корень многочлена, Ь).
Непрерывное по £ семейство С^ £ € [0,1], неособых вещественных трёхчленных кривых на £е называется жёсткой изотопией, соединя-С0 С1
Далее во всей работе рассматриваются только неособые трёхчленные кривые.
§3. Вещественная схема трёхчленной кривой
С
ИС её вещественных точек может иметь компоненты связности двух типов: стягиваемые в И£е и нестягиваемые; стягиваемые компоненты называются овалами. Число овалов обозначается через /, число нестяги-ваемых компонент - через Д. Вещественной схемой кривой С называет-
ИС
графика функции г (у) = уп + Ь0уп-к + т0 = уп-к(ук + Ь0) + т0, где Ь0,т0 € И, показывает, что вещественная прямая г = г0 пересекает его
п
при нечётном п. Поэтому при чётном п либо Д = 0, либо ИС двулистно накрывает ось ОХ и состоит из одной компоненты при нечётном е и из двух при чётном е; при нечётном п либо Д = 1 и нестягиваемая компонента изотопна оси ОХ либо ИС трёхлистно накрывает ось ОХ
и состоит из двух компонент при нечётном е и го трёх при чётном б. Кроме того, при чётном п вещественная прямая х = х0 не пересекает ИС тогда и только тогда, когда 0 < f (х0) < пга, а при нечётном п она пересекает И.С в одной точке тогда и только тогда, когда f (х0) > 0, где f (х) = й(х)/ад(х)к, а й(х) задаётся равенством (3),
§4. Граф трёхчленной кривой
Опишем найденное Оревковым соответствие между трёхчленными кривыми и графами на двумерной сфере Б2. Пусть С - трёхчленная кривая, заданная уравнением (1), и А = адга-к-1й(х) - дискриминант по у этого уравнения (см, §2), Рассмотрим рациональную функцию / : СР1 -»• СР1, где / = ^ = ^ = пп - ^У^ГкккЬП ■ Раскрасим ИР1 так, как указано на рис, 1, и наделим граф Г = f-1(ИР1)
-----1--------------------------------
Рис. 1.
соответствующей раскраской. Вершины из f-1(0) - корни многочлена й - назовём й-вершинажи, те вершины из f-1(пга), которые являются общими корнями многочленов 6 и ад, назовём Ъад-вершинами, остальные корни многочлена 6 - Ъ-вершинами, вершины из f-1(то) - корни многочлена ад - ад-вершинажи, а остальные вершины графа Г - некрашеными вершинам,и. Пользуясь леммой 2, получаем, что если точка (х0,у0) € ИР1 х И кривой С является точкой п-кратного пересечения с вертикальным слоем их^ т-кратный корень многочлена Ъ, то х0 -Ъад-вершина степени 2(тп — к), Для каждой из остальных вершин, если она является корнем степени т многочлена й, Ъ или ад, её степень соответственно равна 2т 2тп или 2тк Если кривая С вещественна, граф Г симметричен относительно И.Р1, Пусть СР_| - замыкание одной из компонент связности множества СР1 \ И.Р1 и Г+ = Г П СР^. Назовём Г+С
Замечание 1. Из формулы Гурвица (см. 111, Гл.4, §2|) следует, что число некрашеных вершин не превосходит е(к + п) — 2. □
Г
циклов Ь раскрашенный граф на сфере Б2 с й-вершинами чётной степени, Ъ-вершинами, степени которых кратны 2п, Ъад-вершинами степеней
2(т*п — к) с натуральными т*, (г = 1,... ,р для некоторого р < ек), ад-вершинами, степени которых кратны 2к, и некрашеными вершинами четной степени. Пусть сумма степеней й-вершин равна 2к(еп — р), сумма степеней ^вершин равна 2п(ек — ^Г=1 т*) и сумма степеней ад-вершин равна 2к(еп — р). Пусть, кроме того, на границе каждой грани графа Г циклический порядок рёбер и вершин (без учёта некрашеных вершин) таков же, как и на ИР1 (см. рис. 1). Пусть Б+ - замыкание одной из компонент множества Б2 \ Ь и Г + = Г П Б+, Отобразим Г + на ИР1 в соответствии с раскраской, продолжим это отображение до разветвлённого накрытия f : Б+ ^ СР1. накрыв каждой гранью одну из компонент множества СР1 \ ИР1. и доопределим его по симметрии до накрытия f : Б2 ^ СР1. Согласно [12, Теорема 4.1], поднятие комплексной структуры на Б2 превращает f в рациональную функцию, которая определяет вещественную трёхчленную кривую бистепени (0, п) на Ед. с точностью до преобразования (х, у) ^ (х, Ау), где А ненулевая константа.
4.1. Преобразования графа кривой. Назовём вершину графа
Г+
стым или кратным корнем соответствующего многочлена, а для некрашеной вершины - точкой ветвления индекса 2 или > 2.
Замечание 2. Если две Ь-вершины соединены рёбрами с некрашеной вершиной (или две некрашеные вершины соединены ребром), то стянув эти рёбра (это ребро), можно слить указанные вершины в одну кратную вершину, не изменив в силу 1 жесткого изотопического класса кривой С. Ясно, что обратное преобразование позволяет превращать кратную Ь-вершину (кратную некрашеную вершину) в несколько вершин меньшей кратности. При к = п — 1 те же преобразования возможны и для ю-вершин. □
Пусть С - плоский граф , степени вершин которого > 1, Р - его грань, п1, • • •, Пг _ различные точки на её границе дР (вершины или внутренние точки рёбер) и £' - произвольная внутренняя точка грани Р. Соединим £ 'с п* криво й и*, г = 1,..., г, так, чтобы и* П и = £' для г = ^ Обозначим через о>)Пь...)Пг преобразование графа С в плоский граф С1; полученный стягиванием объединения кривых и1;... , в некоторую точку £. При этом £ становится вершиной графа С1; а из Р получаются примыкающие к вершине £ грани ..., граф а С1;
£
: С1 ^ С определено однозначно с точностью до изоморфизма плоских графов, если указаны соответствующие грани Р1... графа
Gi, сливающиеся в одну грань графа G, и указан тип возникающих на рёбрах графа G точек пъ ..., какие из них являются новыми вершинами, а какие - внутренними точками рёбер.
Лемма 3. Рассмотрим два набора данных.
1. F - грань графа Г+ на которой отображение f имеет степень m > 1; пь • • •, Пг, 1 < г < m, - лежащие на dF различные точки с a = f (ni) = • • • = f (nr) = 0, среди которых не более одной вещественной, и если она, есть, то это тючка, пь При этом a = то при k < n — 1.
i?. £ - некрашеная вершин а, графа, Г+; Fi; • • •, Fr - максимальный набор примыкающих к ней граней графа Г+ с общим образом f (Fi) = • • • = f (Fr). При этом если вер шина £ вещественна, то её степень в графе Г+ чётна, (т. е. индекс ветвления точки £ нечётен) и грани, которые имеют примыкающие к £ вещественные рёбра, входят в этот набор.
Для каждого из этих наборов существует непрерывное по t е [0,1] семейство отображений ft : CP1 — CP1 с fo = f, индуцирующее жёсткую изотопию кривой С, причём гра,фы Г = f-1(RP1^ Г1 = f1-1(RP^ связаны следующим образом: Г+ = ар,П1,...,Пг (Г+), где Г+ = Г1 П CP+ для, первого набopa, и Г+ = r£iFli...iFr (Г+) для, второго набора.
Доказательство. 1, Пусть s - число точек из f-1(a), лежащих на dF между ^ и Сначала продеформируем отображение f в классе непрерывных отображений так, чтобы вне грани F и на dF оно осталось прежним, а все точки ветвления внутри этой грани слились в одну
m
распадается на три точки ветвления: £ индекса 2, £' индекс а s + 1 и £" индекса m — s — 1 так, как указано на рис, 2, изображающем сужение на Ff
ными линиями изображены прообразы кривых, соединяющих на f (F) точку a с точками f (£), f (£'), f (£"). Первая из этих кривых обозначена через и. Пусть U7 - компонента связности множества f-1(u) П F, соединяющая точку £ с точками пь и пусть : CP| —— CP+11 е [0,1]}-стягивание этой компоненты в точку пь где а0 - тождественное отображение и а1 = 0\р,ПЬП2. Продолжим то симметрии на CP1 и построим так же, как в п.4, по семейству графов аДГ) непрерывное по t семейство отображений ft : CP1 — CP^ Тогда f0 = f и Г+ = OFm№(Г+).
Г Г1
дискриминанта d остаются простыми, а при k < n — 1 и все корни многочлена w остаются простыми, то в силу леммы 1 семейство отображений ft индуцирует жёсткую изотопию кривой С, Для завершения доказательства осталось применить индукцию по г.
5 точек
Рис. 2.
2. Пусть т - индекс ветвления точки £ (нечётный, по условию, если £ вещественная) , Искомую деформацию отображения f можно получить, если пошевелить отображение f в классе непрерывных отображений так, чтобы вне достаточно малой окрестности точки £ граф Г+ остался прежним, а в этой окрестности слились в одну грань Р грани Р\,..., Рг, причём точка £ превратилась, если £ € Г+ \ И.Р1, в некоторую точку ветвления £' € Р с тем же индексом т, а если £ € И.Р1, то в пару мнимых сопряжённых точек ветвления с индексом (т + 1)/2, Ясно, что при этом Г+ перейдёт в граф Г+ = т^,...,^(Г+).
Следствие 1. 1. С помощью преобразования т^,...,^, пользуясь леммой 3, очевидно, мооюпо избавиться, от всех мнимых некрашеных вершин,.
2. Если концы, вещественного ребра, - некрашены,е вершины,, хотя, бы одна, из которых имеет чётную степень, то её индекс как точки ветвления, нечётен и потому, согласно лемме 3 её м,ож,но удалить, применив к ней преобразование Если, же обе соседние веще-
ственные некрашеные вершины, и,м,еют нечётную степень, то соеди-1 тощее их вещественное ребро мооюно, очевидно, стянуть в некото-£
её м,ож,но удалить указанным выше способом. Следовательно, на, графе Г+ мооюно избавиться, от всех рёбер с некрашеными концам,и. □
Всюду до конца этого параграфа к = п — 1.
Лемма 4. Если число Н нестягиваемых компонент кривой С равно 0 при чётном пи 1 при нечётном, то в её жестком изотопическом классе существует кривая, у которой все корни многочлена, Ь вещественны, а, если, кроме того, ИС = 0, то и корни многочлена, т вещественны.
Доказательство. Согласно следствию 1 можно считать, что в графе Г+ нет мнимых некрашеных вершин и вещественных ребер с некрашеными концами, а все вещественные некрашеные вершины являются простыми, В силу указанных ограничений на Н, граф Г+ имеет некоторую грань А с вещественным сплошным или волнистым ребром на её границе ЗА, двигаясь по которому (и,возможно, далее по рёбрам того же вида на ЗА) можно дойти Ь-вершины, Если она окажется мнимой, стянем последнее пройденное ребро в его вещественный конец, превратив эту Ь-вершину в вещественную. Если на дА останутся мнимые Ь-вершины, то к ним и к одной из вещественных Ь-вершин на дА, пользуясь леммой 3, можно применить преобразование и^,П1 ,...,Пг, стянув их
Ь
дой грани графа Г+, имеющей мнимые Ь-вершины есть вещественное
Ь
А
В граф а Г+, на первой из котор ых все Ь-вершины вещественны, а на Ь
АВ
Ь
иначе, ввиду отсутствия мнимых некрашеных вершин, оно примыкало
дВ
ло бы вещественное сплошное или волнистое ребро, что невозможно. Следовательно, общее ребро Е граней А и В штриховое. Если бы оно примыкало к ^-вершине, то, поскольку кривая С неособая, эта вершина являлась бы мнимой и к ней примыкало бы общее сплошное ребро этих граней, что невозможно. Поэтому один из концов ребра Е - это вещественная некрашеная вершина В, не соединённая вещественным ребром с т-вершиной, В силу сказанного выше, вершина В является простой и потому, ввиду отсутствия вещественных рёбер с некрашеными кон-дВ
вещественной ^-вершине. Т.к. С неособа, дВ содержит вещественное
В
существует и все Ь-вершины графа Г+ вещественны.
Теперь добьёмся того, чтобы все т-вершины стали вещественными, Заметим, что при нечётном п множество ИС всегда непусто, т.к.
Ь
вершины можно сделать простыми, сохранив их вещественность. Укажем Ь-вершину V и примыкающую к ней грань Р граф а Г+, получив затем на V вещественную т-вершину, следующим образом.
При нечётном п пусть V - произвольная Ь-вершина, Тогда среди волнистых рёбер, выходящих из V есть вещественное ребро. Пусть Р -примыкающая к нему грань графа Г+. Двигаясь по этому ребру (и, возможно, далее по волнистым рёбрам на дР) можно дойти до т-вершины. Если она окажется мнимой, стянем последнее пройденное ребро в его
т
При чётном п из условия ИС = 0 следует существование грани Р с вещественным штриховым ребром на дР, Пусть V - любая Ь-вершина на дР, Двигаясь по этому ребру (и, возможно, далее по штриховым рёбрам на дР) можно дойти до т-вершины. Если она окажется мнимой, стянем последнее пройденное ребро в его вещественный конец, превратив эту т
Теперь при любом п, если на дР есть мнимые т-вершины, то к ним и к имеющейся на дР вещественной т-вершнне, пользуясь леммой 3, можно применить преобразование о^т...Пг, стянув их в эту вещественную т-вершину. Покажем, что на соседних с Р гранях, примыкающих к V, можно получить вещественную т-вершину, а затем все т-вершины на такой грани сделать вещественными. Пусть С - соседняя с Р грань. Если на дР П дС теть т-вершина, то она вещественна. Если на дР П дС нет т-вершин, то в силу отсутствия в Г+ мнимых некрашеных вершин, на дР П дС имеется вещественная некрашеная вершина N. Т.к. она дС Е
волнистое или штриховое, то второй его конец является вещественной т-вершиной в силу отсутствия в Г+ вещественных рёбер с некрашеныЕ
его конец является вещественной ^-вершиной, к которой, в силу неосо-С
дС
т
т
Ст с помощью которой так же, как это сделано выше на грани Р, все тС
Таким образом, последовательно переходя от очередной грани, примыкающей к вершине V, к соседней, превратим все мнимые т-вершины на гранях, примыкающих к V, в вещественные. При нечётном п это за-
вершает доказательство в силу произвольности вершины V, При чётном п пусть в - отрезок на ИР\ соединяющий V с соседней Ь-вершиной и, и Н - грань, содержащая ребро на в, примыкающее к и. Если грань Н содержит вещественное штриховое ребро, то на ней можно получить вещественную т-вершину так же, как это сделано выше для грани Р, Н
т-вершин, то их нет и на в, и потому в состоит из двух рёбер, одно из НН к V. Применяя к этим граням те же рассуждения, что и выше к Р С Н т
тН
4.2. Графы Г№ и Г.
Согласно следствию 1 можно считать, что в графе Г+ нет мнимых некрашеных вершин и вещественных ребер с некрашеными концами, а все вещественные некрашеные вершины являются простыми. Тогда, если к некрашеной вершине примыкают два вещественных волнистых
Ьт
эти ребра, слив указанную пару вершин в одну вершину суммарной степени. Таким образом, будем считать, что в Г+ нет некрашеных вершин, примыкающих к волнистым ребрам. Пусть Г№ - подграф такого графа Г+, состоящий из всех его Ь-вершнн, т-вершин и волнистых рёбер.
Построим по Г№ граф Г (не вложенный в сферу), объединив в Г№ все рёбра с одинаковыми концами в одно мультиребро и приписав ему соответствующую кратность. Если объединяемые рёбра содержат вещественное ребро, мультиребро назовём вещественным, в противном случае - мнимым.
Лемма 5. За счёт преобразования графа Г+ любое концевое мульти-рёбро графа Г принечётном п, а при п = 2г концевое мультирёбро степени г можно сделать мнимым, не изменив жесткого изотопического Ст п Ь п
Доказательство. Пусть Г имеет вещественное концевое мультире-Е п Ь
т-вершиной Ж. Поскольку в Гте степень вещественной Ь-вершпны выше степени простой вещественной т-вершины, то Ж является кратной. Согласно замечанию 2 вершину Ж можно превратить в графе Г+ в тЕ
т
(см. рис. 3). Применяя теперь к графу Г+ преобразование, указанное
на рис, 3, получим сначала граф с Ьад-вершиной, которая, распадаясь, дает мнимое концевое мультиребро степени г граф а Г с концев ой ад-вершиной. Согласно лемме 2 это преобразование не меняет жесткого изотопического класса кривой С,
Рис. 3.
При чётном п мультиребро Е степени г соединяет простую концевую ад-вершину Ш с некоторой Ь-вершиной В, По построению графа Гад вершина Ш не может соединяться вещественным штриховым ребром с некрашеной вершиной, а В соединяется отличным от Е вещественным мультиребром с некоторой ад-вершиной ШПоэтому грани г рафа Г+,
В
Рис. 4.
Применяя теперь к графу Г+ преобразование, указанное на этом рисунке, получим вместо Е мнимое концевое мультиребро степени г граф а Г с концевой 6-вершиной, Как и при нечётном и, это преобразование не
С
Назовём грань графа Г+ однолистной, если f отображает её на одну из компонент множества СР1 \ И.Р1 гомеоморфно.
Лемма 6. Пусть и > 2. Если число нестягиваемых компонент кривой С при нечётном и равн о I, а при чёт ном и равн о 0 и И.С = 0, то не меняя жёсткого изотопического класса кривой, в графе Г можно избавиться, от всех циклов.
Доказательство. Согласно лемме 4 можно считать все Ь- и ад-вершины графа Г+ вещественными. Длина цикла графа Г не меньше
Ьи ад-вершине при чётном и не может быть двух вещественных. Поэтому в цикле графа Г есть мнимое мультиребро Е1, а среди следующих за ним мультирёбер Е2, Ез, Е4 - не более двух вещественных. Поэтому
возможны два случая: 1)Е1; Ез - мнимые или Е2, Е4 - мнимые; 2)Е3 вещественное и в паре Е2, Е4 ровно одно вещественное,
В первом случае пусть, например, Е1; Е3 - мнимые. Согласно следствию 1 можно считать, что в графе Г+ нет мнимых некрашеных вершин, Тогда если грань А граф а Г+, лежащая внутри указанного цикла и содержащая концы ребра Е2, однолистна, то соседняя с ней грань Б, примыкающая к мультирёбрам Е1; Е3 , неоднолистна. Если же А неод-
Б
Е1; Е3, Пусть Е' - смежное с Е2 сплошное ребро на, границе грани А, Е'' - первое из следующих за Е 'и Е2 сплошных рёбер на этой границе и А', А'' - соседние с А грани графа Г+ с Е' е дА' и Е' е дА', Выберем на ребрах Е', Е'' внутренние точки Пь П2 с f (пО = f (п2) и с помощью преобразования ал,П1 ,П2 стянем их в некоторую точку £. Затем с помощью преобразования т^а'.а" получим неоднолистную грань Б, примыкающую к мультирёбрам Е1; Е3, Выберем теперь на дБ на волнистых ребрах мультирёбер Е1; Е3 внутренние то чки пь П2 с f (пО = f (п2)- Опять применим пару преобразований ств,ПЬП2, 7^)В/)В/^е Б' и Б'' - соседние Б
Е1; Е3, уменьшив та 1 кратности мультирёбер Е1; Е3, Повторяя эту процедуру, устраним хотя бы одно из рёбер Еь Е3, разрушив выбранный цикл графа Г,
Е2
же преобразования, что и в первом случае. Если при этом мультиребро Е1 исчезнет, то цикл будет разрушен, В противном случае кратность мультиребра Е3 уменьшится до 1 и оно будет лежать на границе неоднолистной грани Б, примыкающей к мультиребру Е^, Пусть V - общая вершина рёбер Е1; Е2 и У2 - общая вершина рёбер Е2, Е3, Если V является Ь-вершиной при нечётном и или ^-вершиной при чётном и, то она имеет чётную кратность и согласно замечанию 2 может быть преобразована в пару вещественных вершин половинной кратности. Это превращает Е2 в концевое и мнимое мультирёбра графа Г и потому сводит задачу к первому случаю.
При чётном и осталось рассмотреть случай, когда V является ^-вершиной. Поскольку в Г.Щ степень простой вещественной Ь-вершины выше степени простой вещественной ^-вершины, а кратность мультиребра Е3 равна 1, то кратность вершины V больше кратности вершины У2, Замечание 2 позволяет преобразовать V в пару вещественных вершин, кратность одной из которых будет равна кратности вершины У2, и потому цикл будет разрушен.
При нечётном и осталось рассмотреть случай, когда V является
^вершиной, Если V является кратной, то так же, как и в доказательстве леммы 5, отщепляя от V простую веществе иную ад-вершину и применяя преобразование, указанное на рис, 3, последовательно уменьшим кратность вершины У2 до 1, Выберем на волнистом ребре мультиребра Е1 и на Е3 внутренние точки пь П2 с f (п1) = f (п2) применим преоб-
разование &в,щ,П2, стянув ^ в П^ а затем превратим п2 в пару простых некрашеных вершин, разбив Е3 на 3 волнистых ребра. Преобразование, указанное на рис, 3, превращает одно из этих волнистых ребер в мнимое. Стянув оставшиеся два вещественных волнистых ребра и слив Ь
индукция позволяет избавиться от цикла графа Г,
Вложим граф Г в СР_|, поместив его вершины на те же места, что и в графе Г+, Поскольку все вершины графа Г вещественны, любое его мнимое ребро разрезает СР| на две части, и потому двойственный к нему в СР+1 граф, вершины которого - грани графа Г, а рёбра - общие рёбра граней, является ацикличным. Следовательно, указанный выше способ избавления от цикла графа Г слиянием двух его граней в одну позволяет устранить все циклы,
В заключение этого пункта отметим одно свойство графа Гте, которое, впрочем, не используется в дальнейшем.
Замечание 3. Если все грани гра,фа, Г + однолистны, граф Г + не имеет мнимых некрашеных вершин и вещественных ребер с некрашеными концами, а, все его вещественные некрашеные вершины являются простыми, то граф Г№ связен.
Доказательство. Добавим к каждой компоненте графа Г№ все примыкающие к ней грани графа Г+ и все рёбра на границах этих граней, получив плоский подграф графа Г+. Два таких подграфа не
Е
Е
мнимое и к нему не примыкают Ы и ад-вершины, а если примыкает б-вершина, то она является мнимой, т.к. кривая С неособа. Поэтому, в силу отсутствия мнимых некрашеных вершин и вещественных рёбер с
Е
стой вещественной некрашеной вершиной и. соединённой вещественными рёбрами с двумя Ь- или ад-вершинами. Однако в ходе построения графа Г№ каждая такая верши на, как и, была устранена слиянием указанной пары ^ или ад-вершин в одну. Поэтом у граф Г№ связен.
4.3. Разложение графа Г+. Пусть в графе Г + существует простая цепь из мнимых рёбер, соединяющая две вещественные некрашеные вершины и проходящая через каждую свою вершину так, что число рёбер, прилегающих к этой вершине с одной стороны от этой цепи, равно числу рёбер, прилегающих с другой стороны. Разрежем Г + по этой цепи и превратим её на каждом из двух полученных графов в соответствующий отрезок прямой RP^ Тогда каждый из этих графов будет графом соответствующей трёхчленной кривой, вырезаемой из кривой С
ченные разрезанием треугольника с вершинами (0, 0), (ив, 0), (0, и) по отрезку с концами (ив', 0), (0, и) для некоторого натурального в' < в. Поэтому граф Г+ можно разрезать таким способом не более, чем на в частей. Назовём граф Г + разложимым, если в нём существует разрез указанного вида. Неразложимый граф называется блоком.
§5. Кривые с максимальным числом овалов
Всюду в этом параграфе к = и — 1,
5.1. Оценка сверху числа овалов вещественной трёхчленной кривой
Лемма 7. За счёт возможного увеличения числа овалов кривой неразложимый граф Т+ можно преобразовать так, что все Ь-вершины графа Гм станут простыми. При этом если Г будет ацикличным и его концевые вершины будут т-вершинами, то все т-вершины станут
и
Доказательство. Согласно лемме 4 все Ь-вершины графа Г+ можно считать вещественными, а согласно замечанию 2 - простыми. Согласно следствию 1 можно считать, что в графе Г+ нет мнимых некрашеных вершин и вещественных ребер с некрашеными концами, а все веще-
Ь
Б1; Б2 соединены вещественными рёбрами Е1; Е2 с некрашеной вершиной и, которая соединена мнимым ребром Е3 с вершин ой X, Вершина X не может быть некрашеной, иначе Е3 является разрезом, что противоречит неразложимости графа Г+, Если X является т-вершиной, стянем ребра Е1; Е2, слив вершины Б1; Б2 и и в вещественную двукрат-Ь
корней многочлена Ь, получив простую мнимую Ь-вершину графа Г+, Если X - это б-вершина, то она является мнимой: стянем ребро Е3,
слив вершины X и и в вещественную двукратную б-вершину, которую затем превратим в пару вещественных б-вершин, получив новый овал кривой С. Таким образом, Г+ не будет содержать ни одной некрашеной
Ь
при построении графа Гм кратных Ь-вершин не возникнет.
Поскольку вершины графа Г правильно раскрашены в два цвета, то
т
т Ь Ь
являются простыми и deg т = deg Ь + 1, то и в се т-вершины являются простыми. При нечётном и все т-вершины исходного графа Г+ согласно лемме 4 можно считать вещественными, а все преобразования графа Г+, указанные в доказательстве, не нарушают этого условия.
Теорема 1. Если граф кривой неразложим, то при и = 2г + 1 кривая может иметь не более, чем 2гв — 1 овалов, при и = 2 не более, чем в овалов, а при и = 2г > 2 - не более, чем (3г — 1)в — 1 овалов.
Доказательство. Поскольку кратность пересечения овала с осью ^^^^^^роекция (ж, у) ^ ж переводит овал в отрезок на RP*, кото-
б
и
вых и волнистых. На этом отрезке в соответствии с указанным в и,4,2 построением графа Гм имеется одна т-вершина чётной (возможно, ну-
ит
кратности, соединённые вещественными волнистыми рёбрами с одной Ьт (если она есть) в пару мнимых комплексно сопряженных корней многочлена т, получив мнимую т-вершину графа Г+, Тогда в этом случае указанный отрезок под овалом будет содержать некрашеную вершину, которая соединяется мнимым штриховым ребром с вещественной или т
ла графа Г№, Следовательно, число I овалов кривой не больше числа мнимых штриховых рёбер, примыкающих к т-вершинам графа Гм и лежащих вне циклов этого графа, (плюс половина числа вещественных т-вершин при чётном и). Для каждой т-вершины число примыкающих к ней рёбер указанного вида, очевидно, равно степени этой вершины в графе Г в случае, когда она мнима, и на 1 меньше этой степени, когда эта вершина вещественна. Следовательно, I не превосходит суммы степеней т-вершин графа Г без числа его вещественных т-вершин при ии т-вершин графа Г равна числу его рёбер, которое в силу ациклично-
сти графа Г равно ио(Г) — Ьо(Г), где ио -число вершин и Ь0 - число
и
/ < гь + ¿ь + — Ьо(Г) < degЬ + ¿№ — (Ьо(Г) + ¿ь) (4)
и
/ < гь + ¿ь + г№/2 + ¿№ — Ьо(Г) < deg Ь + 1/2 degт — (Ьо(Г) + ¿ь), (5)
где Гь и ¿ь - числа вещественных и мнимых Ь-вершин, а г№ и гУ1 - числа вещественных и мнимых т-вершин графа Г. Если и = 2, то deg Ь = в, deg т = 2в, ¿ь > 0 и, очевидно, Ьо(Г) = в, что вместе с (5) даёт нужную оценку. При чётном и = 2г осталось в (5) подставить deg Ь = (2г — 1)в, deg т = 2гв, ¿ь > 0 и Ьо > 1, При течёт ном и в силу лемм 6 и 5 можно считать, что граф Г ацикличен, а его концевые вершины являются т-вершинами, и потому = 0 в силу леммы 7, Соединяя это с (4), где deg Ь = 2гв и Ьо > 1, получаем искомую оценку.
Теорема 2. При и = 2г + 1 кривая С может иметь не более, чем (2г + 1)в — 2 овалов, при и = 2 - не более, чем в овалов, а при и = 2г > 2 (3г — 1)в — 1
Доказательство. При нечётном и пусть граф Г+ кривой на £е с I
овалами является объединением графов двух кривых на £е1 и £е2 с /1 и /2 овалами. Ясно, что в = в1 + в^ / < /1 + /2 + ^, иричём / = /1 + /2 + 2, если объединяемые графы пересекаются по паре мнимых штриховых рё-
т
вершинами. Поэтому / будет максимальным для графа Г+, разрезанного указанным образом на максимальное число неразложимых графов кривых, имеющих максимальное число овалов. Согласно сказанному в
в—1
ждением теоремы 1, получаем искомую оценку, и
число овалов кривой, очевидно, равно сумме чисел овалов кривых, отвечающих этим блокам. Поэтому утверждение теоремы при и = 2 следует
и>2
оценки в теореме 1 показывает, что граф кривой с максимальным числом овалов неразложим,
5.2. Жесткая изотопическая классификация. Пусть кривая
С
и
ии
При нечётном и все концевые вершины графа Г будем, согласно т
и>2
овалов граф Г является деревом, его Ь-вершины вещественны и про-
т
т-вершины просты. Все некрашеные вершины графа Г+ вещественны и просты, их число равно (2и — 1)в — 2 и все грани графа Г+ однолистны.
Доказательство. Для каждого блока из равенств, в которые превращаются неравенства (4) и (5), следует, что Ьо = 1, гь + ¿ь = deg Ь и, если и чётно, гм + 2гь = degт. Поэтому из доказательства теоремы 2 следует, что граф Г является деревом, его Ь-вершины вещественны и
ит
ит
Для кривой с максимальным числом овалов все мнимые сплошные и штриховые рёбра графа Г+, лежащие вне циклов графа Г№, примыкают к вещественным некрашеным вершинам, и обратно, всякая вещественная некрашеная вершина является концом такого ребра. Поэтому число V вещественных некрашеных вершин равно сумме степеней вершин графа Г без числа его вещественных вершин (ср. доказательство теоремы 1), Сумма степеней вершин графа Г равна удвоенному числу его рёбер, т.е. в силу ацикличности и связности графа Г равна 2ио(Г) — 2, где ио -число вершин. Пусть гьм и ¿ьм _ числа вещественных и мнимых вершин графа Г, тогда V = 2ио(Г) — 2 — гьм = гьм + 2гьм — 2, что в силу простоты Ь- и т-вершин равно deg Ь + deg т — 2 = (2и — 1)в — 2, т.е. V принимает максимально возможное значение, указанное в замечании 1. Значит, некрашеные вершины графа Г+ вещественны и просты и все грани графа Г+ однолистны.
Следствие 2. Пусть концевые вершины графа Г при нечётном и все являются т-вершинами, а при чётном и либо все являются т-
Ь
тип кривой с максимальным числом овалов определяется вложением в СР+ граф а Г№.
Доказательство. Это утвеждение следует из однолистности граней графа Г+.
1. Кривые си = 2г + 1, к = и — 1 и / = ви — 2.
Из доказательств теорем 1 и 2 следует, что если все концевые вершины графа Г являются т-вершинами, то число мнимых т-вершин равно в — 1 и граф Г+ склеивается из в блоков, являющихся графами кривых
бистепени (0, п) на £1 с максимальным числом овалов, причем граф склейки блоков является деревом. Два блока пересекаются по паре мнимых штриховых рёбер, соединяющих мнимую ад-вершину с вещественными некрашеными вершинами. На рис, 5 показан один из возможных графов Г для такого блока (числами на рисунке обозначены кратности мультирёбер, вещественные мультирёбра изображены горизонтально).
П ММЛЛЛМЛ О АмЛЛ^ЛЛЛЛмО'Л^ Ск
1 Г 2 Г-1 ХвдУХ..
г 1 г-1 2
..уттл»/
Рис. 5.
Заметим, что при фиксированном и даже если граф Г+ кривой с максимальным числом овалов неразложим, граф Г с концевыми т-вершинами не является единственным. Например, при и = 5 (и в = 1) имеются ровно 2 графа Г, один из которых указан на рис, 5 при г = 2, а второй - на рис, 6,
Рис. 6.
Прообраз при проекции (ж, у) ^ х отрезка из штриховых рёбер на И.Р\ ограниченного соседними б-вершинами, назовём Б-образной чат
На каждом из отрезков, на которые б-вершины разбивают прямую И.Р \ т
ное число вещественных б-вершин равно 3в(и, — 1). Оно достигается для кривой с максимальным числом овалов, если все концевые вершины графа Г являются т-вершинами. Половина указанных отрезков отве-ББ частей кривой с максимальным числом овалов и максимальным числом, б-вершин равно в(и, — 3)/2 + 2.
и = 2 и = 2
скими. Известна жёсткая изотопическая классификация таких кривых с любым числом овалов (см. 15, п,3,6|, |4, п.4.9.4.|).
3. Кривые си = 2г > 2, к = и — 1 и I = (Зп/2 — 1)в — 1. Из доказательства теоремы 2 следует, что граф кривой с максимальным числом овалов неразложим. На рис. 7 показаны два графа Г, отвечающие кривым с и = 2г, имеющим максимальное число овалов (числами на рисунке
обозначены кратности мультирёбер, вещественные мультирёбра изображены горизонтально). Все ад-вершины первого графа вещественны, и потому кривая с таким графом имеет минимальное число овалов, не пересекающих ось ОХ, равное (2г — 1)е — 1 Все ад-вершины второго графа мнимы, и потому все овалы кривой с таким графом не пересекают ОХ
Рис. 7.
5.3. Тригональные кривые. Кривая бистепени (0, 3) на £е называется тригональной. В координатах х, у, указанных в § 2, она задаётся уравнением, имеющим степень 3 по у, которое можно привести к виду (1) с к = 2, избавившись от слагаемого с у2.
Согласно теореме 2 максимальное число овалов тригопалыюй кривой равно 3е — 2, поэтому в силу (2) она является М-кривой, Если концевые вершины графа Г являются ад-вершинами, то в силу сказанного в п.5,2 о кривых нечётной степени, граф Гад такой кривой совпадает с графом Г и является цепью с двумя концевыми ад-вершинами,
М
щим образом: (Б, 11,..., 1Р, Б, 1р+1,..., 1д), оде 1г - число овалов между
ОХ
а Б - обозначение Б-образного участка кривой, причём мы отождествляем кодировки, отличающиеся циклической перестановкой. Каждой кодировке отвечают две вещественные схемы кривых, получающиеся
ОХ
М
мый вложением в СР| граф а Гш, задаётся следующим образом. Во-первых, по набору (в1; в2,..., ве), вг Е ±1, определённому с точностью
—1
порядка, строится граф Г+ в нижней полуплоскости как объединение блоков В(^), В(^2), . . . , Оть (^е), оде в(1) - полукольцо в нижней части рис, 8, Д(—1) - его образ при отражении относительно вертикальной прямой (ср. 18, лемма 1|), при этом соседние блоки пересекаются по полуокружности, у Д(й1) и Д(йе) граничные полуокружности, не являющиеся общими с соседними блоками, стянуты в точку (т.е. ^(й1) и Д(йе) - полукруги при е > 1 и Д(1) - круг при е = 1), а Оть(ве) -образ полукруга Д(йе) при инверсии . Во-вторых, графу Г+ отвечают два жёстких изотопических класса: кривые одного класса получаются из кривых другого отражением относительно оси ОХ; при чётном е это следует го ориентируемости поверхности И.£е, а при нечётном -из-за того, что над средним блоком в(з(е+1)/2) кривая может быть двух видов, получающихся друг из друга отражением относительно оси ОХ,
Рис. 8.
Опишем вещественную схему такой кривой. Дня вещественных блоков В(1, — 1) и В(1,1), изображённых в верхней части рис, 8, пусть В(—1, —1) и В(—1, 1) - их образы при отражении относительно горизонтальной прямой. Вещественная схема кривой с графом, полученным объединением блоков Д(йі), В(^2), . . . , Оть (^е), является результатом циклической склейки вещественных блоков В(е1,81),В(є2,з2),...,
В(єе, ^е), В(єе, — ^е), В( — Єе-1, —^е-1),---,В (( —1)е 1^1) — 5іХ ОДе Є*+1 =
Єіві, причём, если е нечётно, последний вещественный блок приклеивается к первому с поворотом на 180°. Пусть (Б, 51, з2,..., зе, Б, — зе,..., -5і) = (Б, -1,-1,..., -1,1^^, Б, -1,..., -1,
«1 «2 ар «р+і
1,..., 1), где а\ае+2 = арар+\ = 0, Тогда вещественная схема М-кривой
«е+2
имеет кодировку (5, 2е — 1, Б,1,.„ , 1) при р = 1 и (5, 2а\, 2а2 + 1,...,
е-1
2ар-1 + 1, 2ар, Б, 2ар+1, 2ар+2 + 1,..., 2ае+1 + 1, 2ае+2) при р > 1,
Литература
1, Рохлин В.А. Комплексные топологические характеристики вещественных алгебраических кривых // УМН. 1978. Т. 33. Вып. 5. С. 77-89.
2, Degtyarev A., Itenberg I., Kharlamov V. Real Enriques surfaces // Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 2000. V.1746. P. 259.
3, Никулин В.В. Целочисленные квадратичные формы и некоторые их геометрические приложения // Изв. АН СССР. Сер: мат. 1979. Т.43. #1. С. 111-177.
4, Дегтярёв А.И., Харламов В.М. Топологические свойства вещественных алгебраических многообразий: du côté de chez Rokhlin // УМН. 2000. Т.55. Вып.4. С. 129-212.
5, Zvonilov V.l. Stratified spaces of real algebraic curves of bidegree (m,l) and (m,2) on a hyperboloid // Amer. Math. Soc. Transi. (2). 1996. V.173. P. 253-264■
6, Дегтярев А.И., Звонилов В.И. Жесткая изотопическая классификация вещественных алгебраических кривых бистепени (3,3) на квадриках // Матем. заметки. 1999. Т.66. Кй6. С. 810-815.
7, Звонилов В.И. Жесткие изотопии вещественных тригональных кривых на поверхностях Хирцебруха // Записки научных семинаров ПОМИ. 2000. Т.267. С. 133-Ц2.
8, S. Yu. Orevkov Riemann existence theorem and construction of real algebraic curves // Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 2003. V.12(4). P. 517-531.
9, Гриффитс, Харрис. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982. 864 с.
10. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999. 336 с.
11. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981, 600 с,
12. Натанзон С.М. Топология двумерных накрытий и мероморфные функции на вещественных и комплексных алгебраических кривых, I, II // Труды семинара по вект. и тенз. анализу. 1988. Вып.ХХт. С. 79-103; 1991. Вып.XXIV. С. 104-132.
Summary
Zvonilov V.I. Rigid Isotopies of Trinomial Curves with the Maximal Number of Ovals
Let l be the number of ovals of nonsingular real trinomial curve yn + b(x)y + w(x) = 0. In this paper the sharp upper bound for l is found for any n, The rigid isotopy is understood as a path in the space of nonsingular real trinomial curves with n fixed. The rigid isotopy classification of such curves with the maximal l is given. In particular case n = 3 the rigid isotopy classification of trigonal M-curves is obtained.
Сыктывкарский университет
Поступила 29.3.2006
