Экстремальные по индексу Винера максимальные внешнеплоские графы с двумя симплициальными вершинами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 3. С. 285-322.

УДК 519.176 DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14304

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПО ИНДЕКСУ ВИНЕРА МАКСИМАЛЬНЫЕ ВНЕШНЕПЛОСКИЕ ГРАФЫ С ДВУМЯ СИМПЛИЦИАЛЬНЫМИ ВЕРШИНАМИ

Ю. Л. Носов

Guardian Software Inc., Калгари, Канада; удаленный офис: Липецк, Россия [email protected]

Рассматриваются максимальные внешнеплоские графы с двумя симплициальными вершинами (МВП-графы) с экстремальными значениями индекса Винера. Определены нижняя W.L = п2 - 3n + 3 и верхняя WU = (4п3 + 6п2 -4п- 3 + 3(-1)n)/48 оценки индекса Винера произвольных МВП-графов порядка п. Для решётчатых МВП-графов (РМВП-графов), т.е. для графов, уложенных на решётке из равносторонних треугольников без «дыр» и пересечений, доказано, что верхняя оценка индекса Винера совпадает с верхней оценкой индекса Винера произвольных МВП-графов. Нижняя оценка WL] индекса Винера РМВП-графов определяется следующим образом: wiL] = (п3 + 6п2 - 15п + 26)/18, если (п - 4) mod 3 = 0 и wiL] = (п3 + 6п2 - 9п + 2 - 2(-1)q)/18, если (п - 4) mod 3 = q, где q = 1, 2. Для нижней и верхней оценок индекса Винера произвольных и решётчатых МВП-графов определены экстремальные графы, на которых эти оценки достигаются. Полученные результаты могут быть использованы для классификации фигур в изображениях, представленных МВП-графами, и для классификации изомеров сопряжённых полиеновых углеводородов.

Ключевые слова: максимальный внешнеплоский граф, экстремальный граф, индекс Винера.

Введение

Одной из важных и интересных задач теории графов является определение экстремальных графов, имеющих минимальное и максимальное значения топологических инвариантов. При этом обычно экстремальные графы ищутся в каком-нибудь заданном классе графов и при наложении дополнительных ограничительных условий на другие топологические инварианты [1; 2].

Решение этой задачи наибольшее практическое значение имеет в химии. В этом случае задача определения экстремальных графов имеет следующие особенности

[3]:

а) в качестве графов используются молекулярные графы, т.е. графы, вершины и рёбра которых соответствуют атомам и валентным связям молекулы химического соединения;

б) топологические инварианты молекулярного графа химического соединения, называемые топологическими индексами, имеют корреляционную связь с физико-химическими свойствами химического соединения.

Известно порядка 90 различных топологических инвариантов графов. Наиболее известным из них является индекс Винера, названный так в честь американского химика Г. Винера, который впервые в 1947 г. использовал его для установле-

ния корреляционных зависимостей между значениями индекса Винера и физико-химическими свойствами ациклических химических соединений.

Индексом Винера Ш(О) графа О называется его топологический инвариант, определяемый как сумма расстояний между всеми неупорядоченными парами вершин графа О

Ш (О)= £ ¿(и,ь) = \ £ ^у,О) = 1 ^ Е <1(и,у),

{и,и}СУ (С) 2 ивУ(С) 2 ивУ(С) иеУ(С)

где и,ь) — расстояние между вершинами и,у, у,О) — дистанция вершины V в графе О (см. утверждение 3 далее).

В настоящее время индекс Винера и его многочисленные модификации (например, «трансмиссия» о(О) графа О, определяемая как о(О) = 2Ш(О)) широко применяются в химии, где они используются для классификации и создания химических соединений с заданными свойствами (см., например, работы [4-6] и обширную библиографию в них). Известно применение индекса Винера в социологии, связи, теории кодирования и т. д. [5].

В исследовании индекса Винера выделяются следующие основные направления: а) разработка алгоритмов расчёта индекса Винера для разных классов графов (деревьев, химических деревьев, дендримеров, гексагональных и пентагональных систем); б) определение взаимосвязей между структурой молекулярного графа и его топологическими индексами; в) определение минимального и максимального значений индекса Винера и экстремальных графов, на которых эти значения достигаются.

В 1976 г. в работе Р. Ентрингера и соавторов [7] было доказано, что в классе всех деревьев максимум и минимум достигаются на простой цепи Рп и на звезде Бп соответственно (см. также [5; 6]). В дальнейшем была проделана большая работа по характеризации графов (в основном деревьев), максимизирующих или минимизирующих индекс Винера при различных дополнительных условиях: по заданной максимальной степени [8; 9], по последовательности степеней [10; 11], по диаметру [12; 13], по числу независимости или по числу покрытия [14-17].

Работа посвящена определению нижней и верхней оценок индекса Винера максимальных внешнеплоских графов (МВП-графов) и экстремальных МВП-графов, на которых эти оценки достигаются. Напомним, что внешнеплоским графом называется плоский граф, все вершины которого принадлежат одной (обычно внешней) грани. Максимальным внешнеплоским графом называется такой внешнеплоский граф, который при добавлении хотя бы одного ребра перестаёт быть внешнеплос-ким [1]. Основные свойства МВП-графов описаны в [2; 17-22].

Графы этого вида, входящие в класс хордальных графов, являются триангуля-циями выпуклого многоугольника и находят широкое применение [23; 24]. В частности, такие графы применяются для перечисления изомеров сопряжённых по-лиеновых углеводородов (СПУ) [23] и в системах искусственного интеллекта для обнаружения фигур в изображениях [24].

Необходимость использования МВП-графов объясняется следующими факторами: а) молекулярные графы изомеров СПУ являются слабыми двойственными графами к МВП-графам, уложенным на треугольной решётке из равносторонних треугольников; б) большинство изомеров СПУ отличается друг от друга только формой, поэтому их классификация и распознавание очень затруднительна и не даёт желаемых результатов.

Особенно трудны для классификации и распознавания неразветвлённые изомеры СПУ, молекулярные графы которых изоморфны простой цепи. Поэтому обычные топологические индексы в этом случае полностью не пригодны.

Для преодоления этой трудности в [25] было предложено использовать МВП-графы. В настоящей работе в рамках данного подхода поставлена и полностью решена задача определения нижней и верхней оценок индекса Винера для разных видов МВП-графов с двумя симплициальными вершинами (далее МВП-графов класса «2-цепь») и экстремальных графов, на которых эти оценки достигаются.

При решении поставленной задачи были исследованы закономерности изменения метрических характеристик МВП-графов при элементарном расширении. Введена новая метрическая характеристика — удалённость ребра и определены основные метрические характеристики (индекс Винера, дистанции вершин, удалённости рёбер) МВП-графов типа «лестница». (Необходимость такого иследования была мотивирована весьма малым количеством работ по метрическим характеристикам МВП-графов [18; 19]). Полученные результаты использовались при выводе формул для расчёта индекса Винера экстремальных графов.

Дополнительно, получены следующие результаты, имеющие прикладное значение: а) построена конструктивная классификация РМВП-графов класса «2-цепь», включающая графы типа «лестница», ступенчатые и квазиступенчатые графы первого и второго видов; б) для каждого класса РМВП-графов показано наличие изоморфизма и геометрического подобия между двойственными графами РМВП-гра-фов класса и молекулярными графами изомеров и конформеров СПУ.

1. Предварительные сведения и результаты

Введём необходимые обозначения и определения. Везде далее через О = (V, Е) обозначается конечный неориентированный связный граф О без петель и кратных рёбер с множеством вершин V и множеством рёбер Е. Число вершин и рёбер графа обозначается через п(О) = IV| и т(О) = |Е| соответственно. Число вершин графа называется порядком графа, а число рёбер — его размером. Используются следующие обозначения: Кп — полный п-вершинный граф; Рп — простая цепь с п вершинами; Сп — простой цикл с п вершинами; deg V — степень вершины V в графе О; А(О),8(О) — максимальная и минимальная степени вершин графа О; О\Л] — подграф графа О, индуцированный множеством А 1Э V. Вершины степени 1 называются концевыми или висячими. Вершины степени 0 называются изолированными. Все неопределяемые ниже термины можно найти в [1; 21; 22; 25].

Длина кратчайшей по числу рёбер простой цепи (см., например, [1]), соединяющей вершины и и V в графе О, называется расстоянием между вершинами и и V и обозначается через d(u,v|О) (или просто d(u,v), если ясно, о каком графе О идёт речь).

Матрицей расстояний п-вершинного графа О называется квадратная матрица О (О) = \_dij] размера п х п, каждый элемент dij которой равен расстоянию между вершинами г и ]. Матрица расстояний О (О) является симметричной, и все её диагональные элементы равны нулю.

В терминах матрицы расстояний индекс Винера есть полусумма всех элементов матрицы или сумма всех элементов матрицы, находящихся выше главной диагонали:

i=1 7=1

i=1 3^+1

¿ = 1 i= 1

Граф типа «гусеница» (или просто гусеница) — это дерево, в котором удаление всех вершин степени 1 приводит к образованию простой цепи. Простая цепь, остающаяся после удаления из гусеницы всех вершин степени 1, называется спином. МВП-граф порядка 4 с двумя симплициальными вершинами называется графом диамонд и обозначается как D4 [22].

Геометрически двойственным графом плоского графа G называется граф G*, каждой вершине f* которого соответствует некоторая грань fi графа G, причём две вершины f*,f* графа G* смежны только тогда, когда соответствующие им грани fi, fj графа G имеют одно общее ребро [1]. Слабо двойственным графом графа G называется граф, полученный из геометрически двойственного графа G* удалением вершины (и смежных с ней рёбер), соответствующей внешей грани. Далее для краткости мы будем опускать слово «слабый», поскольку в статье рассматриваются только слабо двойственные графы.

Приведём необходимые определения и результаты о МВП-графах.

МВП-графы являются плоскими 2-деревьями и представляют собой триангуляции выпуклого многоугольника. Поэтому любой n-вершинный МВП-граф имеет внешнюю грань, ограниченную гамильтоновым циклом, n — 2 внутренних треугольных граней и не менее двух вершин степени 2, являющихся симплициальными вершинами (т.е. такими, что их окрестность порождает клику).

Внутренним графом Int(Gn) МВП-графа Gn называется его связный подграф, полученный из Gn удалением всех внешних рёбер с последующим удалением изолированных вершин (в Gn эти вершины были симплициальными вершинами) [22].

В соответствии с [22] МВП-графы с двумя симплициальными вершинами будем называть МВП-графами класса «2-цепь», а МВП-графы, имеющие не менее трёх симплициальных вершин, — МВП-графами класса «<2-дерево».

Любой МВП-граф Gn класса «2-цепь» имеет следующие свойства [22]:

1) внутренний граф Int (Gn) графа Gn является двудольным графом с долями X, Y, т.е. Int (Gn) = (X, Y ; E );

2) гамильтонов цикл Cn графа Gn разделяется симплициальными вершинами si,s2 на две цепи PA = (sb xi, x2,..., Xa, S2) и PB = (sb yi, y2,..., Уь, «2), причём X = {xi,x2, ... ,Xa} и Y = {yi,y2, . . . ,Уь};

3) граф Gpn можно уложить на плоскости так, что все вершины цепей Pa, Pb будут размещены на двух параллельных линиях A, B без пересечений рёбер и каждое ребро является отрезком прямой.

Полное описание и классификация МВП-графов класса «2-цепь» даны в работе [22]. В классификацию входят три типа МВП-графов класса «2-цепь», различающихся по своей структуре, полностью определяемой их внутренним графом. Графы этих трёх типов получили название МВП-графов типов «лестница», «веер» и «цепь». Далее МВП-графы типа «лестница» и типа «веер» порядка n мы будем обозначать через Ln и Fn соответственно. В МВП-графе Fk типа «веер» порядка k центральной вершиной называется его вершина со степенью k — 1.

Любой n-вершинный МВП-граф типа «лестница» имеет внутренний граф, изоморфный простой цепи Pn-2, внутренний граф МВП-графа типа «веер» изоморфен звезде Sn-2, а внутренний граф МВП-графа типа «цепь» — дереву типа «гусеница». Образцы МВП-графов класса «2-дерево» и графов типа «лестница», «веер» и «цепь» приведены на рис. 1, а,б,в,г.

Замечание 1. Граф G6 порядка 6 с тремя симплициальными вершинами, изображённый на рис. 1, а, в англоязычной математической литературе иногда называют солнечным графом (sun graph).

3 6 7 8 10

2

4 3 6

а

L10 3 5 7 9 _ F 3 G11 3 6 7 8 10

1Ш». 1<ет>'

2 4 6 8 Н 2 4 5 6 * 2 4 5 9 /

2 4 6 8 б

56 в

2 4 5 9

г

>11

Рис.1. МВП-графы: а — класса «2-дерево»; б — типа «лестница»; в — типа «веер»;

г — типа «цепь»

Легко видеть, что кроме двух симплициальных вершин степени 2 в любом МВП-графе О класса «2-цепь» есть вершины степени 3 и вершины со степенями 4 или более. Далее в МВП-графе О класса «2-цепь» вершины степени 3 будем называть терминальными вершинами, а вершины степени 4 и более — спинальными. Нетрудно заметить, что после удаления внешних рёбер МВП-графа О класса «2-цепь» спи-нальные и терминальные вершины графа будут соответственно вершинами спина и концевыми вершинами внутреннего графа Ш;(О).

Для терминальных вершин МВП-графа О класса «2-цепь» справедлив следующий результат.

Утверждение 1 [22]. Пусть Оп — МВП-граф класса «2-цепь», имеющий п > 5 вершин. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) из двух вершин, смежных с симплициальной вершиной, одна является спи-нальной, а другая — терминальной;

б) после удаления из Оп симплициальной вершины будет получен МВП-граф Оп-1 класса «2-цепь» порядка п — 1, с новой симплициальной вершиной, которая в Оп была терминальной и смежной с симплициальной вершиной графа

Оп.

Рекурсивной нумерацией вершин п-вершинного МВП-графа называется такая нумерация, при которой для любого г (3 ^ г ^ п) подграф О^ = О[{1, 2, 3,... , г}], индуцированный множеством вершин {1, 2, 3,...,г}, является МВП-графом [21]. Примеры рекурсивной нумерации представлены на рис. 1, б,в,г.

Все МВП-графы, независимо от числа их симплициальных вершин, рекурсивно определимы. Это означает, что любой п-вершинный МВП-граф Оп получается из графа К3 в результате последовательного к-кратного (к = п — 3) выполнения операции элементарного расширения [20]. При этом под элементарным расширением понимается операция добавления вершины и двух рёбер, соединяющих её с вершинами внешнего ребра [20].

При работе с МВП-графами класса «2-цепь» более удобна их рекурсивная ха-рактеризация, использующая понятие элементарного расширения в-типа, как элементарного расширения, при котором новая вершина соединяется рёбрами с вершинами ребра, инцидентного симплициальной вершине [22].

Утверждение 2 [22]. Любой п-вершинный (п ^ 5) МВП-граф класса «2-цепь» может быть получен из МВП-графа диамонд в результате последовательного к-крат,ного (к = п — 4) выполнения операции элементарного расширения в-типа.

Таким образом, свойства МВП-графа Оп класса «2-цепь» определяются последовательностью (к1, к2,..., кк) к операций элементарного расширения в-типа. Каждая операция элементарного расширения в-типа может быть выполнена на любом из двух рёбер, инцидентных симплициальной вершине, т. е. имеется два варианта добавления новой вершины. Следовательно, каждому п-вершинному (п = 4 + к) МВП-графу Оп класса «2-цепь» можно поставить в соответствие некоторый двоичный кортеж.

Определение 1. Двоичный кортеж B(Gn) = (bl,b2,... ,bk), в котором элемент bi описывает свойство операции hi элементарного расширения и принимает значение 0 или 1 взависимости от того, на ребре какой цепи (Pb или Pa) выполняется операция hi, называется кортежем свойств.

Например, МВП-граф L10 типа «лестница» (рис. 1, б) имеет кортеж свойств B(L10) = (0,1,0,1, 0,1), МВП-граф F7 типа «веер» (рис. 1, в) имеет кортеж свойств B(F7) = (0,0,0), а МВП-граф G11 типа «цепь» (рис.1, г) — кортеж свойств B (Gn) = (0,0,1,1,1,0,1).

Замечание 2. Нетрудно заметить, что при построении МВП-графа Ln типа «лестница» каждая операция элементарного расширения s-типа выполняется поочерёдно то на ребре цепи PB, то на ребре PA (рис. 1, б), а при построении МВП-графа Fn типа «веер» каждая операция элементарного расширения s-типа всегда выполняется на ребре цепи PB (рис. 1, в ).

Замечание 3. Из замечания 2 следует, что вершины любого МВП-графа Ln типа «лестница» можно пронумеровать рекурсивно так, чтобы все вершины с чётными номерами принадлежали одной цепи, а все вершины с нечётными номерами — другой цепи (см. рис. 1, б).

Используя это свойство, докажем важное утверждение о зависимости структуры МВП-графа, получаемого из графа Ln при элементарном расширениии s-типа, от варианта реализации элементарного расширения.

Предложение 1. Пусть Ln — n-вершинный МВП-граф типа «лестница» с рекурсивной нумерацией вершин, в которой две симплициальные вершины имеют номера 1 и n и все вершины с чётными номерами принадлежат цепи 1, 2, 4, 6,... ,n, а все вершины с нечётными номерами — цепи 1, 3, 5,... ,n. Тогда при добавлении в Ln новой вершины и двух рёбер, соединяющих её с вершинами n и n — 1 или с вершинами 1 и 2, получим (n + 1)-вершинный МВП-граф Ln+1 типа «лестница».

Доказательство. Добавим в граф Ln новую вершину с номером n +1 и соединим её рёбрами с концевыми вершинами одного из двух рёбер, инцидентных симплици-альной вершине с номером n. В силу замечания 2 полученный (n + 1)-вершинный граф Gn+1 будет МВП-графом типа «лестница» только в случае несовпадения вариантов добавления вершин n и n + 1 .

Pb 3

5 n - 3 n - 1 n + 1

P 3

B 3

5 n - 3 n -1

PA 2 4 n - 4 n - 2 PA 2 4 n - 4 n - 2 n

4 n - 4 n - 2

a

n - 4 n - 2 n + 1 б

P 3 5 n - 4 n - 2 n

B

PB 3 5 n - 4 n - 2 n + 1

PA 2 4 n - 5 n - 3 n -1 в

PA 2 4 n - 5 n - 3 n -1

г

Рис.2. Добавление вершины п +1 со стороны ребра (п, п — 1): а — при чётном п, в —при нечётном п; добавление вершины п +1 со стороны ребра (п, п — 2): б — при чётном п, г — при нечётном п

1

1

Очевидно, что это условие выполняется только в том случае, когда вершина п+1 соединяется рёбрами с вершинами п,п — 1 (рис. 2, а,в). В противном случае, когда вершина п + 1 соединяется рёбрами с вершинами п,п — 2, полученный граф Оп+1 не будет МВП-графом типа «лестница» (рис. 2, б,г).

Аналогичные рассуждения можно провести и в том случае, когда вершина с номером п + 1 соединяется рёбрами с концевыми вершинами ребра, инцидентного симплициальной вершине с номером 1. В этом случае (п + 1)-вершинный граф Оп+1 будет МВП-графом типа «лестница» только в том случае, когда вершина п + 1 соединяется рёбрами с вершинами 1, 2. □

Предложение 2. Пусть Ьп — п-вершинный МВП-граф типа «лестница» с рекурсивной нумерацией вершин, в которой две симплициальные вершины имеют номера 1 и п и все вершины с чётными номерами принадлежат цепи 1, 2, 4, 6,... ,п, а все вершины с нечётными номерами — цепи 1, 3, 5,... ,п. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) терминальная вершина, смежная с симплициальной вершиной вn, имеет, номер п — 1;

б) место нахождения терминальной вершины, смежной с симплициальной вершиной вn, определяется чётностью п. При чётном п терминальная вершина входит в цепь Рв, а при нечётном п она входит в цепь РА .

Доказательство. 1. Терминальная вершина в графе Ьп имеет степень 3. Значит, в графе Ьп-1 она имеет степень 2 и, следовательно, является симплициальной вершиной. Поэтому в силу свойств рекурсивной нумерации вершин МВП-графа типа «лестница» (см. замечание 3) она имеет номер п — 1 .

2. Так как граф Ьп имеет рекурсивную нумерацию вершин, вершины с нечётными номерами входят в цепь Рв, а вершины с чётными номерами — в цепь Ра. Поэтому при чётном п терминальная вершина имеет нечётный номер п— 1 и, следо-вателно, она будет находиться в цепи Рв (рис. 2, а). При нечётном п терминальная вершина имеет чётный номер п — 1 и, следователно, она будет находиться в цепи РА (см. рис. 2, в). □

Классификация МВП-графов класса «2-цепь» была дополнена в [25] двумя видами МВП-графов, получивших название «ступенчатых» и «квазиступенчатых» МВП-графов.

Структура МВП-графов типа «лестница» и «ступенчатых» графов определяется их цепями Ра = (в1,х1,х2,..., ха, в2) и Рв = (в1,у1,у2,... ,уь, в2) и рёбрами, соединяющими вершины из этих цепей. Различаются так называемые «поперечные» рёбра {хг,уг} (г = 1, 2,...,р), где р = [(п — 2)/2\ и «диагональные» рёбра двух видов: «диагональные» рёбра первого вида {хг,уг+1} (г = 1, 2,... ,д) и «диагональные» рёбра второго вида {уг,хг+1}, причём д = р — 1 при чётном п и д = р при нечётном п.

Определение 2. МВП-граф Оп класса «2-цепь» называется ступенчатым графом, если выполняются следующие условия:

1. В графе Оп длины их цепей Ра = (в1,х1,х2,... ,ха,в2) и Рв = (в1,у1,у2,... , уь, в2) при чётном п равны, а при нечётном п отличаются друг от друга на единицу, т. е. при чётном п выполняется равенство а = Ь, а при нечётном п — равенство Ь = а + 1 или а = Ь + 1.

2. Граф Оп имеет пр = [(п — 2)/2\ «поперечных» рёбер вида {хг,уг}, г = 1, 2,... ,пр.

3. Граф Сп имеет иа = \(и — 4)/2] «диагональных» рёбер двух видов, каждое из которых соединяет пару вершин Хг,Уг+\ или Уг,Хг+\. В противном случае, т. е. при невыполнении хотя бы одного условия, граф называется квазиступенчатым графом.

Легко видеть (рис. 2, а, в), что МВП-граф Ьп типа «лестница», в отличие от ступенчатых графов, имеет «диагональные» рёбра только одного вида. Любой и-вер-шинный ступенчатый МВП-граф Оп может быть получен из и-вершинного МВП-графа Ьп типа «лестница» посредством замены одного или нескольких «диагональных» рёбер одного вида на «диагональные» рёбра другого вида.

В качестве примера на рис. 3 представлены образцы ступенчатых МВП-графов 0\о,0д с чётным (а) и нечётным (б) числом вершин, полученые из МВП-графов ¿ю и Ь9 типа «лестница» посредством замены «диагональных» рёбер (изображены пунктиром). Граф Сю, представленный на рис. 3, а, имеет 4 «поперечных» ребра и 3 «диагональных» ребра двух видов. А граф С9, представленный на рис. 3, б, имеет 3 «поперечных» ребра и 3 «диагональных» ребра двух видов.

а б в г

Рис.3. МВП-графы: ступенчатые МВП-графы (а, б); квазиступенчатые МВП-графы (в, г); создаваемые вершины степени 6, 7 обозначены зачернёнными кружками; добавленные вершины — пустыми кружками; диаметральные цепи показаны

пунктиром

Ступенчатые МВП-графы имеют одну или несколько вершин степени 5, каждая из которых инцидентна «диагональным» рёбрам двух разных видов. Например, в графе Сю такими вершинами являются вершины у2,х3, а в графе — вершина У 2.

Квазиступенчатые МВП-графы имеют одну или несколько вершин степени 5, 6 или более. Квазиступенчатые МВП-графы могут быть получены из МВП-графов типа «лестница» или из ступенчатых МВП-графов созданием д ^ 1 вершин т\,т2,... со степенью 5, 6 или более. Для этого в исходный граф посредством гомеоморфных подразбиений внешних рёбер добавляются ¿\,Ь2,...,1д вершин и каждая вершина соединяется рёбрами со всеми ¿^ вершинами. Образцы квазиступенчатых МВП-графов представлены на рис. 3, в,г.

Определение 3. Ступенчатый МВП-граф называется полным ступенчатым графом, если все его «диагональные» рёбра попарно смежны и образуют простую цепь.

-12 3 5 7 911 G 3 5 6 9 10 -3 5 7911 G11 34 6 911

2 4 6 810 2 4 7 8 11 2 4 6 8 10 2 5 7 8 10

а б в г

Рис.4. Ступенчатые МВП-графы: б — с чётным числом вершин; г — с нечётным числом вершин, полученные из МВП графов типа «лестница» ¿12, ¿11; пунктиром показаны заменённые рёбра МВП-графов типа «лестница»

Рассмотрим, как изменяются номера вершин и кортежи свойств МВП-гра-фов типа «лестница» при создании ступенчатых МВП-графов посредством замены

«диагональных» рёбер одного вида на «диагональные» рёбра друго вида. Сделаем это на примере построения двух ступенчатых графов G\2, Оц посредством замены «диагональных» рёбер МВП-графов типа «лестница», представленных на рис. 4, а,б,в,г.

МВП-граф G\2 (рис.4, б ) был получен заменой рёбер {5, 6}, {9,10} графа Li2 (рис.4, а ) на рёбра {4,6}, {8,10} графа Gi2. А МВП-граф Оц (рис.4, г ) получен заменой рёбер {3, 4}, {5, 6} графа Lu (рис. 4, в) на рёбра {2, 4}, {5, 6} графа Оц.

Нетрудно заметить, что все диагональные рёбра графа G\2 образуют простую цепь 3, 4, 6,8,10, поэтому он является полным ступенчатым графом. Граф Gn полным ступенчатым графом не является, поскольку его диагональные рёбра простую цепь не образуют.

МВП-граф G\2 имеет кортеж свойств B(G\2) = (0,1,1, 0, 0,1,1, 0), а МВП-граф Gn - кортеж свойств B(Gn) = (1,0,1, 0, 0,1, 0).

Нетрудно заметить, что изменение одного «диагонального» ребра, инцидентного вершине ni-\, МВП-графа Ln типа «лестница» с кортежем свойств B(Ln) приводит к изменению положения двух вершин графа Ln с номерами ni, ni-\, где ni = ni-i + 1. При этом будет получен ступенчатый МВП-граф Gn с кортежем свойств B(Gn). Изменение положения вершин приведёт к изменению значений элементов bq, bq+i кортежа B (Ln) с нечётным q = ni — 4 на противоположные. Поэтому в новом кортеже B(Gn) образуются две пары элементов bq,bq-\ и bq+\,bq+2, для которых bq = bq-1, bq+1 = bq+2 и bq = bq+1.

Например, при построении графа G\2 после замены ребра {5, 6} изменяется положение вершин 6, 7, что приводит к изменению значений элементов b3,b4 на противоположные, а после замены ребра {9,10} изменяется положение вершин 10, 11, что приводит к изменению значений элементов bj,b8 на противоположные.

2. Генерация МВП-графов класса «2-цепь»,

ступенчатых и полных ступенчатых МВП-графов

По определению кортежа свойств B(Gn) МВП-графа Gn класса «2-цепь» между значениями элементов кортежа B(Gn), номерами и расположением вершин графа Gn выполняются следующие соотношения:

1. Каждому i-му элементу bi кортежа свойств B(Gn) соответствует ni-я вершина, добавляемая в i-й операции элементарного расширения. При использовании рекурсивной нумерации вершина, добавляемая в i-й операции, будет иметь номер ni = i + 4.

2. Значение i-го элемента bi кортежа свойств B(Gn) определяется расположением вершины ni-i в цепи Pa или в цепи Рв по следующему правилу: если ni-\ Е Pa, то bi = 0, а если ni-\ Е Рв, то bi = 1.

Нетрудно заметить, что по кортежу свойств можно легко получить МВП-граф класса «2-цепь». Ниже предлагается следующая структура алгоритма получения списка рёбер МВП-графа G класса «2-цепь» по заданному кортежу H (G).

1. Создать список рёбер ES := {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3} {2, 4} {3, 4}}.

2. Задать номера вершин va и Vb , находящихся на уровнях A и B соответственно, по следующим выражениям:

если b\ = 0, то va := 4, vb := 3,

если b\ = 1 , то va := 3, vb := 4.

3. Задать номер w последней вершины w := 4.

4. Для каждого i-го элемента bi кортежа свойств B выполнить следующие действия:

(a) определить номер w добавляемой вершины по выражению w := w + 1;

(b) сформировать пару рёбер e1 := {w,va} и e2 := {w,vB};

(c) добавить рёбра e1 и e2 в список ES;

(d) если элемент bi не последний, т. е. если i = k, то пересчитать величины Vb,va по следующим выражениям: если bi+1 = 1, то Vb := w, если же bi+1 = 0, то vA := w.

В первой части алгоритма (п. 1, 2, 3) создаётся исходный список рёбер графа D4. Задаются номера Va,Vb последних вершин, находящихся на уровнях A и B, и исходное значение номера w = 4 добавляемой вершины. Во второй части (п. 4) в цикле на каждом i-м шаге цикла происходит увеличение номера добавляемой вершины на 1, создание двух рёбер {w,Va}, {w,vB}, соединяющих добавляемую вершину w с последними вершинами Va,Vb, находящимися на уровнях A и B, и добавление этих рёбер в список SE.

Алгоритм легко модифицируется для получения координат концевых вершин всех рёбер МВП-графа и его двойственного графа.

Используя описанное выше свойство кортежа B(Ln) МВП-графа Ln типа «лестница», можно получить кортеж свойств B(Gn) любого ступенчатого МВП-графа Gn посредством последовательного изменения значений одного или нескольких элементов b1,b3,b5,... ,bq кортежа B(Ln) графа Ln с нечётными номерами 1, 3, 5,... ,q < n — 4. Причём изменение значений элементов кортежа должно производиться в порядке увеличения номеров элементов. Ясно также, что число kt элементов, необходимое для создания кортежа свойств B(Gn) полного ступенчатого графа Gn, определяется числом nd «диагональных» рёбер графа Ln следующим образом: kt = |_(n — 2)/2j — 1 при чётном n и kt = |_(n — 2)/2j при нечётном n.

Для создания всех неизоморфных ступенчатых МВП-графов предлагается следующий алгоритм.

1. Для заданного n создать исходный кортеж свойств B (Ln) МВП-графа Ln вида (0,1, 0,1,...) длиной k = n — 4 и сделать копию B'(Ln) кортежа B(Ln).

2. Для k создать упорядоченный кортеж из нечётных чисел tm = (1, 3,... ,q < k).

3. Из элементов tm создать множество St всех возможных кортежей из нечётных чисел длиной 1, 2,... ,kt. Например, при tm = (1, 3, 5) получим кортежи (1), (3), (5), (1, 3), (1, 5), (3, 5), (1, 3,5) длиной 1, 2, 3.

4. Создать множество Sb всех возможных кортежей свойств ступенчатых МВП-графов. Каждый кортеж Bi Е Sb из этого множества создаётся по каждому кортежу ti Е St посредством изменения элементов bq,bq+1 копии исходного кортежа B'(Ln) с нечётными номерами q, взятыми из ti.

5. Создать множество S'B всех неизоморфных кортежей свойств посредством удаления из Sb кортежей, изоморфных хотя бы одному другому кортежу.

6. По каждому кортежу свойств Bi Е S'B создать новый ступенчатый МВП-граф.

Все вышеуказанные алгоритмы были реализованы в Wolfram Mathematica [26] и использованы для генерации произвольных МВП-графов класса «2-цепь» и ступенчатых МВП-графов.

3. Метрические характеристики МВП-графов

В данном разделе приведены вспомогательные результаты по метрическим характеристикам МВП-графов, используемые в доказательстве теорем 1-4.

3.1. Изменение метрических характеристик МВП-графов при элементарном расширении

Утверждение 3 [21]. Пусть Оп — п-вершинный МВП-граф, п > 3, с вершинами у1, у2, ..., Уп и индексом Винера Ш(Оп). Тогда МВП-граф Оп+1, полученный добавлением вершины уп+1 и двух рёбер, соединяющих её с двумя вершинами ур и ребра, принадлежащего внешней грани исходного МВП-графа, имеет индекс Винера, равный

Ш(Оп+1) = Ш(Оп) + й(Уп+1, Оп+1), (1)

где й(уп+1,Оп+1) — дистанция новой вершины уп+1, определяемая выражением

п

<(Уп+1,Оп+1) = ^(т1п[<1(Уг,Ур),д,(Уг,Уя)] + 1). (2)

г=1

Введём необходимые определения.

Определение 4. Расстояние Я(х, {а,Ь}1О) между ребром е = {а,Ь} и вершиной х в графе О есть минимальное из двух расстояний от вершины х до вершин а и Ь:

Я(х, е1О) = Я(х, {а, Ь}1О) = шт[с?(х, а), й(х, Ь)]. (3)

Определение 5. Удалённость Я({а, Ь}, О) (или Я(е, О)) ребра е = {а, Ь} в графе О (или просто удалённость ребра) определяется как сумма расстояний от ребра е до всех других вершин графа О:

Я(е, О) = Я({а,Ь},О)= Е Я(х, {а,Ь}1О). (4)

хеУ (а)

С учётом (3), (4) нетрудно заметить, что удалённость ребра {а,Ь} зависит от дистанций вершин а, Ь и определяется значением меньшей из них. Отсюда вытекает справедливость следующего очевидного утверждения.

Предложение 3. Пусть О — связный граф, а, Ь — концевые вершины его некоторого ребра е = {а,Ь}. Тогда если выполняется условие

Ух е V(О) \{а,Ь} (й(х, Ь) ^ й(х,а)), (5)

для удалённости ребра е справедливо равенство Я({а, Ь},О) = й(Ь, О) — 1.

В общем случае, когда условие (5) не выполняется (т. е. если найдётся по меньшей мере одна вершина у, для которой < (у, Ь) > < (у, а) ), имеет место неравенство Я({а, Ь}, О) < й(Ь,О) — 1.

Для точного определения удалённости ребра е = {а, Ь} в связном п-вершинном графе Оп мы будем использовать известное утверждение из [7], согласно которому для разности дистанций смежных вершин а, Ь в связном п-вершинном графе Оп справедливо равенство

<(а, Оп) — <(Ь,Оп) = пь(е) — па(е), (6)

где иа(е) = |У0(е)| и иь(е) = |(е)|; Уа(е) и И(е) —подмножества множества V(Сп) вершин графа Сп, определяемые согласно следующим выражениям:

Va(e) = {х е V(С) : ¿(х, а) < ¿(х, Ь)}, Vb(e) = {х е V(С) : ¿(х, Ь) < ¿(х, а)}. (7)

Из (4), используя (6), получаем

Я(е, Сп) = ¿(а, Сп) — пь(е) = ¿(Ь, Сп) — Па(е). (8)

Предложение 4. Пусть Сп — и-вершинный МВП-граф, Сп+1 — МВП-граф, полученный из Сп элементарным расширением на ребре {а, Ь} графа Сп, а ьп+1 — новая симплициальная вершина Сп+1, смежная с вершинами а и Ь. Тогда дистанция й(ьп+1,Сп+1) вершины ьп+1 в графе Сп+1 определяется количеством вершин и исходного графа Сп и удалённостью ребра {а,Ь}, с вершинами которого соединяется новая вершина:

Аьп+1,Сп+1) = Щх, {а, Ь}|Сп) + и = Я({а,Ь},Сп) + и. (9)

хеу (оп)

Доказательство. Доказательство вытекает из равенств (2), (3), (4). □

Из (8) и (9) немедленно вытекает ещё одно утверждение.

Предложение 5. Пусть Сп+1 —МВП-граф, полученный из Сп элементарным расширением на ребре {а,Ь} и добавлением симплициальной вершины ьп+1. Тогда выполняются следуюшие утверждения:

а) для дистанций пары вершин а,ьп+1 и пары Ь,ьп+1 справедливы неравенства

^п+1,Сп+1) > ¿(а, Сп), й(юп+1, Сп+1) > ¿(Ь, Сп); (10)

б) для удалённостей рёбер {а,ьп+1} и {Ь,уп+1} выполняются равенства

К({а,Уп+1},Сп+1) = ¿(а, Сп+1) — 1, Щ{Ь,Уп+1},Сп+1) = <!(Ь,Сп+1) — 1, (11)

Д({а,^п+1},Сп+1) = <(а,Сп), Я({Ь,Уп+1},Сп+1) = <(Ь,Сп). (12)

Доказательство. Легко видеть, что для иа(е), иь(е) в силу (8) выполняются неравенства иа(е) > 1, иь(е) > 1. Так как в МВП-графе любые две смежные вершины а,Ь смежны с некоторой вершиной с, то множество вершин V,0(е), определяемое по выражению М0(е) = {х е V(С) : ¿(х,а) = ¿(х,Ь)}, не является пустым и ио(е) = |И,(е)| ^ 1.

Но тогда, поскольку Ц,(е) вместе с Va(e), Уь(е) из (7) образуют V(Сп), т.е. V(Сп) = И(е) и Va(e) и Ц,(е), то иа(е) + иь(е) + и0(е) = и. Следовательно, для иа(е), иь(е) из (8) выполняются неравенства иа(е) ^ и — 2, иь(е) ^ и — 2. Подставляя значения для К({а,Ь} ,Сп) из (8) в (9), получим

¿(Уп+1,Сп+1) = ¿(а, Сп) — иь(е) + и = ¿(Ь, Сп) — иа(е) + и.

Отсюда следует, что для пары вершин а, уп+1 и для пары вершин Ь, уп+1 выполняются неравенства (10), т. е. для них справедливо условие (5). Но тогда из предожения 3 вытекает справедливость равенств (11).

Из равенств ¿(а, Сп+1) = ¿(а, Сп) + 1 и ¿(Ь, Сп+1) = ¿(Ь, Сп) + 1, используя (11), получаем искомые равенства (12). □

Из (1) и (9) для величины Ш(Оп+1) индекса Винера МВП-графа Оп+1, получаемого в результате добавления новой вершины Уп+1 и двух рёбер, соединяющих её с вершинами внешнего ребра е = {а, Ь} исходного п-вершинного МВП-графа Оп,

имеем

Ш(Оп+1) = Ш(Оп) + <(Уп+1,Оп+1) = Ш(Оп) + Я({а, Ь}, Оп) + п. (13)

Таким образом, величина Ш(Оп+-]) определяется количеством вершин п исходного графа Оп и удалённостью ребра {а,Ь}, с вершинами которого соединяется новая вершина. Ясно, что чем дальше находятся концевые вершины ребра от центра графа, тем больше удалённость этого ребра и, следовательно, тем больше индекс Винера графа Оп+1.

Предложение 6. Пусть Оп — п-вершинный МВП-граф, Оп+1 — МВП-граф, полученный из Оп элементарным расширением на внешнем ребре {а,Ь} графа Оп, а Уп+1 — новая симплициальная вершина Оп+1, смежная с вершинами а и Ь. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Дистанция любой другой вершины ьг, г е {1, 2,..., п}, графа Оп определяется из равенства

й(Ьг, Оп+1) = СС(Уг, Оп) + С(Уг,Уп+11Оп+1), (14)

где <(ьг,ьп+11Оп+1) ^ ^аш(Оп+^, причём равенство сС(ьг,ьп+11Оп+1) = ^аш(Оп+^ выполняется, если вершина ьг и одна из вершин ребра {а,Ь} являются диаметральными вершинами в графе Оп.

2. Удалённость любого другого внешнего ребра хг = {ьр,ьд} графа Оп определяется из равенства

Я({Ьр,Ьд },Оп+1) = Я({Ьр,Ьд },Оп)+АЯ({ьр,Уд },Оп+1), (15)

где АЯ({ьр,Уд},Оп+1) = Я(Уп+1, {ьр,Уд}1Оп+1) ^ сИат(Оп+1),

причём равенство Я(ьп+1, {ьр,ьд}|Оп+1) = ^аш(Оп+^ может выполняться, если одна из вершин ребра хг является диаметральной в графе Оп, а ребро {а, Ь} инцидентно другой диаметральной вершине Оп, и если граф Оп есть МВП-граф типа «лестница» с нечётным числом вершин.

Доказательство. Следует из определений дистанции вершины и удалённости ребра. □

Предложение 7. Пусть Оп — п-вершинный МВП-граф класса 2-цепь, ^ — симплициальная вершина, смежная с вершинами а1 и Ь]_, в2 — симплициальная вершина, смежная с вершинами а2 и Ь2 (рис. 5).

Тогда справедливы следующие утверждения:

а) из двух вершин а1,Ь1 (а2,Ь2), смежных с симплициальной вершиной ^ (з2), наибольшую дистанцию имеет терминальная вершина со степенью 3;

б) из двух рёбер {а1,51}, {Ь1,51} ({а2,в2}, {Ь2,в2}), инцидентных симплициальной вершине ^ (з2), наибольшую удалённость имеет ребро, инцидентное терминальной вершине со степенью 3.

ь

ь

■«■ .о

а.

а.

а.

а.

а.

а

а

а

а

б

в

г

Рис.5. Терминальные вершины степени 3 в МВП-графах класса «2-цепь»: 61,02 (а); а1, 62 (б), а1, а2 (в), 61, 62 (г); серым цветом показана внутренняя часть графов

Доказательство. 1. Пусть Сп — МВП-граф класса «2-цепь», — его симпли-

циальные вершины, Рд = (з1,х1 ,х2,... , ха, в2) и Рв = (з1,у1 ,у2,... , уь, з2) — цепи, из которых состоит гамильтонов цикл 0п. Далее для простоты вершины х1, у1 обозначим через а1,Ь1, а вершины ха,уь — через а2,Ь2 соответственно. Очевидно, что имеется 4 варианта расположения терминальных вершин на цепях Ра, Рв МВП-графа класса «2-цепь» (рис.5, а,б,в,г).

Сначала докажем утверждение для варианта, в котором терминальными вершинами являются вершины Ь1 и а2 (рис. 5, а). После удаления вершины 51 будет получен МВП-граф С'п-1, в котором в соответствии с утверждением 1 вершина Ь1 будет симплициальной. Но тогда согласно (10) имеем й(Ь1,С1п-1) > й(а1,С1п-1), откуда, с учётом очевидных равенств Ь1, Сп) = Ь1, Сп-1) + 1 и а1, Сп) = а1, Сп-1) + 1, получаем искомое неравенство Сп) > а1, Сп).

Аналогично после удаления вершины в2 будет получен МВП-граф 1, в котором в соответствии с утверждением 1 вершина а2 будет симплициальной. Но тогда согласно (10) имеем й(а2,С^-1) > й{Ь2,С1,^-1). Отсюда, с учётом очевидных равенств ¿(а2, Сп) = а2, С^!) + 1 и ¿{Ь2, Сп) = Ь2, С^ц) + 1, получаем искомое неравенство а2, Сп) > Ь2, Сп).

Доказательство для МВП-графов с другим расположением терминальных вершин (рис. 5, б,в,г) проводится аналогично.

2. Согласно (11) удалённости рёбер {з-,а-}, {si,Ьi}, инцидентных симплициальной вершине , определяются дистанциями смежных с ней вершин а-, Ь- следующим образом: Я({з-,а-},Сп) = ¿(а,1,Сп) — 1 и Я({з-,Ь- },Сп) = ¿(Ь,1,Сп) — 1. Следовательно, из двух рёбер {з-,а-}, {з-,Ь-}, инцидентных симплициальной вершине 3-1, большую удалённость будет иметь ребро, инцидентное терминальной вершине, имеющей большую дистанцию. □

3.2. Метрические характеристики МВП-графов типа «лестница»

Таблица 1 Матрица расстояний МВП-графа типа «лестница»

0 1 1 2 2 3 3 4

1 0 1 1 2 2 3 3

1 1 0 1 1 2 2 3

2 1 1 0 1 1 2 2

2 2 1 1 0 1 1 2

3 2 2 1 1 0 1 1

3 3 2 2 1 1 0 1

4 3 3 2 2 1 1 0

Из замечания 3 следует, что вершины любого МВП-графа типа «лестница» можно пронумеровать рекурсивно так, чтобы все вершины с чётными номерами принадлежали одной цепи, а все вершины с нечётными номерами — другой цепи (см. рис. 1, б). Поэтому матрица расстояний любого МВП-графа типа «лестница» с рекурсивной нумерацией имеет сильно выраженный регулярный характер. В качестве примера в табл. 1 представлена матрица расстояний МВП-графа типа «лестница» с 8 вершинами.

Сформулируем и докажем важное утверждение, выражающее зависимость между структурой МВП-

графа типа «лестница» и удалённостями его рёбер.

Теорема 1. Пусть в и-вершинном МВП-графе типа «лестница» с рекурсивной нумерацией вершин две симплициальные вершины имеют номера 1 и и и все вершины с чётными номерами принадлежат цепи 1, 2,4,6,..., и, а все вершины с нечётными номерами — цепи 1, 3, 5, 7,..., и. Тогда для удалённости рёбер {р,р+2}, (р =1, 2,... ,и — 2) и рёбер {1, 2}, {и, и — 1} справедливы следующие равенства:

Я({р,р + 2}) = (2и2 — 4и(1 + р) + 4р(1 + р) — (—1)п-р + (—1)р + 8)/8, (16)

Я({1, 2}) = Я({и, и — 1}) = (2и2 — 4и — (—1)п + 1)/8, (17)

Я({1, 3}) = Я({и, и — 2}) = (2и2 — 8и + (—1)п + 15)/8. (18)

Доказательство. Определим аналитически матрицу расстояний МВП-графа типа «лестница». Диагональ матрицы заполнена нулями. Первая строка представляет собой конечную неубывающую последовательность Ь = (Ь1,Ь2,... ,Ьп) вида 0,1,1,2,2,...,д = [и/2].

Последняя строка матрицы расстояний представляет собой конечную невозрас-тающую последовательность а = (а1,а2,..., ап) вида р,..., 2, 2,1,1, 0, где р = [и/2].

Все остальные строки матрицы представляют собой объединение двух последовательностей вида а и Ь с общим элементом, равным нулю. Таким образом, строку Бк матрицы можно представить в виде объединения последовательностей (а1,... , ак) и (Ь1,... , Ьп-к+1), т. е. в виде последовательности вида

р,..., 2, 2,1,1, 0,1,1, 2, 2,...,д, р = [к/2], д = [(и — к + 1)/2].

Для последовательности (х1,х2,...) вида 0,1,1, 2, 2, 3, 3,4, 4,... известно [27] аналитическое выражение её т-го элемента:

хт = (2т + (—1)т — 1)/4, т = 1, 2, 3,... (19)

Тогда, используя (19), для 2-го элемента первой и и-й строк матрицы расстояний получим

¿и = (22 + (—1)0) — 1)/4, ¿п,з = (2(и + 1 — ]) + (—1)(п+1-0 — 1)/4. (20) Для ]-го элемента 1-й строки матрицы расстояний будем иметь

= Г(2(г + 1 — з) + (— 1)(г+1-о) — 1)/4 при 2<г, (21)

4 у (2(2 — г + 1) + (— 1)о-^ — 1)/4 при 2 > г. ()

Нетрудно заметить, что Я(к, {1, 2}) = штк>1^1кк, ¿2кк] = ¿2,к. Отсюда, используя выражения (20), для расстояния от вершины к до ребра {1, 2} получим

0 при к = 1 ,

Я(к, {1,2}) = „ ^ Р

1 '{ ' \(2(к — 1) + (—1)(к-1) — 1)/4 при к> 1.

Тогда для удалённости ребра {1, 2} получим (17).

Аналогично, Я(к, {и, и — 1}) = штк<п^п-1;к^п,к] = ¿п-1,к. Используя выражения (20), для расстояния от вершины к до ребра {и, и — 1} будем иметь

Я(к\ии- 11)= /0 при к = и,

1 ' } 1(2(и — к) + (—1)(п-к) — 1)/4 при к<и.

Отсюда для удалённости ребра { и, и — 1 } получим выражение

Я({и,и — 1}) = (2и2 — 4и — (—1)2п — (—1)п + 2)/8,

равное выражению (17) для удалённости ребра {1, 2}.

Для других внешних рёбер, т. е. для рёбер вида {р,р + 2}, расстояния от вершины к до ребра {р, р + 2} можно представить в виде

(2(р + 1 — к) + (—1)(р+1-к) — 1)/4 при к ^ р, Я(к, {р,р + 2})=<(1 при к = р +1,

(2(к — р — 1) + (—1)(к-р-1) — 1)/4 при к ^ р + 2.

Отсюда получим общее выражение (16) для удалённости ребра {р,р + 2}.

Нетрудно заметить, что наибольшее значение удалённость ребра {р, р + 2} принимает при р = 1 и при р = и — 2. В этом случае удалённость ребра, определяемая по формуле (18), при любом и > 5 будет меньше удалённости ребра {1, 2}.

Наименьшее значение удалённость ребра {р,р + 2} принимает при р = и/2, если и чётное, и при р = (и — 1)/2, если и нечётное. □

Следствие 1. В МВП-графе типа «лестница» его симплициальные вершины имеют максимальное значение дистанции.

Доказательство. Пусть Ьп — и-вершинный МВП-граф типа «лестница», пронумерованный рекурсивно. Тогда две его симплициальные вершины имеют номера 1 и и. Используя (21), получим формулу для расчёта дистанции к-й вершины:

¿(к, Ь,п) = (2и2 + 4и — 4к(1 + и) + 4к2 — (—1)(п-к) + (—1)к)/8.

Отсюда следует, что дистанция к-й вершины принимает максимальное значение при к = 1 и при к = и:

¿(1,Ьп) = ¿(и, Ьп) = (2и2 + (—1)п — 1)/8. (22)

□

Определим зависимость индекса Винера МВП-графа типа «лестница» от количества вершин.

Теорема 2. МВП-граф Ьп типа «лестница» с и ^ 6 вершинами имеет значение индекса Винера Ш(Ьп), равное

цг^ ^ I (2и3 + 3и2 — 2и)/24, если и чётное, (2и3 + 3и2 — 2и — 3)/24, если и нечётное.

Доказательство. Пусть Ьп — МВП-граф типа «лестница» с и вершинами (и ^ 6). Пронумеруем его с помощью рекурсивной нумерации, начиная с симплициальной вершины (присвоив ей номер 1), так, чтобы все вершины с чётными номерами принадлежали одной цепи, с нечётными номерами — другой цепи. Тогда другая сим-плициальная вершина получит номер и. В этом случае матрица расстояний МВП-графа будет иметь характерный вид, аналогичный матрице расстояний, представленной в табл. 1.

Тогда значение индекса Винера МВП-графа типа «лестница» можно определить в виде суммы всех элементов матрицы расстояний, находящихся выше главной диагонали, в следующем виде:

п п п п+1-г

Ш (Ьп ) = ЕЕ ¿г! = Е Е Хт,

г=1 ]=г г=1 т=1

где хт вычисляется по (19). Выражение для Ш(Ьп) можно представить в виде

пк

Ш(Ьп) = Е $к, $к = Е Хт, (24)

к=1 т=1

где Б к — сумма элементов строки, состоящей из к элементов.

1 к т

Подставляя в (24) значение для хт, получим Бк = - £ (2т + (—1)т — 1). Оче-

4 т=1

к

видно, что Е (—1)т = (—1 + (—1)к)/2. Отсюда получим Бк = (2к2 + (—1)к — 1)/8 и,

т=1

в конечном итоге, Ш(Ьп) = (4и3 + 6и2 — 4и — 3 + 3(—1)п)/48, что совпадает с (23) при чётных и нечётных значениях и. □

4. Минимальная и максимальная оценки индекса Винера произвольных МВП-графов

Сначала определим нижнюю границу индекса Винера для МВП-графов.

Теорема 3. Пусть Оп — МВП-граф класса «2-цепь» порядка и ^ 4 с индексом Винера Ш(Оп). Тогда

Ш(С,п) > и2 — 3и + 3, (25)

причём равенство в (25) выполняется тогда и только тогда, когда Оп есть МВП-граф диамонд Б4 или МВП-граф Еп типа «веер».

Доказательство. В [7] показано, что для любого связного графа Оп с и вершинами и т рёбрами нижняя граница индекса Винера Ш(Оп) графа определяется из выражения

Ш(Сп) ^ и(и — 1) — т, (26)

причём равенство в (26) имеет место только тогда, когда для диаметра графа выполняется неравенство ^аш(Сп) ^ 2. Подставляя в (26) значение количества рёбер МВП-графа т = 2и — 3, получим (25). Легко показать, что равенство в (25) выполняется на МВП-графе диамонд Б4 и на МВП-графах Еп типа «веер» при любом и > 5. Причём для этих графов &аш(Д4) = 2 и &аш(^п) = 2. Все другие МВП-графы 0'п имеют большие значения диаметра ^аш(Сп) > 3 (см. [25] теорема 1). Поэтому для их индекса Винера Ш(0'п) в (25) выполняются строгие неравенства. □

Из утверждений 1,2, предложений 1, 7 и теоремы 1 следует

Теорема 4. Пусть Оп — и-вершинный (и ^ 6) МВП-граф класса «2-цепь», а Ьп — и-вершинный МВП-граф типа «лестница». Тогда Ш(Сп) ^ Ш(Ьп), причём равенство выполняется, если и только если Сп = Ьп.

Доказательство. В силу утверждения 2 любой и-вершинный МВП-граф Оп класса «2-цепь» может быть получен из графа диамонд Б4 посредством выполнения последовательности к = и — 4 операций элементарного расширения з-типа.

В процесе построения графа будет получена последовательность его подграфов О4, С5,С6,... , Сп-г, Сп. Тогда для индекса Винера графа Сп можно написать

ж (Оп) = Ж О) + дж (а5) + Дж (с6) + ••• + Дж (Сп-г),

где ДЖ(Си) — величина приращения индекса Винера при переходе от подграфа Си к подграфу Си+г. Величина ДЖ(Си) определяется по выражению (13), т.е. ДЖ(Ои) = К(еи, Си) + к, где еи — внешнее ребро графа Си, инцидентное симплици-альной вершине в и, на котором выполняется элементарное расширение в-типа; к — число вершин Си.

Таким образом, значения ДЖ(Си), к = 6, 7,... ,п — 1, зависят от варианта выполнения операции элементарного расширения. (А величина ДЖ(С5) в силу симметрии графа О4 от варианта выполнения операции элементарного расширения не зависит).

Из предложения 7 следует, что величина ДЖ(Си) для любого к = 6, 7,... ,п — 1 будет максимальна только тогда, когда элементарное расширение в-типа выполняется на ребре, инцидентном симплициальной вершине в и и терминальной вершине со степенью 3.

Легко видеть, что если операция элементарного расширения всегда будет выполняться на ребре с максимальной удалённостью (и следовательно, на ребре, инцидентном терминальной вершине со степенью 3), то будет получен граф Сп с максимальным индексом Винера, и этот граф — МВП-граф типа «лестница» (см. рис.6, а,б,в,г,д). На рис.6, г,д показан граф Сп при нечётном и чётном числе п вершин соответственно.

3 5

3 5

3 5 7

3 5 п - 2

п

3 5 п - 3 п - 1

№ ^ Ж Ж Н

п

2 4

а

2 4 6

2 4 6

2 4 п - 3 п - 1 2 4 п - 4 п - 2

д

б в г

Рис. 6. Построение МВП-графа типа «лестница» (а,б,в,г)

Действительно, согласно предложению 7 в любом графе Си, к = 5, 6,..., п—1, из двух рёбер, инцидентных симплициальной вершине в и, максимальную удалённость имеет ребро, инцидентное терминальной вершине со степенью 3. В силу предложения 2 терминальная вершина в графе Си имеет номер к — 1. Поэтому из двух (к + 1)-вершинных графов, полученных элементарными расширениями на рёбрах {к, к — 1} и {к, к — 2}, больший индекс Винера будет иметь граф, полученный элементарным расширением на ребре {к, к — 1}.

Но в силу утверждения 2 при элементарном расширении на ребре {к, к — 1} из графа Ьи будет получен МВП-граф Ьи+г типа «лестница» (см. рис. 2, а,в), а из графа Си — граф Си+г. А при элементарном расширении на ребре {к, к — 2} будет получен МВП-граф Си+г независимо от типа к-вершинного графа (см. рис. 2, г ,д).

Ясно, что если при построении хотя бы одного р-вершинного (р = 6, 7,... ,к — 1) графа Ср элементарное расширение будет выполнено на ребре, не инцидентном терминальной вершине, то будет получен граф Ср (не являющийся МВП-графом типа «лестница») с ндексом Винера Ж(Ср) < Ж(Ьр).

Ясно также, что после этого, даже если все последующие операции элементарного расширения будут выполнены на ребре, инцидентном терминальной вершине, будут получены графы Ср+1,Ср+2,... ,Си-г,Сп, не являющиеся МВП-гра-

фами типа «лестница», для которых Ш(Ср+1) < Ш(Ьр+1),... , Ш(Ск-1) < Ш(Ьк-1), Ш(Сп) < Ш(Ьп). □

Из теорем 2-4 вытекает

Следствие 2. Для индекса Винера Ш(Сп) МВП-графа Сп класса «2-цепь» порядка и ^ 6

2 ч I (2и3 + 3и2 — 2и)/24, если и чётное, .

и2 — 3и + 3 ^ Ш(Сп) ^ 3 2 ' ' (27)

I (2и3 + 3и2 — 2и — 3)/24, если и нечётное,

причём равенство в левой (правой) части (27) выполняется тогда и только тогда, когда граф Сп есть МВП-граф типа «веер» («лестница»). При 4 ^ и ^ 5 выполняется равенство Ш(Сп) = и2 — 3и + 3.

5. Нижняя и верхняя оценки индекса Винера решётчатых МВП-графов

Ранее были определены нижняя и верхняя оценки индекса Винера для произвольных МВП-графов. Однако для классификации ациклических изомеров СПУ эти оценки необходимо скорректировать с учётом следующих ограничений: (а) вершины и рёбра МВП-графов должны располагаться на узлах и рёбрах решётки из равносторонних треугольников без пересечений вершин, рёбер и граней и образования «дыр»; (б) максимальная степень Д(Сп) вершин МВП-графа ограничена, причём Д(Сп) ^ 6.

Далее МВП-граф, удовлетворяющий вышеуказанным ограничениям, мы будем называть МВП-графом, уложенным на треугольной решётке, или решётчатым МВП-графом (РМВП-графом).

Экстремальный в заданном классе граф, имеющий минимальное (максимальное) значение индекса Винера, называется Ш - минимальным (Ш-максимальным) графом класса. (Примеры использования: Ш-минимальный ступенчатый граф; Ш-максимальный квазиступенчатый граф).

5.1. Экстремальные РМВП-графы класса «2-цепь»

Нетрудно заметить, что любой МВП-граф Ьп типа «лестница» удовлетворяет всем вышеуказанным ограничениям (он имеет максимальную степень вершин Д(Ьп) = 4, не имеет пересечений вершин, рёбер, граней) и может быть уложен на треугольной решётке. Отсюда следует, что верхняя оценка индекса Винера произвольных МВП-графов является и верхней оценкой индекса Винера РМВП-графов.

Для определения индекса Винера Ш-минимальных РМВП-графов класса «2-цепь» был проведён численный эксперимент. Генерировались все неизоморфные решётчатые РМВП-графы класса «2-цепь» с числом вершин от 7 до 20 и определялись их основные параметры, индекс Винера Ш(Сп) и диаметр (^аш). На следующем этапе проиходил отбор РМВП-графов Ш ) с минимальным значением индекса Винера. Результаты эксперимента представлены в табл. 2.

Как показал численный эксперимент, любой Ш-минимальный РМВП-граф класса «2-цепь» состоит из к подграфов 01,02,...,0к, попарно пересекающихся так, что Сг П Ог+1 = Яг = В4, (г = 1, 2,... ,к — 1). Ш-минимальные графы имеют структуру двух видов в зависимости от числа вершин. В графах со структурой первого вида все подграфы Сг изоморфны графу Я7, т. е. Сг = Я7, (г = 1, 2,... ,к),

Таблица 2

Структурные параметры "-минимальных РМВП-графов класса «2-цепь»

п к д ^аш ш (св) и к д Ш (св)

7 1 0 2 31 14 4 1 5 211

8 2 1 3 48 15 4 2 5 255

9 2 2 3 63 16 4 0 5 301

10 2 0 3 82 17 5 1 6 361

11 3 1 4 109 18 5 2 6 423

12 3 2 4 138 19 5 0 6 487

13 3 0 4 169 20 6 1 7 568

а в графах со структурой второго вида Сг = Г7, (г = 1, 2,... ,к — 1), Ск =

(д =1, 2).

Примеры Ш-минимальных РМВП-графов класса «2-цепь» с разным числом вершин представлены на рис. 7.

(1) (2) (3)

(1) (2) (3) (4)

(1) (2) (3) (4)

Ш Ш7 да

1 2 3 а

4

234 б

5

2 3 4 5 в

Рис. 7. "-минимальные РМВП-графы класса «2-цепь» с числом вершин п = 13 (а), п = 14 (б), п =15 (в); пустыми кружками показаны центральные вершины подграфов; цифрами помечены номера уровней, цифрами в скобках — номера подграфов

Определим параметры к и д. С учётом пересечений для числа вершин графа Сп выполняется равенство 7к — 4(к — 1) = п. Отсюда для к и д получаем к = \(п — 4)/33\ и д = (и — 4) mod 3.

Индекс Винера Ш(Св) графа Св определяется по формуле

ж (сВ)

ШД + W¿, если д = 0;

+ + д, если д = 1, 2,

(28)

где Шр, Шр — сумма индексов Винера всех подграфов графа СВ при д = 0 и при д = 1, 2 соответственно; — сумма расстояний между всеми вершинами разных подграфов графа СВ при д = 0; — сумма расстояний между всеми парами вершин (кроме последних д вершин) разных подграфов графа СВ при д = 1, 2;

д — сумма расстояний от всех вершин до последних д вершин графа СВ при

д = 1, 2.

Для расчёта , и д вершины графов со структурой первого и второго видов мы будем распределять по к + 1 уровням. В графе со структурой первого вида на 1-м и (к + 1)-м уровне расположены по три вершины подграфов С1,Ск соответственно, не входящие в пересечения с другими подграфами. Каждый г-й уровень состоит из 4-х вершин подграфа, образованного пересечением подграфов Сг, Сг-1. Из этих вершин мы будем выделять 3 вершины подграфа Сг и 3 вершины подграфа Сг-1 (рис. 7, а). В графе со структурой второго вида состав уровней такой же, но на (к + 1)-м уровне расположены д вершин подграфа Ск = Р4+д (рис. 7, б,в). В графе с любой структурой расстояние между двумя вершинами, находящимися на уровнях г и ] (] > г), равно ] — г + 1.

1

1

A. При q = 0 число k всех подграфов равно числу подграфов, имеющих по 7 вершин каждый, поэтому с учётом пересечений вершин число вершин графа равно n = 7k — 4(k — 1) = 3k + 4. Следовательно, число подграфов равно k = (n — 4)/3. Величина Wp определяется с учётом пересечений: Wp = 31k — 7(k — 1) = 24k + 7.

При q = 0 величина WB определяется как сумма расстояний между всеми парами вершин, находящихся на разных уровнях i и j с первого по (k + 1)-й уровень включительно. При расчёте на каждом j-м уровне учитываются три вершины, смежные с центральной вершиной подграфа Gj-1 и находящиеся с правой стороны от неё, а на каждом i-м уровне — три вершины, смежные с центральной вершиной подграфа Gi и находящиеся с левой стороны от неё. Чтобы не было повторного счёта, номера i и j изменяются в следующих диапазонах: i = 1, 2,...,k — 1 и j = i + 2,...,k + 1.

Отсюда для WB графа GB при q = 0 будем иметь

k-1 k+1

W1 = EE 9(j — i + 1) = 2 (k3 + 6k2 — 7k).

i=1 j=i+2

Подставляя в (28) значения Wp, WB, получим W(GB) графа GB при q = 0:

3

W (GB) = 24k + 7 + -(k3 + 6k2 — 7k). (29)

B. При q = 1, 2 число k всех подграфов определяется как k = |~(n — 4)/3], поскольку кроме подграфов, имеющих по 7 вершин, есть ещё подграф с 4 + q вершинами. Соответственно, число вершин q определяется следующим образом: q = (n — 4) mod 3. При q = 1, 2 величина Wp определяется (с учётом пересечений) вкладами подграфов, имеющих по 7 вершин, и подграфом с 4 + q вершинами: W2 = 31(k — 1) — 7(k — 1) + (q + 4)2 — 3(q + 4) + 3.

Величина WB графа GB при q = 1, 2 определяется как

k-1 k

^ 9(j — i + 1) =

3

WB = E E 9(j — i + 1) = 2(k3 + 3k2 — 16k + 12),

г=1 3=г+2

а величина ШВд, т. е. сумма расстояний от q вершин на уровне к + 1 до всех остальных вершин подграфов, имеющих по 7 вершин каждый, равна

к-1

г2 _ „• I 0\__3 (Ь22

W2q = J2(k — i + 2)q = 3(k2 + 3k — 4)q

i=1

Подставляя в (28) значения , ШВ, ШВд, получим Ш(СВ) при q = 1, 2:

3 3

Ш(СВ) = 24к - 17 + ц2 + 5q ^(к3 + 3к2 - 16к + 12) + т;(к2 + 3к - 4)ц. (30)

Отсюда, используя (29) и подставляя значения ц =1, 2 в (30), получим

(3к3 + 18к2 + 27к + 14)/2, если ц = 0; Ш(СВ) ={ (3к3 + 12к2 + 9к + 2)/2, если ц = 1; (31)

(3к3 + 15к2 + 18к + 6)/2, если ц = 2.

Очевидно, что если д = 0, то к = (и — 4)/3__3, если д = 1, то к = (и — 2)/3 , а если д = 2, то к = (и — 33)/3. Тогда, подставляя в (31) значения для к, получим

{(и3 + 6и2 — 15и + 26)/18, если д = 0;

(и3 + 6и2 — 9и + 4)/18, если д = 1; (32)

(и3 + 6и2 — 9и)/18, если д = 2.

Значения индекса Винера Ш-минимальных РМВП-графов, полученные из расчётного эксперимента, и значения, полученные по формуле (32), совпадают.

5.2. Экстремальные ступенчатые РМВП-графы класса «2-цепь»

Для определения минимальных и максимальных значений индекса Винера ступенчатых РМВП-графов класса «2-цепь» и экстремальных графов, на которых эти значения достигаются, был проведён численный эксперимент. Генерировались все неизоморфные ступенчатые РМВП-графы класса «2-цепь» с числом вершин от 7 до 20 и определялись их основные параметры, индекс Винера и диаметр. Генерация ступенчатых РМВП-графов класса «2-цепь» производилась по кортежам свойств с помощью разработанной автором программы, реализующей алгоритм, описанный в разделе 2. На следующем этапе происходил отбор ступенчатых РМВП-графов с экстремальными значениями индекса Винера.

Полученные результаты численного эксперимента позволяют сделать следующие выводы:

1. Среди ступенчатых РМВП-графов порядка и максимальный индекс Винера имеет граф Сп = С1 и С2 и С3, где С1 = С2 = и С3 = Ьп-3. И три его подграфа С1, С2, С3 попарно пересекаются так, что С1 П С2 = В4, С2 П С3 = В4. В качестве примера на рис. 8, а,б представлены Ш-максимальные ступенчатые РМВП-графы класса «2-цепь» порядка 10 и 12. В графе С10 (рис. 8, а) подграфы С1, С3, С3 определяются следующим образом: С1 = С[{1, 2, 3, 9,10}], С2 = С[{1, 2, 3,4, 5), 9}] и С3 = С[{2, 3,4, 5, 6, 7,8}]. В графе С12 (рис.8, б) имеем С1 = С[{1, 2, 3,11,12}], С2 = С[{1, 2, 3, 4, 5,11}] и С3 = С[{2, 3, 4,..., 9,10}].

а б в

Рис. 8. Ступенчатые РМВП-графы класса «2-цепь» с максимальным индексом Винера: граф с 10 вершинами (а); граф с 12 вершинами (б); пустыми кружками и пунктиром показаны вершины и рёбра двойственных графов; цифрами помечены

номера вершин

2. Среди ступенчатых РМВП-графов минимальный индекс Винера имеют полные ступенчатые графы.

3. Каждый полный ступенчатый граф Ссз состоит из к подграфов С1,С2,... ,Ск, попарно пересекающихся так, что Сг П Сг+1 = В4.

4. Структура таких полных ступенчатых РМВП-графов зависит от чётности числа и его вершин. При нечётном числе и вершин С1 = Г5 и Сг = г = 2, 3,... ,к, а при чётном и будем иметь Сг = г = 2, 3,... ,к — 1, и С1 = Г5, Ск = Р4+д, д = 1. Очевидно, что при нечётном и имеем д = 0, а при чётном и будем иметь д = 1.

5. Определим параметры k и q. С учётом пересечений для числа вершин графа Gn при нечётном n выполняется равенство 5 + 6(k — 1) — 4(k — 1) = n. Отсюда для k и q получаем k = |~(n — 3)/2] и q = (n — 3) mod 2.

(1) (2) (3) (4) (5)

2 3 4 5 6

а

(1) (2) (3) (4) (5)

2 3 4 5 6 б

Рис. 9. Полные ступенчатые РМВП-графы класса «2-цепь»: при нечётном числе п вершин (а); при чётном числе п вершин (б); пустыми кружками показаны центральные вершины подграфов; пунктиром — рёбра двойственных графов; цифрами помечены номера уровней; цифрами в скобках — номера подграфов

Примеры полных ступенчатых РМВП-графов класса «2-цепь» при чётном и нечётном числе вершин представлены на рис. 9.

Параметры ступенчатых графов, полученные с помощью численного эксперимента, — число ступенчатых графов (КВ), максимальные и минимальные зна-

Шал ШШ

чения индекса Винера и диаметр О3 — приведены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты численного эксперимента ступенчатых РМВП-графов класса «2-цепь»

n KS п '' max '' min DS n n KS n '' max Ws- min DS n

8 1 49 49 4 15 31 303 293 7

9 3 68 67 4 16 19 367 357 8

10 2 93 92 5 17 63 438 423 8

11 7 122 119 5 18 35 519 504 9

12 5 158 155 6 19 127 608 587 9

13 15 199 193 6 20 71 708 687 10

14 9 248 242 7 - - - - -

Определим расчётное выражение для максимального значения индекса Винера ступенчатых графов. Экстремальный ступенчатый граф ОП с максимальным индексом Винера есть граф, полученный из графа типа лестница Ьп-2 последовательным выполнением двух операций элементарного расширения. Сначала при элементарном расширении на ребре {1, 3} и добавлении вершины у1 будет получен граф Оп-1. Затем при элементарном расширении на ребре {1, VI} и добавлении вершины у2 будет получен граф ОПт. Тогда, используя (13), индекс Винера графа Озт можно определить следующим образом:

W(Оп-1) = W(1п-2) + Я({1, 3}, Ьп-2) + (п — 2), W(Опт) = W(Оп-1) + д({1, VI}, Оп-1) + (п - 1),

где величина К({1,у-]} ,Оп-1) с использованием (12) определяется как Я({1,у1},Оп-1) = ^(1,Ьп-2). Величина ^(1,Ьп-2) определяется из (22).

Отсюда, используя формулу (23) для расчёта индекса Винера и формулу (18) для расчёта удалённости ребра {1, 3}, для индекса Винера W(Озт) экстремального ступенчатого графа Озт получим

ТЛГ(П&Т\ (24(2п3 + 3п2 - 14п + 72) если п чётное; /оо\

\\ (Оп ) = ^ 1 3 , о 2 , , .. (33)

I 1 (2п3 + 3п2 — 14п + 57), если п нечётное.

Теперь определим расчётное выражение для индекса Винера W(ОС3) полных ступенчатых графов О. Применяя методику, описанную в разделе 5.1, получим W(ОС3) = W¿ + W1B, если q = 0, и W(О^3) = W| + W2B + , если д = 1.

При нечётном и величина Шр определяется с учётом пересечений:

Шр = (52 — 3 ■ 5 + 3) + 21к — 7(к — 1) = 14к — 1.

При чётном и величина Шр определяется с учётом пересечений вкладами подграфов, имеющих по 6 вершин, и двумя подграфами с 5 вершинами: Шр = 21(к — 2) — 7(к — 1) + 2(52 — 3 ■ 5 + 3) = 14к + 9.

При нечётном и на 1-м уровне расположена одна вершина подграфа С1 , а на (к + 2)-м уровне расположены две вершины подграфа Ск, не входящие в пересечения с другими подграфами. Каждый г-й уровень состоит из двух вершин подграфа, образованного пересечением подграфов Сг,Сг-1. При чётном и состав уровней такой же, но на (к + 2)-м уровне расположена одна вершина подграфа Ск =

Величина Шв при нечётном и определяется как сумма расстояний между всеми парами вершин, находящихся на разных уровнях г и 3 с первого по (к + 2)-й уровень включительно. Нетрудно заметить, что расстояние между двумя вершинами, находящимися на уровнях г и 3 (3 > г), равно 3 — г. Причём на каждом 3-м уровне находятся две вершины, из которых одна смежна с центральной вершиной подграфа С-1, а на каждом г-м (г > 1) уровне — две вершины, из которых одна смежна с центральной вершиной подграфа Сг-1. Чтобы не было повторного счёта, принимаем 3 = г + 3. Вышеуказанная сумма растояний состоит из двух слагаемых. Первое слагемое — сумма расстояний от первой вершины до всех остальных — равно

к+2

£ 2(3 — 1) = к2 + 3к — 4.

3=4

Второе слагаемое — сумма расстояний между всеми парами вершин, находящихся на уровнях, начиная со второго по уровень к + 2 включительно, — равно

к-1 к+2 0

£ £ 2(3 — г) = ^(к3 + 3к2 — 16к + 12).

г=2 з=г+3

Отсюда для Шв при нечётном и будем иметь

2

Шв = -(к3 + 3к2 — 16к + 12) + к2 + 3к — 4. 3

В конечном итоге для индекса Винера Ш(Ссз) графа Ссз при нечётном и получим

Ш (С^ ) = \(2к3 + 9к2 + 19к + 9). (34)

Величина Шв при чётном и состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое — сумма расстояний от первой вершины до всех остальных (кроме последней) — есть

к+1

£ 2(3 — 1) = к2 + к — 6.

3=4

Второе слагаемое — сумма расстояний между всеми парами вершин, находящихся на уровнях, начиная со второго по уровень к + 1 включительно, — равно

к-2 к+1

£ £ 4(3 — г) = ^(к3 — 19к + 30),

г=2 з=г+3

а величина Швд, т. е. сумма расстояний от д = 1 вершин на уровне к + 2 до всех остальных вершин подграфов, состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое — расстояние от первой вершины до последней, равное к + 2 — 1 = к + 1. Второе слагаемое — сумма расстояний от последней до всех остальных (кроме первой) — есть

й-1

Швд = ^2(к + 2 — 1) = к2 + 3к — 6.

1=2

В конечном итоге для индекса Винера Ш(СС3) графа СС3 при чётном п получим

Ш (СС3 ) = \(2к3 + 6к2 + 13к). (35)

Очевидно, что при чётном п имеем д = 0 и к = (п — 2)/2, а при нечётном п будем иметь д = 1 и к = (п — 33)/2. Тогда, подставляя в (34), (35) значения для к, получим для индекса Винера Ш(СС3) полного ступенчатого графа СС3 равенство

Ш{С%8) = 1 112 ^ + 14п — 36), если п чётное; (36)

12 (п3 + 11п — 24), если п нечётное.

Значения индекса Винера Ш-максимальных и Ш-минимальных (полных) ступенчатых МВП-графов, полученные из расчётного эксперимента, и значения, полученные по формулам (33), (36), совпадают.

5.3. Экстремальные квазиступенчатые РМВП-графы класса «2-цепь»

Для определения минимальных и максимальных значений индекса Винера квазиступенчатых РМВП-графов класса «2-цепь» и экстремальных графов, на которых эти значения достигаются, был проведён численный эксперимент. Методика выполнения численного эксперимента на первом этапе такая же, как и методика первого этапа численного эксперимента по генерации ступенчатых графов. Отбор квазиступенчатых РМВП-графов на втором этапе производился с помощью программы, реализующей алгоритм проверки графа на «ступенчатость» по условиям, описанным в определении ступенчатых и квазиступенчатых графов.

В ходе проведения численного эксперимента было выявлено наличие квазиступенчатых графов с нечётным числом п вершин, мало отличающихся по индексу Винера и диаметру от ступенчатых МВП-графов. Поэтому такие графы получили название псевдост,упенчат,ых графов.

Результаты численного эксперимента по псевдоступенчатым графам — максимальные , минимальные Ш^т значения индекса Винера, диаметр и число Кр графов представлены в табл. 4. Там же для сравнения приведены максимальные , минимальные значения индекса Винера и диаметр ступенчатых графов.

Все остальные квазиступенчатые графы подразделяются на два вида, отличающиеся по своей структуре. Далее мы будем называть их квазиступенчатыми графами первого вида и квазиступенчатыми графами второго вида.

Параметры квазиступенчатых графов, полученые в численном эксперименте, представлены табл. 5.

В таблице используются следующие обозначения: Ш^^, Ш^, П, К^ — максимальные, минимальные значения индекса Винера, диаметр и число квазиступенчатых графов первого вида. Для квазиступенчатых графов второго вида используются аналогичные обозначения — Ш^, Б2п, К2п.

Таблица 4

Результаты численного эксперимента псевдоступенчатых РМВП-графов

п тах тт Б* п К* п тах тт п Кр п

9 68 67 4 3 65 65 4 1

11 122 119 5 7 118 118 5 1

13 199 193 6 15 194 194 6 1

15 303 293 7 31 297 293 7 2

17 438 423 8 63 431 423 8 5

19 608 587 9 127 600 587 6-9 11

Таблица 5

Результаты численного эксперимента квазиступенчатых РМВП-графов

п Ш1 тах Ш1. '' тт К Ш2 '' тах шв Ш2. '' тт Б2 п К2 п К2А п К2В п К 2В

8 48 47 3 2 46 46 46 3 1 0 1 1

9 - - - 0 65 64 63 3,4 4 1 3 2

10 92 89 4 5 89 88 82 3,4 7 1 6 6

11 - - - 0 118 114 109 4,5 16 4 12 9

12 157 151 5 9 153 144 138 4,5 30 6 24 11

13 - - - 0 194 183 169 4-6 59 13 46 27

14 247 237 6 19 242 224 211 5,6 110 22 88 40

15 - - - 0 297 269 255 7 209 42 167 40

16 366 351 7 35 360 326 301 5-7 388 72 316 105

17 - - - 0 431 385 361 6-8 713 127 586 141

18 518 497 8 71 511 456 423 6-8 1313 214 1099 311

19 - - - 0 600 529 487 6-9 2389 364 2025 449

20 707 679 9 135 699 615 568 7-9 4370 615 3755 615

Квазиступенчатые графы второго вида подразделяются на два класса: графы, не имеющие вершин степени 6 (графы класса 2А), и графы, имеющие д ^ 1 вершин степени 6 (графы класса 2В). В таблице число квазиступенчатых графов класса 2А и класса 2В обозначаются через К2А, К2В соответственно. Через К2В обозначено число квазиступенчатых графов класса 2В, индексы Винера Ш(ОПВ) которых, лежат в интервале Шв ^ Ш(С2пВ) ^ ШД¿п.

Результаты численного эксперимента показали, что любой квазиступенчатый граф первого вида ОП имеет следующие свойства:

1. Число п вершин ОП чётное.

2. Числа вершин цепей Ра, РВ графа ОП или равны (па = пВ), или па — пВ = 2.

3. Граф имеет «поперечные» и «диагональные» рёбра. Причём если пв < па, то граф ОП имеет «поперечные» рёбра {у\,х2}, {у2,х3},..., {уь, хь+1}. В случае когда па = пВ, граф С1п имеет «поперечные» рёбра {у1,х2}, {у2,х3},..., {уь-1,хь}.

Вышеуказанные свойства были использованы при разработке алгоритма для разделения квазиступенчатых графов на графы первого и второго видов. В качестве примера на рис. 10 изображены квазиступенчатые графы первого вида при п = 10.

Экстремальные квазиступенчатые графы первого вида с максимальным и минимальным индексом Винера представлены на рис. 10, а,б соответственно.

Определим нижнюю и верхнюю оценки индекса Винера, достигаемые на экстремальных квазиступенчатых графах первого и второго видов. Из рис. 10, а видно, что Ш-максимальный квазиступенчатый граф первого вида О^ есть граф, полученный элементарным расширением на ребре {х1,у1} МВП-графа Ьп-1 типа «лестница» порядка п — 1. Следовательно, для индекса Винера ОПт графа ОПт

5

2

У*

У2\ ¿Ахз

\/о\

У1 Ля/х

о\/

V х1

У

Уз

2

хз Ы Х2

1

а

б

в

г

д

Рис. 10. Образцы квазиступенчатых РМВП-графов первого вида при п =10 (а,б,в,г,д)

и их двойственные графы

выполняется равенство

Ж(01Г) = Ж(Ьп-г) + Я({х1,у1},Ьп-1) + (п - 1). Отсюда, используя формулы (18), (21), получим равенство

Ш(ОПТ) = ^(48 - 14п + 3п2 + 2п3).

Используя методику определения индекса Винера полных ступенчатых графов (раздел 5.2), для индекса Винера Ш-минимального квазиступенчатого графа первого вида ОЩВ получим, что

ш(ОПВ) = 1((п3 + 8п - 12).

(37)

Экстремальные псевдоступенчатые и квазиступенчатые графы второго вида с максимальным индексом Винера при чётном п = р + 3 и нечётном п = р +2 представлены на рис. 11, а,б,в соответственно.

V

Р р - 1

Щг3

р - 2 5

V

V.

3Ж2

9Л

Р р - 1

Щ<р - 3

~ 4

р - 2 5

V,

р - 1 р - 3

2 Р - 2

2

а

б

в

Рис. 11. Образцы Ш-максимальных псевдоступенчатых графов (а) и квазиступенчатых РМВП-графов второго вида при чётном п = р+3 (б), нечётном п = р + 2 (в) и их двойственные графы

2Т

п

Легко видеть, что Ш-максимальный квазиступенчатый граф второго вида О, при чётном п есть граф, получаемый из графа типа «лестница» Ьр (р = п — 3) с помощью трёх последовательно выполняемых операций элементарного расширения з-типа, а при нечётном п граф ОЩ получается из графа типа «лестница» Ьр (р = п - 2) с помощью двух последовательно выполняемых операций элементарного расширения з-типа.

Тогда, используя (13), индекс Винера Ш-максимального квазиступенчатого графа второго вида ОЩТ при чётном п можно определить следующим образом:

2

1

Ш(Оп-2) = Ш(Ьп-з) + д({1, 3}, Ьп-з) + (п — 3),

Ш(Оп-1) = Ш(Оп-2) + Я({р,р — 2}, Оп-2) + (п — 2), Ш (опт) = Ш (Оп-1) + я({р, М, Оп-1) + (п — 1),

где величины Я({р,р — 2},Оп-2), Я({р, ^2}, Оп-1) и ¿(р, Оп-1) определяются с использованием (11), (12), (14), (15):

Я({р,р — 2}, Оп-2) = Я({р,р — 2}, Ьп-з) + (р — 3)/2,

#({р, М, Оп-1) = ¿(р, Оп-1) — 1 = ¿(р, Оп-2), ¿(р, Оп-2) = ¿(р,Ьп-з) + ¿(р,^1|Оп-1).

При нечётном п индекс Винера Ш-максимального квазиступенчатого графа Опт определяется как

Ш(Оп-1) = Ш(Ьп-2) + Д({1, 3}, Ьп-2) + (п — 2), Ш(Опт) = Ш(Оп-1) + Я({р,р — 2}, Оп-1) + (п — 1), Я({р,р — 2}, Оп-1) = Я({р,р — 2}, Ьп-2) + (р — 3)/2.

Отсюда, применяя формулы (15), (18), (23) и подставляя значение ¿(р,^1|Оп-1) ^аш(Ьп-з) = (п — 1)/2, получим

ч2Т

цт^-п ^ > (96 — 26п + 3п2 + 2пз)/24, если п чётное; п ' (93 — 26п + 3п2 + 2пз)/24, если п нечётное.

Из результатов численного эксперимента следует, что Ш-минимальные квазиступенчатые РМВП-графы второго вида (независимо от чётности числа п вершин) есть Ш-минимальные РМВП-графы, определенные в разделе 5.1.

Легко видеть, что для любого из рассмотренных выше классов РМВП-графов структуры Ш-максимальных и Ш-минимальных графов имеют следующие общие свойства:

1. Ш-максимальные графы имеют подграф, изоморфный РМВП-графу Ьр типа «лестница» порядка р = п — д (д = 1, 2, 3, 4), где д принимает значения в зависимости от класса РМВП-графов: для экстремальных псевдоступенчатых графов д = 4, для экстремальных квазиступенчатых графов первого и второго видов д =1 и д = 3 (2) соответственно. Поэтому максимальные значения индекса Винера для всех РМВП-графов мало отличаются друг от друга.

2. Ш-минимальные РМВП-графы представляют собой объединение к подграфов О1, О2,... , Ок, попарно пересекающихся так, что Ог П Ог+1 = Б4. Причём каждый подграф О-7 изоморфен РМВП-графу ¿Р— типа «веер» порядка р(?) = 5, 6, 7, т.е. О7 = ¿р-). Структура таких экстремальных графов, определяемая набором (р(1),р(2),... ,р(к)), зависит от класса РМВП-графов.

Так, например, в Ш-минимальных квазиступенчатых РМВП-графах первого вида все подграфы О1, О2,... , Ок изоморфны РМВП-графу типа «веер», поэтому р(^) = 6, ] = 1, 2, 3,... , к. Для Ш-минимальных ступенчатых РМВП-графов р(1) = р(к) = 5 и р(2) = 6, ] = 2,3,...,к — 1. Для Ш-минималь-ных квазиступенчатых РМВП-графов второго вида и для Ш-минимальных РМВП-графов, определённых в разделе 5.1, или ) = 7, ] = 1, 2, 3,..., к, или р(2) = 7, ] = 1, 2, 3,..., к — 1, и р(к) = 5,6.

Нетрудно заметить, что величина индекса Винера экстремальных графов будет тем меньше, чем меньше количество k подграфов и чем больше количество k7 подграфов, изоморфных графу F7. Это хорошо согласуется с тем, что W-минимальные РМВП-графы имеют максимально возможное число k7 подграфов, изоморфных графу F7, причём k7 = k — 1.

Имеется общая тенденция в структуре РМВП-графов класса «2-цепь» — с уменьшением индекса Винера число подграфов, изоморфных графам F6,F7, возрастает и, следовательно, возрастает число вершин степени 5 и 6. Если разместить все РМВП-графы в порядке уменьшения индекса Винера, будет получена следующая последовательность: графы типа «лестница», ступенчатые графы, квазиступенчатые графы первого вида и квазиступенчатые графы второго вида. Причём последние K2B графов есть квазиступенчатые графы второго вида, имеющие вершины степени 6.

В заключение отметим, что все сложные выкладки при выводе формул (16)-(23) и (32)-(38) были выполнены в среде компьютерной математики Wolfram Mathematica [26]. В этой же среде были выполнены расчётные эксперименты, в которых для сгенерированных МВП-графов определялись метрические характеристики (индекс Винера, дистанции вершин и удалённости рёбер), которые затем сравнивались с расчётными значениями, вычисленными по формулам (5), (8)-(23). Во всех расчётных экспериментах полученные метрические характеристики в точности совпали с их расчётными значениями.

6. Применение индекса Винера РМВП-графов для классификации изомеров СПУ

Полученные результаты по произвольным МВП-графам (см. раздел 4) можно применять для классификации фигур в изображениях, представленных МВП-гра-фами. О возможности такого применения было впервые указано в работе автора [21].

Однако наиболее эффективным является использование индекса Винера РМВП-графов для классификации изомеров сопряжённых полиеновых углеводородов (СПУ). При этом следует отметить, что при выполнении классификации двойственные графы РМВП-графов следует сопоставлять не только с молекулярными графами изомеров СПУ, но и с молекулярными графами их конформеров и конформаций.

Напомним, что конформация молекулы (от лат. conformatio, т. е. форма, построение, расположение) — это пространственное расположение атомов в молекуле определённой конфигурации, обусловленное поворотом вокруг одной или нескольких одинарных сигма-связей [28]. Конформерами называют стереоизомеры в конформациях, соответствующих минимумам потенциальной энергии (поворотные изомеры) [28].

Полученные результаты по РМВП-графам позволяют сделать вывод о возможности использования индекса Винера РМВП-графов для классификации изомеров СПУ. Действительно, экстремальным значениям индекса Винера соответствуют экстремальные РМВП-графы, двойственные графы которых изоморфны и геометрически подобны молекулярным графам изомеров СПУ.

Так, например, двойственные графы РМВП-графов типа «лестница», имеющих максимальный индекс Винера, изоморфны и геометрически подобны молекулярным графам транс-изомеров СПУ.

На рис.12, а,б в качестве примера представлены РВМП-графы Ью,Ь\2 типа «лестница», а на рис. 12, в, г — соответствующие им молекулярные графы изомеров октатетраена (1,3,5,7-ое1а1е1гаепе) и декапентаена (1,3,5,7,9^есареП;аепе). Как видно из рисунка, двойственные графы РМВП-графов изоморфны и геометрически подобны молекулярным графам изомеров. Отличие только в том, что у молекулярных графов есть двойные рёбра.

Рис. 12. Образцы РМВП-графов типа «лестница» при п = 10, п = 12 (а,б) и соответствующие им молекулярные графы изомеров ое1а1е1гаепе (в) и decapentaene (г)

Двойственные графы полных ступенчатых РМВП-графов, имеющих минимальный индекс Винера в классе ступенчатых РМВП-графов, изоморфны и геометрически подобны молекулярным графам цис-изомеров СПУ. Двойственные графы других ступенчатых РМВП-графов изоморфны и геометрически подобны молекулярным графам смешанных транс-цис-изомеров СПУ.

а б в г д

Рис. 13. Образцы ступенчатых РМВП-графов при п = 12: ступенчатые графы (а,б,в,г),

полный ступенчатый граф (д)

На рис. 13, а,б,в,г в качестве примера представлены ступенчатые РМВП-гра-фы, а на рис. 13, д — полный ступенчатый РМВП-граф. На рис. 14, а,б,в,г,д изображены соответствующие им молекулярные графы изомеров декапентаена (1,3,5,7,9-decapentaene).

Рис. 14. Молекулярные графы всех изомеров декапентаена: транс-цис-изомеров (а,б,в,г) и цис-изомера (д)

Как видно из рис. 13, 14, двойственные графы ступенчатых РМВП-графов по-

рядка 12 изоморфны и геометрически подобны молекулярным графам изомеров де-капентаена. Причём полному ступенчатому РМВП-графу (рис. 13, д) соответствует молекулярный граф (рис. 14, д) цис-изомера декапентаена. Отличие только в том, что у молекулярных графов есть двойные рёбра.

Отметим, что изображения молекулярых графов изомеров СПУ были найдены в базах данных химических соединений и смесей РиЬСЬеш [29] и ChemSpider [30]. Все молекулярные графы изомеров СПУ, представленные на рис. 12-14, изображают углеродный скелет молекул без атомов водорода.

Соберём все полученные результаты из табл. 2 и 3 в сводную таблицу:

Таблица 6

Результаты численного эксперимента РМВП-графов класса «2-цепь»

п WP ' тах WS '' тах W 8'' гшп WP■ '' тт Мьс п WP ах W 8 ах WS. '' тт WP■ '' тт Мьс

6 22 - - 21 2 14 252 248 242 211 139

7 34 33 33 31 3 15 308 303 293 255 243

8 50 49 49 48 5 16 372 367 357 301 443

9 70 68 67 63 8 17 444 438 423 361 782

10 95 93 92 82 15 18 525 519 504 423 1420

11 125 122 119 109 24 19 615 608 587 487 2528

12 161 158 155 138 45 20 715 708 687 568 4577

13 203 199 193 169 76 - - - - - -

Здесь, как это было ранее определено, через Wpax, Wpn обозначены максимальные и минимальные значения индекса Винера РВМП-графов соответственно, а через WSax, WSln обозначены максимальные и минимальные значения индекса Винера ступенчатых РМВП-графов. Через М^с обозначено число всех РВМП-гра-фов порядка п.

Максимальным значениям Wpax индекса Винера соответствуют транс-изомеры СПУ, значениям индекса Винера в диапазоне W1Sax] соответствуют смешан-

ные цис-транс-изомеры СПУ. Причём минимальным значениям WSln индекса Винера соответствуют цис-изомеры СПУ.

Определим, каким молекулярным графам СПУ сответствуют двойственные графы квазиступенчатых графов с индексами Винера в диапазоне {Wmin,Wp^n]. При этом мы будем исходить из следующих свойств молекулярных графов изомеров СПУ:

1. Молекула изомера СПУ представляет собой цепь атомов углерода с чередующимися двойными и простыми (сигма) валентными связями. Число атомов углерода в молекуле всегда чётное, и первая связь двойная. Таким образом, если пронумеровать все эти связи, начиная с одного конца углеродной цепи до другого, то все простые связи будут иметь чётные номера. Следовательно, молекулярный граф СПУ есть простая цепь, в которой рёбра с чётными номерами соответствуют простым углерод-углеродным связям.

2. Молекулярный граф МЩ конформера СПУ получается из молекулярного графа Мп транс-изомера СПУ посредством одного или нескольких поворотов двух подграфов графа Мп относительно друг друга вокруг рёбер с чётными номерами.

При выполнении такого поворота один подграф Хп молекулярного графа Мп изомера (конформера) поворачивается в пространстве относительно другого подграфа Уп вокруг ребра еху с чётным номером. (Это ребро соединяет концевые вершины двух подграфов Хп, Уп.) Геометрически (не выходя за пределы плоскости рисунка графа) это означает, что поворачиваемый подграф отражается относительно некоторой прямой, проходящей через ребро с чётным номером.

В качестве примера на рис. 15, а,б показаны этапы выполнения операции отражения подграфа У"8 графа М8, изоморфного простой цепи Р8. Граф М8 состоит из двух подграфов Х8 = С[{1, 2, 3,4}], У8 = С[{5, 6, 7, 8}], висячие вершины 4,5 которых соединены ребром еХу = {4, 5}, имеющим номер 2.

8

5

6

3^4 1 2

а

3Т\4

1^2

б

10__9 _

8'

5 6

3

1

9Л_л10

8

2

в

г

9т_щ10

8

6А 5

4

2

д

Рис. 15. Этапы выполнения операции отражения подграфа молекулярного графа М8 (а, б) и РМВП-графа Сю (в, г, д); нечётные рёбра двойственных графов изображены утолщёнными линиями

3. В РМВП-графе Сга, имеющем двойственный граф С,, двум подграфам Х, 3 С,, У* 3 С,, соединённым ребром еХу с чётным номером, соответствуют два подграфа Хга,У„ графа Сга. Причём, поскольку ребро еХу соединяет висячие вершины уХ Е V (X,), уу Е V (Уга*) подграфов Х,, У, и С, = X, и У, и еХу, концевые грани {уа,уь,ус}, {уа,уь,у^} подграфов Хга,Уга имеют общее ребро {уа,уь}, геометрически двойственное ребру еХу и Сга = Хга и У,. Прямая, относительно которой производится отражение, проходит через ребро еХу и через вершины ус, у^ концевых граней {уа,уь,ус}, {у«,уь,уЛ.

При отражении подграфа Хга (или У,) изменяются координаты вершин, не входящих в грань {уа, уь, у^} (или {уа,уь,ус}). Но номера этих вершин не изменяются. Номера N (уа ),А (уь ) вершин уа,уь общего ребра {уа ,уь} после отражения изменяются, если это изменение не нарушает рекурсивность нумерации вершин графа. В противном случае номера вершин сохраняются. Изменение производится перестановкой так, что N (уа) = N (уь) и N (уь ) = N (уа), где N (уа)^ (уь) — номера вершин уа, уь до отражения.

В качестве примера на рис. 15, в,г показаны этапы выполнения операции отражения подграфа Ую РМВП-графа Сю, двойственный граф которого изоморфен и геометрически подобен графу М8, изображенному на рис. 15, а,б. Граф Сю состоит из двух подграфов Хю = С[{1, 2, 3, 4,5, 6}], Ую = С[{5, 6, 7, 8, 9,10}], концевые грани {4, 5, 6}, {5, 6, 7} которых имеют общее ребро {5, 6}.

При отражении подграфа Ую изменяются только координаты его вершин, не входящих в концевую грань {5, 6, 7}, т. е. вершины 8, 9, 10. Номера этих вершин не изменяются. Изменение номеров вершин 5, 6 концевой грани {5, 6, 7} приводит к нарушению рекурсивности нумерации вершин графа Сю (рис. 15, д). При сохранении номеров вершин 5, 6 рекурсивность нумерации вершин графа Сю не нарушается (рис. 15, г).

Легко видеть, что в любом РМВП-графе Ьга типа «лестница» рёбра его двойственного графа Ь, с чётными (нечётными) номерами параллельны друг другу (см. рис. 12, а,б), а в любом ступенчатом РМВП-графе С, параллельны рёбра его двойственного графа С, с нечётными номерами (см. рис. 13, а,б,в,г,д). Также ясно, что операция отражения подграфа РМВП-графа Ьга типа «лестница» относительно прямой, проходящей через ребро его двойственного графа Ь, с чётным (нечётным) номером, сохраняет параллельность рёбер Ь, с чётными (нечётными) номерами.

1

1

2

Отсюда следует, что чисто формально любой ступенчатый РМВП-граф Сп можно получить из РМВП-графа Ьп типа «лестница» посредством выполнения одной или нескольких операций отражения подграфа Ьп относительно прямой, проходящей через ребро двойственного графа Ь*п с нечётным номером.

В квазиступенчатых РМВП-графах первого вида рёбра их двойственных графов с чётными номерами параллельны друг другу (см. рис. 10). Следовательно, любой квазиступенчатый РМВП-граф Сп первого вида получается из РМВП-графа Ьп типа «лестница» посредством выполнения одной или нескольких операций отражения подграфа Ьп относительно прямой, проходящей через ребро двойственного графа Ьп с чётным номером. Таким образом, каждому квазиступенчатому РМВП-графу первого вида соответствует конформер транс-изомера СПУ.

В любом квазиступенчатом РМВП-графе второго вида условие параллельности рёбер его двойственного графа не выполняется как для рёбер с чётными номерами, так и для рёбер с нечётными номерами. Это означает, что в двойственом графе любого квазиступенчатого РМВП-графа второго вида найдётся по меньшей мере одна пара непараллельных рёбер как с чётными, так и с нечётными номерами. Отсюда следует, что любой квазиступенчатый РМВП-граф второго вида получается из некоторого ступенчатого графа Оп посредством выполнения одной или нескольких операций отражения подграфа Оп относительно прямой, проходящей через ребро двойственного графа С*п с чётным номером. Таким образом, каждому квазиступенчатому РМВП-графу второго вида соответствует некоторый конформер или цис-изомера, или смешанного цис-транс-изомера СПУ.

Очевидно, что операцию отражения можно использовать для определения исходного РМВП-графа, из которого был получен заданный квазиступенчатый граф первого (второго) вида. Далее такие графы мы будем называть порождающими графами.

На рис. 16 в качестве примера показаны этапы построения порождающего РМ-ВП-графа Ью типа «лестница», из которого был получен квазиступенчатый граф Сю первого вида, изображенный на рис. 10, б.

10

2

а

б

в

г

Рис. 16. Этапы построения порождающего РМВП-графа Ью типа «лестница» (г), из которого был получен квазиступенчатый граф Сю первого вида (а); граф С}0, полученный на первом этапе (б); граф С20, полученный на втором этапе (в); граф Ью, полученный на третьем этапе (г); нечётные рёбра двойственных графов изображены утолщёнными линиями

Параметры этапов построения порождающего графа Ью приведены в табл. 7.

В табл. 7 для всех этапов построения использованы определённые выше параметры операции отражения. В столбце «Отражаемый подграф Хп» приведены номера вершин подграфа Хп, в столбце «Конц. грань» — номера вершин концевой грани подграфа Хп, а в столбце «Вершины прямой» — вершины графа, через которые проходит прямая, относительно которой производится отражение.

8

8

6

4

1

1

1

Таблица 7

Параметры этапов построения некоторых порождающих РМВП-графов

Исходный Этап Отражаемый Конц. Ребро еХу Вершины Получ.

граф подграф Хп грань дв. графа прямой граф

16,а 1 (1, 2, 3, 4} (2,3,4} 2 2-5 16,б

16,б 2 {5,6,..., 10} (5,6,7} 4 4-7 16,в

16,в 3 (7, 8, 9,10} (7,8, 9} 6 6-9 16,г

17, а 1 (1, 2, 3, 4} (2,3,4} 2 2-5 17,б

17, б 2 (1,2,..., 10} (6,9,10} 8 6-11 17,в

17, в 3 (1,2,..., 8} (6,7,8} 6 7-9 17,г

На рисунке рис. 17 в качестве примера показаны этапы построения исходного ступенчатого РМВП-графа С^, из которого был получен квазиступенчатый граф С14 второго вида, имеющий вершины степени 6.

14 12

1 \ 2

21

14

12

21

а

б

в

г

Рис. 17. Этапы построения порождающего ступенчатого РМВП-графа С^4 (г), из которого был получен квазиступенчатый граф С14 второго вида (а); граф С\4, полученный на первом этапе (б); граф С14, полученный на втором этапе (в); граф полученный

на третьем этапе (г); нечётные рёбра двойственных графов изображены утолщёнными

линиями

Параметры этапов построения порождающего ступенчатого РМВП-графа С^, как и для предыдущего примера, представлены в табл. 7.

Таким образом, все РМВП-графы класса «2-цепь» можно классифицировать по их порождающим графам. При этом базовыми графами этой классификации являются графы типа «лестница», поскольку любой РМВП-граф Ьга типа «лестница» порядка п является порождающим графом для ступенчатых и квазиступенчатых графов первого вида того же порядка. В свою очередь, ступенчатые графы являются порождающими графами для квазиступенчатых графов второго вида.

Классификация является существенной, поскольку, как было показано выше, есть соответствие между классами РМВП-графов и классами молекулярных графов транс-, цис- и смешанных изомеров СПУ и их конформеров. (Здесь под соответствием имеется в виду наличие изоморфизма и геометрического подобия между молекулярными графами и двойственными графами РМВП-графов.)

8

4

7. Заключение

Результаты исследования метрических свойств МВП-графов (предложения 1-7, формулы (3)-(25)) были использованы при доказательстве теорем 1-4 и при определении индекса Винера экстремальных графов. Эти результаты могут найти применение как при доказательстве теоремы 4 для РМВП-графов класса «2-дерево», так и при определении других топологических индексов, базирующихся на матрице расстояний.

Определены нижняя и верхняя оценки индекса Винера произвольных МВП-графов класса «2-цепь» и экстремальные МВП-графы, на которых эти оценки достигаются (теоремы 2-4, следствие 1). Получены формулы (23), (25) для расчёта нижней и верхней оценок индекса Винера произвольных МВП-графов класса «2-цепь» порядка п. Полученные результаты можно использовать для классификации фигур в изображениях, представляемых в виде МВП-графов класса «2-цепь» [24].

В классе всех РМВП-графов, а также для ступенчатых и квазиступенчатых графов первого и второго видов определены нижняя и верхняя оценки индекса Винера и экстремальные РМВП-графы, на которых эти оценки достигаются. Получены расчётные формулы (32), (33), (36)-(38) для определения индекса Винера экстремальных РВМП-графов.

Показано наличие соответствия (изоморфизма и геометрического подобия) между двойственными графами РМВП-графов разных классов и молекулярными графами изомеров и конформеров СПУ. Тем самым показана возможность использования индекса Винера МВП-графов для распознавания и классификации молекулярных графов изомеров СПУ.

Представляется актуальным продолжение исследований по следующим направлениям: а) определение экстремальных по индексу Винера РМВП-графов класса «2-дерево»; б) определение корреляционных связей между топологическими индексами РМВП-графов и топологическим индексами их двойственных графов.

Автор выражает благодарность канд. хим. наук Д. С. Тихонову (МГУ) за консультации по изомерам и конформерам. Автор благодарен М. Н. Назарову (МИЭТ) за ценные замечания по статье, позволившие значительно улучшить её изложение.

Список литературы

1. Харари, Ф. Теория графов / Ф.Харари. — М. : Мир, 1973. — 300 с.

2. Bollobas,B. Extremal Graph Theory / B.Bollobas. — London; New York; San Francisco : Academic Press, 1978. — 488 p.

3. Станкевич, И. В. Графы в структурной химии / И.В.Станкевич // Применение теории графов в химии. — Новосибирск : Наука. Сиб. отд-е, 1988. — С. 7-69.

4. Gutman, I. Some recent results in the theory of the Wiener number / I. Gutman, Y.N.Yeh, S.L.Lee, Y.L.Luo // Indian Journal of Chemistry. — 1993. — Vol. 32A. — P. 6751-661.

5. Dobrynin, A. A. Wiener index of trees: theory and applications / A. A. Dobrynin, R. C. Entringer, I. Gutman // Acta Applicandae Mathematicae. — 2001. — Vol. 66, no. 3. — P. 211-249.

6. Knor, M. Mathematical aspects of Wiener index / M. Knor, R. Skrekovski, A. Tepeh // Ars Mathematica Contemporanea. — 2016. — Vol. 11, no. 3. — P. 327-352.

7. Entringer, R. C. Distance in graphs / R. C. Entringer, D.E.Jackson, D.A.Snyder. // Czechoslovak Mathematical Journal. — 1976. — Vol. 26, no. 101. — P. 283-296.

8. Fischermann, M. Wiener index versus maximum degree in trees / M. Fischermann, A. Hoffmann, D. Rautenbach, L. Szekely, L. Volkmann // Discrete Applied Mathematics. — 2002. — Vol. 122, no. 1-3. — P. 127-137.

9. StevanoviC, D. Maximizing Wiener index of graphs with fixed maximum degree / D. Stevanovic // MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. — 2008. — Vol. 60, no. 1. — P. 71-83.

10. Wang, H. The extremal values of the Wiener index of a tree with given degree sequence / H.Wang // Discrete Applied Mathematics. — 2008. — Vol. 156, no. 14. — P. 2647-2654.

11. Zhang, X. D. The Wiener index of trees with given degree sequences / X.D.Zhang, Q. Y. Xiang, L. Q. Xu, R. Y. Pan // MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. — 2008. — Vol. 60, no. 2. — P. 623-644.

12. Liu, H. On the Wiener index of trees with fixed diameter / H. Liu, X. F. Pan // MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. — 2008. — Vol. 60, no. 2. — P. 85-94.

13. Das, K. Ch. On maximum Wiener index of trees and graphs with given radius. / K. Ch. Das., M. J. Nadjafi-Arani // Journal of Combinatorial Optimization. — 2017. — Vol. 34, no. 2. — P. 574-587.

14. Dankelmann, P. Average distance and independence number / P. Dankelmann // Discrete Applied Mathematics. — 1994. — Vol. 51, no. 1-2 — P. 75-83.

15. Du, Z. Minimum Wiener indices of trees and unicyclic graphs of given matching number / Z. Du // MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. — 2010. — Vol. 63, no. 1. — P. 101-112.

16. Lin, H. On the Wiener index of trees with given number of branching vertices / H. Lin // MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. — 2014. — Vol. 72, no. 1. — P. 301-310.

17. Lin, H. On segment sequences and the Wiener index of trees / H.Lin // MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry. — 2016. — Vol. 75, no. 1. — P. 91-104.

18. Farley, A. M. Computation of the center and diameter of outerplanar graphs / A.M.Farley, A.Proskurowski // Discrete Applied Mathematics. — 1980. — Vol. 2, no. 3. — P. 185-191.

19. Proskurowski, A. Centers of maximal outerplanar graphs / A. Proskurowski // Journal of Graph Theory. — 1980. — Vol. 4, no. 2. — P. 75-79.

20. Asratian, A. S. Graphs with Hamiltonian balls / A. S. Asratian, N.Oksimets // The Australasian Journal of Combinatorics. — 1998. — Vol. 17, no. 4. — P. 185-198.

21. Носов, Ю. Л. Индекс Винера максимальных внешнеплоских графов / Ю.Л.Носов // Приклад. дискрет. математика. — 2014. — Т. 26, № 4. — С. 112-122.

22. Носов, Ю. Л. О максимальных внешнеплоских графах с двумя симплициальными вершинами / Ю. Л. Носов // Приклад. дискрет. математика. — 2015. — Т. 29, № 3. — С. 95-109.

23. Cyvin, S.J. Chemical relevance of a pure combinatorial problem: Isomers of conjugated polyenes / S.J. Cyvin, E.K.Lloyd, B.N. Cyvin, J.Brunvoll // Structural Chemistry. — 1996. — Vol. 7, no. 3. — P. 183-186.

24. Felzenszwalb, P. F Representation and detection of deformable shapes / P. F. Felzenszwalb // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. — 2005. — Vol. 27, no. 2. — P. 208-220.

25. Носов, Ю. Л. Максимальные внешнеплоские графы с экстремальными значениями диаметра / Ю. Л. Носов // Челяб. физ.-мат. журн. — 2018. — Т. 3, № 4. — С. 421-437.

26. Wolfram Mathematica [Электронный ресурс]. — URL: https://www.wolfram.com/ mathematica (дата обращения: 02.02.2019).

27. Sloane N. J. A. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences [Электронный ресурс]. — URL: http:// www.oeis.org/A004526 (дата обращения: 01.02.2019).

28. Moss, G. P. Basic terminology of stereochemistry (IUPAC Recommendations 1996) / G. P. Moss // Pure and Applied Chemistry. — 1996. — Vol. 68, iss. 12. — P. 2193-2222.

29. PubChem [Электронный ресурс]. — URL: https://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/ (дата обращения: 02.02.2019).

30. ChemSpider [Электронный ресурс]. — URL:http://www.chemspider.com/ (дата обращения: 02.02.2019).

Поступила в редакцию 20.06.2019 После переработки 03.09.2019

Сведения об авторе

Носов Юрий Леонидович, консультант Guardian Software Inc., Калгари, Канада; удаленный офис: Липецк, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 3. P. 285-322.

DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14304

EXTREMAL BY WIENER INDEX MAXIMAL OUTERPLANE GRAPHS WITH TWO SIMPLICIAL VERTICES

Yu.L. Nosov

Guardian Software Inc., Calgary, Canada; remote office: Lipetsk, Russia

[email protected]

We consider the maximal outerplane graphs (mops) with two simplicial vertices, with the extreme values of the Wiener index. The lower Wjf = n2 — 3n + 3 and upper W^ = (4n3 + 6n2 — 4n — 3 + 3( —1)n)/48 bounds of the Wiener index of arbitrary mops of the order n are determined. For the lattice mops (L-mops), i.e. the graphs that are laid out on the lattice of equilateral triangles without voids and overlaps, we prove that the upper bound of Wiener index matches that of the arbitrary mops. The lower bound wiL of Wiener index of L-mops is defined as follows:

wiL] = (n3 + 6n2 — 15n + 26)/18 if (n — 4) mod 3 = 0 and wiL] = (n3 + 6n2 — 9n + 2 — 2( —1)q)/18 if (n — 4) mod 3 = q where q = 1, 2. For the lower and upper bounds of Wiener index of arbitrary and lattice mops we determine the extremal graphs, where these bounds are reached. We provide a constructive classification of L-mops. For all classes of L-mops we determine the extremal graphs and their respective Wiener indices. For each class of L-mops we show the existence of isomorphism and geometric similarity between dual graphs of L-mop class and molecular graphs of isomers and conformers of conjugated polyene hydrocarbons (CPH). The obtained results can be used for classification of shapes in images represented by mops and for classification of CPH isomers.

Keywords: maximal outerplane graph, extremal graph, Wiener index.

References

1. HararyF. Graph Theory. Reading, Addison-Wesley, 1969. 274 p.

2. BollobasB. Extremal Graph Theory. London; New York; San Francisco, Academic Press, 1978. 488 p.

3. Stankevich I.V. Grafy v strukturnoy khimii [Graphs in structural chemistry]. Primeneniye teorii grafov v khimii [Application of graph theory in chemistry]. Novosibirsk, Siberian Scientific Publishing House, 1988. Pp. 7-69. (In Russ.).

4. Gutmanl., YehY.N., LeeS.L., LuoY.L. Some recent results in the theory of the Wiener number. Indian Journal of Chemistry, 1993, vol. 32A, pp. 6751-661.

5. DobryninA.A., EntringerR.C., Gutmanl. Wiener index of trees: theory and applications. Acta Applicandae Mathematicae, 2001, vol. 66, no. 3, pp. 211-249.

6. KnorM., Skrekovski R., TepehA. Mathematical aspects of Wiener index. Ars Mathematica Contemporanea, 2016, vol. 11, no. 3, pp. 327-352.

7. Entringer R.C., Jackson D.E., Snyder D.A. Distance in graphs. Czechoslovak Mathematical Journal, 1976, vol. 26, no. 101, pp. 283-296.

8. Fischermann M., Hoffmann A., Rautenbach D., SzekelyL., VolkmannL. Wiener index versus maximum degree in trees. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2002, vol. 122, no. 1-3, pp. 127-137.

9. Stevanovic D. Maximizing Wiener index of graphs with fixed maximum degree. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2008, vol. 60, no. 1, pp. 71-83.

322

M. HOCOB

10. WangH. The extremal values of the Wiener index of a tree with given degree sequence. Discrete Applied Mathematics, 2008, vol. 156, no. 14, pp. 2647-2654.

11. ZhangX.D., XiangQ.Y., XuL.Q., PanR.Y. The Wiener index of trees with given degree sequences. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2008, vol. 60, no. 2, pp. 623-644.

12. LiuH., PanX.F. On the Wiener index of trees with fixed diameter. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2008, vol. 60, no. 1, pp. 85-94.

13. DasK.Ch., Nadjafi-Arani M.J. On maximum Wiener index of trees and graphs with given radius. Journal of Combinatorial Optimization, 2017, vol. 34, no. 2, p. 574-587.

14. Dankelmann P. Average distance and independence number. Discrete Applied Mathematics, 1994, vol. 51, no. 1-2, pp. 75-83.

15. Du Z. Minimum Wiener indices of trees and unicyclic graphs of given matching number. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2010, vol. 63, no. 1, pp. 101-112.

16. LinH. On the Wiener index of trees with given number of branching vertices. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2014, vol. 72, no. 1, pp. 301-310.

17. LinH. On segment sequences and the Wiener index of trees. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2016, vol. 75, no. 1, pp. 91-104.

18. Farley A.M., Proskurowski A. Computation of the center and diameter of outerplanar graphs. Discrete Applied Mathematics, 1980, vol. 2, no. 3, pp. 185-191.

19. Proskurowski A. Centers of maximal outerplanar graphs. Journal of Graph Theory, 1980, vol. 4, no. 2, pp. 75-79.

20. Asratian A.S., Oksimets N. Graphs with hamiltonian balls. The Australasian Journal of Combinatorics, 1998, vol. 17, no. 4, pp. 185-198.

21. Nosov Yu.L. Indeks Vinera maksimal'nykh vneshneploskikh grafov [The Wiener index of maximal outerplane graphs]. Prikladnaya diskretnaya matematika [Applied discrete mathematics], 2014, vol. 26, no. 4, pp. 112-122. (In Russ.).

22. Nosov Yu.L. O maksimal'nykh vneshneploskikh grafakh s dvumya simplitsial'nymi vershinami [Maximal outerplane graphs with two simplicial vertices]. Prikladnaya diskretnaya matematika [Applied discrete mathematics], 2015, vol. 29, no. 3, pp. 95109. (In Russ.).

23. Cyvin S.J., Lloyd E.K., Cyvin B.N., BrunvollJ. Chemical relevance of a pure combinatorial problem: Isomers of conjugated polyenes. Structural Chemistry, 1996, vol. 7, no. 3, pp. 183-186.

24. Felzenszwalb P.F Representation and detection of deformable shapes. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2005, vol. 27, no. 2, pp. 208220.

25. Nosov Yu.L. Maksimal'nye vneshneploskie grafy s ekstremal'nymi znacheniyami diametra [Maximal outerplane graphs of extremal diameter values]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2018, vol. 3, iss. 4, pp. 421-438. (In Russ.).

26. Wolfram Mathematica. Avaiable at: https://www.wolfram.com/mathematica, accessed: 02.02.2019.

27. Sloane N.J.A. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Avaiable at: http:// www.oeis.org/A004526, accessed: 01.02.2019.

28. Moss G.P. Basic terminology of stereochemistry (IUPAC Recommendations 1996). Pure and Applied Chemistry, vol. 68, iss. 12, pp. 2193-2222

29. PubChem. Avaiable at: https://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/, accessed: 02.02.2019.

30. ChemSpider. Avaiable at: http://www.chemspider.com/, accessed: 02.02.2019.

Accepted article received 20.06.2019 Corrections received 03.09.2019