Застосування комп’ютерних математичних засобів для формування методологічних знань і вмінь майбутніх учителів математики Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Кугай Н.В., KaniHi4eHHO М.М., Прокопець Т.О. Застосування комп'ютерних математичних засоб'!в для формування методолог'нних знань i вм'шь майбутшх учителiв математики //Ф'!зико-математична осв'!та : науковий журнал. - 2017. - Випуск 4(14). - С. 48-52.

Kuhai N., Kalinichenko M., Prokopets T. Using Computer Mathematics Tools For Formation Of Methodological Knowledge And Skills Of Future Mathematics Teachers // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 4(14). -Р. 48-52.

УДК 378.011.3

Н.В. Кугай

Глумеський на^ональний педагогчний унверситет '¡меш Олександра Довженка, УкраУна

nkuhai@gmail.com М.М. Кал^ченко

Рад'юастроном'мний iнститут НАН УкраУни, УкраУна

kalinich@rian.kharkov.ua Т.О.Прокопець

Глух'1вський на^ональний педагог 'нний ушверситет ¡мен Олександра Довженка, УкраУна

prokopets4113@ gmail.com

ЗАСТОСУВАННЯ КОМП'ЮТЕРНИХ МАТЕМАТИЧНИХ ЗАСОБ1В

ДЛЯ ФОРМУВАННЯ МЕТОДОЛОГ1ЧНИХ ЗНАНЬ I ВМ1НЬ МАЙБУТН1Х УЧИТЕЛ1В МАТЕМАТИКИ

Анота^я. У статтi розглянуто змст методолог'мних знань технолог'много рiвня майбутнього вчителя математики. З'ясовано, як знання про комп'ютерн'} засоби математики доцльно в'днести до методолог'мних знань. Наведено приклади застосування комп'ютерних засоб'в GRAN1, GRAN-2D, Maxima на заняттях з дисциплiн математичного циклу: математичний анал'з, методи обчислень, iнтегральнi р'1вняння, методи оптим'заци. Показано, що пд час розв'язування пропонованих приклад'в в'}дбуваеться формування методолог'мних знань про комп'ютернi засоби математики i вмЫь Ух застосовувати. Кр'\м того обфунтовано, що застосування комп'ютерних програм е ефективним засобом формування методолог'мних знань i вм'1нь майбутнього вчителя математики. Зокрема, воно сприяе розвитку вмЫня застосовувати р'зн способи i методи розв'язування задач, пор'внювати Ух ефектившсть i доцiльнiсть. Для кожного наведеного прикладу сформульовано дидактичну мету застосування комп'ютерних програм: для самоанал'зу, рефлекси; як зааб розв'язання певного етапу задачi; для ур'вномаштнення метод'в i способ'в розв'язання задачi тощо.

Ключовi слова: методологий знання i вмЫня, комп'ютернi засоби математики, майбутнй учитель математики.

Постановка проблеми. Об'ективш тенденци загальносв^ового розвитку та прагнення УкраТни штегруватися в европейське сшвтовариство визначають стратепчш напрями модершзаци осв^и УкраТни. Сучасний стан розвитку сусптьства характеризуеться с^мким зростанням потоку вщомостей, шдвищенням значущост математичного знання в професшнш дiяльностi людства.

Збтьшуеться не ттьки кшьшсть наук, як застосовують математику як зааб розв'язання поставлених задач i як мову, але й обсяг математичних знань, використовуваних цими науками [11, с. 5]. У зв'язку з цим на перший план виступае задача подготовки творчоТ особистосл, здатноТ швидко орiентуватися в нових сощальних, економiчних i виробничих ситуащях. 1ншими словами, потрiбен фахiвець здатний самостшно оргашзувати дiяльнiсть: виявити протирiччя, сформулювати проблему i мету, ппотезу, виокремити об'ект, предмет дiяльностi, визначити завдання, штерпретувати отримаш результати, сформулювати висновки, тобто е потреба у фахiвцевi, який володiе методолог'мними знаннями i вм'1ннями.

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

Методолопчш знання - це знання про знання, про методи шзнання, про способи побудови i фшсацм знань, знання про органiзацiю продуктивно! дiяльностi. Методологiчнi вмiння - здатшсть застосовувати методологiчнi знання.

Аналiз актуальних дослiджень. Особливостi формування окремих елементiв методологiчних знань i вмiнь пщ час навчання рiзних дисциплiн у ЗОШ i ВНЗ розглянуто у роботах О. Вегнер, А. Жохова, Л. ЗоршоТ, Т. 1вановоТ, Н. КадулшоТ, Н. КочергшоТ, О. СотшковоТ, М. ШабановоТ та iнших.

Методолопчш знання як когштивний компонент методолопчноТ культури вчителя дослiджувалися у роботах П. Кабанова, В. Кирилова, В. Клепикова, В. Кушшра, О. ЛаврентьевоТ, В. Сластьонша, Б. Спаського, О. Тушлко, О. Ходусова, С. ШевцовоТ та iнших.

Розробка теоретичних i практичних аспемчв застосування 1КТ шд час навчання математики як у загальноосв^нш школi, так i у ВНЗ знайшла свое вiдображення у роботах Ю. Горошка, М. Жалдака, Т. Крамаренко, С. Ракова, Ю. Рамського, О. Сшваковського, Ю. Триуса та шших.

Мета статп - розглянути шляхи застосування комп'ютерних математичних засобiв для формування методологiчних знань i вмшь майбутнiх учителiв математики.

Виклад основного матерюлу. На сьогодш найпоширенiшою е структурна модель методолопчних знань, в якiй виокремлено чотири рiвнi: фiлософський; загальнонауковий; конкретно науковий; технолопчний. Змiст методологiчних знань кожного рiвня майбутнього вчителя математики детально розглянуто нами у робот [6]. Зупинимося на змiстi методологiчних знань технолопчного рiвня. До цього рiвня вiдносяться знання про: прийоми та способи дослщження, якi вибудовуються у певну послщовшсть дiй -процедуру; методику дослщження (власне реалiзацiя методу: прив'язка одного або комбшащя ктькох методiв та процедур до дослщження, вибiр та розробка методичного шструментарш, стратегй'); технiку та шструментари (реалiзацiя методу на основi простих операцш, прийомiв, послiдовних дiй).

До методолопчних знань технолопчного рiвня доцiльно, на нашу думку, вщнести i знання про використання комп'ютерних засобiв математики, а саме знання про:

1) наявшсть таких засобiв (Тх назви, можливiсть доступу);

2) простоту використання;

3) можливост комп'ютерного засобу;

4) безпосередне використання самого засобу;

5) необхщшсть i доцшьшсть використання комп'ютерного засобу.

Формування i розвиток перерахованих методолопчних знань i вмшь Тх застосовувати мае вщбуватися шд час вивчення практично в0х дисциплш математичного циклу. Це сприяе, ^м шшого, реалiзацiТ iнтегративного пiдходу до формування методолопчних знань i вмшь; розвитку у студенев здатност творчо застосовувати набут знання, вмiння i досвщ у майбутнiй професiйнiй дiяльностi.

Майбутнш учитель математики повинен знати, що застосування комп'ютерних програм пiд час навчання математики «мае переду0м сприяти досягненню педагогiчних цiлей за рахунок використання технолопчного пщходу до опанування ... математичних методiв дослiдження розмаТтих процесiв i явищ, створення i вивчення Тх ... моделей» [2, с. 47].

На сьогодш розроблено значну кшьтсть комп'ютерних засобiв, ям орiентованi на користувачiв рiзноТ подготовки: Derive, GRAN1, GRAN-2D, GRAN-3D, DG, Maple, Mathematika, MathLab, Maxima, Numeri, Reduce, Statgraphта iншi.

Серед рiзноманiтних комп'ютерних програм, якi можна використовувати пщ час навчання математики як студенлв, так i учнiв, варто назвати комплект програм GRAN (GRAN1, GRAN-2D, GRAN-3D) i Maxima. Назваш програми розповсюджуються через 1нтернет безкоштовно, простi у використаннi, оснащенi зручним штерфейсом.

Безпосередне використання програмного засобу GRAN1 шд час вивчення навчальних дисциплш «Математичний аналiз» (iнтегральне числення функци однiеТ дiйсноТ змiнноТ), «Теорiя ймовiрностей i математична статистика», «Елементарна математика» наведено у роботах [3; 4 та ш.]. Крiм того, цей програмний зааб може бути використаний на заняттях з навчальних дисциплш «Диферен^альна геометрiя i тополопя» (за його допомогою можна будувати i дослщжувати кривi, заданi неявно або параметрично); «Методи обчислень» (пщ час вивчення цього курсу значення похщноТ функцГТ в точцi, визначений штеграл обчислюють чисельними методами), «Операцшне числення» (для розв'язування задач лшшного програмування геометричним методом) та шших. Наведемо приклади задач з рiзних математичних дисциплш, пщ час розв'язування яких формуються методологiчнi знання про комп'ютерш засоби математики та вмшня Тх застосовувати.

Приклад 1. («Методи обчислень»). У поабнику [5, с. 189] пропонуеться обчислити за формулою

студентам для самостшноТ роботи. Самоаналiз можна здшснити за допомогою програми GRAN1 (рис. 1).

середнiх прямокутнимв iнтеграл

Аналогiчний приклад можна запропонувати

о

Рис. 1. Обчислення iнтеграла

Приклад 2. («Методи опти1^заци»). Пщприемство виготовляе два види продукци А, В, використовуючи для цього три види ресурав 1, 2, 3. Норми витрат ycix ресурав на одиницю продукци та запаси ресурав наведено в таблица

Ресурс Норми витрат на одиницю Запас

продукци за видами ресурсу

А В

1 1 3 180

2 5 1 250

3 4 2 800

B^Mi цiна одиницi продукци кожного виду: А - 9 грн., В - 6 грн. Визначити план виробництва продукци, що забезпечуе шдприемству найбтьший прибуток. Математична модель дано)'задачi мае вигляд:

z = 9x + 6x ^ max

'x + 3x - 180,

5x + X - 250, 4x + 2x - 800,

X > 0, x > 0.

На етапi, коли студенти опанували геометричний метод розв'язування задачi лiнiйного програмування, а метою е формування саме вмшь застосовувати метод математичного моделювання, варто застосувати програмний зааб GRAN1 (рис. 2).

З аналопчною метою (як допомiжний зааб) доцшьно застосувати програмний засiб GRAN1 шд час дослiдження функцГГ двох змшних z - f (x;y) на екстремум («Математичний аналiз»), а саме для

Г fX(X; У) = 0,

розв'язування системи [ . Наведемо приклад (фрагмент дослiдження функцil на екстремум -

[fy(X У) = 0

знаходження стацюнарних точок).

Приклад 3. Знайти стацюнарш точки функцГГ z = 3x2y+y3 —18x—30y .

Знайдемо частиннi похщш першого порядку i прирiвняемо ïx до нуля. Маемо систему:

6xy—18 = 0, Г хУ—3 = 0,

, , , яка пiсля спрощення мае вигляд [ - -

3x + 3y — 30 = 0, р щ д [x2 + y2 —10 = 0

GRAN1. Вибираемо тип залежност - неявний, будуемо графiки вказаних залежностей, встановивши курсор в точки перетину графшв залежностей знаходимо стацюнарш точки M1(1;3),M2(3;1),M3(—1; —3),M4(—3; —1) (рис. 3).

2 2 m Для розв'язання системи застосуемо

Зрозумшо, що систему

xy - 3 = 0,

2 2 m ^студенти можуть (i зобов'язанi) розв'язати без комп'ютерноУ

[х2 + / -10 = 0

програми. Але, на нашу думку, саме на таких прикладах, де можна перевiрити результат за допомогою шшого методу, i варто продемонструвати можливостi комп'ютерного засобу.

Рис. 2. Допустима область задачi л'1н'1йного програмування

Рис. 3. Графiки залежностей

Варто зауважити, що знання про комп'ютерн засоби математики та вмшня ïx застосовувати виступають, у свою чергу, ефективним засобом формування шших елеменлв методологiчниx знань i вмiнь, зокрема вщГграють значну роль у розвитку вмшня застосовувати рiзнi способи i методи розв'язування задач, порiвнювати ïx ефектившсть i доцшьшсть. Наведемо приклади.

Приклад 4. («Елементарна математика»). Побудувати коло, яке проходить через три задан точки.

Доцшьно запропонувати студентам розв'язати цю задачу трьома способами: 1-ий спосiб - метод координат; 2-ий спосiб - без методу координат, засобами елементарноУ геометри; 3-ш спосiб - комп'ютернi засоби математики (наприклад, нами було застосовано GRAN-2D).

Приклад 5. («1нтегральш рГвняння»). Розв'язати штегральне рГвняння

y(x) = J (3 - 2x + 2t)y(t)dt+1 x3 +1 x2 - x+1, звГвши його до задачi КошГ. Останню розв'язати: а) методами 0 32 навчальноУ дисциплГни «Диференцiальнi рГвняння»; б) застосувавши операцiйне числення; в) застосувавши комп'ютерну програму Maxima.

На рисунку 4 наведено розв'язання одержано! задачГ КошГ операцГйним методом Гз застосуванням комп'ютерноУ програми Maxima.

Рис. 4. Розв'язання задачi Кошi за допомогою програми Maxima

Висновки. Таким чином, тд час вивчення навчальних дисциплш математичного циклу вГдкриваються рГзномаштш шляхи застосування комп'ютерних засобГв математики для формування методолопчних знань i вмшь майбутшх учителГв математики.

Список використаних джерел

1. Бевз Г. П. Методика викладання математики : навч. поабник. К. : Радянська школа, 1989. 296 с.

2. Вiрченко Н. О. Нариси з методики викладання вищоТ математики. К., 2006. 396 с

3. Жалдак М. I., Михалш Г. О., Деканов С. Я. Математичний аналiз. Функци багатьох змшних : Навчальний поабник. К. : НПУ iменi М. П. Драгоманова, 2007. 430 с.

4. Жалдак М. I., Горошко Ю. В., Вшниченко £. Ф. Комп'ютер на уроках математики : Поабник для вчителiв. К. : Техшка, 1997. 303 с.

5. Жалдак М. I., Рамський Ю. С. Чисельш методи математики : поабник для самоосвп"и вчителiв. К. : Рад. шк., 1984. 206 с.

6. Кугай Н. В. Методолопчш знання майбутнього вчителя математики : монографiя Харкiв : ФОП Панов А. М., 2017. 336 с.

References

1. Bevz H. P. Metodyka vykladannia matematyky : navch. posibnyk. K. : Radianska shkola, 1989. 296 s.

2. Virchenko N. O. Narysy z metodyky vykladannia vyshchoi matematyky. K., 2006. 396 s

3. Zhaldak M. I., Mykhalin H. O., Dekanov S. Ya. Matematychnyi analiz. Funktsii bahatokh zminnykh : Navchalnyi posibnyk. K. : NPU imeni M. P. Drahomanova, 2007. 430 s.

4. Zhaldak M. I., Horoshko Yu. V., Vinnychenko Ye. F. Kompiuter na urokakh matematyky : Posibnyk dlia vchyteliv. K. : Tekhnika, 1997. 303 s.

5. Zhaldak M. I., Ramskyi Yu. S. Chyselni metody matematyky : posibnyk dlia samoosvity vchyteliv. K. : Rad. shk., 1984. 206 s.

6. Kuhai N. V. Metodolohichni znannia maibutnoho vchytelia matematyky : monohrafiia Kharkiv : FOP Panov A. M., 2017. 336 s.

USING COMPUTER MATHEMATICS TOOLS FOR FORMATION OF METHODOLOGICAL KNOWLEDGE AND SKILLS OF FUTURE MATHEMATICS TEACHERS Nataliia Kuhai

Hlukhiv national pedagogical university of Oleksandr Dovzhenko, Ukraine Mykola Kalinichenko Radio astronomy institute of NAS of Ukraine, Ukraine Tetiana Prokopets Hlukhiv national pedagogical university of Oleksandr Dovzhenko, Ukraine Abstract. The article describes the content of the methodological knowledge of the technological level of the future teacher of mathematics. Found that the knowledge about computer tools of mathematics would be appropriate for methodological knowledge. Examples of application of computer means GRAN1, GRAN-2D, the Maxima in the classroom for mathematical cycle disciplines: mathematical analysis, methods of computation, integral equations, optimization methods. It is shown that the solution of the proposed examples is the formation of methodological knowledge about computer tools of mathematics and the skills to apply them. In addition it is proved that the use of computer programs is an effective means of formation of methodological knowledge and skills of future teachers of mathematics. In particular, it contributes to the development of the ability to apply various ways and methods of solving tasks, to compare their effectiveness and usefulness. For each example formulated didactic purpose of the application of computer programs: for introspection, reflection; as a means of solving a particular step of the task; for a variety of methods and techniques for problem solving and the like.

Key words: methodological knowledge and skills, computer mathematics tools, future mathematics teacher.