Замкнутые одевающие цепочки уравнений Тоды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.957/517.958

A. В. Юров, А. А. Юрова, Р. В. Чириков ЗАМКНУТЫЕ ОДЕВАЮЩИЕ ЦЕПОЧКИ УРАВНЕНИЙ ТОДЫ

Метод одевающих цепочек дискретных симметрии применяется для размножения цепочек Тоды в случае одного и двух пространственных измерений. На примере модифицированных уравнений Тоды

__мЦТ и м-ЦТ показано, что комбинация преобразований Дарбу и Шле-

54 зингера приводит к замкнутым одевающим цепочкам.

The method of closed chains of discrete symmetries is used to multiply Toda lattices in one and two spatial dimensions. Using the modified Toda equations m0TCand m-TC as an example, it is shown that the combination of the Darboux and Schlesinger transformations leads to closed dressing chains.

Ключевые слова: одевающие цепочки Тоды, преобразование Дарбу, преобразование Шлезингера.

Keywords: dressing Toda chains, Darboux transformation, Schlesinger transformation.

Введение

Данная работа посвящена применению метода одевающих цепочек дискретных симметрии к уравнениям цепочки (в том числе двумери-зованной) Тоды. Мы начинаем с нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ)

+ ихх + 2и 2 V = + ухх + 2у 2 и = 0, (1)

которое допускает два типа дискретных симметрий — преобразование Дарбу [1] и преобразование Шлезингера [2]. Последнее преобразование приводит к связи НУШ с уравнениями цепочки Тоды (ЦТ) [3]. Используя это свойство и LA-пару для НУШ, легко получить LA-пару для уравнений ЦТ. Зная, в свою очередь, преобразование Дарбу для НУШ, находим преобразование Дарбу для уравнений ЦТ. Применяя теперь метод одевающих цепочек, можно построить модифицированные уравнения ЦТ, которые мы будем обозначать м1 ЦТ (с верхним индексом). Для получения этих уравнений достаточно знать явный вид L-операто-ра НУШ. Повторяя описанную процедуру с A-оператором уравнений (1), находим соответствующие симметрии (в смысле работы [4]) уравнений м1 ЦТ . Вся эта схема реализована во втором разделе статьи. Мы покажем, что возникает замкнутая одевающая цепочка, связывающая уравнения ЦТ и уравнения Вольтерра.

Альтернативный способ размножить цепочки Тоды описан в третьем разделе и состоит в следующем: строим цепочки дискретных

© Юров A. В., Юрова А. А., Чириков Р. В., 2018

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта.

Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 3. С. 54—72.

симметрии для НУШ и находим соответствующие модифицированные НУШ, обозначаемые как мкНУШ. Каждое из них наследует от исходного НУШ (1) преобразования Шлезингера, которые определяют соответствующие цепочки типа Тоды — мкЦТ ^ нижним индексом). Поскольку LA-пары и преобразование Дарбу для мкНУШ известны (в этом вся сила метода одевающих цепочек), можно найти LA-пары и преобразование Дарбу для мкЦТ. Применяя метод, описанный в предыдущем абзаце, находим новые семейства уравнений типа Тоды, которые можно обозначить м^ЦТ . Нижний индекс в этой записи ука-зыывает на номер модифицированного НУШ, порождающего соответствующую цепочку. Так, уравнения изученные во втором разделе, принадлежат классу м0ЦТ, а уравнения из третьего раздела — классу мЦТ.

В четвертом разделе мы обобщим наш подход на двумеризованные цепочки, используя в качестве отправных уравнения Дэви — Стюарт-сона. Будут построены двумерные одевающие цепочки первого и второго рода.

Существует большое количество работ, в которых изучалась связь между интегрируемыми моделями типа (1) с дифференциально-разностными цепочками типа Тоды (см.: [5]). Связь таких цепочек с наличием дифференциальных подстановок, переводящих решения интегрируемых систем типа (1) в решения этих же уравнений, обсуждалась ранее в [6; 7]. Классификация интегрирумых цепочек проводилась в работах [4; 8 — 10]. Наши результаты тесно связаны (и даже частично перекрываются) с результатами, полученными в [11], поэтому нам показалось необходимым в последнем разделе кратко объяснить это обстоятельство. Предлагаемая статья является продолжением работы одного из авторов [12], которая, в свою очередь, быта инициирована статьей [13].

Уравнения м0 ЦТ

LA-пара для (1) имеет вид

Ух = -¡с3 УЛ + ¡ЗУ, У = -2/'ст3 УЛ2 + 2/5УЛ + (2)

где

5=(! 0), Л=(о I), =^- хЛ

где Я и / — спектральные параметры; с3 — третья матрица Паули; У — матричная функция 2 х 2 .

Обозначим элементы первого столбца этой функции у/п и фп, и = ип, V = Уп. Тогда L-уравнение системы (2), расписанное в компонентах, примет вид

¥п,х = + шпфп, фд = Щп + тпуп. (3)

55

56

Элементы второго столбца Т удовлетворяют аналогичной системе с заменой X ^ и.

Преобразования Шлезингера для (1) имеют вид

и„ ^ и

^"»+1 "п

= ип+(!пип)хх 1 ^ ^У^^-1, (4)

Уп ^ Уп+1 = (-2Х + ¿(1п ип )х ) + ипфп, Фп ^ фп+1 = У. (5)

ип

Формулы обратных преобразований:

1

Ъп ^ Ъп-1 = Vп [ип^ + (1п Ъп )хх ], ип ^ ип-1 = -

фп ^ фп-1 = (2Х + ¿(1п Ъп )х )фп + ЪпУп, Уп ^ Уп-1 = —.

Ъп

(6)

Обозначим

Цп - ln(Un ), Рп - Чп,х, ^ = — = ^-9п-1. (7)

ип

*п-1

Прямой проверкой легко убедиться, что функции удовлетворяют уравнениям ЦТ:

Чп,хх = еЧп+1 -Чп - еЧп -Чп-1- (8)

Эта замечательная связь между (1) и (8) была отмечена во многих работах (см.: [3—5]). Наша первая цель — получить LA-пару для (8) из уравнений (3). Для этого удобно определить оператор сдвига Т :

Тип = ип+1-

Действуем Т 1 на второе уравнение (5), подставляем выражение для фп в первое уравнение из (3) и получаем первое уравнение LA-пары:

Уп,х = -Х Уп + IипУп-1. (9)

Чтобы найти второе уравнение пары, подействуем Т на второе уравнение (3) и подставим в «сдвинутое» соотношение фп+1, выраженное из второго уравнения (5), Уп+1 — из второго уравнения (4), и Упх — из (9). В результате получим:

Уп+1 = (2Х + ¿Рп )Уп + ип Уп-1. (10)

Условия совместности (9) и (10) записываются как два уравнения

Рп,х = ип+1 - ип, ип,х = ип (Рп - Рп-1 ^

которые сводятся к уравнениям ЦТ (8) после учета (7). Таким образом, (9) и (10) представляют собой искомую LA-пару.

Теперь получим преобразование Дарбу для уравнений ЦТ, используя элементарные преобразования Дарбу для НУШ (1), описан-

ные в [14]. Пусть у1 и ф1 — элементы первого столбца матричного решения У уравнений (2) с Я = Я1. Тогда можно написать два вица преобразований Дарбу (индексы опущены):

У — У

.(1) _

2(Я-Я) +—и У1

у-иф, ф —ф(1) = ф-^-у

¥1

и

и — и

у —(1) у = у -

и —(1) и = У

(1) = шх -\2Я1 -фи Iи,

I ¥ У

(11)

V — V

(1)

¥1

У\_ ф

ф, ф —(1) ф =

2(Я1 -Я) + У V

ф- vу,

V —(1) V = +

\ 2Я1 +У V Л 1 ф1 у

(12)

V.

Пусть у2, ф2 — элементы второго столбца У, причем / = Я. Выполним последовательно преобразования (11) и (12):

и — и(1) —(2) и(1), V — v(1) —(2) v(1),

у — у(1) —(2) у(1),

, —ф(1) —(2) ф(1).

(13)

Отметим, что преобразования Дарбу коммутируют друг с другом так, что

(2)и(1) =(1) и(2),

(2)v(1) =(1) v(2)

Если расписать выыражения (13) для дважды одетых потенциалов и волновыых функций в явном виде, то можно убедиться, что получены формулы «обыпчного» преобразования Дарбу для НУШ, предъявленные в [1]. Именно это обстоятельство позволяет называть преобразования (11) и (12) элементарными преобразованиями Дарбу. К сожалению, эти преобразования неудобны для нахождения точных решений НУШ, поскольку они не позволяют в общем виде сохранить редукционное

ограничение и = ±v , в отличие от преобразований (13).

Теперь легко найти преобразования Дарбу и для уравнений ЦТ. Опуская простые вычисления, приведем окончательный ответ. Пусть {у1,п } — решение LA-пары (9) — (10) с Я = Я1. Тогда имеем два преобразования Дарбу для уравнений ЦТ, которые мы обозначим буквами Я и Ь:

57

Я :¥п — уП1 = -¥п+1 +

У1,п+1

У1,п

Уп, Чп — № = Чп + Ь

У1,п+1

У1,п

(14)

и

I : Уп —(1) Уп = Уп --У-Уn-1, Чп —(1) Чп = Чп-1 +

у1,п-1 у1,п-1^

58

Используя LA-пару (9) — (10), несложно найти первые модифицированные уравнения ЦТ. Для этого введем функции тп и 4 :

У1,п 1

5 2

У1,п+1 д4п

причем д — -¡д/дх, Уп — ¡рп . Вид функции тп диктуется формулами (14) и (15). В новых переменных LA-пара для уравнений ЦТ принимает вид

1

дтп = тп (п-1ип -Тпип+1), Гп+1 = ~ 77 77 . (16)

2Х1 + К+1 + тпип+1

Отметим, что первое уравнение квадратично нелинейно по вспомогательным полям тп, как и «положено» в методе одевающих цепочек [13].

Исключая из (16) потенциалы ип, ип+1 и Уп+1, находим уравнения м1 ЦТ, которые оказываются уравнениями Вольтерра (можно записать эти уравнения в более привычном виде — см. (17), (52))

4 = д4п (е4 -4+1 - е4-1 -4). (17)

Для получения одевающих цепочек дискретных симметрий можно воспользоваться Я- или ¿-преобразованиями (14) и (15). Выберем формулы (14). При этом правила преобразования Vп и Уп задаются выражениями

ип ^ ^ ип , Уп ^ Уп0)= Уп +?п-ип -Т„ип+1.

Тп

Пусть У2п — решения (9), (10) с X = Х2, у21п вычисляется из (14), а

Сп — функция, определяемая формулой

У(1)

г 2,п+1

дСп = —-.

у2,п

После простых вычислений находим искомые цепочки:

еСп-Сп+1 дСп = е4-4п+1 д4п+1, д(Сп-4) = 2(Х2 -Х1) + еСп-1 -Сп -е4-4п+1.(18)

Из (18) легко извлечь LA-пару для (17). Обозначая Сп = 1ПТп, находим

дТп = ^п Тп+1 = (п-1 + X ) + Тп-1, (19)

где

Ап = е4 -41д4+1, Вп = д4п+1 - е4п+1 -4+2, (20)

а новый спектральный параметр X связан со старым X соотношением X = 2(X —X). Отметим, что условие совместности уравнений (19) имеет вид уравнений обычной цепочки Тоды

дАп = Ап (Вп-1 - Вп), дВп = Ап+1 - Ап (21)

и сводится к (17), если подставить в (21) выражения (20). Выраженное в новых зависимых переменных, ^-преобразование (14) оказывается ¿-преобразованием (15). Другими словами, возникает замкнутая однозвенье-вая одевающая цепочка дискретных симметрии, на одном конце которой «находятся» уравнения ЦТ, а на другом — уравнения Вольтерра (м1ЦТ).

Для полноты изложения приведем соответствующие формулы. Пусть п — решения (19) при Я = Я1 ф 0. ^-преобразование (14) индуцирует ¿-преобразование Дарбу (15) для (19) и (21) (это проверяется прямым вычислением):

Бп ^(1) Бп = Бп+1 + д 1пстя+1, где функции кп = Ч'1пудовлетворяют системе уравнений (ср. с (16))

дап = An - (Bn + -К - К, к+1 = B A"+1 - . (22)

Bn + Kn + -1

Используя (21) и (22), исключаем потенциалы Бп и снова получаем уравнения Вольтерра:

д 1п Кп = Рп -Рп+Ъ д 1п Рп = Кп -ап-1> (17)

ГДе рп = Ап/Кп .

Аналогично рассматриваются уравнения, связанные с динамикой по переменной t. Переписывая (1) в терминах полей яп, рп и учитывая (8), находим известную симметрию уравнений (8):

-iqn,t = рП + eqn+1-qn + eqn-qn-1. (23)

Можно повторить все описанные выше действия: найти LA-пару, применить преобразование Дарбу и построить симметрию уравнений Вольтерра. Соответствующие формулы неоднократно описаны [4; 8], поэтому мы не будем их приводить. Отметим, что в работе [4] приведен полный (с точностью до калибровочных, линейных и галилеевских преобразований) список интегрируемых обобщений классической и релятивистской цепочек Тоды вида

qn,xx =2 > Чп > Рп+i > Рп )- F (Яп > Яп-1, Рп, Рп-i )).

обладающих симметриями вида

Яn,t = -2 (Р(Чп+1 > Чп > Рп+1 > Рп ) + F(Яп, Яп-1, Рп, Рп-1)).

Используя метод одевающих цепочек, нам удалось получить только два уравнения из этого списка (уравнения ЦТ и Вольтерра). Вопрос,

59

можно ли подобным образом вывести остальные уравнения, нуждается в дополнительном исследовании. В следующем разделе мы получим новые обощения уравнений ЦТ по схеме, описанной во введении статьи.

Уравнения м1ЦТ

Используя преобразование Дарбу (13) и LA-пару для НУШ (1), можно построить первое мНуШ (то есть м^НУШ), которое имеет вид

(¿¿2 -4Ьс) ( + ЬХХ -2Ь2с) + 2а(ас + 2кх)Ь2 + 2(Ьхс + 2Ьсх)ЬХ = 0, (¿2 - 4Ьс)-щ + схх - 2с2Ь) + 2а (аЬ - 2гЬХ )с2 + 2(ЬсХ + 2ЬХс)сХ =0,

где а = Л + /, ¿ = Л- /; X и / — по-прежнему спектральные параметры задачи (2); Ь = Ь(х,t) и с = с(х,^ — новые зависимые переменные, определенные соотношениями

, и -(2) и(1) (2) - V Ь =-, с =-.

Если а = ¿ = 0, то уравнения (24) принимают изящный вид

¡Ь. + ЬХХ - 2Ь2с - ^ - - — = 0, -¡с, + сХХ - 2Ьс2 - ЬХсХ - - — = 0. (25)

ь ХХ с 2 ь Ь 2 с

Преобразования Шлезингера для (25) определяются формулами (ср. с (4), (6))

1(2спЬ2„х -2спЬ

п п,хх + с 2, х 2,х 2 + 4с2пЬъп)2

Ь2 " Ьп+, = —

п п+1 4 с2Ьп (Ь1Х - 4с X)

4спЬ2

сп " сп+1

э 2

ЧГл

-п п+1 ,2. ,3

Ь1х - 4спЬ3

Ь " Ь = 4Ь пс2

Ьп ^ Ь п-1

(26)

-1 2 3

сп,х - 4Ь пс3

= 1 (2Ьпс 1,х - 2Ьпспсп,хх + Ьп,хсп,хсп + 4Ь2с3)2

сп " с„-1 4 Ь 2 с ( 2 , 3 ,

4 Ьпсп (с п,х - 4Ьпсп >

причем

(Ьп+1) п-1 V п-1 п+1

= Ь, (с +1)

-1 -1 +1

Формулы (26) были выведены нами из цепочек дискретных симмет-рий для НуШ. В методических целях кратко опишем непосредственный способ их получения.

В основе лежит сравнение уравнений (25) и (1). Рассмотрим, для определенности, преобразования +1 в (26). В случае преобразо-

2

2

ваний Шлезингера (4) для НУШ видно, что новые поля выражаются через старые с помощью следующей функциональной зависимости (чтобы не загромождать формулы, опустим часть индексов):

и„+1 = Щи, V, щ, ихх), уп+1 = У(и). (27)

По аналогии с (27) для мНуШ (25) следует выбрать

Ьп+1 = Б(Ь, с, д, р, м), Сп+1 = С(Ь, с, д), (28)

где величины д = Ьх, р = сх, м = дх рассматриваются как независимые переменные, а Б и С подлежат определению. Теперь надо подставить (28) в мНуШ, исключить производные по времени с помощью (25) и приравнять по отдельности нулю выражения, стоящие при независимых переменных. Так, приравнивая нулю коэффициент при мх во втором уравнении (25), находим после простого интегрирования по переменной м :

Б = Сд + дСь + РСс )б (Ь, c, g, p),

где 5 (Ь, с, д, р) — произвольная функция своих аргументов. Приравнивая нулю коэффициент при т, получаем:

Сд =0, Бр =0.

Дальнейшее вычисление показывает, что следует выбрать второй вариант, откуда Б = 2(Ь, с, д). Далее обнуление коэффициента при рх приводит к простому уравнению в частных производных, интегрирование которого дает функциональную зависимость для С :

С = С

( 2 А

ь, дд-

с

У

Коэффициент при м2 приводит к уравнениям Риккати, однако можно упростить дальнейшие вычисления с помощью следующего наблюдения. Пусть

Ь = gl(t) + еМх, 0, с = g2(t) + е/2(х,í). (29)

Подставляя (29) в (25), видим, что при е ^ 0 два последних слагаемых в (25) пренебрежимо малы и уравнения (25) превращаются в (несо-литонное) НуШ. Это означает, что в таком пределе искомые преобразования Шлезингера должны переходить в преобразования Шлезингера (4). Отсюда следует, что

— = -Ь + Г С

( 2 А

( ь, дд-

с

У

причем Г(Ь,0) = 0 (е ^ 0 равносильно тому, что д ^ 0 и р ^ 0). Последнее означает, что функцию Г можно разложить в ряд по степеням д 2/с . Учитывая, что размерности величин Ь , с их связаны соотношением [Ь][с] = [х]-2, получаем анзац для С :

61

62

л ГО

т=1

( 2 Ат

Ь1-3т, (30)

с

V У

где От — постоянные безразмерные коэффициенты. В действительности, достаточно ограничиться первым членом ряда в (30) (оказывается, что G1 = 1/4, а остальные коэффициенты равны нулю, в чем легко убедиться, сравнив (30) и (26)). Используя найденный анзац, можно продолжить вычисления и найти формулы (26).

Если а и Р отличны от нуля, то

Ьп-1 =

¿сп (Р2 - 4Ьпсп)

'(а2 -р2)с2 - 2аспсп,х + '(4с3Ьп - с1х )

(31)

2 (-аp, сп, Ьп)

сп-1 =

Ьп+1 =

(р2 -4Ьс)2[/(а2 -Р2)с„2 -2аспсп,х + ¿(4с3Ьп -с\х)]'

_2 (а, р, Ьп, сп)_

(р2 -4Ьс)2[/(а2 -р2)Ь2 + 2аЬпЬп,х + ¿(4^4 -Ь2п,х)]'

_/Ьп (Р2 - 4Ьпсп)_

/(а2 -р2)Ь2 + 2аЬпЬп,х + ¿(4Ьп3сп -Ь).

(32)

Величина 2(а,р, Ь, с) имеет достаточно громоздкий виц. Мы приведем соответствующие выражения в двух предельных случаях (Р = 0 и а = 0):

2(а,а Ь С) = -¡(Ь2са2)2 + 2Ь3с(Ьсх - Ьхс)а3 - ¡Ь2 х 4Ь

х [э^с)2 + (3Ьс)3 + 4Ьс(Ьхсх - сЬхх) - (Ьсх )2 ] а2 + 2Ь(Ьсх - Ьхс) х

х ((2сЬ)2 Ь + ЬхсхЬ - 2ЬсЬхх + 2Ь1 с)а - г((2сЬ)2 Ь + ЬхсхЬ - 2ЬсЬхх + 2Ь^с)2,

-¡2(0,р,Ь,с) = Ь(Ь3с + Ь2 - ЬЬхх)Р6 + [(Ь2 - ЬЬххЬх -2Ь\сх - 12Ь2с(Ь3с + Ь2 - ЬЬхх)]р4 +

+ ^48Ь3с2 ( + Ь3с - ЬЬхх) + 8с(ЬЬхх )2 - 4ЬЬх (3Ьхс + Ьсх )Ьхх + (3сЬ2 + 2ЬсхЬ^ + 16Ь4ссх )Ьх ]р2 -

-4Ь ((2сЬ)2 Ь + ЬхсхЬ - 2ЬсЬхх + 2Ь^с )2.

Формулы (31), (32) приводят к новым цепочкам типа Тоды. Обозначая

Рп =1п Ь„, ° =1п с„,

находим уравнения м°ЦТ = мЦТ в уже употреблявшихся «евклидовых» переменных:

(дРп)2 + 2адРп + 4еРп +0п -р2е-п~0п+1 + 4ввп~0п+1 = р2 -а2,

о р +0 о -о -Р р -Р о о

(д0п)2 -2ад0п + 4е п п -р2е п-1 + 4е п п-1 = р2-а2.

с=

Таким образом, мы имеем интегрируемую решетку, состоящую из взаимодействующих атомов двух сортов. Наиболее прост случай а = Д = 0 . Тогда каждое уравнение имеет виц закона сохранения полной энергии отдельного узла. Иначе говоря, в этом случае уравнения (33) описывают нулевые колебания атомов построенной решетки. Отметим, что вклад в полную энергию каждого узла вносит взаимодействие с двумя соседними узлами, связанными с атомами другого сорта. Кроме этого, так же как уравнения ЦТ, уравнения мЦТ (33) допускают симметрию, связанную с динамикой по переменной /, которая описывается уравнениями (24).

ЬЛ-пару для (33) можно получить, используя цепочки дискретных симметрий для НУШ. Опустив вычисления, приведем окончательный ответ:

(а - 2ап )дТп + 2{аг - Ап )(а - 2ап )Тп - (а1 - 2Ап )(дЬ„ + 2апЬп) = 0,

63

Тп-1 =

(А2 - 4ТпФп )фп

(а2 - А2 ) Фп - 2а1ФпдФп + 4Ф^ + (дФп )2 '

(34)

(а - 2ап )дФ п + 2 (( - ап )а1 + (4ап - 3а)Ап) Ф п - (а- 2 Ап )дсп = 0,

(( - 4ТпФп )п Ф 1 =----,

п+ (2 - Д2 ) Т + 2а1 Тпд^п + 4Т^ + (д^ )2

где Тп, Ф п — волновые функции спектральной задачи, а1, Д — спектральные параметры (а и Д считаются фиксированными), а функции ап, Ап определены формулами

ап =±[а±у/р2 - 4Ьпсп Ап = 1 {а - 4Т„Фп ]

Уравнения (34) для (33) являются аналогом ЬЛ-пары (16) для уравнений ЦТ (8). Из (34) очевидно, что величины 1пТп и 1пФп удовлетворяют тем же уравнениям (33) с заменой а , Д ^ Д1.

Наконец, используя преобразование Дарбу (13), можно вычислить соответствующую изоспектральную симметрию для (34). Ответ можно предсказать:

Ь ^Т с ^Ф

77 ' А 77 * С 77 ' ^ 77 '

Промежуточные уравнения м^ЦТ (то есть аналог уравнений Воль-терра для (33)) находится из приведенных выше соотношений для новых функций:

Т = Т - Ьп , Фп = Фп - Сп. (35)

64

ЬЛ-пара для уравнений м}ЦТ получается из (34) исключением Уп и Ф п с помощью (35). Роль волновых функций теперь играют Ьп и сп (возможно, с другими значениями а и р ). Другими словами, описанный метод опять приводит к замкнутым одевающим цепочкам.

Двумеризованные уравнения мЦТ

Вся вышеописанная техника фактически без изменений переносится на двумеризованные уравнения ЦТ, которые порождаются уравнениями Дэви — Стюартсона (ДС):

1 22

1Щ + ихх +аиуу- — и V + gu = 0,

1 2 2

-Щ + ^х + — ^--1V и + gv = 0,

а ™ а

gyy -а2gxx = -4 и2хх .

(36)

Здесь а = ±1. ЬЛ-«пара» для (36) записывается как система четырех скалярных уравнений:

У у = —х + uФ, Фу = -аФх + VУ,

I | I

= 2ухх + — I

а

л ои 2г (1

ф = -2фхх + — Ух +

1

а+¥х

а

-¥ - ¥

, у х

—2^ у +—(аих + иу)ф, (37)

а у а у '

аш\ф+—(а -^)

причем g = -/Гх.

Пусть две пары функций {у1,ф1;у,ф} являются решениями (37) при некоторых фиксированных и, V и Г. Элементарные преобразования Дарбу для уравнений ДС (аналог формул (11), (12)) имеют вид

у — у(1) = -2аух - иф + (2ау1х + иф1)), ф — ф(1) = ф—Ффу,

у

и — и(1)= — (2ау1х + иф1)-иу - аих, V — v(1) = —, (38)

У1 ¥1

¥ — ¥(1) = ¥ +

У1

и

ф -—(1) ф = 2афх - иу- (2аф1 х - )) у -—(1) у = у-—ф,

ф1 ф1

V —(1) V = фф( -2аф1,х)-Vy +аvx, и —(1) и = ф (39)

¥ —(1) ¥ = ¥ + 41-

Специфика двумерья проявляется в том, что список дискретных симметрии оказывается богаче, чем в одномерном случае. Так, уравнения ДС допускают «сопряженную» к (37) ЬЛ-пару:

Ру = аРх - V/, /у = -а/х - иР>

Рt = -2!Рхх + — У/х

а { 2

— Е + Е

ух

а

-у ш IР +-Г ((х + Уу )Л

а 1 а

(40)

2! | 1

•Л = 2!/хх + ~ иРх -| -

а { 2

-Е -Е

У х

+~Гт I/+~Г(аи* -иу)).

а 1 а

Для удобства чтения формул обозначим волновые функции пары (40) латинскими буквами Р, / (ц, ф оставим для пары (37)), а преобразования Дарбу для (40) будем помечать нижними индексами в круглых скобках:

г

Р ^ Р п, =2аРх - V/-(2аР\,х - Ж ))Р- , / ^ = /--к Р,

(1) Рг (1) Рг

65

V ^ V (1) = Р" (/1 - 2аРг,х )+ Vy +

у х'

/

и ^ и

(1) Р1

(41)

Р1 х

Е ^ Е = Е +

(1) Р1

Р1

/ /=-а -иР+иР) р .(Ц р=Р-

(1)

и ^ (1) и = / ( + 2а/1,х )+ иу -

Р1

у аих, V ^ V = —

у х (1) /1

(42)

/и

Е ^ Е = Е + 41-

(1) /1

Преобразования Дарбу (38) — (39) индуцируют следующие законы преобразования решений системы (40):

Р ^ р(1) =

=-, / ^ /( = 2а/ +—(А +О.Цц1,ф1; р, /)),

Ц1 ¥1

(43)

/ ^(1) / = А + ПЦФФ1'Р /), Р ^(1) Р = -2 ар + ф ( + ПЦ ф; р, /))

ф

где

ф; р, /) = jdQ(ц, ф; р, /), dQ(ц, ф; р, /) = (цр + ф/)йх + аЦцр - ф/)йу -

+21

— ((Ц/ + ифр) + р¥х - рхЦ + /хф - /фх

dt,

1

А — произвольная постоянная, 1-форма ф; р, /) замкнута, если ц,

ф , р и / — решения (37), (40) с одинаковыми потенциалами и , V и Р. Аналогичные формулы для ц , ф , ц, (1)ф, индуцируемые преобразованиями (41) — (42), имеют вид

= А +В(Цф; ^ /1) , ф^ф^) = _2аф+ ^ (А +^(ц,ф; Р1, ^

(44)

(1) Р1 'г Г(1) Р1

ф^ ф= А + /1), ц = 2ац+ и (А + Оц,ф; рх, Л)).

66 Л /1

Используя (38), (39), (41) — (44), можно определить элементарные бинарные преобразования Дарбу, позволяющие вычислить потенциалы с двумя индексами — верхним и нижним. Например:

(1) (1) 1 , 1а!\Ц\ (1) (1) 1 2ор1ф1

ик ' - ' и =-= и +--, V ' = ' V =-= V--, (45)

(1) (1) v (1) А + П1 (1) (1) (1) и А + П1

(1) (1)

где = О.Цц1,ф1; р1, /1). Мы не будем выписывать формулы для соответствующих этим потенциалам преобразованных волновых функций. Замечание. Пара линейных уравнений для цу, фу (37) (или для ру,

/у (40)) может быть записана как одно линейное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. При наложении на потенциалы и , V редукций определенного вида можно получить такие известные уравнения, как уравнение Лапласа — Мутара [15] или уравнение Гурса [16]. Последнее появляется, если положить

V = + и. (46)

Обычные преобразования Дарбу не сохраняют редукционное ограничение (46), в то время как элементарные бинарные преобразования (45) позволяют легко это сделать редукцией

Р = Ц I = +Ф,

которая, очевидно, совместна с (37), (40). В результате получаем хорошо известный аналог преобразования Мутара для уравнения Гурса [17; 20] как результат двух последовательных элементарных преобразований Дарбу. Аналогично можно получить и само преобразование Мутара. Отметим, что это преобразование оказалось полезно для построения точных решений уравнений Веселова — Новикова [1; 18]. Уравнение же Гурса генерирует иерархию Б = 2 мКдФ, поэтому преобразования (45), совместные с (46), можно использовать для нахождения точных решений уравнений этой иерархии.

Уравнения ДС (36) допускают преобразования Шлезингера [7; 19]

ип — ип+1 = ип (ипЪп +—2(1п ип )хх - (1п ип )уу ), Ъп — Ъп+1=—,

ип

§п — §п+1 = §п + 4(1п ип )хх

(47)

ип — ип-1= —, Ъп — Ъп-1 = Ъп (ипЪп +—2(1п Ъп )хх -(1п Ъп )уу ), §п — §п-1= §п + 4(1п Ъп )хх,

откуда немедленно следуют уравнения двумеризованной цепочки Тоды

а\хх - %,уу = ^ Чп - еЧп Чп~1, % =1п(ип). (48)

Используя (48) и (36), находим симметрии уравнений (48) (ср. с (23)):

-Щп; =2ч„ххХ + ч1х +Л Ч1у- Л (е%+1 + еС1п~Чп-1 V 8п,

а а { 1

причем gn может быть формально выражено в виде

gn (х,у,Г) = ~п (х,у) + 4 Г° dx'dy'G(х',у'; х, у){еЧп~Чп-11 ,

■'-<» { 1 х'х'

где G( х', у'; х, у) — функция Грина, удовлетворяющая уравнению

(ду - а2дX ) )х', у'; х, у) = -Щх - х'Щу - у'),

а — решение этого уравнения с нулевой правой частью.

Схема нахождения ЬЛ-пары, преобразования Дарбу и одевающей цепочки дискретных симметрий для (48) ничем не отличается от схемы, рассмотренной во втором разделе. Так, используя пары (37), (40) и формулы (47), находим две «сопряженные» ЬЛ-пары для (48):

и

Уп,у = а¥п,х + ^

¥п+1 =2а¥п,х -(Щп,х + Цп,уцп + ^ 1¥п-1

/ = -а / - РЧп -1п-1 / _ ]п,у ^./п ,х и _/п-1>

/п+1 =2а/п,х + (Цп,у - —п,х )/п + 1 /п-1.

(49)

(50)

Используя преобразования Дарбу (38) — (39) и (41) — (42), легко получить соответствующие формулы для (49) и (50). Ответ полностью совпадает с Я- и ¿-преобразованиями (14) — (15), причем это верно как для пары (49), так и для пары (50). Последнее утверждение очевидно, так как пара (50) может быть получена из (49) заменой

а — -а, ¥п+к — /п+к = (-1)к ¥п+к.

67

68

Выбирая, для определенности, пару (49), находим двумеризованные уравнения Вольтерра (ср. с (17))

^ = Еп,х (-Еп±\ -еЕп-1-Еп ), (51)

где

У\,п±\

д = д ±ад х, д = д-ад х, Еп =

х у х у у х п,х у

ц/1п — некоторое частное решение уравнений (49). Отметим, что, вводя новые зависимые переменные ап и Ьп по формулам

а = Е Ь = еЕп ~Еп+\

ип Ьп, х' п е >

можно записать (51) в более привычном виде:

(1п ап ) = Ьп - Ь^ (1п Ьп ) = ап - ап+1. (52)

Использование (50) приведет к уравнениям, калибровочно эквивалентным (51), которые мы не будем вычислять.

Наконец выпишем одевающие цепочки дискретных симметрий. Выбирая, для определенности, пару (49) и ^-преобразование (14) (оно получается из формул (38)), находим

е^п~Сп+\ Спх = еЕ"-Еп+\ Еп+\,х , (п-Еп ) = е^п-1-^п -еЕп-Еп±\, (53)

где величина £п определена так же, как во втором разделе.

Цепочки (53) являются двумерным аналогом цепочек (18). Кроме того, используя бинарные преобразования Дарбу, можно построить одевающие цепочки второго рода. Обозначая (см. (43))

г (1)

77 =

'п,1 г (1) ' J п

получаем

е7п±1 -77п7 = еЕп-Еп±1Еп±1,х, (,х -77) = (-Еп±1 -Еп,у) -(54)

Исключая из (54) функции Еп, находим соответствующее нелинейное уравнение для функций 7п, а сами цепочки (54) могут рассматриваться как ЬЛ-пара для этого уравнения.

Заключение

п

Перечислим основные результаты работы.

1. Построены одевающие цепочки для уравнений Тоды с помощью изоспектральных симметрий НУШ.

2. Показано, что одевающие цепочки для уравнений ЦТ замкнуты.

3. Предложен способ построения уравнений мЩЦТ и рассмотрен конкретный пример уравнения, принадлежащего этому семейству, вместе с его ЬЛ-парой (формулы (33) — (34)).

4. Построены одевающие цепочки первого и второго рода для дву-меризованных уравнений Тоды.

В работе [11] рассматривалась аналогичная задача. Вместо традиционной системы Захарова — Шабата (3) использовалось одно уравнение второго порядка

Тхх + (7 - 21Х)Тх + рТ = 0, (55)

к которому легко сводится (3), если

7 = - (1п и) х, р = т>, Т = е,Ххц.

Изоспектральные симметрии, которые применялись в [11], совпадают с преобразованиями Шлезингера (6) (в [11] эти преобразования обозначены буквой Т) и преобразованиями Дарбу (12) (в [11] это 5-преобразования). Согласно доказанной в [11] лемме, преобразованиями 5 и Т исчерпываются дискретные изоспектральные симметрии вида Т — /Тх + gТ с коэффициентами / и g, не зависящими от спектрального параметра X . Очевидно, что преобразования (4) — (5) и (11) не удовлетворяют этому условию. Можно показать, что они связаны с преобразованиями Т- и 5 1. В случае (4) — (5) это очевидно. Несколько более тонким является вопрос о связи 5 1 и (11), поэтому остановимся на нем подробнее.

Если непосредственно применить формулы (12), то получается 5-пре-образование для уравнения (55)

Т

Т—(1) Т = Т--^ Т1, (56)

Т1, х

где Т1 — решение (55) с X = X.

Действуя по схеме, предложенной в [11], найдем обратное преобразование. Дифференцируя (56) и исключая из этих двух уравнений Тх , получим Т в виде

Т = т((1) Т,(1) Тх; Т1, Т1,х). (57)

Это еще не окончательный результат, поскольку обращение формулы (56) подразумевает, что правая часть (57) будет выражаться только через «одетые» величины с верхним левым индексом (1). Для того чтобы привести (57) к такому виду, введем линейно независимое с Т решение, которое обозначим «шляпкой» — Т. При этом общее решение (55) при фиксированном X будет линейной комбинацией Т и Т с произвольными постоянными коэффициентами. Функцию Т легко

69

70

найти по стандартной схеме (умножить (55) на Ф ; умножить уравнение для Ф на Ф ; вычесть и проинтегрировать). Найденную Ф1 (для X = X1 ) можно одеть по формуле (56) (такой «окольный» способ понадобился, чтобы обойти результат (1) Ф1 = 0, получаемый непосредственно из (57)):

ф —(1) ф

Дифференцируем эту формулу, выражаем Ф1 и через (1) Фф и (1) Ф1х, после чего подставляем в (57). Теперь можно убедиться, что (57) калибровочно эквивалентна (11). Пусть ц и ф — решения (3). Нужные нам линейно независимые функции имеют вид

ц( x) = —ц( x)\dzsgn( x — z) U2z) , ф( x) =— ф( x)\dzsgn( x — z) U2z)---—.

2 J ц2( z) 2 J ц2( z) ц

«Одевая» эти выражения по формулам (12) и подставляя X — X, ц=ц1, ф = ф, имеем

(1) ~ ' (1)i iv

Наконец, подставляя найденные функции в (11), получаем

( 1 ) U —> —и, ( 1 \ —> -v,

что и требовалось показать.

Принятая в [11] калибровка (55) удобна для изучения условий замыкания соответствующих цепочек и построения потенциалов, инвариантных относительно композиций преобразований S и T. Нашей же целью было построение одевающих цепочек в духе работы [13]. По нашему мнению, результаты, описанные во втором разделе, показывают, что для этой цели удобнее стандартная симметричная калибровка Захарова — Шабата.

В заключение отметим, что наличие богатого списка дискретных симметрий двумерной задачи Захарова — Шабата делает естественной попытку обощения результатов работы [11] на двумерные потенциалы. Авторы надеются вернуться к этому вопросу в дальнейших публикациях.

Список литературы

1. Matveev V. В., Salle M.A. Darboux Transformations and Solitons. Berlin ; Heidelberg, 1991.

2. Yurov A. V., Yurov V.A. The Landau-Lifshitz Equation, the NLS, and the Magnetic Rogue Wave as a By-Product of Two Colliding Regular «Positons» // Symmetry. 2018. Vol. 10, iss. 4, 82. arXiv: 1701.04903.

3. Свинолупов С. И., Ямилов Р. И. Явные автопреобразования для многополевых уравнений Шрёдингера и йордановы обобщения цепочки Тоды // Теоретическая и математическая физика. 1994. Т. 98, № 2. С. 207—219.

4. Адлер В. Э., Шабат А. Б. Об одном классе цепочек Тоды // Теоретическая и математическая физика. 1997. Т. 111, № 3. С. 323 — 334.

5. Levi D. Nonlinear Differential Difference Equations as Backlund Transformations // J. Phys. A: Math. Gen. 1981. Vol. 14, iss. 5. P. 1083 — 1098.

6. Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Симметрии нелинейных цепочек // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, вып. 2. С. 183 — 208.

7. Leznov A. N., Shabat A.B., Yamilov R.I. Canonical Transformations Generated by Shifts in Nonlinear Lattices // Phys. Lett. A. 1993. Vol. 174, iss. 5 — 6. P. 397—402.

8. Ямилов Р. И. Классификация дискретных эволюционных уравнений // Успехи математических наук. 1983. Т. 38, вып. 6. С. 155 — 156.

9. Адлер В. Э., Шабат А. Б. Обобщенные преобразования Лежандра // Теоретическая и математическая физика. 1997. Т. 112, № 2. С. 179 — 194.

10. Адлер В. Э., Шабат А. Б. Первые интегралы обобщенных цепочек Тоды // Теоретическая и математическая физика. 1998. Т. 115, № 3. С. 349—357.

11. Шабат А. Б. Третий вариант метода одевания // Теоретическая и математическая физика. 1999. Т. 121, № 1. С. 165—176.

12. Юров А. В. Сопряженные цепочки дискретных симметрий (1 + 2) нелинейных уравнений // Теоретическая и математическая физика. 1999. Т. 119, № 3. С. 419—428.

13. Борисов А. Б., Зыков С. А. Одевающая цепочка дискретных симметрий и размножение нелинейных уравнений // Теоретическая и математическая физика. 1998. Т. 115, № 2. С. 199—214.

14. Leble S. B., Ustinov N. V. Deep Reductions for Matrix Lax System, Invariant Forms and Elementary Darboux Transforms // J. Phys. A: Math. Gen. 1993. Vol. 26, iss. 19. P. 5007—5016.

15. Moutard T. Sur la construction des équations de la forme 1 zd 2zd xd y= X (x, y) qui admettenent une intégrale générale explicit // J. Ecole Polytechnique. 1878. № 45. P. 1 — 11.

16. Goursat É. Sur une équation aux dérivées partielles // Bull. Soc. Math. France. 1897. Vol. 25. P. 36—48.

17. Ganzha E. On One Analogue of the Moutard Transformation for the Goursat Equation // Theor. Math. Phys. 1999. Vol. 122, iss. 1. P. 39—45.

18. Athorne C., Nimmo J. J. C. On the Moutard Transformation for Integrable Partial Differential Equations // Inverse Problems. 1991. Vol. 7, iss. 5. P. 809—826.

19. Юров А. В. Преобразование Бэклунда — Шлезингера для уравнений Дэви — Стюартсона // Теоретическая и математическая физика. 1996. Т. 109, № 3. С. 338 — 346.

20. Yurov V. A., Yurov A. V. The Cauchy Problem for the Generalized Hyperbolic Novikov — Veselov Equation. 2015. arXiv:1509.06078 [nlin. SI].

Об авторах

Артем Валерьянович Юров — д-р физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

E-mail: [email protected]

Алла Александровна Юрова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта; Калининградский государственный технический университет, Россия.

E-mail: [email protected]

71

Роман Викторович Чириков — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия.

E-mail: [email protected]

72

The authors

Prof. Artyom V. Yurov, I. Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: [email protected]

Dr Alla A. Yurova, PhD, Associate Professor, I. Kant Baltic Federal University; State Technical University, Russia. E-mail: [email protected]

Roman V. Chirikov, PhD Student, I. Kant Baltic Federal University, Russia. E-mail: [email protected]