АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ n-КОМПОНЕНТНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НУЛЕВЫМИ ИНВАРИАНТАМИ ЛАПЛАСА И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 28-45.

УДК 517.9

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ n-КОМПОНЕНТНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НУЛЕВЫМИ ИНВАРИАНТАМИ ЛАПЛАСА

И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

А.Б. ЖИБЕР, Ю.Г. МИХАЙЛОВА

Аннотация. В работе получены явные формулы решения гиперболической системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа, содержащего 2п произвольных функций. Приведен алгоритм построения краевой задачи с данными на характеристиках. В качестве примера приведено решение задачи Гурса для линеаризованной цепочки Тоды серии Dn.

Ключевые слова: инварианты и обобщенные инварианты Лапласа, задача Гурса, цепочки Тоды.

1. Введение

Одним из классических приемов построения общих решений линейных гиперболических уравнений вида

Uxy + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = 0 (1.1)

является каскадный метод Лапласа (см. например [1]). Основу этого метода составляет последовательность инвариантов Лапласа

..., h-з, h-2, h-i,ho, hi,h2, h3,... (1.2)

и связанные с ней преобразования Лапласа.

Элементы цепочки (1.2) вычисляются с помощью рекуррентной формулы

hi+1 = 2hi — hi-l — (In hi)xy, i € ^

исходя из "начальных значений"

h-l = by + ab — c, h0 = ax + ab — c.

Если хотя бы один из инвариантов последовательности (1.2) тождественно равен нулю, то уравнение (1.1) интегрируется в квадратурах.

В случае, если цепочка Лапласа (1.2) обрывается с двух сторон, то можно построить общее решение уравнения (1.1), не прибегая к квадратурам. Для таких уравнений в работе [2] построена явная формула решения задачи с данными на характеристиках

u(x,yo) = Ф(х), u(xo,y) = Ф(у). (1.3)

Между тем, хотя инварианты и преобразования Лапласа для скалярных линейных уравнений

известны уже более сотни лет, для систем линейных уравнений эти понятия, по-видимому, начали изучаться лишь в последнее время (см. [3]—[8]).

A.V. Zhiber, Yu.G. Mihaylova, Algorithm of building the solution of hyperbolic system of

EQUATION.

© Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. 2009.

Работа поддержана РФФИ (гранты 07-01-00081-а, 08-01-00440-а).

Поступила 24 августа 2009 г.

28

Рассмотрим теперь системы линейных уравнений (1.1). В дальнейшем будем считать и п-мерным вектором, а коэффициенты а,Ь и с — квадратными матрицами. Введем понятие обобщенных инвариантов, предложенное в [3], [5].

Определение 1. Обобщенными х-инвариантами Лапласа системы (1.1) называются матрицы Хг, заданные рекуррентными формулами

д

Хг = Иг = —а + Ьа - с, Хг+1 = Иг+1Хг, (1.4)

д д д Иг+1 = дх (аг) — ~дуЬ + [Ь, аг] + Иi, ~ду (Хг) + агХг — Хга = 0 (1.5)

Аналогично, обобщенными у-инвариантами Лапласа системы (1.1) называются матрицы Уг, заданные рекуррентными формулами

д

Уг = Кг = — а + аЬ - с, Уг+1 = К+хУг,

ду

д д д Кг+1 = ду (Ьг) — дха + ia, Ьг] + Ki, дХ(у) + Ьгуг — угЬ = 0.

Заметим, что в случае вырожденных инвариантов Лапласа уравнения для нахождения матриц аг и Ьг могут быть неразрешимы, а при наличии решений матрицы аг и Ьг определены неоднозначно. Справедливо следующее утверждение (см. [3], [5], [9]):

Теорема 1. Инвариант Лапласа Хг системы (1.1) существует и определен однозначно тогда

и только тогда, когда для всех к < г выполнены условия

д \

— + а) (кегХк) С кегХк, (1.6)

д

— + Ь\ (1тХк) С 1тХк. (1.7)

Известно (см. [10], [11]), что если система уравнений (1.1) имеет решение

"

’ йхг

г=0

где Х(х) — столбец произвольных функций хг(х),..., хп(х) переменного х, а Ро,Р1, ... ,'Рт — заданные матрицы-функции переменных х и у, причем ёе! рт = 0, тогда обобщенный инвариант Лапласа Хт+1 = 0.

В данной работе для систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа получена явная формула решения, содержащего 2п произвольных функций. Предлагаемая схема построения решения системы уравнений (1.1) является обобщением так называемого метода "спуска"нахождения высших симметрий для систем уравнений экспоненциального типа (см. [12], [13]). Также в работе предложен алгоритм построения решения краевой задачи с данными на характеристиках.

В качестве примера рассматривается линеаризованная цепочка Тоды серии Оп. Для линеаризованных цепочек Тоды с матрицами Картана Ап, Вп, Сп решение задачи Гурса приведено в работах [14], [15].

Предложенный в работе алгоритм позволяет строить решения и других краевых задач, например, решение задачи Коши.

2. Алгоритм построения общего решения линейной системы уравнений

Пусть для системы уравнений (1.1) найдутся г > 0 и в > 0 такие, что для всех г ^ г, ] ^ в ее инварианты Лапласа Хг и У^ существуют, однозначно определены и Хг = У = 0.

Из Теоремы 1 следует, что существуют матрицы Вк такие, что справедливы соотношения

дд (дх +Ь)Хк = Хк (дх + Вк 1

д д (дуу + ак )Хк = Хк( дуу + a), к = l, <2, . . . . (2.1)

Первую формулу (1.5) можно записать следующим образом в виде

д д д д

(дУ + ак)(дХ +ь) - Нк =(дХ +ь)(^ + ак) - Нк+. (2.2)

Систему (1.1) можно представить в виде

дд

(дХ + ь)( % + а)" = Н№

последнюю перепишем следующим образом:

дд (ду + а)и = иь (дХ + Ь)и1 = Ни. (2.3)

Предположим, что инварианты Х1,... ,Хк — невырожденные матрицы. Теперь, полагая

и1 = Х1у1,

из уравнения (2.3), с учетом формулы (2.1) при к = 1, получаем, что

д

и = ( дХ + Б1)щ (2.4)

и

дд

(ду + а)( дХ + В1)"1 = Н‘В1- (2-г>)

Умножим левую и правую часть уравнения (2.5) на матрицу Н1 и, учитывая формулу (2.2) при к = 1, получим

дд

(дХ +ь)( ду + а1)Х1^1 = Х2Щ. (2.6)

Далее систему (2.6) запишем в следующем виде:

дд (ду + а1)Х1П = и2, (— + Ь)и2 = Х2^1

Полагая и2 = Х2У2, как и выше, получаем, что

д

Щ = ( дХ + (2.7)

где ^2 — решение системы уравнений

При этом из (2.4) и (2.7) имеем

дд (дХ + Ь)( ду + а2)Х2У2 = ХзУ2.

дд и = ( дХ + в)(дХ + В2)”2-

Напомним, что так как инварианты Х1,... ,Хк по предположению невырожденные матрицы, то этот процесс можно продолжить и после к-го шага получаем следующее представление решения и исходной системы уравнений (1.1)

д д д “ = ( дХ + в‘)( дХ + *>-< дХ + вк >*. <2-8>

где У к — решение системы

дд

(дХ + Ь)( ду + ак )Хк Ук = Хк+1 Ук. (2.9)

Формулу (2.8), учитывая соотношения (2.1), можно записать так:

дд и = *Г'(-^ + ад + Ь)ХкУк. (2.10)

Отметим, что обобщенные инварианты Хк+1,..., Хг-1 являются вырожденными матрицами, при этом

таикХк^_1+1 = таикХк^_1+2 = ... = таикХ^ = щ,

и — 1 > и1 > и2 > ■ ■ ■ > ит > 1, з = 1, 2,... ,т, к0 = к, кт = т — 1. (2.11)

Так как кетХг С кетХг+1, г = к + 1,...,т — 1, то

кетХк:-1+1 = ■■■ = кетХк., з = 1,2,...,т. (2.12)

Кроме условия (1.7) будем налагать на инварианты дополнительное ограничение, а именно, пусть

д

(——+ Ъ)1тХг = 1тХг, 1тХг П кетХг = {0}, г = к + 1,... ,т — 1. (2.13)

Ох

Пусть Р. и Qj, з = 1,...,т — матрицы, столбцы которых образуют базис 1тХк. и кетХк., соответственно, причем Р. и Qj имеют следующую структуру Р. = (в1,е2, . . . ,еП:), Qj = (еп. +1,..., еп), з = 1,... ,т. Матрицу Qj можно выбрать так, что

д_ ду

Действительно, в силу формулы (1.6) имеем

——+ а) Qj = 0,і = 1,...,т. (2.14)

д \

ду + а ) Qj = QjАу, (2.15)

где А у — квадратная матрица порядка (и — пу). Далее представим матрицу Qj в виде

Qj = Су,

где (івіСу = 0. Тогда уравнение (2.15) запишется в виде

д_ ду

— + ъ)Ру = Ру, і = 1,...,т (2.1б)

— + а) Ру = Руру + Qjву, ХіРу = Руфі, (2.17)

Пусть Су — решение линейной системы уравнений

дС? = с. а.

ду ? ? ,

тогда <5у — решение уравнения (2.14).

Из формулы (1.7) следует, что

О

дХ

где Х. — квадратные матрицы порядка п. , причем Хт можно положить равной нулю.

Ясно, что справедливы соотношения

_д ду

г = к.г1 + 1,... ,к., ] = 1,... ,т, здесь р., фг — квадратные матрицы порядка и., а в. — матрица размером (и — и.) х и..

Далее систему (2.9) запишем так:

дд (ду + ак )Хк Ук = ик, ( ох + Ъ)ик = Хк+1Ук. (2.18)

Из равенств (2.13) следует, что ик и Ук можно представить в виде

ик — Xk+1Уk+1, Ук — Хк+10_к + Ек, Ек € кетХк+1.

Теперь систему уравнений (2.18) перепишем следующим образом:

| ( ду + ак )Хк \Хк+1Як + Ек] = Xk+1yk+1,

\ (дХ + Ъ)Хк+1Ук+1 = Х1+1Чк.

Умножая левую и правую части первого уравнения системы (2.19) на матрицу Нк+1 слева, получаем систему:

ду + ак )Хк [Хк+1чк + Ек ] — Xk+lyk+l, „ч

д і ;л V. — \^2 (2.19)

( ду + ак+\)Хк+1^к = Hk+lXk+lyk+l, (Ж + Ъ)Хк+1ук+1 = Хк+\Ук.

(2.20)

Нетрудно показать, что система (2.20) эквивалентна следующей системе:

д д (~dx + b)( ~ду + ak+i)xk+i vk+i = Xk+2Vk+l,

которую перепишем в виде

(ду + ak+i)xk+ivk+i = uk+l, (дх + b)uk+i = Xk+2Vk+i.

В силу (2.12), (2.13) справедливы следующие представления:

uk+i = Xk+2Vk+2, vk+i = Xk+2qk+i + Ek+i, Ek+i Є kerXk+2.

Тогда система (2.22) примет следующий вид:

{(ду + ak+i)Xk+i [Xk+2qk+i + Ek+i] = Xk+2Vk+2,

(дх + b)Xk+2Vk+2 = xl+2qk+i.

Умножая левую и правую части первого уравнения системы (2.23) на матрицу Hk+2,

к системе

( ду + ak+2)X'2+2qk+l — Hk+2Xk+2 Vk+2,

(дХ + b)Xk+2Vk+2 = Xk+2qk+l,

которая эквивалентна следующей:

дд

(дХ + Ъ)( дУу + ак+2)Хк+2 ук+2 = Хк+3ук+2.

Продолжая этот процесс, на (і — 1)-м шаге мы приходим к системе

дд

( ~дх + Ъ)( ду + ак+і)Хк+іук+і = ^^к+і+1 ук+і, которую, как и выше, перепишем так

(~дУу + ак+і)Хк+іук+і = uк+i, (дХ + Щ^к+і = Хк+і+1ук+і

и, полагая

ик+і — Xk+i+1yk+i+1, ук+і — Хк+і+іЧк+і + Ek+i, Ек+і Є kЄrXk+i+1, приходим к уравнениям

{( Щ + ак+і)Хк+і(Хк+і+19к+і + Ек+і) = Хк+і+1ук+і+1,

(~дх + Ъ)Xк+i+1yк+i+1 = Х2+і+1?к+і.

Умножая левую и правую части первого уравнения системы (2.26) на матрицу Нк+і+1■ чим систему вида

( ду + ak+i+i)Xk+i+iqk+i — Hk+i+lXk+i+lVk+i+l,

К ду

\ (Ш + Ь)Хк+і+1ук+і+1 = Хк+і+1Ук+і.

Последняя эквивалентна следующей:

дд

(дХ + Ъ)( ду + ак+і+1)Хк+і+1ук+і+1 = Хк+і+2ук+і+1.

Далее, при і = г — к — 3 уравнение (2.28) принимает вид

дд

(дХх + Ъ)( дУу + аг—2)Хг—2уг—2 = Xr-1yr-2,

которую перепишем так

(ду + ат—2')Хт—2уг—2 = ur—2, (ддх + Ъ)иг—2 = Хг—1уг—2.

Полагая

иг—2 — Хг—1уг—1, уг—2 — Хг—10_т—2 + Ег—2, Ег—2 Є кегХг—1,

приходим к уравнениям

(дду + аг—2')Хт—2(Хт—1Чг—2 + Ег—2) = Xr—1yr—1,

(Тдх + Ъ)Хг—1уг—1 = ХГ—1Яг—2.

(2.21)

(2.22)

(2.23)

приходим

(2.24)

(2.25)

(2.26) мы полу-

(2.27)

(2.28)

(2.29)

% (2.30)

Умножая левую и правую части первого уравнения системы (2.29) на матрицу Нг-1, мы получим систему

( ду + аГг1)Х‘^Г1^Тг2 = Нг-1Хгг1 УГг (дх + Ъ)ХГг1Угг1 = Х^г1Ягг2

Последняя эквивалентна следующей:

дд

(ОХ + Ъ)( ду + атг1)Хгг1УГг1 = 0, (2.31)

поскольку Хг = 0.

Будем искать УГг1 в виде

УГг1 = РтН + QmG. (2.32)

Напомним, что столбцы матриц Рт и Qm образуют базисы 1тХГг1 и кетХГг1 соответственно. После подстановки (2.32) в уравнение (2.31) последнее примет вид

дд ( ОХ + Ъ)Хгг1(ду + а) (РтН + QmС) = °

здесь мы воспользовались соотношением (2.1). Теперь, используя выражения (2.14), (2.16), (2.17) и учитывая, что Хт = 0, последовательно получаем:

д ( д д \ (ОХ + Ъ)Хгг1 ( [Ртрт + Qmвm]H + РтОуН + QmдуС ) = 0

О ( д \

(ОХ + Ъ) 1 Рт'Фтг1ртН + РтФтг1 ОууН ) = 0, д

(^ + Рт)Н = фГГlф(У), (2.33)

ду

здесь ф(у) — произвольная вектор-функция. Далее будем считать, что ф(у) тождественно равна нулю.

Таким образом, УГг1 определяется из формулы (2.32), где Н — общее решение однородной системы уравнений

д

(^- + Рт)Н = 0,

ду

содержащее ит произвольных функций, зависящих от х, а С — произвольная вектор-функция.

Далее, из второго уравнения системы (2.30) определим ХГг1ЦГг2, последнее представимо в виде РтаГг2. Следовательно, второе уравнение (2.30) с учетом формулы (2.32) примет вид:

д (ОХ + Ъ')ХГг1 (РтН + QmС) = ХТг1РтаТг2

или

д

(дХ + Ъ)Ртфг—1Н = Ртфг—1аг—2.

Отсюда получаем, что Таким образом,

д

аг—2 = ф;}1 дХХ (фг—1Н) .

д

Хг—1дг—2 = Ртф—1 дХ (Фг—1Н) (2.34)

Из первого уравнения (2.30), с использованием равенства

НГг1Рт = РтфГг1 'фrг2,

которое проверяется так:

ХГг1Рт = РтфГг1 = Нтг1ХГг2Рт = Hrг1Pmфrг2,

а также формулы (2.32), (2.17) последовательно получаем

ХГг1 ^~оу + а^ РтаГг2 = Hrг1XrгlPmH,

да

Хгг 1 ( Pmpmаrг2 + Рт дуу ) = Нгг 1Pmфrг 1H,

(^ТГ + Pm)аr г 2 = фг 12фг г 1Н. (2.35)

О 'ду

Учитывая формулы (2.32), (2.34) и (2.35) нетрудно показать, что первое уравнение системы (2.29) обращается в тождество. Таким образом

угг2 — Хгг 1дгг2 + Егг2 — Ртфг_1 дх (фгг 1Н) + QmA,

здесь А — произвольная вектор-функция. Тогда

д

Хг г 2Уг г 2 = Рт фг г 2фг\^Г (фг г 1Н) . (2.36)

Из второго уравнения системы (2.27), при г = т — к — 3, как и выше, получаем следующее представление:

дд

Хг г 2 дг г 3 = Ртфг~2 охфг г 2фг\ охфг г 1Н. (2.37)

Далее, используя соотношение

Нг г 2Рт = Ртфг г 2 фг _з,

также получаем, что

Х 3ц„ 3 = 3фг\ г

‘дх г 1дх

1 д 1 д

Хг г зУг г з = Ртфг г зфг _2ТТ~ фгг 2фг фгг 1Н.

Продолжая этот процесс и учитывая, что

таикХкт-1+1 = таикХкт-1+2 = ■ ■ ■ = таикХг г 1,

получаем следующую формулу для вычисления Хкт-1 + 1 Укт-1 + 1'-

1 д 1 д

Хкт-1 + 1Укт-1 + 1 = Ртфкт-1 + 1фкт-1 +2 кт-1+2фкт-1+3 ~дХ . . .

д 1 д дхфг г 2фг г 1 дх

Введем обозначение

^фг г 2фг \^:фг г 1Н. (2.38)

д д д

Якт-1 + 1 = фг1-1+2 ОХфкт-1+2фгг1-1+3 ОХ . ..фг г 2фг-1 ОХфг г 1Н.

Далее, из второго уравнения системы

(~ду + акт-1 + 1)Хкт-1+1дкт-1 = Нкт-1 + 1 Хкт-1 + 1Укт-1 + 1, (2 39)

(дХ + Ъ)Хкт-1+1 Укт-1+1 = Х1т-1+1дкгп-1 .

найдем Хкт-1+1дкт-1:

д

Хкт-1+1дкт-1 = Ртфкт-1+1 ОХ (фкт-1 + 1 Ккт-1+1) . (2.40)

Определим матрицу Ь,кгп-1+1 такую, что

Нкт-1+1Рт = Рт^'кт-1+1.

Действительно, существует Е такое, что Рт = Хкт-1 Е, поскольку Рт С Ртг 1, тогда

Нкт-1 + 1Рт = Нкт-1 + 1 Хкт-1Е = Хкт-1+1Е = Рт^'кт-1+1.

Будем предполагать, что

таикХкт-1+1 = ит = таикХкт-1+1Е, то есть Ь,кгп-1+1 — невырожденная матрица.

Полагая Хкт-1+1дкт-1 = Ртакт-1 и подставляя функции (2.38), (2.40) в первое уравнение системы (2.39), получаем, что

д1

(ду + Рт)акт-1 = фг1-1 + 1 ^т-1+1фкт-1 + 1Якт-1+1. (2.41)

Теперь выберем ядро Ект-1 такое, чтобы выполнялась система

I ( ду + акт-1 )Хкт-1 (Хкт-1 + 1дкт-1 + Ект-1) = Хкт-1+1укт-1+1, (2 42)

\ ( дХ + Ъ)Хкт-1+1укт-1+1 = Хкт-1 + 1дкт-1.

Для того чтобы найти Ект-1, положим Ект-1 = QmYm. Подставляя функции (2.38), (2.40) в пер-

вое уравнение системы (2.42), при этом учитывая соотношение (2.41), последовательно получаем

0 'ду

или (

1 д

!кт-1 + 1^'кт-1 + 1 фкт-1+1^кт-1+1 + Qmsmаkm—l + (^т дуу'

= Ртфкт-1 + 1^кт-1+1.

Нетрудно показать, что справедливы соотношения

Хк]-1 Р3фк:)-1+1^к^-1+1фк^-1 + 1 = Рзфк^-1+1 + Хк^-1 Qj, (2.43)

] = т,т — 1,..., 1.

Теперь, используя (2.43) при ] = т, последнее равенство можно переписать в виде

д

Хкт-1 Qm I

Выбираем тт такое, что

и

Xkm-l (я7! + a) (Pmakm-l + Qm 1m) = Pmфkm-l+lRkm-l + l

Xkm-l Qm ^ Qy^m + Sm Rkm-l+l + Smakm-l ) = О.

dy

TTlm + SmRkm-l + l + Sm akm-l = °

тогда

У

1т = —J ^тфкт-1 + 1 ~дХфкт-1 + 1^кт-1+1 + SmRкm-l + ^j + ^т(х) (2.44)

У0

является решением последнего уравнения, Шт(х) — столбец, состоящий из ит произвольных функций.

Тогда из (2.40), (2.44) следует, что Укт-1 находится по формуле

д

Укт-1 = Ртфкт-1+1 ОХфкт-1+1^кт-1 + 1 + QmWm(x) —

У

—QmJ ^тфкт-1+1 ~дХфкт-1+1^кт-1 + 1 + ЗтВ-кт-1+^ .

уо

Отсюда получаем, что

Xkm-lVkm-1 = Xkm-lPmгl Am-1+l дх^kr-1+^Rkm-1+A , (2.45)

Yfm

здесь Ym — первые (nm-1 — Пт) координаты вектора Ym-Введем обозначение

/,-1 д

Rkm-1 = 1

фкгп-1 + 1 dx фкт-1+lRfcm-1 + M

7m J

тогда вектор-функция (2-435) запишется в виде

Xkm-1 Vkm-1 = Pm - 1фкт-1 Rkm-1 .

Подставляя последнюю во второе уравнение системы (2-27), при i = km-1 — k — 1 получаем следующее представление для Xkm_1 qkm-1-1:

1 д

Xkm-1 gkm-1 -1 = Pm-^km-1 ( ~qX + ^m-l)фкm-l Rkm-1,

здесь Хтг 1 определяются из уравнения (^Х + Ъ)Ртг 1 = Ртг 1 Хтг 1. Тогда

1 д

Хкт-1 Укт-1 1 = Рт> 1ф кт-1 1ф кт-1 (^1 + ^тг1)фкт-1 Ккт-

Далее, с учетом того, что

таикХкт-2+1 = таикХкт-2+2 = ■■ ■ = таикХкт-1, аналогично, как и на предыдущем шаге, определяем (см. (2.38))

1д

Хкт-2 + 1 Укт-2 + 1 = Ртг1фкт-2 + 1ф кт-2+2( ОХ + ^тг1)фкт-2+2х

кт -

д................................. ,д

Хфкг1-2+3( дХ + ^тг1) . . .фкт-1г1'фкг1-1 ( дХ + ^тг1)фкт-1 Ккт-1 .

Введя обозначение

1 д 1

Ккт-2+1 = фк^-2+2( ОХ + ^тг1')фкт-2+2'фк,1-2+3Х

д д Х( ОХ + ^тг1') . . . фкт -1 1 ф кт -1 ( ОХ + ^тг1)фкт-1 Ккт-1

и используя последнюю формулу, как и выше, из системы (2.26) при г = кт-1 — к

Укт-2

1д

Укт-2 = Ртг1фкт-2 + 1( ОХ + ^тг1)фкт-2 + 1Ккт-2+1 + QmгlWmг1(x) —

У

— Qmгlj (^тг1фкт-2 + 1( ОХ + ^тг1)фкт-2 + 1Ккт-2 +1 + Втг1Ккт-2 +^ . У0

Отсюда получаем (ср. (2.45))

Хкт-2 Укт-2 = Хкт-2 Ртг2Ккгп-2 ,

где

Ккт-2 =1 -

У -тг1

здесь —тг1 — первые (итг2 — итг{) координаты вектора

У

г ' д

— { фкт-2+1( дХ + ^тг1)фкт-2 + 1 Ккт-2 + 1

/д

(втг1фкт-2+1( ОХ + ^■тг1)фкт-2+1Ккт-2+1 +

?тг1^кт-2 + 1\ дХ г кт-2 + 1± кт-2~

У0

+Втг1Ккт-2 + 1 ')Лу + Wmг1(Х).

Продолжая этот процесс, мы получаем, что г^ вычисляются по формулам

Хкз гкз — Хк] Р3 Кк^ ,

где Кк2 находятся:

/,г1 / д

фкз + 1( дх + ^з+1)фкз +1Кк2+1

—3+1

—3+1 — первые (из — из+1) координаты вектора

У

13+1 = — J (^3+1фк31+1(~ОХ + ^3+1')фкз + 1Ккз +1 + вз+1Кк + ^ + Шз+\{х),

У0

а Ккз+1 находятся из рекуррентной формулы

-1 д -1 -1 д

Ккз + 1 = фк. +2 ( ОХ + Х3+1)фкз +2фкз +3 . ..фкз+1г1фк]+1 ( ОХ + Х3+1)фк3+1 Кк3+1

] = т — 1,т — 2,..., 0, кт = т — 1, ко = к, Ккт = Н.

определяем

Используя последние формулы, мы получаем представление для Vk:

vk — Pk Rk, фк1+1( dx + Xj+1 )фkj+1 Rkj+1

Rk = +lk^ , (2.46)

' V 7j+l )

у

lj+1 = - J ^sj+іф.+і(dx + ^+1)фkj+1Rkj+1 + Bj+1Rkj+1^ + Wj+1(x), (2.47)

yo

где

Ккз +1 = фкз+2( ОХ + Хз+1 )фк3 +2фкз+3 . . .фкз+1г 1 фкз+1 (ОХ + 31 ')фкз+1 Ккз+1, (2.48)

] = т — 1,т — 2,..., 0, кт = т — 1, к0 = к, Ккт = Н.

Таким образом, решение системы уравнений (1.1), зависящее от и произвольных функций, вычисляется по формулам (2.10), (2.46)-(2.48). Аналогично строится другое специальное решение, содержащее и произвольных функций, зависящих от у.

Пусть обобщенные инварианты У1,... ,У[ являются невырожденными матрицами, а инварианты У1+1,..., У3г1 устроены так:

таикУ1з-1+1 = таикУ1з-1+2 = ... = таикУз = тз, и — 1 > т1 > т2 > ■■■ > тр > 1, ] = 1,2,...,р, 10 = I, 1Р = § — 1.

Тогда решение системы уравнений (1.1) имеет вид:

ТЦ 0 , ,,, ,,гі, 9

и = Yf (ву + a)Yl (By + a)Y Лі , (2-49)

Vi = PiRi,

r. /<K +l(I + yri-j + R+Л , (2.5О)

Yj+l

Г <d

7j+l = - J (sj+l'tpj+l(oy + Л+і)фЬ+lRij+l + Bj+lRij+^ + 'Wj+l^),’

xo

где

- д - - - - d Rkj +1 = фГ.+2 ( о- + Л+1 )фкі +2фГ+ . ..фк]+1г l j ( dy + j і )фк]+1 Rk]+l,

j = P — 1,p — <2,..., 0, Ip = s — ~1, lo = ^ Ri p = H.

3. Задача Гурса

Обозначим через v сумму специальных решений (2-10), (2-46) и (2-49), (2-50) системы уравнений (1-1):

v = и + и (3.1)

и определим вектор-функции Wj(x), H, Wq(y), H, j = 1,... ,m, g = 1,... ,p, при которых выполнены граничные условия (1-3)-

Полагая в формуле (3-1) y = yo и учитывая (2-10), будем иметь

XTl(д:- + l( — + b)X2 ...ЛГl(— + ь)Л»v„(xyo) = F(I). (3.2)

где F(x) = Ф(х) — u(x,y0).

Отметим, что u(x, yo) имеет следующую структуру

p lj-1

di u(x,yo) = ^Y1 ai(x) dyi Wj (Уo),

j= 1 i=0

где aj (x) — известные матрицы порядка n x (mj -1 — mj), а Wj (yo) столбец длины (mj -1 — mj)-

X

Введем обозначения

дд Zг(x) = ХгХ~+\(ах + Ъ)Хг+1... ХкгХ 1(ах + Ъ)Хкгк(х, уо), (3.3)

г = 1,... ,к — 1,

д л \ , ,г1 , д

•ОХ + ^ )ф^1( ОХ

1д

. . . фкз+1 г1фг+ (ОХ + А3+1)фкз+1 Ккз+1, (3.4)

г = к? + 1,...,к?+1, ] =0,1,... ,т — 1.

Ясно, что справедливы соотношения

, г и д_

'дх

^ = XiXi+\(7^ + Ъ)Zi+1, г = 1, 2,...,к — 1, (3.5)

д

У? = фг1(ОХ + Аj+l)фiVi>+l, г = кз + 1,...,кз+1 — 1 (3.6)

Теперь, используя формулы (3.3), уравнение (3.2) примет вид

Х0

д

х- 1( ОХ + Ъ)Zl = ^ (х). (3.7)

Пусть А(х) — решение однородной системы уравнений

д

(ОХ + Ъ>А — 0

такое, что А(хо) = Е.

Тогда решение системы (3.7) представляется в виде

Х

Zl(x) = A(x)Zl(хо) + А(х) J Аг 1(^)Х1^(я)-я, (3.8)

а из (3.5) получаем

Х

Zi+l(x) = A(x)Zi+l(xо) + А(х) J Аг 1(я)Xi+lXгГ 1Zi(я)dя, (3.9)

Х0

г = 1,2,... ,к — 2.

Из формулы (3.9), с учетом (3.8), определяем Zk- 1(х). Таким образом, для определения гк(х,уо), согласно (3.3), получаем уравнение

1д

Хк г 1Х- 1( ОХ + Ъ)Хк гк (х, уо) = Zk г 1(х)

и, следовательно,

Х

Хк гк (х, уо) = А(х)Хк гк (хо,уо) + А(х) J Аг 1(я)Хк Х^^к г 1(я)-я. (3.10)

Х0

Далее, из формул (3.1) и (3.2) следует, что функция гк(х,уо) устроена следующим образом:

т кз-1 гк di р 1з-1 гп

гк (х,уо) — а(х) + Е ^ /3?(х) -х Щ Ы + ££ Щ(х) -у, Щ (Уо), (3.11)

3=1 i=о з=1 i=о у

где а(х) — известная вектор-функция, в?(х),Щ(х) — известные матрицы.

С другой стороны, формулу (3.11) можно представить в виде

гк (х,уо) = Ри(х) + Ql5(x), (3.12)

где Р1 и Q1 — матрицы, столбцы которых образуют базис 1тХк+1 и кетХк+1 соответственно. Из (2.46) следует, что

д д Vk = Pl^+l(+ Лі)фк+іфГ+2(+ Лі)фк+2фГ+3 д

'Ox l/Tk+lT к+2У dx

...фкі1( дх + Лі )фкі Екі + (3.13)

полагая у = уо и учитывая (3.12), имеем

Жі(х) = 5(х), Ук°+і(х) = 7(х). (3.14)

Из (3.6) находим, что

Уі+1(х) = ф- 1Сі+1(х,У0)фі(х0,У0)У:1+і(х0) +

X

+ф-1Сз+1(х,уо) У С-_+1(я,уо)фі(я,уо)Уі3(я)dя, (3.15)

Х0

і = кз + 1,...,к^+1 — 1, і = 0,... ,т — 1, где С з (х,уо) — решение однородной системы

д (дх + Хз(х, уо))С(х, уо) =0, здесь Сз(хо,уо) = Е.

Из формул (3.14) и (3.15) при і = 0 определяем У°і (х) и поскольку

д К(х) = ф-і1( дх + М )фкі Які,

то

Rkl = Фк1 Cl(x, -0)Фк1 (xo)Rkl(xo) + Фк1 Cl(x,yo) J Cl я,-0Фк1 Vk1 (я)dq.

X0

Из (2.44) следует, что

W2M = ,

д д d фГ'+і(^ + Л2)фк1 + іфГ1і+2(+ Л2) ... фк2гіф^{+ Л2)фк2 Rkl =

= (rl .....Rs 0T. (3.16)

Выражение (3.16) перепишем в виде

у1,+1(х) = (< Т.

Из формул (3.15) при ) = 1 определим (х) и учитывая

д К (х) = фк21( ОХ + А2)фк2 Як2 ,

получим

Х

Ек2 = фг2;С2(х)фк2 (хо)Як2 Ы + ф г2 С2 (х) J С2г1(я )фк2 ^ (я)-я.

Х0

Из (2-46) следует, что

Wi(x) = (й£+1, ■ ■ ■, яг?)T ■ V2+1 = (flkj, ■ ■ ■, Rrs)т ■

Продолжая действовать предложенным способом, при j = m — 1 получим

Wm(x) = (яг::+1.---,яПс-1 )т. v:1+1 = (^ • ■■■.ч:- )T ■

x

Из формул (3.15) при ] = т — 1 определим 1 и тогда

С,-1М= фк,„‘. дх

к, в

ут~ 1(х) = Ф-К^- + \т)фкт H,

откуда следует

Н = ф-, Сш(х)фкт ЫН (Х0)+

х

+Ф-,Ст(х) I с-1(я)фкт Ук,~1(я)-я.

Аналогично, как и выше, используя второе граничное условие (1.3), определяем \¥д(у), Н, д = 1,... ,р.

Теперь, подставляя в (3.1) найденные выше функции Шз(х), Н, \¥д(у), Н, ] = 1,...,т, д = 1,... ,р, мы получаем следующее представление решения краевой задачи (1.1), (1.3):

т к^-1 м р 1^-1 м

v(x, у) = fo(x, у) + £ £ /3(х)~х(хо) + £ £ £(х)-л(Уo),

3=1 г=0 з=1 г=0 У

где Шз(х), \¥д(у), ] = 1,... ,т, д = 1,... ,р — произвольные постоянные. Так как решение задачи Гурса (1.1), (1.3) единственно, то коэффициенты /3 и д3 при этих постоянных равны нулю и, следовательно,

v(x,y) = /о(х,у).

4. Линеаризованная цепочка Тоды серии Оп

В данном параграфе с помощью предложенного выше алгоритма построения решения задачи Гурса приводится решение задачи Гурса для линеаризованной цепочки Тоды серии Dn. Рассматривается система уравнений

^ху = DnUv, (4.1)

где V = ^^2,... ,уп)Т — столбец неизвестных, и = -гад(еи1 ,еУи ,...,еип), матрица Картана Dn = ||-з || устроена так:

-ц = 2, г = 1,...,п, -ц-1 = —1, г = 3,...,п,

-13 = —1, -3 1 = —1, -гг+1 = —1, г = 2,..., п — 2,

остальные элементы равны нулю, а и = (и1, и2,..., ип)Т — решение цепочки Тоды

иху = DnUp, где р = (1, 1, . . . , 1)Т.

Используя формулы для обобщенных инвариантов [5], решение системы (4.1) запишется в виде

V1 = Р1ф-^(ф1Я1), (4.2)

где вектор К1 вычисляется с помощью рекуррентных формул

( Ф-^ф2кФ—+^(Ф2к+1Я2к+1)

К2к-1 = Шг(х) — ]■ Б^ф-к+Мфзк+^к+^у I , (4.3)

\ уо

к = 1, 2,... ,г — 1,г + 1,... ,п — 2, / Ф-1 Dф2rФ-r1+lD(ф2 г+1Е2г+1)

К2Г-1 = ^ О —I в2?ф-г1+^(ф2г+1Е2г+1)(1у I , (4.4)

здесь Б^к — первая строка матрицы В2к, В2Г — первые две строки матрицы В2Г,

Й2П-3 = П'п(х), где1 = {к + К’;,.

Матрицы фк находятся из формул: при к < п

т = п —

к = 2,... ,п — 1,

а при к > п

Фк = Ет1Б*к(1кЬт, т = п —

— 1, к = п,..., 2п — 3.

с1к получается из -к после вычеркивания последней строки и столбца:

ф1 = Р-^пиР1.

Матрица при к < п имеет следующий вид

а при к > п

Ґ 0к 0к ^ Бк = (Над I е [к]+1, е [к]+2,... ,е0п > ,

где элементы в^к вычисляются по формулам:

к+1

ок = и1 + £ Vі, окк = £

и

і=3

3=і-к+1

і = к + 1,к + 2,... ,п, к = 2,3,... ,п — 1.

і+1

вік = и1 + и2 + Ак + £ и3 + 1п 4,

І=к-і+2

і = [к] +1, [|] +2,...,к — 1, к = 3,4,...,п — 1,

і = [к2] +1, [к] +2,... ,п — 1, к = п,п + 1,п + 2,..., 2п — 3,

где

0, к — і < 3,

Ак = { к+1-і

2 ^ V ,к — і > 2.

3=3

(к — квадратная матрица порядка п — [|] такая, что

(г (к)=ат

где Ак = Ак-1Ск 1Ьк1, А1 = Еп.

Через Ьк обозначена матрица п-го порядка

Ек-2 0

Ьк =1 0 О2

к = 2,... ,п — 1, Ьп = ( Еп0-2 0^2

а

2к+1

0 0 Еп-к-1

Ьк = Еп, к = п + 1,..., 2п — 2; а2к = Ьп, к = 1, 2,... ,п — 2, Ек 0

0 Ьп-к

, к = 1 2, . . . ,п — 3, а2п-3 = а2п-2 = Еп.

Матрицы О2 и О3:

0 = ( —11/2 ?) '°3 = ( —$ —1 ?

и

Матрицы Рт и Р'п—т находятся из выражений

Рк = DnAk \ р j , Q2k = (А2к) у о

т=п—

т = п —

, к = 1, 2,... ,п — 1,

— 1,к = п,п + 1,..., 2п — 3,

к

_2_

где Рк = (е1,е2,..., ет) — матрица, столбцами которой являются векторы базиса 1тХк. Аналогично определяется матрица Qk = (ет+1,..., еп), столбцами которой являются векторы базиса кег Хк.

Матрица В2к при 2к < п находится из соотношения:

В2к = (рк ) — 1(Ь2к -2^2к + Т2к )-2к Рп—к,

в данном случае матрица Т2к содержит лишь один ненулевой элемент 1к, 1 = еук+2; ненулевые элементы матрицы Z2k находятся из формул:

гц = еу'к+г+1 + еу'к г+1, г = 1,2,... ,к — 2, к, гк—1 к—1 = еу'2к + еу'2 + еу1,

ггг = еУ'г+к + еУ к+1, г = к + 1,... ,п — к,

и/к — ^+1 • 1 уу2 у/1

гг+1 г — е , г — 1,...,к 2, гк к—1 — 2 е , гк+1 к — е ,

гг+1 г = —еУ к+1, г = к + 1,...,п — к — 1,

„,к+г+1 . „,2к+1 , „,2к+1

гг—1 г = —е , г = 2,...,к — 1, гк—1 к = —1/2е , гк—1 к+1 = —1/2е ,

у к+г уУ2 у.1

гг—1 г = —е , г = к + 2,...,п — к, гкк+1 = е , Хк+1 к—1 = —2е .

А при 2к > п матрица В2к вычисляется как

В2к = (рк +1) — 1(Ь2к -к^2к + Т2к )-2к Pn—k—1,

матрица Т2к порядка (к + 1) х (п — к — 1) в данном случае содержит два ненулевых элемента:

Ук+2 { еу2к п+2, 2к> п

*М = е , и 1к+1,п—к—1 = | 2(еиП) — еУ1), 2к = п,

Ь2к — матрица, порядка (к + 1) х (п — к — 1) такая, что первые к строк — это матрица Ь2к

без последнего столбца, а (к + 1)-ая строка это последняя строка матрицы -2к без последнего

элемента.

Ненулевые элементы матрицы Z2k при 2к > п устроены так:

Ук+г+1 Ук—г+1 .

ггг = еУ + еУ ,г = 1,...,п — к — 2,

Ук — г+1-*1СЛ У к + 'г+1 ел 7-1

гг+1 г = —еУ , г = 1,...,п — к — 2, гг—1 г = —е , г = 2,...,п — к — 1,

{ еУ" + еу2к "+2, 2к > п гп—к—1,п—к—1 = | еУп + еУ2 + еУ1, 2к = п.

Пользуясь симметрией х ^ у системы уравнений (4.1), можно получить решение вида

и2 = Р1ф—^(ф1_Й1), (4.5)

где вектор К1 вычисляется с помощью рекуррентных формул

( Ф-^ф2кФ-к+^(ф2к+1Ё2к+1)

К2к—1 = Ш(у) — I В^ф—к+^^к+^к+^х I , (4.6)

хо

к = 1,2,... ,г — 1,г + 1/ ... ,п — 2,

V1

D ф2г ф2г\^(ф2 г+1 Р‘2г+1)

К2г — 1 =1 1 ) — I В2Гф-г+11Э(ф2г+1 К2г+1)-х Ь (4.7)

' Г

хо

Иь,-3 = Шп(у),где 1 = { к +

Решение задачи Гурса (4.1) ,(1.3) ищется в виде

V = V1 + V2,

где функции V1, и2 находятся из формул (4.2)—(4.7), а Шк (х), Vк (у) из соотношений:

где 1 = { к +'к ь >’г.

Шг+1(х) = Г2--Г1, к = 1, 2,...,п — 1,

х Ь

(Г\к-1, . ., Г= Ф--/ Ф2к-1ф--2\ Ф2к-2(Г\к-3, . ., Гт,

хо хо

х

к = 2,...,п, Г1 = Ф-1 I Ф1Р1-1(ф(С) — Ф(хо)Ж.

здесь

-1 1Р-1

хо

Аналогично

V\(у) = г'п--Х1, Wr+l(y) = Гnкк-l, к = 1,2,...,п — 1, у ь

(Г 2к-1, ..., Гп^1)2 = Ф--! Ф2к-1Ф-к1-2 1 Ф2к-2(Г 12к-3, ..., гп^1)2

уо уо

у

к = 2,...,п, Г1 = ф)--^ф1Р-1Ф(0-£.

уо

Например, для п = 3 решение задачи Гурса для линеаризованной цепочки Тоды серии Dз представляется в виде

V = Х-^(Х^1) + У^^^щ),

здесь Х1 = D3U, У1 = D3U,

Vl = I 5 —17 | ф-^ф2К2 + | 1 | Ш1(х) —( 1 | [ ВК2(1у,

2

—9 3 1 \ 11 \ 1

У0

П2 =

аналогично находятся

7 13

(О + и1 + и2 + и3) ^(х)

У

Ш2(х) — / 6(еи1 + еи2 + еи3)Ш3йу

\ У0 )

щ = | 5 —17 I ф-1Вф2Е2 + 1 1 I ^(у) — I 1 \ I ВК2йх,

—9 3] И/ V 1 , хо

П2 =

(.0 + и1 + и2 + и!)1^з(у)

_ х _

ТЩг(у) — / 6(еи1 + еи + еи)]У3йх

\ хо

где матрицы

2еи

1 2 1 2 з 64еи +49еи 40еи — 70еи

Ф2 = І 8еи1 — 14еи2 5еи1 + 20еи

23 —9 3

В = 1 ( 32еи1 + 28еи2 — 50еи3 20еи1 — 40еи — 60еи3 ) 5

1

1

(Г\\ x

Wi(x)=rl, I Г I = P-X-

x x

W2(x) = Г2, (Г^ = ^2(е^Г0 d(, Ws(x) = ^)г2^.

xo xo

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. E. Goursat Legon sur J’integretion des equations aux derivees partielles du second ordre a deux variables independantes Hermann. Paris. 1896. 200 p.

2. Михайлова Ю.Г. Решение задачи Гурса для линейного гиперболического уравнения интегрируемого каскадным методом Лапласа // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа, БГУ. Т. 1. 2004. С. 153-164.

3. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. Т. 56, вып 1. 2001. С. 63-106.

4. Жибер А.В., Старцев С.Я. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений // Математ. заметки. Т. 74, вып 6. 2003. С. 848857.

5. Гурьева А.М., Жибер А.В. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды // ТМФ. Т. 138, вып 3. 2004. С. 401-421.

6. J.M. Anderson, N. Kamran The variational bicomplex for second order scalar partial differential

equations in the plane // Duke. Math. J. V. 87. № 2. 1997. P. 265-319.

7. Царев С.П. Факторизация линейных дифференциальных операторов с частными производными и метод Дарбу интегрирования нелинейных уравнений с частными производными // ТМФ. Т. 122, вып 1. 2000. С. 144-160.

8. Старцев С.Я. О построении симметрий систем, уравнений лиувиллевского типа // Труды

международной конференции. Орел: ОГУ. Т. 1. 2006. С. 117-122.

9. Жибер А.В., Соколов В.В., Старцев С.Я. Нелинейные гиперболические системы уравнений лиувиллевского типа // Международная конференция "Тихонов и современная математика": тезисы докладов. М.: МГУ. 2006. С. 305-306.

10. Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. О гиперболических системах уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Труды Института математики и механики. Екатеринбург. Т. 13, вып 4. 2007. С. 74-83.

11. Старцев С.Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений // Математ. заметки. Т. 83, вып 1. 2008. С. 107-118.

12. Лезнов А.Н., Шабат А.Б. Интегрируемые системы // Уфа: БФАНСССР. 1982. С. 34-44.

13. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // ТМФ. Т. 51, вып 1. 1982. С. 10-21.

14. Михайлова Ю.Г. Краевыые задачи с данными на характеристиках для линеаризованных цепочек Тоды серий An и Bn // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: БашГУ. 2008. № 1. С. 146-155.

15. Михайлова Ю.Г. О задаче Гурса для линеаризованных цепочек Тоды серий Cn и Dn // Проблемы теоретической и прикладной математики. Екатеринбург. 2009. С. 160-165.

Анатолий Васильевич Жибер,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

J Xi(Ф(£) - Ф(хо)Ж,

xo

Юлия Геннадьевна Михайлова, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: mihaylovaj @mail. ru