Замечание об одном множестве точек плоскости Лобачевского Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 2410-6070_

514.133

Л. Н. Ромакина

К. ф.-м. н., доцент Физико-математический факультет Саратовский государственный университет Г. Саратов, Российская Федерация

ЗАМЕЧАНИЕ ОБ ОДНОМ МНОЖЕСТВЕ ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Аннотация

Доказано, что множество всех точек плоскости Лобачевского, из которых данный отрезок АВ виден под прямым углом, является эллипсом с главным диаметром АВ без точек А и В с определенной зависимостью между полуосями.

Ключевые слова

Плоскость Лобачевского; эллипс плоскости Лобачевского; метрическое свойство

эллипса плоскости Лобачевского.

1. Актуальность исследования. Для неевклидовой геометрии нынешний год - юбилейный: 190 лет назад, 23 февраля 1826 года, Н. И. Лобачевский представил в Казанском университете свой первый доклад по гиперболической геометрии. Это событие, коренным образом изменившее траекторию развития математики и физики, считают рождением неевклидовой геометрии.

Первая классификация линий второго порядка плоскости Лобачевского Л2 была проведена в работе [1], в дальнейшем она уточнялась Б. А. Розенфельдом (см., например, [2]). К исследованиям линий второго порядка плоскости Л2 обращались многие геометры (см., например, [3-6]), проявляя наибольший интерес к циклам данной плоскости (т.е. окружностям, орициклам и эквидистантам), по некоторым своим свойствам аналогичным окружности евклидовой плоскости. В то же время известны свойства окружности евклидовой плоскости, которыми циклы плоскости Лобачевского не обладают. Одному из таких свойств посвятим данную работу.

В статье [7] доказано метрическое свойство двух линий второго порядка, однополостной и двуполостной бигипербол, на гиперболической плоскости Н положительной кривизны, реализуемой в проективной модели Кэли-Клейна на идеальной области плоскости Лобачевского. Для сравнения свойств линий второго порядка в геометриях плоскостей Н и Л2 было исследовано множество п всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под прямым углом. Две первые теоремы в работе [7] подробно доказаны и содержат верные результаты. Теорема 3 о множестве п на плоскости Лобачевского приведена без доказательства, и в ней допущена ошибка. В данной работе представим верную формулировку и доказательство в проективной модели утверждения о множестве п на Л2.

2. Теорема о множестве точек плоскости Лобачевского, из которых данный отрезок виден под прямым углом.

Теорема 1. Множество всех точек плоскости Лобачевского, из которых данный отрезок АВ виден под прямым углом, является эллипсом с главным диаметром АВ и выколотыми точками А и В, у которого длина д ортогонального к АВ диаметра связана с длиной \АВ\ соотношением

= (1)

2р 2р у '

Доказательство. Выберем канонический репер Я={А1, А2, Аз, Е} первого типа плоскости Л2 , в котором абсолютная овальная линия у задана уравнением

х1 + х1 - х$ = 0. (2)

Вершину Аз совместим с точкой А, а вершину А1 расположим на прямой АВ в точке, гармонически сопряженной с точкой А. Току В, собственную для плоскости Л2, в репере Я можно задать координатами (Ь:

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070_

0: 1), где 0 < b < 1. Текущую точку M множества п, из которых отрезок AB виден под прямым углом, зададим в репере R координатами (ш\. шг: шз). Тогда прямые AM и BM будут иметь координаты:

AM(- шг: т\: 0), BM(— шг: т\ — Ьшз: Ьшг). (3)

Квадратичная форма х^ + xf — х|, задающая абсолют плоскости Лобачевского в репере R, определяет в этом репере следующее условие ортогональности прямых с координатами (xi: хг: хз) и (у\: уг: уз):

Х^ + Х2У2 — Х3У3 = 0. (4)

Применяя координаты (3) и условие (4), найдем условие ортогональности прямых AM и BM:

m2 + m2 — bm1m3 = 0. (5)

Учитывая равенство (5), заключаем: если точка M принадлежит множеству п, то ее координаты (mi: шг: шз) в репере R удовлетворяют уравнению

х2 + xf — Ьх1х3 = 0. (6)

Обратно. Предположим, что в репере R координаты некоторой точки N плоскости Лобачевского удовлетворяют уравнению (6). Тогда эти координаты можно записать в виде (b: bt: 1+^), где t — любое вещественное число. Найдем координаты прямых AN и BN в репере R:

AN (— bt: b: 0), BN (bt: bf: — b2f). (7)

Применяя условие (4) к координатам (7), убеждаемся в ортогональности прямых AN и BN. Следовательно, если в репере R координаты некоторой точки плоскости Лобачевского удовлетворяют уравнению (6), то эта точка принадлежит множеству п.

Таким образом, (6) — уравнение множества п в репере R.

Определитель матрицы коэффициентов уравнения (6) отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) задает в R невырожденную линию второго порядка. Определим ее тип.

Система уравнений (2) и (6) имеет две различные пары мнимо сопряженных решений (±i:1:0), и не имеет других решений. Точки A и B принадлежат линии (6), значит, эта линия содержит внутренние относительно абсолюта у точки. Следовательно, линия (6) — эллипс плоскости Лобачевского (см., например, рассуждения раздела 2.3 работы [8]). Вещественные прямые, содержащие сопряженные в паре точки, определенные системой уравнений (2) и (6), имеют в репере R координаты (0: 0: 1) и (—b: 0: 1). Данные прямые являются директрисами эллипса (6). Каждая из них ортогональна прямойAB. Следовательно, отрезок AB — главный диаметр эллипса (6).

Очевидно, сами точки A и B не удовлетворяют обозначенному в теореме 1 свойству. Таким образом, множество всех точек плоскости Лобачевского, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом, является эллипсом с главным диаметром AB без точек A и B.

Пусть KL — диаметр эллипса (6), ортогональный диаметру AB, и q = \KL\. Установим зависимость между длинами диаметров AB и KL. Прямая KL проходит через середину S отрезка AB. Учитывая условие |AS| = \SB\ и принадлежность точки S внутренности абсолюта (2), найдем координаты точки S в репере R:

(1 — V1

— Ь2: 0: й). Тогда прямая KL задана в репере R координатами (й: 0: V1 — Ь2 — 1). Одна из точек пересечения прямой KL с эллипсом (6), обозначим ее K, имеет координаты (1 — V1 — Ь2: V1 — Ь2(1 —

V1 — Ь2):Ь).

Применяя координаты точек A, S, выразим длину отрезка AB через параметр b и радиус кривизны ¿р плоскости л2:

coshid£l = ь . (8)

2р р ^VT-b^i-Vl-b2)

Применяя координаты точек K, S, выразим длину q отрезка KL:

cosh ^ = cosh ^ = ^2VT-Ti1-V^. (9)

2р р bVT-Ь2 v 7

Исключая из выражений (8), (9) параметр b, получим равенство (1).

Теорема доказана.

Из рассуждений доказательства теоремы 1 следует теорема 2.

г4

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №6/2016 ISSN 2410-6070

Теорема 2. Из каждой точки эллипса плоскости Лобачевского, полуоси p=\AB\/2 и l=q/2 которого связаны соотношением (1), главный диаметр эллипса виден под прямым углом. Список использованной литературы

1. Liebmann H. Nichteuklidische Geometrie. Leipzig, 1912.

2. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969.

3. Каган В. Ф. Основания геометрии : в 2 ч. Ч. II. М. : ГТТИ, 1956.

4. Певзнер С. Л. Фокально-директориальные свойства кривых 2-го порядка на плоскости Лобачевского // Изв. вузов. Математика. 1960. № 6. С. 18-194.

5. Певзнер С. Л. Свойства кривых 2-го порядка на плоскости Лобачевского, двойственные фокально-директориальным // Изв. вузов. Математика. 1961. № 5. С. 39-50.

6. Певзнер С. Л. Детальная классификация нераспадающихся кривых 2-го порядка на плоскости Лобачевского с помощью фокально-директориальных инвариантов // Изв. вузов. Математика. 1962. № 6. С. 85-90.

7. Ромакина Л. Н., Бондарева М. А. Об одном метрическом свойстве овальных линий гиперболических плоскостей // Математика. Механика : сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2013. № 15. С. 68-73.

8. Ромакина Л. Н. Овальные линии гиперболической плоскости положительной кривизны // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 37-44.

© Ромакина Л.Н., 2016

УДК 535.324.2

М.В. Сапронов

магистрант 2 курса института радиотехники и электроники Национальный исследовательский университет «МЭИ» Научный руководитель: Б.С. Ринкевичюс д. ф.-м. н., профессор кафедры физики им. В.А. Фабриканта Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Москва, Российская Федерация

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕФРАКЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА В ПЛОСКО-

СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

Аннотация

Составлен алгоритм расчета 2D- и 3D-рефрактограмм цилиндрического СЛИ в диффузионном слое жидкости. На его основе разработана программа моделирования рефракции СЛИ в диффузионном слое. Рассчитаны модели 2D- и 3D-рефрактограмм в динамике.

Ключевые слова

Лазерная рефрактография, математическое моделирование, диффузионный слой жидкости, 2D- и 3D-рефрактограммы.

Введение

Метод лазерной рефрактографии является современным методом исследования оптически неоднородных сред [1]. Данный метод основан на явлении рефракции структурированного лазерного излучения (СЛИ) в исследуемой оптически неоднородной прозрачной среде.

В настоящее время с помощью метода лазерной рефрактографии решены задачи определения температурных полей в тонкой приграничной области около поверхности нагретых или охлажденных сред [2]. Задача исследования диффузионного слоя в жидкости с помощью лазерной рефрактографии впервые