Разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны правильными орициклическими n-трапециями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 3 (2015)

УДК 514.133+514.174.5

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ

ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ ПРАВИЛЬНЫМИ ОРИЦИКЛИЧЕСКИМИ п-ТРАПЕЦИЯМИ

Л. Н. Ромакина (г. Саратов)

Аннотация

Гиперболическая плоскость H положительной кривизны реализуется на внешней относительно овальной линии области проективной плоскости +2, т. е. на идеальной области плоскости Лобачевского. В работах автора построены первые разбиения плоскости H. Среди них есть серии нормальных, но не моноэдральных разбиений и серии моноэдральных разбиений, не являющихся нормальными. В данной работе построены серии первых нормальных моноэдральных разбиений плоскости H.

Одним из топологических отличий плоскости H от плоскости Лобачевского Л2 является тот факт, что никакая прямая плоскости H не разбивает плоскость на части (набор чисел Бетти для плоскости H: во = 1, в\ = 1, для плоскости Л2: во = 1, в\ = 0). Вследствие этого основные известные методы построения разбиений плоскости Лобачевского не могут быть применены в разбиениях плоскости H. В качестве исключения можно рассматривать схему разбиения плоскости Л2, предложенную венгерским математиком К. Берёцким. В данной работе схема Берёцкого адаптирована к плоскости H, с ее помощью построены нормальные моноэдральные разбиения плоскости H с одной удаленной параболической прямой. Подробно исследованы ячейки построенных разбиений — правильные орицикли-ческие n-трапеции. Правильной орициклической n-трапецией называем (п + 3)-реберник, два ребра которого — конгруэнтные отрезки параллельных гиперболических прямых, а остальные ребра — конгруэнтные между собой эллиптические отрезки, причем один из них служит внутренней хордой некоторого орицикла ш, а остальные п отрезков — внутренними хордами орицикла, концентрического с ш.

Для исследования ячеек разбиения в работе введена орициклическая система ортогональных криволинейных координат. Получены вспомогательные формулы площадей некоторых фигур на плоскости H. Доказано, что площадь правильной орициклической п-трапеции можно выразить

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

377

с помощью введенной автором функции а угла квазипараллельности на плоскости H, а длина бокового ребра не зависит от длины эллиптических ребер и равна р ln n, где р — радиус кривизны плоскости H.

Ключевые слова: гиперболическая плоскость H положительной кривизны, правильная орициклическая n-трапеция, нормальное моноэдраль-ное разбиение плоскости H, схема Берёцкого.

Библиография: 19 названий.

PARTITIONS OF A HYPERBOLIC PLANE

OF POSITIVE CURVATURE BY CORRECT HOROCYCLIC n-TRAPEZES

L. N. Romakina

Abstract

A hyperbolic plane H of positive curvature is realized on the external domain whith respect to the oval curve of the projective plane P2, i.e. on the ideal domain of the Lobachevskii plane. In works of the author the first partitions of the plane H are constructed. Among them there are series of the normal, but not monohedral partitions and the series of the monohedral partitions which are not the normal. In this work the series of the first normal monohedral partitions of the plane H are constructed.

One of topological differences of the plane H from the Lobachevskii plane is in the following fact. No line of the plane H partitions the plane (the set of Betti numbers for the plane H: в0 = 1, в1 = 1, for the plane Л2: во = 1, в1 = 0). Therefore the main known methods of a construction of partitions of the Lobachevskii plane can not be applied in partitions of the plane H. As an exception it is possible to consider the tiling scheme of the plane Л2 offered by the Hungarian mathematician K. Beretsky. In present work Beretsky’s scheme is adapted for the plane H. On the basis of this scheme the normal monohedral partitions the plane H with one remote parabolic line are constructed. The cells of the constructed partitions are the correct horocyclic n-trapezes. They are in detail investigated in this work. The correct horocyclic n-trapeze called the (n+3)-hedral which contain two congruent edges on the parallel hyperbolic lines. The other edges of (n + 3)-hedral are the congruent elliptic segments. One of them serves as an internal chord of some horocycle w, and other n segments are the internal chords of the concentric with w horocycle.

For research of the cells of partitions in present work the orthogonal horocy-clic coordinate system is entered. Auxiliary formulas of the areas of some figures of the plane H are received. It is proved that the area of the correct horocyclic n-trapeze can be expressed by means of the function a of a quasiparallelism angle entered by the author on the plane H. The length of the side edge no depend from the length of elliptic edges and is equal to р ln n, where р is the radius of curvature of the plane H.

378

Л. Н. РОМАКИНА

Keywords: a hyperbolic plane H of positive curvature, a correct horocyclic n-trapeze, normal monohedral partitions of the plane H, Beretsky’s scheme.

Bibliography: 19 titles.

1. Введение

1.1. Постановка задачи

В проективной интерпретации Кэли - Клейна гиперболическая плоскость H положительной кривизны реализована на идеальной области плоскости Лобачевского — внешней относительно овальной линии у области проективной плоскости Р2 [1, стр. 210], [2]. Плоскость H имеет общую с плоскостью Лобачевского Л1 2 фундаментальную группу G, гомеоморфна бескрайнему листу Мёбиуса и является проективной моделью плоскости де Ситтера [3], [4], поскольку допускает реализацию на сфере действительного радиуса с отождествленными диаметрально противоположными точками в псевдоевклидовом пространстве

R3. ^

В работах [5] - [8] построены первые разбиения плоскости H. Простые разбиения на H [7] (см. также [9]), ячейкой которых является простой 4-контур [10],

1 2

являются моноэдральными , но не являются нормальными и не являются пра-вильными3. В статье [6] построены первые нормальные разбиения плоскости H, в том числе первые триангуляции данной плоскости, но описанные в этой статье разбиения, названные веерными, не являются моноэдральными. Нерешенной до настоящего времени оставалась обозначенная в работе [6] задача построения нормальных моноэральных разбиений плоскости H.

В данной работе, в параграфе 7, построим серии нормальных моноэдраль-ных разбиений плоскости H с исключенной параболической прямой и подробно исследуем ячейки построенных разбиений — правильные орициклические п-трапеции. Аналогичные разбиения плоскости Лобачевского построены венгерским математиком К. Берёцким [11] при исследовании плотнейших упаковок и приведены в статье [12] В. С. Макарова как ответ на сформулированный применительно к плоскости Лобачевского второй вопрос восемнадцатой проблемы Гильберта о существовании неправильного моноэдрального разбиения, которое нельзя преобразовать в правильное некоторым перекладываением его ячеек.

1 Напомним, что разбиение плоскости называют моноэдральным, если фундаментальная группа плоскости действует транзитивно на множестве всех ячеек данного разбиения, т. е. любые две ячейки разбиения конгруэнтны.

2 Разбиение плоскости называют нормальным, если любые две его ячейки удовлетворяют одному из следующих условий: 1) не имеют общих точек; 2) имеют одну общую точку, являющуюся вершиной разбиения; 3) имеют общее ребро.

3 Разбиение плоскости называют правильным, если группа симметрий данного разбиения действует транзитивно на множестве всех его ячеек.

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

379

Отметим, что топологические отличия плоскости H от плоскости Л2 не позволяют применять для ее разбиения основные методы, используемые в геометрии Лобачевского. Существенным препятствием адаптации указанных методов в геометрии плоскости H является тот факт, что никакая прямая не разбивает H на части, первое число Бетти плоскости H равно единице, а для плоскости Лобачевского это число равно нулю. В связи с этим возможность применения схемы Берёцкого в разбиениях плоскости H является уникальной, для адаптации этой схемы потребовалось исключить из плоскости H некоторую параболическую прямую.

Работу построим по следующему плану. В пп. 1.2, 1.3 напомним основные метрические формулы и определения (более подробно с ними можно познакомиться по книгам [2], [9]). В параграфе 2 приведем основные свойства орицикла плоскости H. В параграфе 3 конструктивно определим правильную орицикли-ческую n-трапецию и докажем, что для каждого натурального числа n, n > 1, существует однопараметрическое и не более чем однопараметрическое семейство определенных с точностью до движения правильных орициклических n-трапеций плоскости H (теорема 2). Элементарные свойства правильной ори-циклической n-трапеции докажем в параграфе 4. В параграфе 5 введем ортогональную орициклическую параметризацию плоскости H, с помощью которой в параграфе 6 получим формулы выражения площади правильной орицикли-ческой n-трапеции. Построению разбиений плоскости H правильной орицикли-ческой n-трапецией посвятим параграф 7.

Основные результаты работы доложены на международных научных конференциях «Дни геометрии в Новосибирске» 2013, 2014 гг. и представлены в тезисах докладов [13], [14].

1.2. Типы прямых и углов плоскости H

Плоскость H и плоскость Лобачевского Л2 являются компонентами расширенной гиперболической плоскости H2, т. е. проективной плоскости Р2 с фиксированной на ней овальной линией д. Линию д называют абсолютом плоскостей H, Л2 и H2. В отличие от плоскости Лобачевского на плоскости H существуют прямые трех типов.

Эллиптическими прямыми плоскости H называют прямые плоскости H2, H С H2, имеющие с абсолютной линией д две общие мнимо сопряженные точки, гиперболическими прямыми — внешние относительно д хорды прямых плоскости H2, пересекающих д в двух вещественных точках, параболическими прямыми — касательные к абсолюту прямые плоскости H2.

Пучок прямых плоскости H называют гиперболическим (эллиптическим), если его центр — внешняя (внутренняя) относительно абсолюта точка. Пучок с центром на абсолюте называют параболическим.

Каждые две прямые гиперболического (эллиптического) пучка называют пересекающимися (расходящимися) на плоскости H. Каждые две прямые па-

380

Л. Н. РОМАКИНА

раболического пучка называют параллельными.

Пара прямых плоскости H в зависимости от типов прямых и типа содержащего их пучка может представлять один из пятнадцати типов углов данной плоскости [2], [15]. Углы шести типов измеримы с помощью абсолюта, причем углам трех типов можно поставить в соответствие действительные меры.

Определим типы углов, используемых в данной работе.

Пусть а и b — параллельные гиперболические прямые плоскости H, пересекающиеся в точке K на абсолюте. Плоскость H прямыми a, b разбита на две связные части, ту из этих частей, которая не содержит (содержит) проходящую через точку K параболическую прямую к называют полосой (псевдополосой ) плоскости H между прямыми a, b, а прямые a, b — сторонами полосы (псевдополосы) между ними.

На рис. 1, а полоса между прямыми a, b выделена узором.

Рис. 1. Углы плоскости H с вершиной K между прямыми a, b: полоса и псевдополоса (а), параболические флаги (б), квазиуглы (в)

в

Прямую c пучка с центром K называют биссектрисой полосы между прямыми a, b, если выполняется равенство (abck) = -1.

Задание обхода абсолютной линии у позволяет ввести ориентацию различных объектов плоскости H [9, параграфы 3.4, 3.5], в частности полос. Полосу плоскости H называют направленной, если ее стороны упорядочены. Обозначение: Za,b (или MKN) — направленная полоса между прямыми a и b (MK и NK). Пусть прямая a (b) пересекает абсолютную линию у в отличной от K точке A (B). Направленную полосу Za,b называют положительно (отрицательно ) ориентированной, если направление дуги AB, не содержащей точку K, совпадает с направлением заданного обхода абсолютной линии у. На рис. 1, а при выделенном стрелкой обходе линии у направленная полоса Za, b (Zb, a) является положительно (отрицательно) ориентированной.

Параллельные параболическая a и гиперболическая b прямые разбивают плоскость H на две связные части, каждую из которых называют параболическим флагом плоскости H между прямыми a, b. На рис. 1, б один из смежных параболических флагов между прямыми a, b выделен узором.

Пусть гиперболическая a и эллиптическая b прямые плоскости H пересекаются в точке K, a1 — ортогональная к a прямая пучка с центром K. Прямые

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

381

a, b разбивают плоскость H на две связные части, каждую из которых называют квазиуглом между прямыми a, b. По отношению друг к другу квазиуглы между прямыми а и b называют смежными. Тот квазиугол между прямыми a и b, который полностью содержит (не содержит) прямую а1, называют гиперболическим (эллиптическим) квазиуглом. На рис. 1, в эллиптический квазиугол между прямыми a, b выделен узором.

Полосы, псевдополосы и параболические флаги — неизмеримые углы плоскости H. Каждые две полосы, псевдополосы, или каждые два параболических флага, конгруэнтны. Квазиуглы плоскости H измеримы с помощью абсолюта [2, пп. 4.3.4, 4.5.3].

Мера ab гиперболического (эллиптического) квазиугла между прямыми а,

b, пересекающимися в точке K, определена равенством

ab = + |ln (a,bk1k2)\ (ab = г-^ — |ln (a'bk1k2)\^ ,

где ki, k2 — параболические прямые пучка с центром K, a1 — прямая пучка с центром K, ортогональная к гиперболической прямой a.

1.3. Основные метрические формулы

Приведем необходимые в работе метрические формулы, вывод которых можно найти в книге [2].

Каноническим репером второго типа плоскости H называют каждый проективный репер R = {A1,A2,A3,E}, вершины A1, A2 и единичная точка E которого принадлежат абсолюту, а вершина A3 является полюсом прямой A1A2 относительно абсолюта.

Семейство U3 всех канонических реперов второго типа плоскости H зависит от трех параметров [2, п. 4.1.3]. Задание обхода абсолютной линии д индуцирует ориентацию семейства U3 [9, параграф 3.4].

Пусть указан некоторый обход £ абсолютной линии д. Репер R второго типа называют правым (левым), если при обходе £ абсолютной линии д единичная точка E репера R принадлежит направленной дуге A1A2.

Уравнение абсолюта д в каждом репере семейства U3 имеет вид

x1x2 — x\ = 0. (1)

Квадратичную форму ф2 = x1x2 — x2, заданную на векторном пространстве L3, порождающем проективную плоскость P2, H С P2, называют метрической квадратичной формой, а билинейную форму

Ф2 =1(x1^2 + x2V1 — 2x3x3) ,

полярную к форме ф2, — метрической билинейной формой плоскости H в каноническом репере R второго типа.

382

Л. Н. РОМАКИНА

Все используемые в работе координаты точек и прямых зададим в некотором каноническом репере второго типа.

Вещественные координаты (ap), p = 1, 2, 3, собственной (несобственной) точки плоскости H удовлетворяют условию

aia2 — a^ < 0 [aia2 — a3 > 0) .

(2)

Длину \AB\ отрезка между точками A, B эллиптической (гиперболической) прямой плоскости H можно выразить через вещественные координаты (ap), (bp) данных точек по формуле

cos

\AB\

Р

±-

2

ab + a2bi — 2a^b^

a1a2 — a\

bib2 — b3

(3)

ch \AB\ = ± aib2 + a2bi — 2a3b3

Р

2\ aa — a?n bib2 — b3

(4)

Аналитическое условие ортогональности точек A (ap), B (bp) имеет вид

aib2 + a2bi — 2a3b3 = 0, (5)

следовательно, поляру точки A (ap) относительно абсолютной линии у в репере R можно задать уравнением

a2xi + aix2 — 2a3x3 = 0.

(6)

В однородных тангенциальных координатах (Xp) абсолютная овальная линия y задана уравненим

4XiX2 — X32 = 0.

Координаты (ap) эллиптической (гиперболической) прямой плоскости H удовлетворяют условию

4aia2 — a2 > 0 (4aia2 — a3 < 0) . (7)

Аналитическое условие ортогональности прямых a (ap), b (bp) имеет вид

2ab + 2a2bi — a;3b3 = 0. (8)

2. Орицикл плоскости H

Орициклом плоскости H называют собственную овальную линию, касающуюся абсолюта в четырех слившихся точках [9], [16] и имеющую с абсолютом четыре общие совпавшие касательные. Общую точку (касательную) орицикла и

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

383

абсолюта называют центром (базой) орицикла. Каждую прямую, проходящую через центр орицикла и отличную от его базы, называют осью орицикла.

Орицикл плоскости H обладает следующими общими с орициклом плоскости Лобачевского свойствами.

Пусть A — собственная точка плоскости H, K — точка абсолюта. Орицикл с центром K, проходящий через точку A, является множеством всех точек M плоскости H, для которых углы AMK и MAK конгруэнтны [9, теорема 2.4.20].

Орицикл симметричен относительно каждой своей оси [9, теорема 2.4.21]. В каждой собственной точке орицикла плоскости H существует эллиптическая касательная, ортогональная оси орицикла, проведенной через данную точку [9, теорема 2.4.22].

Орицикл является траекторией движения точки при параболическом сдвиге плоскости H [9, параграф 3.9], называемом также орициклическим поворотом.

В доказательстве теоремы 2 потребуется следующее свойство оси орицикла.

Теорема 1. Серединный перпендикуляр к внутренней эллиптической хорде орицикла плоскости H является осью данного орицикла.

Доказательство. Пусть ш — орицикл плоскости H с центром Ai, AB — внутренняя эллиптическая хорда орицикла ш. Отличную от A1 точку пересечения прямой AA1 (BA1) с абсолютом обозначим A2 (E), а полюс прямой A1A2 относительно абсолюта — A3. В каноническом репере R = {A1, A2, A3, E} второго типа точку A на прямой A1A2 (0 : 0 : 1) зададим координатами (—q : 1 : 0). Тогда орицикл ш в репере R можно задать [2, п. 2.4.3] уравнением

qx2 + x1x2 — x\ = 0, q E R+,

а точку B = A1E П ш — координатами (1 — q : 1 : 1).

Эллиптическая прямая AB задана в репере R координатами (1 : q : — 1), поэтому согласно первому условию из (7) 4q > 1. Точка K пересечения прямой AB с базой A1A3 (0:1:0) орицикла ш задана в R координатами (1:0:1) и вместе с точкой Q (1 — 2q : 2 : 1) гармонически разделяет пару точек A, B, т. е. (ABKQ) = —1. Кроме того, на основании условия (5) точки K и Q ортогональны. Следовательно, K и Q являются серединами отрезков, определенных на эллиптичсекой прямой точками A и B. Точка K принадлежит базе орицикла ш, следовательно является внешней относительно ш. Таким образом, Q — середина внутренней относительно ш хорды AB.

Прямую h, ортогональную прямой AB и проходящую через точку Q, согласно условию (8) можно задать в репере R координатами (0:1: —2). Точка A1 принадлежит прямой h, следовательно, h — ось орицикла ш.

Что и требовалось доказать. □

В п. 4.5 докажем еще одно свойство орицикла, теорему 8 о длине внешней хорды, стягивающей параболическую дугу орицикла.

384

Л. Н. РОМАКИНА

3. Правильная орициклическая n-трапеция

3.1. Определение

Пусть uq, шр — орициклы плоскости Н с центром K; AB — внутренняя эллиптическая хорда орицикла шр; n — натуральное число. Точки пересечения орицикла uq с параллельными прямыми AK и BK обозначим соответственно Q0, Qn. На дуге Q0Qn орицикла uq, начиная от точки Q0, построим последовательно точки Q1, Q2, ... , Qn-i так, чтобы прямые Qj-1Qj, j = 1,п, были эллиптическими. Обозначим через bj внутреннюю хорду орицикла uq на прямой Qj-1Qj. Совокупность отрезков AQo, b1, ..., bn, QnB, BA, циклически соединяющих точки A, Q0, Q1, ..., Qn-1, Qn, B, назовем п-трапецией, вписанной в кольцо между орициклами uq, шр, или, кратко, орициклической п-т,рапецией. Обозначение: AQ0QnB — орициклическая п-трапеция.

Точки A, Q0, Q1, ..., Qn-1, Qn, B назовем вершинами, отрезок AB — основным ребром, или основанием, а отрезки AQ0, BQn на параллельных гиперболических прямых — боковыми ребрами орициклической n-трапеции AQ0QnB. Ломаную, составленную из всех отрезков b1 , . . . , bn эллиптических прямых, назовем куполом, а каждый из отрезков b1, ..., bn — ребром купола орициклической n-трапеции AQ0QnB. Прямую, содержащую основание, ребро купола или боковое ребро орициклической n-трапеции, назовем соответственно стороной основания, стороной купола или боковой стороной.

Орицикл Шр (uq) назовем основным (купольным) орициклом орициклической n-трапеции AQ0QnB.

Орициклическую n-трапецию назовем простой, если она не имеет точек самопересечения.

Согласно построению все точки орициклической n-трапеции AQ0QnB являются собственными для плоскости Н и принадлежат полосе между боковыми сторонами AK, BK. Следовательно, являясь замкнутой ломаной, простая орициклическая n-трапеция AQ0QnB разбивает плоскость H2, где Н С H2, на две связные части, одна их которых гомеоморфна открытому диску, другая — листу Мёбиуса без края. Область ф ограниченную простой орициклической n-трапецией AQ0QnB, гомеоморфную открытому диску и, следовательно, полностью принадлежащую плоскости Н, назовем внутренностью n-трапеции AQ0QnB. Далее под простой орициклической n-трапецией будем понимать саму n-трапецию с ее внутренностью.

В

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

385

Рис. 2. Правильная орициклическая 3-трапеция AQ0Q3B

Правильной орициклической n-трапецией назовем простую орицикличес-кую n-трапецию, все купольные ребра которой конгруэнтны основанию. На рис. 2 схематично изображена правильная орициклическая 3-трапеция.

3.2. Теорема существования однопараметрического семейства правильных орициклических n-трапеций

Теорема 2. На плоскости H для каждого натурального значения n, n > 1, существует и притом однопараметрическое семейство определенных с точностью до движения правильных орициклических n-трапеций.

Доказательство. В первой части доказательства теоремы для каждого натурального значения n, n > 1, построим однопараметрическое семейство Tn правильных орициклических n-трапеций. Во второй части — покажем, что любая определенная с точностью до движения правильная орициклическая n-трапеция плоскости H принадлежит семейству Tn.

I. Выберем на плоскости H произвольно орицикл oq с центром K и базой k. На параболической прямой k с несобственной точкой K построим последовательность точек T0, Ti, ... , Tn так, чтобы при любом натуральном значении v, v = 1, n — 1, точка Tv была серединой отрезка Tv-1Tv+1:

(Tv-1Tv+1,Tv) = —(Tv_1Tv+1TvK) = 1 (9)

В силу требования (9) согласно теореме 1 из [7] существует единственный параболический сдвиг f плоскости H, при котором

Tv = f (Tv-1). (10)

Поляры точек T0, T1, ..., Tn относительно абсолюта обозначим соответственно pY(T0), pY(T1), ..., pY(Tn). Точки T0, T1, ..., Tn принадлежат прямой k, следовательно, прямые pY(T0), pY(T1), ... , pY (Tn) проходят через точку K на абсолюте, т. е. параллельны и являются осями орицикла oq. Условие (10) равносильно условию

pY (Tv ) = f (p~{ (Tv-1)), (11)

а согласно требованию (9) при любом значении v, v = 1,n — 1, прямая pY(Tv) является биссектрисой полосы между прямыми pY (Tv-1), pY (Tv+1).

Точки

Q0 pY (T0) 7l Oq, Q1 pY (T1) П Oq, . . . , Qn pY (Tn) 7l °q

принадлежат инвариантному при параболическом сдвиге f орициклу oq, и согласно условию (11) справедливо равенство Qv = f (Qv-1). Поэтому для последовательности отрезков

b1 Q0Q1, b2 Q1Q2, ... , bn Qn—1Qn,

386

Л. Н. РОМАКИНА

внутренних хорд орицикла uq, выполняется условие bv = f (bv-i). Следовательно, отрезки bi, b2, ..., bn конгруэнтны.

Докажем в принятых обозначениях следующую лемму.

Лемма 1. Для каждого орицикла uq и заданной на его базе последовательности точек T0, Ti, ..., Tn, n > 1, существует единственный концентрический с uq орицикл ир такой, что отрезки bi, b2, ..., bn конгруэнтны основанию AB вписанной в кольцо между орициклами up, uq орициклической n-трапеции

AQaQnB, где A pY(To) 7l Up, B pY(Tn) Up.

Доказательство. Отдельно рассмотрим случаи четного и нечетного n.

1. Пусть n принимает четные значения.

Выберем канонический репер R = {Ai, A2, A3, E} второго типа так, чтобы его вершина Ai совпала с центром K орицикла uq, тогда прямая k будет координатной прямой AiA3. Вершину A3 совместим с точкой Tn/2. Точку E поместим на касательную к абсолюту, проведенную через точку T0. Тогда в репере R точка T0 будет задана координатами (2:0:1).

Заметим, что при таком выборе репера R точка E совпадает с несобственной точкой прямой AK, следовательно, при положительной (отрицательной) ориентации направленной полосы между прямыми AK, BK репер R является правым (левым).

Параболический сдвиг f с неподвижной прямой k в репере R можно задать (см. [2, п. 3.9.1], [7]) невырожденной матрицей

Действуя на точку T0 (2:0: 1) последовательно преобразованием f (12), найдем координаты в репере R точек Tv:

Поскольку репер R выбран таким образом, что точка Tn/2 совпадает с вершиной A3, т. е. координаты

2

(12)

Tv (2 (в + v) : 0 : в).

(13)

(2 (в + |):0: в), (0:0:1)

точек соответственно Tn/2 и A3 пропорциональны, то

в

n

(14)

2

Подставляя выражение [3 из (14) в координаты (13), находим окончательно координаты точек Tv:

Tv (2(n — 2v) : 0 : n). (15)

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

387

В частности, координаты точки Tn имеют вид (-2 : 0 : 1).

Прямая pY (T0) задана в репере R координатами (0 : —1 : 1). Используя координаты точки Tv (15) и уравнение (6) поляры точки относительно абсолюта, найдем координаты прямых pY(Tv), pY(Tn):

Py (Tv )(0:2v — n : n), pY (Tn) (0:1:1). (16)

Орициклы up, uq с центром K (1:0:0) зададим в репере R уравнениями: Up : px\ + x1xl — x\ = 0, p £ R+, (17)

uq : qx\ + x1xl — xl = 0, q £ R+. (18)

Тогда точка A = pY(T0) П up будет задана в R координатами (1 — p : 1 : 1), ее поляра pY (A) относительно абсолюта — координатами

Py(A) (1:1 — p : —2), (19)

а точка B = pY (Tn) П up — координатами (1 — p : 1 : —1).

Сторона основания AB орициклической n-трапеции AQ0QnB — эллиптическая прямая. Длина aj, j = 1, 2, каждого отрезка между точками A, B, вычисленная по формуле (3), удовлетворяет равенству

p — 2 . .

cos-А = ----, е1 = ±1. (20)

Р Р

Определим значение е1 в выражении (20), соответствующее длине \AB\ основания орициклической n-трапеции AQ0QnB.

Координаты эллиптической прямой AB имеют в репере R вид

(1: Р — 1:0), (21)

поэтому согласно первому условию из (7) число p удовлетворяет неравенству

р> 1. (22)

Поляра pY (A) (19) точки A относительно абсолюта пересекает прямую AB (21) в точке A* (1 — р : 1 : 1 — р). Основание n-трапеции AQ0QnB — внутренняя относительно орицикла ир хорда. Следовательно, точка A3 (0:0: 1) пересечения прямой AB с базой к (0:1:0) орицикла ир не принадлежит основанию данной n-трапеции.

Выразим число (ABA3A*) через параметр р:

(ABA3A*)

1 1 1 —1

0 1 1 1 — р р — 2

1 1 1 —1 Р

1 1 — р 0 1

388

Л. Н. РОМАКИНА

Расстояние между точками A, A* равно пр/2, половине длины эллиптической прямой. Если пара точек A3, A* разделяет (не разделяет) пару точек A, B, т. е. если (ABA3A*) < 0 ((ABA3A*) > 0), то основание AB орициклической n-трапеции AQ0QnB содержит (не содержит) точку A*, следовательно является длинным (коротким) отрезком эллиптической прямой. Таким образом, справедливы утверждения:

\AB\ <П — р> 2, \AB\ >ПР р< 2. (23)

В силу утверждений (23) в выражении (20) для основания AB n-трапеции AQ0QnB получаем £1 = 1, т. е.

\AB\ р — 2

cos-----=-------

р р

(24)

Вычислим длину а попарно конгруэнтных купольных ребер Ъ1, ... , bn n-трапеции AQ0QnB.

Прямая pY(Tn/2) совпадает с координатной прямой A1A2 (0:0:1) репера R, следовательно, точка Qn/2 = pY(Tn/2) П uq задана в репере R координатами (-q : 1 : 0). Прямая pY(Tn/2+i) имеет в R координаты (0:2: п) (см. (16)) и пересекает орицикл uq (18) в точке Qn/2+1 с координатами

(4 — qn2 : п2 : — 2n) .

(25)

По определению правильной орициклической n-трапеции купольная сторона Qn/2Qn/2+i n-трапеции AQ0QnB, заданная в R координатами (n : qn : 2), является эллиптической. На основании первого условия из (7) числа n, q удовлетворяют неравенству

qn2 > 1. (26)

По формуле (3) найдем длину Vj, j =

ками Qn/2, Qn/2+1-

2

Vj qn2 —

COS — = £2----у

р qn2

1, 2, каждого из отрезков между точ-

2

“> £2

1.

(27)

Покажем, что длина а внутренней относительно орицикла uq хорды Qn/2Qn/2+1 удовлетворяет выражению (27) при £2 = 1.

Абсолютная поляра pY {Qn/^j (1 : —q : 0) точки Qn/2 пересекает прямую Qn/2Qn/2+1 в точке Q* с координатами (q : 1 : —qn), удаленной на прямой Qn/2Qn/2+1 от точки Qn/2 на половину эллиптической прямой. Точка N пересечения прямых к и Qn/2Qn/2+1 имеет в R координаты (—2 : 0 : n) и не принадлежит основанию n-трапеции AQ0QnB.

В репере R справедливо выражение

(Qn/2 Qn/2+1 NQ* )

qn2 — 2 qn2

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

389

Поэтому длину а купольного ребра n-трапеции AQ0QnB характеризуют следующие утверждения:

а <

пр

~2

qn2

> 2,

а >

пр

~2

qn2

< 2.

В силу утверждений (28) для величины а в выражении (27) е2 = 1, т. е.

а qn2 - 2

cos - =------;у-

р qn2

(29)

На основании выражений (24), (29) равенство \AB\ = а справедливо тогда и только тогда, когда

p = qn2. (30)

Требованием (30) орицикл шр определен однозначно. Таким образом, для заданного орицикла uq и любого четного числа n утверждение леммы справедливо.

2. Пусть теперь n — нечетное число.

На конечной дуге Q0Qn орицикла uq построим точки V1, V2, ... , Vn, раз-

бивающие пополам конечные дуги соответственно Q0Q1, Q1Q2, ..., Qn-1Qn. Построенные точки принадлежат биссектрисам полос соответственно Q0KQ1, Q1KQ2, ... , Qn-1KQn. Переобозначим построенные точки и купольные вершины n-трапеции AQ0QnB следующим образом:

Qo = Q0, V1 = Q[, Q1 = Q2, V2 = Q3, ...,Vn = Q2n-1, Qn = Q2

2n

Орициклическая m-трапеция AQ'0Q'mB, вписанная в кольцо между орициклами uq, шр, содержит четное число m = 2n попарно конгруэнтных купольных ребер. Присоединим к m-трапеции AQ0Q^B репер R тем же способом, что и в рассуждениях пункта 1. Орициклы uq, шр зададим уравнениями соответственно (17), (18). Тогда точки A, B в репере R будут заданы координатами (1-p : 1 : 1), (1 — p : 1 : -1), а длина \AB\ основания n-трапеции AQ0QnB — определена формулой (24). Купольные вершины Q'm/2-1, Q'm/2+1 зададим согласно (25) координатами:

Qm/2-1 (4 — q^ : ^ : 2m) , Qm/2+1 (4 — q^ : ^ : —2m) • (31)

Внутренняя хорда Q'm/2_1Q'm/2+1 орицикла uq является купольным ребром орициклической n-трапеции AQ0QnB. Найдем длину а данной хорды. По формуле (3) выразим длину fij, j = 1, 2, каждого из отрезков между точками

Qm/2-1, Qm/2+1:

fij qm2 —

cos — = £3 2

р qm2

Эллиптическая прямая Q'm /2-1Qm/2+1

( 2 2 m : qm —

8

_, £3

1.

имеет в репере R координаты - 4:0)

(32)

(33)

390

Л. Н. РОМАКИНА

при соответствующем первому требованию из (7) условии

qm2 > 4.

(34)

Поляра точки Q'm/2_1 относительно абсолюта задана в репере R координатами (m2 : 4 — qm2 : —4m) и пересекает прямую Qlm/2-1Q'm/2+1 (33) в точке Q с координатами (8 — 2qm2 : 2m2 : 4m — qm3), удаленной на прямой Qm/2-iQm/2+i от точки Qm/2-1 на половину эллиптической прямой. Точка А3 (0:0: 1) пересечения прямой Q'm/2_1Q'm/2+1 с базой k орицикла uq не принадлежит купольному ребру Qm/2-1Qm/2+1. Поэтому внутренняя хорда Q'm/2-1Q'm/2+1 является длинным (коротким) отрезком эллиптической прямой тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

(Qm/2-1Qm/2+1A3Q ) < °, ( (Qm/2-1Qm/2+1 A3Q ) > 0) •

В репере R справедливо выражение

(Qm/2-1Qm/2+1A3Q )

qm

28

qm2

Следовательно, длину а купольного ребра n-трапеции AQ0QnB характеризуют утверждения

ПР 2 а Пр 2

а < — qm > 8, а> — qm < 8,

в силу которых для величины а в выражении (32) е3 = 1, т. е.

а qm2 — 8

cos - =-----;у-

Р qm2

(35)

На основании выражений (24), (35) требование \AB\ = а равносильно условию 4p = qm2, которое при m = 2n принимает вид (30) и однозначно определяет орицикл Шр.

Отметим, что при n = 1 по условию (30) получаем q = p. В этом случае орициклы uq, шр совпадают, а орициклическая n-трапеция AQ0QnB вырождается в отрезок AB. Таким образом, не существует простой орициклической 1-трапеции, купольное ребро которой конгруэнтно основанию.

Итак, для заданного орицикла uq и каждого нечетного значения n, n > 1, утверждение леммы справедливо.

Лемма доказана. □

Выясним, при каких значениях параметра q орициклическая n-трапеция AQ0QnB с конгруэнтными основанию купольными ребрами является простой. Для этого, сохраняя введенные обозначения, докажем две следующие леммы.

Лемма 2. Орициклическая n-трапеция плоскости H с конгруэнтными основанию купольными ребрами полностью принадлежит замыканию своего основного орицикла.

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

391

Доказательство. Сначала покажем, что при условии (30) каждая точка купольного орицикла uq принадлежит внутренности основного орицикла шр орициклической n-трапеции AQ0QnB.

Действительно, координаты точки А2 удовлетворяют неравенству

pxl + x\x2 — x\ > 0, p £ R+, (36)

определяющему в репере R одну из областей плоскости H, ограниченную орициклом Шр (18). Точка А2 является внутренней относительно орицикла шр, так как принадлежит абсолютной линии у. Следовательно, неравенство (36) определяет внутренность орицикла шр.

Пусть M — произвольная точка орицикла uq. В репере R точку M можно задать координатами (ш\ : m2 : m3), удовлетворяющими уравнению (17) орицикла uq. При условии (30) соответственно равенству

qm2 + mm2 — m3 = 0

запишем координаты точки M в репере R в виде

(n2m3 — pm2 : n2m2 : n2m2m3) . (37)

Координаты (37) удовлетворяют неравенству (36). Следовательно, произвольная точка M орицикла uq является внутренней относительно орицикла шр. Таким образом, купольный орицикл n-трапеции AQ0QnB принадлежит внутренности ее основного орицикла.

Поскольку отрезки bi, ... , bn являются внутренними хордами купольного орицикла uq, а основание AB — внутренней хордой орицикла шр, то n-трапеция AQ0QnB полностью принадлежит замыканию орицикла шр.

Лемма доказана. □

Лемма 3. Орициклическая n-трапеция плоскости H с конгруэнтными основанию купольными ребрами симметрична относительно серединного перпендикуляра к основанию.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть h — серединный перпендикуляр к основанию AB орициклической n-трапеции AQ0QnB, Sh — симметрия плоскости H относительно гиперболической прямой h (см. [2, п. 4.7.2], [9, параграф 3.3]). По теореме 1 h является осью орицикла шр, т. е. K £ h. Из того, что Sh(A) = B, следует, что Sh(AK) = BK. Орициклы шр, uq концентрические, следовательно, h является осью и для орицикла uq. Учитывая, что

Sh(^q) Шq, Q0 Шq 7l AK, Qn Шq 7l BK,

получаем

Sh(Q0) = Qn■

(38)

392

Л. Н. РОМАКИНА

По условию отрезки b\ = Q0Q1, bn = Qn-\Qn эллиптических прямых конгруэнтны, следовательно, их длины равны. Это означает, что точка Qi (Qn-i) принадлежит эллиптическому циклу [9, п. 2.4.2], [17] в0 (вп) с центром в точке Qo (Qn) радиуса |QoQ1|. В силу равенства (38) циклы в0, вп симметричны относительно прямой h. Кроме того, точки Q1, Qn-1 принадлежат симметричным относительно h конечным дугам соответственно Q0H, QnH орицикла uq, где H — точка пересечения прямой h и конечной дуги Q0Qn (при четном n точка H совпадает с вершиной Qn/2 орициклической n-трапеции AQ0QnB). Следовательно,

Sh(Qi) = Qn-i. (39)

Аналогичным образом для четного (нечетного) значения n последовательно докажем равенства:

Sh (Q2) Qn-2, • • • , Sh(Qn/2-1) Qn/2+1, Sh(Qn/2) Qn/2

(Sh (Q2) = Qn-2, • • • , Sh(Q(n-1)/2) = Q(n+1)/^ • (40)

На основании условий (39), (40) орициклическая n-трапеция AQ0QnB с конгруэнтными основанию купольными ребрами симметрична относительно серединного перпендикуляра h к основанию AB.

Лемма доказана. □

Боковые ребра n-трапеции AQ0QnB, отрезки AQ0 и BQn, лежат на параллельных гиперболических прямых, следовательно не имеют общих точек. Согласно построению и любые два несмежных купольных ребра n-трапеции не имеют общих точек. Поэтому n-трапеция AQ0QnB является простой тогда и только тогда, когда основание AB не имеет общих точек с куполом. Найдем аналитическую характеристику данного требования в репере R.

1. При четном значении n точку пересечения заданной в репере R координатами (0:0: 1) прямой KQn/2 с прямой AB обозначим через D, а с орициклом шр — через L. Согласно лемме 2 пара точек D, Qn/2 не разделяет пару точек K, L. По лемме 3 орициклическая n-трапеция AQ0QnB с конгруэнтными основанию AB купольными ребрами симметрична относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB. Следовательно, основание AB n-трапеции AQ0QnB не имеет с куполом общих точек тогда и только тогда, когда пара точек K, D разделяет пару точек L, Qn/2, т. е. тогда и только тогда, когда выполняется неравенство (KDQn/2L) < 0.

Точки D и L в репере R можно задать координатами (1 — р : 1 : 0) и (—р : 1 : 0) соответственно. Поскольку в репере R справедливо выражение

(KDQn/2L) = —1-------,

4 ' 1 + q — р

то при условии (30) неравенство KDQn/2L < 0 можно записать в виде

q>-^ • (41)

n2 1

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

393

Заметим, что при четном n и условии (30) система неравенств (26), (41) равносильна неравенству (41).

2. При нечетном n точка Q(n-1)/2 совпадает с точкой Q'm/2-\ (31). Точку пересечения прямой KQ(n-1)/2 с прямой AB (21) обозначим через D, а с орициклом шр — через L. Основание AB n-трапеции AQ0QnB не имеет с куполом общих точек тогда и только тогда, когда пара точек K, D разделяет пару точек L, Q(n-i)/2, т. е. тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

(■KDQ(n-1)/2L) < 0.

В репере R, введенном при доказательстве леммы 1 для нечетного n, прямая KQ(n-1)/2 задана координатами (0:2: —m), поэтому точки D и L в R можно задать координатами соответственно (т — pm : т : 2), (4 — pm2 : m2 : 2m).

Учитывая выражение

m2__4

(KDQ(n-i)/2L) = m2(l + q - p) - 4 ’ при условии (30) неравенство (KDQ(n-1)/2L < 0 запишем в виде

q> 1 • (42)

n2

Итак, при четном (нечетном) значении n неравенства (41) ((42)) характеризуют в репере R простую орициклическую n-трапецию AQ0QnB с конгруэнтными основанию купольными ребрами.

Таким образом, для каждого натурального значения n, n > l, существует однопараметрическое семейство Qn орициклов uq, параметр q которых удовлетворяет при четном (нечетном) значении n неравенству (41) ((42)), таких, что построенные указанным способом орициклические n-трапеции AQ0QnB являются правильными.

При каждом фиксированном значении n семейство всех правильных ори-циклических n-трапеций, каждая из которых однозначно определена системой точек Tv и орициклом uq семейства Qn, обозначим Tn. Длина основания трапеции из семейства Tn однозначно определена параметром q соответствующего ей орицикла семейства Qn (см. (29), (35)), следовательно, никакие две n-трапеции из Tn не являются конгруэнтными.

Итак, для каждого натурального n, n > l, существует однопараметрическое семейство Tn правильных орициклических n-трапеций.

II. Докажем, что для каждого натурального n, n > l, существует не более чем однопараметрическое семейство правильных орициклических n-трапеций, определенных с точностью до движения.

Пусть A'Q'0Q'nB' — некоторая правильная орициклическая n-трапеция плоскости H, не принадлежащая семейству Tn. Точку пересечения боковых сторон AQ0, B' Q'n n-трапеции AQ'0Q'nB' на абсолютной линии у обозначим K', поляру

394

Л. Н. РОМАКИНА

точки K' относительно абсолюта — к1, а отличную от точки K' точку пересечения прямой A Q0 с абсолютом — E'. Точку пересечения с абсолютом серединного перпендикуляра К' к основанию A Б', отличную от точки K1, обозначим A2, а полюс прямой К относительно линии у — A3.

Построим проективный репер R' = {K', A2, A3, E'} и обозначим через p (q) параметр в репере R' орицикла ш'р с центром K', содержащего точки A,

Б (Q0,..., Q'n). Тогда в репере R' орицикл Шр (ш^ будет задан уравнением (18) ((17)). Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям из первой части доказательства, координаты всех вершин n-трапеции AQ'0Q'nB' в репере R' можно однозначно выразить через параметры p, q и показать, что эти параметры удовлетворяют условию (30) и при четном (нечетном) значении n — условию (41)

((42)).

Из семейства Tn выберем правильную орициклическую n-трапецию AQoQnB, координаты вершин которой в репере R имеют те же выражения через параметры p, q, что и координаты соответствующих вершин n-трапеции A'Q'0Q'nB в репере R'.

По основной теореме о проективных преобразованиях существует единственное проективное преобразование f плоскости P2, H С P2, при котором репер R переходит в репер R', причем каждая точка X с координатами (xi : x2 : х3) в репере R в преобразовании f переходит в точку X1 с теми же координатами (xi : х2 : хз) в репере R'. По построению R и R' — канонические реперы второго типа плоскости Н, значит, абсолютная овальная линия у задана в них уравнением (1). Следовательно, линия у инвариантна в преобразовании f. Тогда f — движение плоскости Н: f Е G.

Вершины n-трапеции AQ0QnB заданы в репере R теми же координатами, что и соответствующие вершины n-трапеции AQ0Q'nB в репере R', поэтому в преобразовании f n-трапеция AQ0QnB переходит в n-трапецию AQ'0Q'nB'. Следовательно, n-трапеции AQ0QnB и AQ'0Q'nB' конгруэнтны.

Таким образом, какова бы ни была правильная орициклическая n-трапеция AQ'Q'B' плоскости Н, в семействе Tn найдется конгруэнтная ей n-трапеция.

Что и требовалось доказать. □

4. Элементарные свойства правильной орицикли-ческой n-трапеции

4.1. Симметричность

На основании леммы 3 справедливо следующее свойство правильной ори-циклической n-трапеции.

Теорема 3. Правильная орициклическая n-трапеция плоскости Н симметрична относительно серединного перпендикуляра к своему основанию.

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

395

4.2. Принадлежность замыканию основного орицикла

Внутренность правильной орициклической n-трапеции — гомеоморфная открытому диску область плоскости H, ограниченная данной n-трапецией, поэтому согласно лемме 2 справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Правильная орициклическая n-трапеция плоскости H полностью принадлежит замыканию своего основного орицикла.

4.3. Невыпуклость

Докажем свойство правильной орициклической n-трапеции плоскости H, отличающее ее от аналогично построенной n-трапеции плоскости Лобачевского.

Теорема 5. Правильная орициклическая n-трапеция плоскости H не является выпуклой.

Доказательство. Пусть AQ0QnB — правильная орициклическая n-трапеция с основным (купольным) орициклом шр (шд), K — центр орициклов Шд, Шр. Внутренность n-трапеции AQ0QnB ограничена ее боковыми сторонами, внутренней хордой AB орицикла шр, внешнего по отношению к орициклу шд, и внутренними хордами орицикла шд. Следовательно, стягиваемые купольными ребрами конечные дуги орицикла шд, за исключением их концов Q0, ... , Qn, принадлежат внутренности n-трапеции AQ0QnB.

Выберем на дуге Q0Qi некоторую отличную от Q0 и Qi точку M, а на дуге Q1Q2 — отличную от Qi, Q2 точку N. Касательная к орициклу в каждой его точке является эллиптической прямой, поэтому точки M, N независимо от типа прямой Q0Q2 можно расположить настолько близко к точке Q1, чтобы прямая MN была эллиптической.

Точки M, N разделены на овальной линии шд парой точек Q1, K (см. [2], [18]). Следовательно, хорды MN и Q1K орицикла шд пересекаются во внутренней относительно шд точке, обозначим ее U. Внутренняя относительно шд хорда Q1K не содержит внутренних относительно n-трапеции AQ0QnB точек, следовательно, U является внешней точкой для данной n-трапеции.

Точку пересечения прямой MN с базой орициклов шд, шр обозначим V. Как точка базы орицикла шр V является внешней относительно шр. Тогда согласно теореме 4 V является внешней точкой и относительно n-трапеции AQ0QnB.

Итак, на каждом из отрезков эллиптической прямой, определенных точками M, N, существует не принадлежащая внутренности n-трапеции AQ0QnB точка. Следовательно, ни один из этих отрезков не принадлежит полностью внутренности данной n-трапеции. Значит, правильная орициклическая n-трапеция AQ0QnB не является выпуклой.

Что и требовалось доказать. □

396

Л. Н. РОМАКИНА

4.4. Однозначная определенность длины бокового ребра количеством ребер купола

Теорема 6. Длина b бокового ребра правильной орициклической п-трапе-ции плоскост,и H радиуса кривизны р, р Е R+, однозначно определена числом п:

b = р ln п. (43)

Доказательство. Пусть AQ0QnB — правильная орициклическая п-трапе-ция плоскости H. По утверждению 3 n-трапеция AQ0QnB симметрична относительно серединного перпендикуляра к основанию AB. Следовательно, боковые ребра AQo и BQn n-трапеции AQ0QnB конгруэнтны. Значит, длины ребер AQo и BQn равны. Покажем, что они однозначно определены значением п.

Присоединим к п-трапеции AQ0QnB канонический репер R второго типа плоскости H тем же способом, что и в доказательстве теоремы 2. Тогда вершины A, Qo на боковой стороне в репере R можно задать координатами:

A (1 - p : 1 : 1), p Е R+, Qo (1 - q : 1 : 1), q Е R+. (44)

Выразим длину b ребра AQ0 по формуле (4):

, b p + q

on — =-----.

P 2v/pq

(45)

Параметры p и q в координатах правильной орициклической п-трапеции в репере R связаны условием p = qu2 (30). Поэтому согласно выражению (45) справедливы равенства:

on

b

P

п2 + 1

2п

sh b-

р

п2 — 1 2п

(46)

Из выражений (46) получаем равенство eр = п, согласно которому выполняется формула (43). Теорема доказана. □

Проводя аналогичные выкладки, можно доказать справедливость формулы (43) для правильной орициклической п-трапеции плоскости Лобачевского.

4.5. Ограниченность длины основания

Каждое купольное ребро правильной орициклической п-трапеции плоскости H конгруэнтно основанию. Оценим длину а основания AB правильной ори-циклической п-трапеции AQoQnB. Воспользуемся присоединенным к данной п-трапеции соответственно четному или нечетному значению п каноническим репером R (см. доказательство теоремы 2).

Выражение (29) длины а основания AB п-трапеции AQ0QnB при выполнении требования (30) можно записать следующим образом:

а

cos -

р

2

qri2

(47)

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

397

В доказательстве теоремы 2 установили, что принимающий положительные значения параметр q в координатах вершин правильной орициклической n-трапеции AQ0QnB в репере R удовлетворяет при четном (нечетном) значении n неравенству (41) ((42)). От неравенства (41) ((42)) перейдем к равносильному неравенству

2 2 - n2

1------т

qn

2

n2

{'- £ >-1) •

Откуда с учетом выражения (47) при четном значении n и справедливых для каждого натурального значения n, n > 1 , неравенствах

-1 <

2 n2

n

2

<1

(нечетном значении n) получаем:

a 2 — n2

cos — > ----2—

p n2

a

cos — > p

0

(48)

На основании неравенств (48) справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Длина а каждого эллиптического ребра правильной орициклической n-трапеции плоскости H радиуса кривизны p при четном, нечетном значении n принадлежит соответственно интервалу

^0; p arccos

2 — n2 n2

(0; пр)^

Выясним геометрический смысл величины 9(n) = p arccos

2-n2

Своеобразным эталоном измерения дуг орициклов плоскости H является дуга, высекаемая на орицикле отличной от его базы параболической прямой, такую дугу назовем параболической дугой орицикла. В решении различных задач удобно также использовать половину параболической дуги, назовем ее единичной дугой орицикла (применяя введенные в параграфе 5 ортогональные ори-циклические координаты, можно показать, что длина единичной дуги орицикла равна радиусу кривизны p плоскости H).

Известно [9, теорема 2.4.27], что внутренняя эллиптическая хорда орицикла, стягивающая его единичную дугу, равна трети эллиптической прямой. Следовательно, смежная с ней внешняя эллиптическая хорда орицикла имеет длину 2np/3. Заметим, что величина 0(2) также равна 2np/3.

Докажем следующую теорему.

2

Теорема 8. На плоскости H радиуса кривизны p, p Е R+, длина внешней эллиптической хорды орицикла, стягивающей n-ую часть его параболической дуги, равна

9(п)

2 — n2

p arccos-----—

n2

398

Л. Н. РОМАКИНА

Доказательство. Пусть параболическая прямая m пересекает орицикл ш в точках A, B. Выберем канонический репер R = {A1, A2, A3, E} второго типа, в котором вершина Ai совпадает с центром орицикла ш, вершина А2 — с несобственной точкой прямой m, а единичная точка E принадлежит касательной к абсолюту, проходящей через точку O пересечения прямой A1A2 с орициклом ш, причем так, что обход линии 7 по дуге A1EA2 соответствует обходу орицикла ш по конечной дуге AB.

Орицикл ш в репере R задан уравнением

xl + x1x2 — x\ = 0,

а точка O — координатами (1 : —1 : 0). Вершина A3 является полюсом прямой A1A2 относительно абсолюта, поэтому принадлежит прямой m. Значит, в репере R прямую m можно задать координатами (1 : 0 : 0), а точки A, B — координатами соответственно (0 : 1 : 1) , (0 : 1 : — 1) .

Конечная дуга AB является параболической дугой орицикла ш.

Подействуем n раз на точку A параболическим сдвигом f (12) с неподвижной точкой A1. Обозначим fv (A) = Av, где v = 1, n.

В репере R точка Av задана координатами

(v2 + 2vp : в2 : в2 + vp) . (49)

Потребуем, чтобы точка An с координатами (n2 + 2пв : в2 : в2 + пв) совпала с точкой B. В этом случае пара точек A, A1 = f (A) определит хорды орицикла ш, стягивающие n-ую часть его параболической дуги AB. Равенство An = B приводит к условию в = —n/2. Подставляя значение в = —n/2 в координаты (49), найдем координаты точки A1: (4 — 4n : n2 : n2 — 2n).

Выразим по формуле (3) длины fij, j = 1, 2, хорд орицикла ш между точками A, A1:

fij n2 — 2

cos— = £------—, £ = ±1. (50)

р n2

Поляра pY (A) точки A относительно абсолюта задана в репере R координатами (1:0: —2) и пересекает прямую AA1 (2n : 4n — 4:4 — 4n) в точке A* с координатами (2 — 2n : 1 : 1 — n). Точка N пересечения прямой AA1 с базой k (0:1:0) орицикла ш имеет координаты (2n — 2:0: n) и принадлежит внешней относительно ш хорде между точками A, A1 . Поскольку в репере R

(AA1NA*)

n2 — 2 n2

и при каждом натуральном n, n > 1, выполняется неравенство n2 — 2 > 0, то внешняя относительно ш хорда AA1 больше половины эллиптической прямой, а ее длина определена равенством (50) при £ = —1.

Таким образом, указанная внешняя хорда AA1 имеет длину в(и).

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

399

Что и требовалось доказать. □

Установленный в теореме 8 геометрический смысл величины в (и) позволяет сформулировать теорему 9, равносильную теореме 7.

Теорема 9. Каждое эллиптическое ребро правильной орициклической и-трапеции плоскости H при четном и является отрезком, не достигающим по длине внешнюю хорду орицикла, стягивающую и-ную часть его параболической дуги, при нечетиом и — отрезком, не достигающим содержащую его эллиптическую прямую.

5. Вычисление площадей фигур плоскости H в ортогональной орициклической системе координат

В работе [19] получена формула для вычисления площади фигуры плоскости H в присоединенной к каноническому реперу R* первого типа ортогональной гиперциклической системе координат Ch. Получим соответствующую формулу для вычисления площади фигуры в присоединенной к каноническому реперу R второго типа ортогональной орициклической системе координат Co, кратко описанной в тезисах [14] и являющейся одним из аналогов полярной системы координат евклидовой плоскости. Полученную формулу применим в параграфе 6 для вычисления площади правильной орициклической и-трапеции.

5.1. Собственные координаты точки плоскости H в каноническом репере второго типа

Пусть в каноническом репере R второго типа плоскости H радиуса кривизны р, р £ R+, точка M задана проективными координатами (xp), p = 1,2, 3. Собственными координатами точки M на плоскости H в репере R назовем определенную с точностью до знака упорядоченную тройку чисел:

I РХР t IX 1 \

Xp = ± = • (51)

^x\ - X1X2

Введенная нормировка, инвариантная относительно преобразований фундаментальной группы G, устанавливает взаимно однозначное соответствие между собственными точками плоскости H и определенными с точностью до знака упорядоченными тройками действительных чисел. Координаты точек абсолюта в нормировке (51) бесконечно велики, а каждой несобственной для H точке соответствует тройка мнимых чисел. Для собственных координат (Xp) собственной точки плоскости H выполняется равенство

x3 — X1X2 = р2 ■ (52)

400

Л. Н. РОМАКИНА

5.2. Ортогональная орициклическая система координат

На плоскости H с выделенным обходом £ абсолютной линии 7 выберем некоторый орицикл ш0 с базой к и любую его ось l (рис. 3). Пусть Л1 — центр орицикла ш0, т. е. Л1 = к П y, а Л2 — отличная от Л1 точка пересечения прямой l с абсолютом. Собственную на H точку пересечения прямой l с орициклом ш0 обозначим О. Проведем касательные к1, к2 к абсолюту из точки О и обозначим Е ту из точек касания прямых ki, к2 с абсолютом, которая принадлежит дуге Л1Л2 линии y при заданном обходе £.

к

Ai

Рис. 3. Ортогональная орициклическая система координат Co = {ш0,1,Е}

Каждой точке M плоскости H, M / к, поставим в соответствие пару чисел (■u,v) следующим образом.

Пусть шм — орицикл с базой к, содержащий точку M, и М1 — точка пересечения орицикла шм с прямой l. Обозначим:

и = ((ЛМ)(Л1Е Щ, 0 |OMi|

V = 0----,

Р

(53)

(54)

где 0 = 1 (0 = —1), если точка M1 не принадлежит (принадлежит) лучу ОЛ1.

Совокупность элементов Co = {ш0, l, Е} назовем ортогональной орицикличе-ской системой координат плоскости H. Орицикл ш0 назовем нулевым орициклом, прямую l — осью, точку Е — единичной точкой системы Co. Собственную для плоскости H точку О пересечения оси l с нулевым орициклом ш0 назовем началом системы координат Co.

Пару чисел (и; v), и el, v Е R, назовем ортогональными орициклическими координатами точки M в системе Co.

5.3. Связь ортогональных орициклических и собственных координат точки на плоскости H

Присоединим к орициклической системе координат Co плоскости H канонический репер R = {Л1,Л2,Л3,Е} второго типа так, чтобы его вершина Л3 была полюсом прямой Л1Л2 относительно абсолюта. Репер R является правым,

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

401

т. е. представляет положительную ориентацию семейства U3, соответствующую заданному обходу £ линии 7.

На плоскости H пучок П всех орициклов с центром в точке Л1 (1:0:0) в репере R можно задать уравнением

qxl + x1x2 — x\ = 0, q £ R+. (55)

Каждый орицикл пучка П определен однозначно заданием параметра q. Покажем, что для нулевого орицикла ш0 системы Co параметр q равен единице.

Действительно, в репере R касательная к абсолюту в единичной точке E (1 : 1:1) задана координатами (1:1: —2) и пересекает прямую l = Л1Л2 с координатами (0:0:1) в точке O (1 : —1 : 0). Согласно построению системы Co точка O принадлежит орициклу ш0, следовательно, для орицикла ш0 в уравнении (55)

q =1 _

Пусть (u,v) — координаты произвольной точки M плоскости H в системе Co, а (m1 : m2 : m3) — проективные координаты точки M в присоединенном к Co репере R. Прямые AiM, AiE, l, к заданы в репере R координатами:

ЛМ (0 : —m3 : m2), A1E (0:1: —1), l (0:0:1), к (0:1:0). (56)

Выразим координату и (53) точки М через ее проективные координаты:

и = ((AiM)(AiE )lk) = m. (57)

m2

Орицикл шм из пучка П (55), содержащий точку M, задан уравнением

(2 \ 2 , 2 2 2 П

[ш3 — m\m2) x2 + m2x\x2 — m2x3 = 0

и пересекает ось l в точке Mi с координатами (mm2 — m2 : m2 : 0). По формуле (4) выразим длину отрезка OM1 гиперболической прямой l и с учетом обозначения (54) получим:

ch v

m"2 + m3 — m1m2

2|m2U/ m3 — m1m2

По определению координата v (54) точки M принимает положительные (отрицательные) значения тогда и только тогда, когда точка M1 не принадлежит (принадлежит) лучу ОЛ1, т. е. тогда и только тогда, когда для четверки точек M1, A1, O, A2 прямой l выполняется неравенство

(M1A1OA2) < 0 ((M1A1OA2) > 0).

Выразим число (M1A1OA2) в проективных координатах точки M:

( M1 A 1 OA 2 )

m32 — m22 — m1 m2 m23 — m1 m2

(59)

(60)

402

Л. Н. РОМАКИНА

Координаты собственной для плоскости H точки M удовлетворяют неравенству m3 — m1m2 > 0 (см. (2)), поэтому согласно выражению (60) неравенство (59) равносильно неравенству

m2 — m2 + m1m2 > 0 (m2 — mj + m1m2 < 0) . (61)

Для положительного (отрицательного) значения v выполняется неравенство sh v > 0 (sh v < 0), поэтому из выражения (58) при соответствующем условии (61) получаем:

. m2 — m3 + m1m2

sh v =--2-- 3 =

2\m2\J m3 — mi m2

(62)

На основании выражений (58), (62) выполняется равенство

е

V

\m2 \

m23 — mi m2

(63)

Итак, любые проективные координаты (mi : m2 : m3) точки M в репере R, в том числе и ее собственные координаты, определенные равенствами (51) и связанные условием (52), удовлетворяют равенствам (57), (63). Точка M — произвольная точка плоскости H. Значит, для собственных координат (Xi : х2 : х3) каждой точки плоскости H выполняются соотношения:

-2 - - 2 Х3

х3 — х1 х2 = р , — = и,

3 х

\х 2 \

■\J х3 — Xi Х2

V

e

Поэтому зависимость собственных координат (Xi;X2;X3) точки плоскости H в репере R от ее ортогональных орициклических координат (и, v) в присоединенной к реперу R системе Co можно выразить формулами:

2 V V V V

х1 = р [и e — e ) , х2 = ре , х3 = рие .

(64)

Координатными линиями и в системе Co являются концентрические орициклы пучка П, а линиями v — оси орициклов пучка П, гиперболические прямые, проходящие через точку A1. Орицикл плоскости H имеет в каждой своей точке эллипическую касательную, ортогональную оси орицикла, проведенной в данной точке [9, теорема 2.4.22]. Поэтому две координатные линии системы Co, проходящие через собственную точку плоскости H, ортогональны.

5.4. Формула площади фигуры в орициклических координатах

Собственную точку M плоскости H зададим в репере R координатами (64).

( дх '\ ( дх'\

Тогда точки Mu ( -qU ), Mv I -дv j, принадлежащие касательным в точке M к

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

403

координатным линиям u, v, имеют в репере R координаты:

Mu (2puev; 0; pev) , Mv (pu2ev + pe v; pev; puev) . (65)

Координаты (65) точек Mu, Mv собственными в смысле (51) не являются, но определены однозначно как производные от собственных координат (64) точки M по параметру u, v соответственно.

Для координат (64), (65) каждой пары из точек M, Mu, Mv выполняется условие (5). Следовательно, точки Mu, Mv ортогональны и принадлежат поляре m точки M относительно абсолюта. Поэтому прямой m принадлежит и точка dM = Mudu + Mvdv. В координатах (64), (65) получаем:

^2(dM) = juu(du)2 + 2Yuv dudv + Yvv (dv)2,

Yuu = ^2(MU) = -p2e2v, Yuv = ф2(Mu, Mv) = 0, Yvv = ф2(Mv) = p2.

Элемент площади плоскости H в ортогональных орициклических координатах имеет вид

dS

Y2v | du dv

p2ev du dv.

Пусть a — кусочно-гладкая замкнутая двусторонняя линия плоскости H, F — гомеоморфная диску область на H, ограниченная линией а, с соответствующей областью D изменения параметров u, v в параметризации (64). Тогда для площади S области F справедлива формула

S

2

p

и

ev du dv.

(66)

5.5. Площадь криволинейного координатного прямоугольника в системе Co

На плоскости H в ортогональной орициклической системе координат Co = {^о, l, E} с началом в точке O и центром нулевого орицикла ш0 в точке Л1 рассмотрим криволинейный координатный прямоугольник F = OM1MM0, вершина M\ которого лежит на оси l, но не принадлежит лучу OAi, вершина M0 принадлежит нулевому орициклу ш0, вершина M является пересечением прямой A1M0 и проходящего через точку M1 орицикла шм с центром Л1, а дуги M1M и OM0 орициклов соответственно шм и ш0 стянуты хордами на эллиптических прямых (см. рис. 3). По построению орицикл шм принадлежит внутренности орицикла ш0. Пусть a — длина внутренней хорды OM0 орицикла ш0, b — длина отрезка OM1 гиперболической прямой l. Выразим через величины a, b площадь прямоугольника F.

Точки O и M1 заданы в системе Co координатами соответственно (0, 0) и ^0, ^. Первую координату точки M в системе Co обозначим u0. Точка M принадлежит одному с точкой M1 орициклу шм, поэтому для второй координаты

404

Л. Н. РОМАКИНА

v0 точки M получаем:

Vo = (67)

Р

Точка М0 в системе Co задана координатами (u0,0).

Условимся, что точка М, а, значит, и прямоугольник F, принадлежит тому параболическому флагу между прямыми l, к, который содержит единичную точку E. В этом случае пара прямых A1M, A\E не разделяет пару прямых l, к: ((A1M)(A\E)lk) > 0. Следовательно, для координаты и0 точки М в соответствии с определением (53) выполняется неравенство

и0 > 0. (68)

По формулам (64) найдем кординаты точек O, М0 в присоединенном к системе Co репере R:

O (1 : -1:0), Mo (и0 - 1:1: щ) . (69)

По формуле (3) длина а внутренней хорды OM0 орицикла ш0 удовлетворяет равенству

а

cos -

Р

£

2 — и

2

o

2

5

£ = 1.

(70)

Чтобы найти соответствующее внутренней хорде OM0 число £ в выражении (70), построим точки пересечения орицикла ш0 с полярой pY(O) точки O относительно абсолюта. В репере R прямая pY(O) задана координатами (1 : -1:0) (см. уравнение поляры (6)), а орицикл ш0 — уравнением

xl + xlx2 — x\ = 0.

Построенные точки можно задать в репере R координатами (1:1: ±/Щ.

В силу равенства (57) первая координата точки N (1 : 1 : \/2) в системе Co больше нуля, следовательно, N принадлежит тому же параболическому флагу между прямыми l, к, что и прямоугольник F. Точка N удалена от точки O на расстояние пр/2. Рассматриваемая хорда OM0 является коротким (длинным) отрезком эллиптической прямой тогда и только тогда, когда точка Mo принадлежит дуге ON (NAi) орицикла ш0, т. е. тогда и только тогда, когда прямая A1M0 принадлежит полосе (псевдополосе) между прямыми l, A1N. Принадлежность прямой A1M0 полосе (псевдополосе) между прямыми l, A1N равносильна неравенству

((AiMo)l(AiN)k) > 0 (((AiMo)l(AiN)k) < 0). (71)

В репере R прямые A1M0, A1N, l, k заданы координатами:

A1M0 (0 : —u0 : 1), A1N (0 : —/2:^ , l (0:0:1), k (0:1:0). (72)

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

405

Неравенство (71) в координатах имеет вид

V2 -

Uo

V2

> 0

(4? < о)

и при допустимых значениях (68) координаты и0 точки M равносильно неравенству

2 — и0 /2 — и0

> о (Ц* < о).

22

Итак, длину а внутренней хорды OM0 орицикла ш0 характеризуют условия:

пр а < — 2

2 — и0

> 0,

пр а > — 2

2 — и0

<0.

Следовательно, величина а удовлетворяет выражению (70) при е =1. Из равенства (70) при е =1 выразим координату и0:

ио = 2 sin—.

2р

(73)

На основании выражений (67), (73) запишем в системе координат Co область D изменения параметров и, v, соответствующую прямоугольнику F:

a b

D : 0 < и < и0 = 2 sin —, 0 < v < v0 = -.

2р р

(74)

Применяя запись (74) области D, по формуле (66) найдем площадь S криволинейного координатного прямоугольника F с гиперболическим ребром длиной b и дугой внешнего орицикла, стягиваемой внутренней эллиптической хордой длиной а:

S = 2р ЯП|Ф р — Ф

(75)

5.6. Площадь сегмента орицикла

Пользуясь обозначениями п. 5.5, найдем площадь сегмента орицикла ш0, ограниченного внутренней эллиптической хордой OM0 длиной а. Сначала вычислим площадь полусегмента F0, ограниченного дугой OT орицикла ш0, прямой OM0 и биссектрисой A\T полосы между прямыми l, A1M0.

Определим в системе координат Co область Do изменения параметров и, v, соответствующую полусегменту F0.

Точка T принадлежит нулевому орициклу ш0 системы Co, поэтому имеет в Co нулевую вторую координату. Первую координату точки T обозначим и*. Тогда в присоединенном к системе Co репере R точка T будет задана координатами (и"2 — 1:1: и*), а прямая AiT — координатами (0 : —иt : 1) (см. аналогично

406

Л. Н. РОМАКИНА

вычисленные для точки M0 координаты из (69), (72)). Для биссектрисы A{T полосы между прямыми l, A1M0 выполняется равенство

(l(A1Mo)(A1T)k) = — 1,

которое в координатах (72) прямых A1M0, l, k имеет вид

u0 ut

-1.

ut

Тогда ut = u0/2, и с учетом выражения (73) координату ut точки T в системе Co можно записать в виде

П (76)

ut = sin

2р

Итак, первая координата u в системе Co точек полусегмента F0 изменяется от нуля до ut (76). Найдем промежуток изменения второй координаты.

Прямая OM0 в репере R задана координатами (1 : 1 : — u0), или c учетом выражения (73) — координатами

(1:1:—;

Запишем уравнение прямой OM0 в собственных координатах (ад : x2 : x3) текущей точки:

xi + х2 — 2х3 sin — = 0.

2Р

(77)

По формулам (64) от уравнения (77) перейдем к уравнению прямой OM0 в ортогональных орициклических координатах:

u2ev — e v + ev — 2uev sin — = 0.

2P

Из уравнения (78) для точек прямой OM0 получаем зависимость

1

(78)

v = — ln ( u2 — 2u sin —

2 \ 2p

+ 1).

(79)

Выражения (76), (79) определяют область D0 изменения параметров u, v точек полусегмента F0:

а 1 f 2 а

D0 : 0 < u < sin —, 0 < v < — l^ u — 2u sin —

0 “ “ 2p 2 V 2p

+ 1)'

(80)

По формуле (66) вычислим площадь S0 полусегмента F0 с областью D0 (80) изменения параметров u, v:

л л рsin р_2 1п(«2-2«sin 2Р + 1)

S0 = Р ev dudv = р du / ev dv

J J D0 J 0 J0

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

407

cos a а

in-------------sin

1 - sin a

2р

2р

Р

( п а\ а

int44+4^J - Sin 2р

2

Р

Удваивая величину So, получим площадь Ss сегмента орицикла, ограниченного внутренней хордой длиной а:

Ss = 2р2

( п а\ а

^«(д + Д - Sln 2р

(81)

6. Площадь правильной орициклической п-трапе-ции

Рассмотрим на плоскости H правильную орициклическую п-трапецию AQ0QnB с основанием AB длиной а. По определению купольные ребра п-трапеции AQ0QnB конгруэнтны основанию, следовательно, сегменты купольного орицикла данной п-трапеции, отсекаемые купольными ребрами, конгруэнтны сегменту основного орицикла, отсекаемого основанием AB. Площадь каждого из указанных сегментов может быть вычислена по формуле (81).

По теореме 6 длина b бокового ребра правильной орициклической п-трапе-ции равна р in п. Подставляя данное значение в формулу (75), получим формулу для вычисления площади криволинейного прямоугольника F с вершинами в точках A, Qo, Qn, B, вписанного в кольцо между основным и купольным орициклами данной п-трапеции AQ0QnB:

а

SF = 2р2(п — 1) sin —

2Р

Применяя формулы (81), (82), найдем площадь S правильной орициклической п-трапеции с основанием длиной а:

(82)

S = Sf + (п — 1)Ss =

2р2(п — 1) sin -—+ 2р2(п — 1) 2Р

п а а

intgl 4+Д — sin 2р

па \4 + 4р/

2р2(п — 1)int«( 4 + д)-

Итак, доказана теорема.

Теорема 10. На плоскости H радиуса кривизны р площадь S правильной орициклической п-трапеции с основанием длиной а может быть вычислена по формуле

s = 2р2(п — 4 + о)

(83)

408

Л. Н. РОМАКИНА

В работе [15] (см. также [2, п. 4.7.3]) показано, что функция

a(x) =lntg^ ^ + (84)

названная функцией угла квазипараллельности, определяет на плоскости 77 зависимость вещественной части меры квазиугла параллельности в точке плоскости относительно гиперболической прямой от расстояния x, x £ (0; пр/2), данной точки до указанной прямой. Используя обозначение (84), теорему 10 сформулируем в следующем виде.

Теорема 11. На плоскости Н радиуса кривизны р площадь S правильной орициклической n-трапеции с основанием длиной а может быть вычислена по формуле

S = 2p2(n - 1) а) . (85)

В теореме 12 выразим площадь правильной орициклической n-трапеции через величину ее внутреннего квазиугла при основании.

Теорема 12. На плоскости Н радиуса кривизны р площадь S правильной орициклической n-трапеции с мерой A внутреннего квазиугла при основании может быть вычислена по формуле

S = 2p2(n - 1) (in - A^ . (86)

Доказательство. Пусть в принятых в п. 5.5 обозначениях L — середина основания AB правильной орициклической n-трапеции AQ0QnB, K — точка пересечения боковых сторон данной n-трапеции. Прямые AK и LK параллельны, а прямые AB и LK ортогональны, следовательно, квазиугол LAK, смежный с внутренним квазиуглом LAQ0 при основании n-трапеции AQ0QnB, является квазиуглом параллельности в точке A относительно прямой LK. Величина A квазиугла LAK однозначно определена расстоянием а/2 от точки A до прямой LK [2, п. 4.7.3]:

-г п _ (а)

A = г 2+ А 2)-

Величина A внутреннего квазиугла LAQ0 при основании n-трапеции AQ0QnB связана с величиной A равенством A + A = in. Следовательно,

. п _ (а)

A =г2 - а \2>

Подставляя значение а из равенства (87) в формулу (85), получим формулу (86).

Теорема доказана. □

(87)

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

409

Функция а = а(х) угла квазипараллельности определена на интервале (0; пр/2) и положительна на всей области определения. Поэтому согласно равенству (87) вещественная часть величины A внутреннего квазиугла LAQ0 при основании правильной орициклической п-трапеции AQ0QnB — отрицательное число. Следовательно, LAQ0 — эллиптический квазиугол.

Согласно теореме 1 серединный перпендикуляр t купольного ребра QoQi содержит центр купольного орицикла правильной орициклической п-трапеции AQ0QnB. Поэтому внутренний для п-трапеции AQ0QnB квазиугол AQ0Q1 является квазиуглом параллельности в точке Q0 относительно прямой t, его величина Q0 в силу равенства |Q0Q1| = а определена выражением

„ .п _ (а \

Q° = * 2 + Ч2) '

Следовательно, AQ0Q1 — гиперболический квазиугол, мера которого в сумме с мерой квазиугла LAQ0 равна in.

Таким образом, доказано еще одно свойство правильной орициклической п-трапеции.

Теорема 13. На плоскости H в правильной орициклической п-трапеции внутренний квазиугол при основании является эллиптическим квазиуглом, внутренний квазиугол между боковым и купольным ребром — гиперболическим квазиуглом, сумма мер указанных квазиуглов равна in.

Следствием теорем 7, 8, 11 является следующая теорема.

Теорема 14. На плоскости H радиуса кривизны р площадь S правильной орициклической п-трапеции с ростом длины а основания возрастает,, при нечетном значении п возрастает неограниченно, а при чет,но.м — принадлежит интервалу

^°; 2р2(п - 1) а (9-f)) ■

Рассмотрим бесконечный трехвершинник ABK, образованный лучами AK, BK и отрезком AB, являющимся основанием правильной орициклической п-трапеции AQ0QnB с точкой K пересечения боковых сторон.

Собственную на H гомеоморфную открытому диску область плоскости H2, H С H2, ограниченную трехвершинником ABK, назовем внутренностью данного трехвершинника.

Замыкание трехвершинника ABK назовем бесконечным трехреберником плоскости H, смежным с п-трапецией AQ0QnB.

На рис. 4 бесконечный трехреберник ABK, смежный с правильной орицик-лической 3-трапецией AQ0Q3B, выделен узором.

410

Л. Н. РОМАКИНА

Рис. 4. Бесконечный трехреберник ABK, смежный с правильной орициклической

3-трапецией AQ0Q3B

Теорема 15. На плоскости H площадь S правильной орициклической n-трапеции в n — 1 раз превышает площадь S0 смежного с ней бесконечного трехреберника:

S = (n — 1)So. (88)

Доказательство. Пусть на плоскости H радиуса кривизны р в правильной орициклической n-трапеции AQ0QnB с точкой K пересечения боковых сторон и длиной а основания AB, h — перпендикуляр к основанию. По теореме 1 прямая h проходит через точку K. Пусть AB П h = H, тогда \AH\ = а/2.

Выберем на луче HK некоторую точку T. Площадь Si прямоугольного трех-реберника AHT с эллиптическим (гиперболическим) катетом длиной а/2 (b) может быть вычислена (см. [19, теорема 3]) по формуле

Si

sh - + ch - sin a

p2 in--P------P---—..

sin a + cos a sh -

Устремим точку T к точке K по лучу HK, сохраняя прямым квазиугол AHT. Тогда при постоянном значении длины катета AH длина b катета HT будет стремиться к бесконечности, а площадь S2 трехреберника AHT будет равна пределу величины S1:

S2

р2 lim

b—yoo

( s

I in —

V si

sh Jb- + ch b sin a

2p 2p

2-

sin a + cos a sh 22p 2p 2p

)

(

p2 lim

b—^oo

in

1 + cth - sin a

\

2p 2p

sin a

2p

sh b 2P

+ cos a

2p у

2, 1 + sin a

p in

cos a

2 P

p2 lntg( 4+4p)=p2 a (4)-

Таким образом, площадь бесконечного прямоугольного трехреберника с эллиптическим катетом длиной а/2 и одной вершиной на абсолюте равна р2 а(а/2). Следовательно, площадь S0 смежного с n-трапецией AQ0QnB бесконечного трехреберника ABK равна 2р2 а(а/2). Поэтому согласно теореме 11 справедлива формула (88).

Что и требовалось доказать. □

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

411

7. Разбиения плоскости H правильными орицик-лическими n-трапециями

7.1. Построение разбиений

Выберем на плоскости H правильную орициклическую n-трапецию F = AQ0QnB с точкой K пересечения боковых сторон (рис. 5). Пусть к — параболическая прямая, содержащая точку K. Параболический сдвиг f вдоль прямой к, переводящий точку A в точку B, определен однозначно заданием прямых AK, BK [9, п. 3.9.2]. Действуя на n-трапецию AQoQnB неограниченное число раз преобразованием f и обратным к нему преобразованием f-1, заполним правильными конгруэнтными орициклическими n-трапециями кольцо ^ между купольным и0 и основным ш1 орициклами n-трапеции AQ0QnB.

Рис. 5. Фрагмент разбиения плоскости H правильной орициклической 3-трапецией

Из построенных в кольце ^ n-трапеций составим наборы, объединяя в них по n подряд расположенных n-трапеций так, чтобы каждые две последовательно взятые ячейки набора были смежны по боковому ребру, а каждая n-трапеция кольца ^1 входила в некоторый набор, причем только в один. При доказательстве теоремы 2 установили, что для орицикла ш1 существует единственный орицикл ш2 с центром K, содержащий основания вписанных в кольцо между орициклами ш1, и2 правильных орициклических n-трапеций, купольные ребра которых расположены на орицикле ш1. Построим орицикл ш1. Продолжая тем же способом процесс негораниченно, построим орициклы

ш3, ... , Uj, ... , j е N,

и внешние относительно орицикла и0 кольца д3, ..., j, ... между двумя последовательно взятыми орициклами соответственно

U2'i ; Uj — 1, Uj; • • •

заполним правильными орициклическими n-трапециями, конгруэнтными n-трапеции AQ0QnB. Тем самым построим разбиение внешней относительно

412

Л. Н. РОМАКИНА

орицикла ш0 области плоскости H с исключенной прямой к попарно конгруэнтными правильными орициклическими п-трапециями.

На каждом купольном ребре n-трапеций кольца ci построим как на основании правильную орициклическую n-трапецию, конгруэнтную п-трапеции AQ0QnB, и заполним таким образом n-трапециями кольцо c(-i) между орициклами ш0, Ш(-1). Продолжая тем же способом процесс негораниченно, построим орициклы

ш(-2), • • • , ш(-3), • • •

и внутренние относительно ш0 кольца С(-2), ... , c—j), ... между двумя последовательно взятыми орициклами соответственно

Ш( — 1) , ш(-2); • • • ; Ш(1—j), Ш(—j); • • •

заполним правильными орициклическими n-трапециями, конгруэнтными n-трапеции AQ0QnB. Тем самым построим разбиение внутренней относительно орицикла ш0 области плоскости H попарно конгруэнтными правильными орициклическими п-трапециями.

Итак, разбиение плоскости H с исключенной параболической прямой к построено. Выбирая в качестве ячейки всевозможные правильные орицикличе-ские n-трапеции, аналогичным образом для каждого натурального значения п, п > 1, построим однопараметрические семейства нормальных моноэдральных разбиений плоскости H с исключенной параболической прямой.

8. Заключение

В работе построены серии первых нормальных моноэдральных разбиений плоскости H. Ячейкой каждого из построенных разбиений служит правильная орициклическая n-трапеция. При подробном исследовании правильной орицик-лической п-трапеции была введена ортогональная орициклическая система координат, и с ее помощью получены формулы для вычисления площадей некоторых фигур на H. Доказаны новые свойства орициклов данной плоскости.

Выделим три наиболее интересные, по мнению автора, задачи развития идей представленного исследования.

1. Во введении работы отмечено, что применение схемы Берёцкого дает положительный ответ на второй вопрос восемнадцатой проблемы Гильберта в его постановке для плоскости Лобачевского Л2 (см. [12]): на плоскости Л2 существуют моноэдральные разбиения, из ячеек которых некоторым их перекладыванием нельзя составить правильное разбиение данной плоскости. В дальнейшем предполагаем показать, что построенные разбиения плоскости H правильными орициклическими п-трапециями дают положительный ответ на указанный вопрос Гильберта применительно к плоскости H.

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

413

2. Найти и исследовать преобразование плоскости H2, в котором заданное разбиение правильной орициклической n-трапецией плоскости H соответствует некоторому разбиению плоскости Л2 по схеме Берёцкого.

3. Построить обобщение разбиений плоскости H правильными орицикличе-скими n-трапециями на случай n-мерного гиперболического пространства Hn положительной кривизны, реализуемого на внешней относительно овальной гиперквадрики области проективного пространства Pn (напомним, что обобщение разбиений Берёцкого на случай n-мерного пространства Лобачевского построено в работе [12]).

Решение данной задачи требует предварительного исследования различных объектов пространства i7n, в частности, его гиперповерхностей.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. 548 с.

2. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны: в 4 ч. Ч. 1: Тригонометрия. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 244 с.

3. Coxeter H. S. M. A Geometrical Background for De Sitter’s World // Amer. Math. Mon. 1943. Vol. 50, iss. 4, pp. 217-228.

4. De Sitter W. On the Relativity of Inertia. Remarks Concerning Einstein’s Latest Hypothesis // Proc. Royal Acad. Amsterdam. 1917. Vol. 19, iss. 2, pp. 12171225.

5. Ромакина Л. Н. Аналог мозаики на гиперболической плоскости положительной кривизны // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та., 2010. Вып. 12, С. 69-72.

6. Ромакина Л. Н. Веерные триангуляции гиперболической плоскости положительной кривизны // Матем. тр. 2013. Т. 16, вып. 2. С. 142-168.

7. Ромакина Л. Н. Простые разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны // Матем. сб. 2012. Т. 203, вып. 9. С. 83-116.

8. Ромакина Л. Н. Разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны, порожденные правильным n-контуром // Теория относительности, гравитация и геометрия : тр. междунар. конф. «Petrov 2010 Anniversary Sympozium on General Relativity and Gravitation». Казань: Казан. ун-т, 2010.

С. 227-232.

9. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны: в 4 ч. Ч. 2: Преобразования и простые разбиения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 274 с.

414

Л. Н. РОМАКИНА

10. Ромакина Л. Н. Конечные замкнутые 3(4)-контуры расширенной гиперболической плоскости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10, вып. 3. С. 14-26.

11. Boroczky K. Gombkitoltesek allando gorbuletu terekben, I // Mat. lapok. 1974. bd. 25, s. 265-306.

12. Макаров В. С. Об одном неправильном разбиении n-мерного пространства Лобачевского конгруэнтными многогранниками // Дискретная геометрия и топология. К 100-летию со дня рождения Бориса Николаевича Делоне. Тр. МИАН СССР. М.: Наука, 1991. Т. 196, С. 93-96.

13. Ромакина Л. Н. О разбиениях гиперболической плоскости положительной кривизны правильными орициклическими n-трапециями // Дни геометрии в Новосибирске — 2014 : Тез. Междунар. конф., посвящ. 85-летию академика Ю. Г. Решетняка. Новосибирск : Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН. 2014. С. 57, 58.

14. Ромакина Л. Н. Ортогональная орициклическая система координат на гиперболической плоскости положительной кривизны // Дни геометрии в Новосибирске, 2013 : Тез. Междунар. конф. Новосибирск : Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН. 2013. С. 74, 75.

15. Ромакина Л. Н. Аналоги формулы Лобачевского для угла параллельности на гиперболической плоскости положительной кривизны // Сиб. электрон. матем. изв. 2013. Т. 10, С. 393-407.

16. Ромакина Л. Н. Овальные линии гиперболической плоскости положительной кривизны // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 37-44.

17. Ромакина Л. Н. Циклы гиперболической плоскости положительной кривизны // Геометрия и топология, 12 : Зап. науч. сем. ПОМИ / под ред. Малютина А. В., Нецветаева Н. Ю. СПб.: Изд-во ПОМИ, 2013. Т. 415, С. 137-162.

18. Ромакина Л. Н. Конечные замкнутые 5-контуры расширенной гиперболической плоскости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 1. С. 38-49.

19. Ромакина Л. Н. Теорема о площади прямоугольного трехреберника гиперболической плоскости положительной кривизны // Дальневост. матем. ж. 2013. Т. 13, № 1. С. 127-147.

РАЗБИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПЛОСКОСТИ ...

415

REFERENCES

1. Rozenfeld B. A., 1969, "Non-Euclidean spaces" , Nauka, Moscow, 548 p. (Russian)

2. Romakina L. N., 2013, "Geometry of the hyperbolic plane of positive curvature : in 4 pt. Pt. 1 : Trigonometry" , Saratov Univ. Press., Saratov, 244 p. (Russian)

3. Coxeter H. S. M., 1943, "A Geometrical Background for De Sitter’s World" , Amer. Math. Mon., vol. 50, no. 4, pp. 217-228.

4. De Sitter W., 1917, "On the Relativity of Inertia. Remarks Concerning Einstein’s Latest Hypothesis" , Proc. Royal Acad. Amsterdam., vol. 19, no. 2, pp. 12171225.

5. Romakina L. N., 2010, "An analog of a mosaic on a hyperbolic plane of positive curvature" , Matematika, mekhanika : sb. nauch. tr. Saratov Univ. Press, Saratov, no. 12, pp. 69-72. (Russian)

6. Romakina L. N., 2014, "Fan triangulations of a hyperbolic plane of positive curvature" , Siberian Advances in Mathematics, vol. 24, no. 3, pp. 204-221. (Russian)

7. Romakina L. N., 2012, "Simple partitions of a hyperbolic plane of positive curvature" , Sbornik: Mathematics, vol. 203, no. 9, pp. 1310-1341. (Russian)

http://dx.doi.org/10.1070/SM2012v203n09ABEH004266.

8. Romakina L. N., 2010, "Partition of a hyperbolic plane of positive curvature generated by the regular n-loops" , Probability, Gravitation, and Geometry, The International Conference “Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation”

(Teoriia otnositel’nosti, gravitatsiia i geometriia: trudy mezhdunar. konf. “Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation”, Kazanskii un-t, Kazan’), Kazan Univ., Kazan, pp. 227-232. (Russian)

9. Romakina L. N., 2013, "Geometry of the hyperbolic plane of positive curvature : in 4 pt. Pt. 2 : Transformations and simple splittings" , Saratov Univ. Press, Saratov, 274 p. (Russian)

10. Romakina L. N., 2010, "Finite closed 3(4)-loops of extended hyperbolic plane" , Izvestiia Saratovskogo un-ta. Seriia «Matematika. Informatika. Mekhanika», vol. 10, no. 3, pp. 14-26. (Russian)

11. Boroczky K., 1974, "Gombkitoltesek allando gorbuletu terekben, I" , Mat. lapok., vol. 25, pp. 265-306.

416

Л. Н. РОМАКИНА

12. Makarov V. S., 1991, "On some tiling of the n-dimensional Lobachevskij space with congruent polytopes" , Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 196, pp. 93-96. (Russian)

13. Romakina L. N., 2014, "About partition of a hyperbolic plane of positive curvature by correct horocyclic n-trapezes" , Dni geometrii v Novosibirske — 2014: tez. mezhdunar. konf., posviashch. 85-letiiu akademika Iu.G. Reshetniaka

(Days of the geometry in Novosibirsk, 2014: tes. of the international conference devoted to the 85 anniversary of the academician Yu.G. Reshetnyak), Novosibirsk, pp. 57, 58. (Russian)

14. Romakina L. N., 2013, "The orthogonal horocyclic coordinat system on the hyperbolic plane of positive curvature" , Dni geometrii v Novosibirske, 2014: tez. mezhdunar. konf.

(Days of the geometry in Novosibirsk, 2013: tes. of the international conference), Novosibirsk, pp. 74, 75. (Russian)

15. Romakina L. N., 2013, "Analogs of a formula of Lobachevsky for angle of parallelism on the hyperbolic plane of positive curvature" , Siberian Electronic Mathematical Reports, vol. 10, pp. 393-407. (Russian) Available at:

http://semr.math.nsc.ru

16. Romakina L. N., 2012, "Oval lines of the hyperbolic plane of positive curvature" , Izvestiia Saratovskogo un-ta. Seriia «Matematika. Informatika. Mekhanika», vol. 12, no. 3, pp. 37-44. (Russian)

17. Romakina L. N., 2013, "Cycles of the hyperbolic plane of positive curvature " , Zap. Nauchn. Sem. POMI, vol. 415, pp. 137-162. (Russian)

18. Romakina L. N., 2010, "Finite closed 5-loops of extended hyperbolic plane" , Izvestiia Saratovskogo un-ta. Seriia «Matematika. Informatika. Mekhanika», vol. 11, no. 1, pp. 38-41. (Russian)

19. Romakina L. N., 2013, "The theorem of the area of a rectangular trihedral of the hyperbolic plane of positive curvature" , FEMJ, vol. 13, no. 1, pp. 127-147. (Russian)

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского. Получено 10.06.2015