Законы Кеплера. Текст научной статьи по специальности «Физика»

PHYSICS AND MATHEMATICS

УДК 530.18 (УДК 30.10(075.4))

Яловенко С.Н.

Харьковский национальный университет радиоэлектроники DOI: 10.24411/2520-6990-2020-11402

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА.

Yalovenko S.N.

Kharkov National University of Radio Electronics

KEPLER'S LAWS.

Аннотация

В данной работе производится расширение законов сохранения количества движения полученных ранее экспериментальным путем. Полученные законы расширения используются для вывода закона всемирного тяготения (гравитации) и законов Кеплера.

Abstract

In this paper, the laws of conservation of momentum obtained previously experimentally are expanded. The obtained laws of expansion are used to derive the law of universal gravitation (gravity) and Kepler's laws.

Ключевые слова: законы сохранения энергии, законы сохранения количества движения, вывод закона гравитации, причина гравитации, вывод закон Ньютона, плотность, водоворот.

Keywords: laws of conservation of energy, laws of conservation of momentum, derivation of the law of gravity, cause of gravity, derivation of Newton's law, density, whirlpool.

История мировой науки похожа на вереницу поэтапно меняющихся и расширяющихся (включение предыдущих) точек зрения (парадигм) и предполагать, что наша последняя и незыблемая, есть ошибка (все течет, всё изменяется). Поиск предельно обобщающих знаний - это одна из задач науки.

Основополагающим законом в физике является закон сохранения энергий. Материя - это форма движения (энергия) и на неё распространяется закон сохранения энергии. Гравитация состоит из материи, следовательно, должна выводиться из закона сохранения энергий.

В данной работе произведём расширение законов сохранения. Расширение необходимо для дальнейшего использования при выводе закона всемирного тяготения.

1. Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости (1).

77 TE mV 1 2

E = Le =-= k x mv

1 2

(1)

2. Кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Е = Е = ^ = = уАшЫ2 =®1 тДтг 2 = ^ = ^ = к х J ^,

5 г Т 2 Т 2 2 Т" 2 2 г

(2)

где J = Т Дт - это момент инерции тела относительно оси вращения или физическая вели/

чина, зависящая от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Всё это хорошо описано в учениках по физике [1-4, 10-12].

Так как ранее [5-9] гравитация описывалась суммой вращающихся плоских водоворотов, которую приближёно можно заменить суммой вращающихся дисков, то рассчитаем суммарную кинетическую энергию этих разнонаправленных вращающихся дисков (рис. 1).

3. Введём новое определение кинетической энергии объёма вращающихся разнонаправленных объ-ёктов

E = Ev = Ve = У — = — У J = 1 Ж®2 = k x Ж1, (3)

2 2 ; 1 2

где Ж = £ J,

- это момент инерции объёма массы тела или сумма разнонаправленных моментов

/

инерции заключенных в объёме V или физическая величина зависящая от распределения суммы векторов

моментов (^ J\) инерции вращающихся (плоскостей) масс тел находящихся в данном объёме (теле)

/

(рис.1).

Рис .1. Сумма разнонаправленнъх вращающихся дисков в объёме V.

Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии к X ШУ( поступательно движущегося тела только теперь вместо массы т в формулу входит момент инерции объёма Ж, а вместо линейной скорости V - угловая скорость ю.

Эта формула (3) напрямую связана с гравитацией тела, т.к. раньше было дано определение гравитации как изменяющейся плотности среды (^ = др/дг) созданная суммой плоских водоворотов (аналог вращающихся дисков).

Для вывода момента инерции объёма Ж разобьём объём сферы V на сектора с одинаковыми углами наклона ^ i Л^ для векторов моментов инерции J; как показано на рис. 2.

Рис. 2. Разбиение объёма V на угловые сектора

Предполагается, что вектора моментов инерции равномерно распределены по объёму V и равновероятностно по углу (Pj (вероятность распределения р(р) = const) рис.3.

Рис. 3. Равномерное и равновероятностное распределение моментов инерции с углов ф

Тогда суммарный момент объёма для векторов J попадающих в зону угла Лф для суммы

1 2

плоских дисков с моментом инерции J = — шК можно представить частью сферы из которой вырезаны

2

конусные сектора рис.4.

Рис. 4. Выделение секторов

При уменьшении Лф^-0 усеченная часть сферы с вынутыми конусами будет приближаться к цилиндру с вынутыми конусами рис.5.

Рис. 5. Цилиндрическое приближение

Т.е. мы сводим трехмерную задачу к двухмерной задачи для угла ^ которую мы решаем стандартным способом.

Разобьем усечённый цилиндр (рис.5) на отдельные полые конические цилиндры бесконечно малой толщины ¿г с внутренним радиусом г и внешним г+ ¿г. Момент инерции каждого полого цилиндра ^ = г2dш ( т.к. ¿г<< г, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно г), где ¿т - масса всего элемента цилиндра; его объём ^=2гаМг где И=Мф т.к. изменяется с расстоянием (рис.5). Тогда ^=2лг(Мф ^г=2лг^ф ¿г.

Вычислим, как изменяется плотность в цилиндре ¿V от расстояния г внутреннего радиуса. Выделим сегмент цилиндра ограниченного углами dф показанного на рисунке 6.

Из-за статистически равновероятностного распределения по углу Р^ф)=сош1 масса диска (заключённая в угле dф)

dm.

диска

: Киска Х Рдиска = (4иска ± Щ Х А = Г)Щ Х А

статистически равномерно распределяется по объёму конического цилиндра

2,

Vцилиндра = ^цилиндра Х ^ = № Х Г) ^ с массой равной

цилиндра ^^цилиндра Х Рцилиндра Х Г) Х Рц

цилиндра

и их массы равны

dm — dmдиска — dmцилиндра , как изобРажено на рис. 6.

v{ = (/?, SIN(cl<p)Y h V2 = {R2SIN(d<p))2 h = Vxpy m2=V2p2

Рис. 6. Изменение плотности в цилиндре

Тогда, если Рдиска — Р0 — const -плотность диска постоянная, dy — const, h — const -толщина диска полого цилиндра и угол йф -постоянные величины (высота цилиндра и диска выбраны одинаковыми

Киска — Килиндра — const), то массы диска и цилиндра равны:

dm — (dW)hhP диска — (dW)2 hРцuшnдрa

или

Рцтдра — ^ — ).Риска* 1 — Рика, 1

dyr dy k — const

1

r

1

r

(5)

(6) (7)

Плотность цилиндра уменьшается обратно пропорционально расстоянию ~ 1 относительно изна-

r

чальной плотности диска p(r) ~ р/r, которая как бы равномерно размазывается по объёму dV или площади (опоры) dS этого объёму с высотой h — const.

Обозначим ширину диска h (рис. 6) через а, чтобы не путать с высотой цилиндра (рис. 5) h= а,

а

"dy'

P(r) — Рцилиндра — {—)р диска -—(—)р-

r ay r

а 1

Если плотность р(г) = —)Р_ из-за равномерного и равновероятностного распределения момен-

ау г

тов импульсов по объёму V , то

Вычислим массу цилиндра (рис. 5).

dm — dVp — (а )р—dV — (а )р— х 2nr (dyr )dr — ap2nrdr dy r dy r

(8)

Тогда

dJ — r2 dm — r 2ap2nrdr — 2napr3 dr

Тогда момент инерции такого цилиндра с внутренней наклонной осью равен

J — J dJ — 2'apJ r 3dr — -^a'PR

(9)

Но т.к. V = лК а - объём диска, то масса этого дика ат=лЯ2 ар, а момент инерции

4

J = 1 схттрЯ4 = 1 йшЯ2 (11)

2 2

Этот расчёт производился для одного диска (одной массы), для суммы всех вращающихся дисков попавших в зону для угла радиана dф.

j = f j = UdmR2 = ^ r2 = idMR2

aV i—i г о о о

То есть ^ = — dMR2 момент инерции заключённый в сегменте сферы для угла dф или части объ-

(12)

1 2 2 2 Где ndm = dM - это масса всех вращающихся дисков попавших в зону для угла dф.

1 2

ёма соответствующей этой сферы ^ (в этом объёме конуса) рис. 7. Рассчитаем, сколько таких объемов ^ входит в объём исследуемой сферы. Разделим площадь сферы Б на площадь сегмента сферы dS для угла dф.

с

N = сферы (13)

dS.

сигмента

Рис. 7. Количество объёмов в сфере

Умножим момент инерции заключённый в сегменте сферы для угла dф на количество N таких сегментов в исследуемой сфере формула (13).

N 1 1

Ж = У А = N х1 dMR2 =1MR2 (14)

^ г 2 2 ( )

где М суммарная масса в сфере объёмом V.

Подставив суммарный момент инерции объёма массы тела Ж = / J , или суммы разнонаправ-

ленных моментов инерции заключенных в объёме V в уравнение (3). Получим

2 2 б О ^ Т 1

— = — / J, = ~ 2 2^2

Е = = Vе = /= б / Jt = 1 Жб2 =

(15)

=1MR2 о2 = к х MR2 о2 4

= к х MR V (16)

Проделанные операции можно суммарно изобразить рисунком 8.

Рис. 8. Механическая модель гравитации Полученную выше формулу изменения плотности (6) можно переписать как

_ ^Рдиска _ / Ь \ \= р

рцилиндра 7 ( 7 )рдиска рдиска /

dyr dy r P(r) — У

r

r

(17)

Плотность сегмента (полого цилиндра) уменьшается обратно пропорционально расстоянию--от-

r

носительно изначальной плотности (р0 — ^lPi) суммарного диска p(r) — у Р , которая как бы равного r

мерно размазывается по объёму dV или площади (опоры) dS этого объёма с высотой h — const (высота

цилиндра и диска выбраны одинаковыми Киска — Кцилиндра — const).

Полученная формула (17) изменения плотности от расстояния важна для понимания природы гравитации, так как ранее гравитация определялась как изменяющаяся плотность среды

F (r) — dp/dr (18)

Подставим полученное выражение плотности (17) для суммы вращающихся дисков в уравнение (18) для гравитации. Получим:

E(r) — dp dr — —у

EY Л Р0 M

E(r) — У— — У—-

r V х r

/ Р — УР

r 2 У r 2

У ..М - „,!

(19)

М

9 — х — — ух — 2 V r2 r2

E(r) — у1 х — .

М

Где У — У / V — conct

Формула (19) - это формула напряжённости гравитации, которая создана изменяющейся плотностью среды, массой . Она показывает силу воздействия на объект массой помещённый в ее поле массы М1 вследствие градиента (дифференциала) изменяющейся плотности среды (эфира).

F (r) — У

Р0 х М 2

(20)

Т.е. гравитацию можно выразить через изменяющуюся плотность созданную основным притягивающимся телом, например Солнцем (или Землёй).

r

r

2

r

42

PHYSICS AND MATHEMATICS / <<е®УУШШШ=^®УШа11>>#ЩШ,2®2(

Видно, что гравитация изменяется обратно пропорционально квадрату расстоянию

1

когда

плотность среды, созданная суммой плоскими вращающимися дисками, изменяется обратно пропорционально расстоянию ~ 1. Данная зависимость изображена на рис. 9. г

Рис. 9. Изменение гравитации от плотности среды.

Вычислим энергию вращающихся сегментов V и V изображенных на рис.6 с учётом полученной формулой распределения плотности (17), для суммы вращающихся (плоских) дисков отвечающим принципам суперпозиции.

Для рисунка (6) формулы объёма, плотности и массы записываются как:

V = Sh = (Rd^)2 h, V = S2h = Rdp)2h,

m = Vp1, m2 = VPi, P(R) = rp •

R

Угловая скорость и частота вращения равны

у = юЯ, о = Тогда масса сегментом V и V можно записать как

T

m

— = V—p =(Rxd^)2 h xp

Ri

m2 = V2P2 = (R2d^)2 h XpL •

R2

Энергия записывается формулой

Ж =

^ V 2

2

(—R )2

2

Тогда энергия сегментов V и V равна

mv,2 m(—, R )2 1/ ч2, p / Ч2 »1 = = --RL =1 (RM h xp x(- Ri )2

mv22 m(—2 R2 )2 1

''9 — — — \-R?

2 2 2 2

= — (R2dq?f h x P0-x (—2 R2)2

R

или

»i = — (R—d^)2h xpx (-iR— )2 = — (dpf hp0 xR—2 2 R 2

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

r 2

«c@yl®qyaym-j®yrmal»#®ii7),2©2© / physics and mathematics

43

W —1 (dy)2 hp х R

2

W —1 (R2dy)2 h хР0 х(<R )2 —1 (dy)2 hp х R\a\, (32)

2 R2 2

W — 1 (dy)2hp х R\a\.

В физике важно знать соотношение (закономерности), пропорции (по Евдоксу), взаимосвязи между различными процессами. Сравним энергию объёма сегмента V и энергию объёма сегмента V2 .

W1 — W2, (33)

1 (dy)2hp х Rl^l — 1 (dy)2hp х R^ ■ (34)

Получим

RXG)\ — R^, (35)

.3

R2

4

R П

3

R3

R

R44

— 1.

Найдём значение плотности, при котором будет выполняться равенство энергий для объёмов ^ Запишем уравнения для энергий объёмов как:

^ = 1 (Я{ йу) к хрх (а1 Я )2 = 1 (йу)2 к хрха^ Я 4,

При

W — 1 (-R2dy)2h х p х (®2R2 )2 — 1 (dy)2h х p х <R4 .

W — W — px R — p x <4 R

p х ofRj4 p2 х 4 R2

— 1

Тогда при

p2

R

R

или p2 — p1 х

. p(R) — У^-.

R

При p(R) — у^ ; а(Л) — У^ ; p2(R2) — У^, R R Rn

У

p( R)

p2(R2) ypL

У R2

p0_

R R

или

p_

p2

получаем:

p х R4

p 2х 4 R2

4 RI

х'

p2

R4

R

R

2X 4X

4 R2

42 Ri3 =1 ®22R2 '

_ „ — 1 или 4 R

2 n3 2 2

42 R2

4 tf, <—R3.

(36)

(37)

V и

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

Rl Ri

(43)

4

p<

Т.е. при плотности p(R) — будет выполняться равенство

R

42R ®22R23 .

Это означает, что если плотность изменяется обратно пропорционально расстоянию ~ 1, то энергия

г

в сегментах объёмом V и V будет одинакова. Это третий закон сохранения энергий для суммы вращающихся равно распределённых дисков, который можно записать в расширенную таблицу законов сохранения энергий рис. 10.

Законы сохранения

№ п/п э н е Р г и я ЛЛ а с с а с: к о р о с "Ж" ш=» ЛЛ а с с а С К о р о с т «=» Мера

1 Wr X Dj 2 -т2 1 X L>2 2

2 WflWr Я,2 х сох 2 =R2 2 xcd2 2 и

3 Wr-IWr- й,3 х сох 2 = Й2 3 X Q)2 2

Рис. 10. Таблица законов сохранения

Так как то уравнение (31) можно переписать в виде

т

RL

R 3

2ж

T2 т 2

т2

T2

T2

Получаем третий закон Кеплера

T2

т:

T2

т:

R

3

R3

.2

ю

R 3 T2 a3

—- или — = — .

л T л a з

,3

2 ±2 2 Процесс вьшода третьего закона Кеплера с пояснениями изображен на рис. 11.

Рис. 11. Вывод третьего закона Кеплера из закона сохранения энергий

(45)

(46)

(47)

Из уравнений (1-47) третий закон Кеплера был выведен из законов сохранения количества движения (вращающихся водоворотов или дисков). Ранее подобные результаты были получены автором из экспериментов с водоворотами рис.12. Водовороты не являются монолитами и подчиняются третьему закону сохранения таблицы на рис. 10.

1 WL= mx 1 X 2 = /и2 1 X 2

2 tVs=llVL= R, 2 X City 2 = R 2 2 X ft>2 2

3 PK=Z Ws= Ri 3 X <t>\ 2 = R 2 3 X OJ2 2

Рис. 12. Эксперименты с водоворотами

Законы Кеплера моделировались механическими моделями с помощью экспериментов изображённых на рис. 13,14.

Рис. 13 Механическая модель третьего закона Кеплера с изменяющейся линейной плотностью

Рис. 14 Механическая модель третьего закона Кеплера с изменяющимся объёмом

Суть полученных результатов с вращающимися дисками, которые являются аналогами водоворотов, можно отобразить рисунками 15,16,17.

Законы Кеплера

Рис. 15. Изменение движения планет под воздействием изменяющейся плотности среды.

Рис. 16. Движение планет (тел) в разной плотности среды.

Гравитация

нептун v

л—- г \

СОЛНЦЕ

Рис. 17. Гравитация как водоворот

Из третьего закона Кеплера выводится закон гравитации.

Для земли третий закон Кеплера, записанный в виде уравнения (48), выглядит так:

3 2 El^dсолнца

r_ „о^,, — E — н

земли .земли д *

солнца ^^

— —

— ОМсолнца —^ — ОМс —-— —

земля з

где G=E/Mc - гравитационная постоянная для Земли и Солнца, Мс - масса Солнца, mз - масса Земли. Перенесём массу Земли в левую сторону уравнения (48) и запишем уравнение (48) как

—3Г1ю23 = СМстз . (49)

2

Перенесём Гз в правую сторону уравнения (49) и получим уравнение (49) в виде

2 „М—„

mr а>„ —G

1з'з^з ^ 2 (50)

Г2 )

Уравнения (50) разбиваем на два уравнения, отвечающих за центробежную силу (52) и гравитационную силу притяжения (51) или центростремительную силу. Эти силы уравновешивают друг друга, как показано в формуле (53):

Р — С Мс—з ,

гравитации С 2 ; (51)

Гз

7—1 2

F = m r со = m a

центробежная з з з з з , (52)

_ 2

где аз — Гз С0з - нормальное (центробежное) ускорение,

Ргр — Рцбс . (53)

Из формулы третьего закона сохранения энергии (44) были получены формулы третьего закона Кеплера, из формул третьего закона Кеплера (47) было получено уравнение гравитации (51).

Дальше современная наука обобщает формулу (518) на все тела и на все массы. Запишем обобщенную, силу гравитации как

М —

р —С-. (54)

1 гр С г 2 4 '

Расширение законов сохранение ранние получались экспериментальным путём для опытов с водоворотами и использовались для вывода закона всемирного тяготения. Третий закон сохранение - это другая форма записи закона всемирного тяготения.

Третий закон сохранения энергии - это закон суммы вращающихся разнонаправленных плоскостей. Он говорит, что наш трёх мерный мир состоит из вращающихся (двумерных) плоскостей.

В предыдущих работах автором неоднократно выводился закон всемирного тяготения из законов сохранения энергий или количества движения. Вывод, сжато, изображён на рис. 18.

Вывод закона всемирного тяготения из закона сохранения энергии

Рис. 18. Уравнения гравитации, полученные из закона сохранения энергии

В данной работе исследуется другой способ получения уравнений гравитации для моделей вращающихся дисков с постоянной плотностью.

Модель физического процесса - это то, что углубляет наши представления об изучаемом предмете в зрительных образах. Механическая модель гравитации позволяет глубже понять природу этого процесса.

Существует 23 способа доказательства теоремы Пифагора, точно так же если понимать природу гравитации уравнения гравитации можно вывести разными методами (автор предложил 5 методов).

Формула гравитации, записанная через плотность (20) более правильная с физической точки зрения, так как отображает процесс изменения плотности и влияние этого изменения на воздействующую массу, она физически зрима (образно представима), чем формула, записанная через взаимодействие масс (54).

Из формулы гравитации (54) можно получить другие формулы сохранения, проделав операции в обратном порядке, изображённом на рис. 16, так как все формулы взаимосвязаны и отражают единый закон сохранения энергии.

Литература

1. Лоренц Г.А.: Теория электронов. ГИТТЛ, Москва. (1953).

2. Пуанкаре А.: Избранные труды, том.1. Наука, Москва. (1971).

3. Эйнштейн А.: Теория относительности. Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", Москва. (2000).

4. Ацюковский В.А.: Общая эфиродинамика. Моделирование структур вещества и полей на основе представлений о газоподобном эфире. Энерго-атомиздат, Москва. (1990).

5. Яловенко, С.Н.: Чёрный предел. Теория относительности: новый взгляд. ТОВ издательство «Форт», Харьков (2009).

6. Яловенко, С.Н.: Фундаментальная физика. Продолжение теории относительности. Научное издание. LAP LAMBERT Academic Publishing. Са-арбрюккен, Германия. (2013).

7. Яловенко, С.Н.: Эфирная теория относительности. Гравитация. Заряд.». Научное издание. Издательство «ЛИДЕР». Харьков. (2015)

8. Яловенко С.Н.: Гравитация как сумма плоских экспоненциальных водоворотов. Расширение фундаментальных законов физики. Научное издание. LAP LAMBERT Academic Publishing. Саар-брюккен, Германия. (2016).

9. Яловенко, С. Н.: Расширение теории относительности, гравитации и электрического заряда. Научное издание. LAP LAMBERT Academic Publishing .Саарбрюккен, Германия. (2018).

10. Вавилов, С.И.: Экспериментальные основания теории относительности Собр. соч. Т. 4. Издательство АН СССР, Москва. С. 9-110 (1956).

11. Франкфурт, У.И.: Оптика движущихся тел. Наука, Москва.С.212 (1972).

12. Миллер, Д.К.: Эфирный ветер. Т. 5. Успехи физических наук, Москва. С. 177-185 (1925).