Законы дисперсии векторных и скалярных бозонов в материальных средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.361

ЗАКОНЫ ДИСПЕРСИИ ВЕКТОРНЫХ И СКАЛЯРНЫХ БОЗОНОВ В МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДАХ

B.C. Горелик

Установлены законы дисперсии векторных, скалярных и псевдоскалярных бозонов диэлектрической среды с учётом их резонансного взаимодействия с элементарны,ми частицами вакуума: векторными фотонами, скалярными фотонами и аксионам/и. Показа,но, что в области малы, х значений вол,новых векторов в диэлектрических средах формируются, гибридные квазичастицы: полярито-ны, хидноны и аксиноны. Установлены, законы, дисперсии гибридных квазичастиц вблизи центра зоны Брил,-люэна. Предсказано проявление гибридных квазичастиц в спектра,х неупругого рассеяния, света молекулами и кристаллами. Полученные законы, дисперсии гибридных квазичастиц позволяют установить условия, для, наблюдения, параметрических процессов рассеяния, света, сопровождающихся, генерацией гибридных квазичастиц и различных типов бозонов в вакууме.

Ключевые слова: фотон, бозон, поляритон. аксион. аксинон. хиднон. квазичастица, спектр, гибридизация, группа симметрии, диэлектрическая проницаемость.

Введение. В спектрах элементарных возбуждений материальных сред проявляются различные типы бозонов квазичастиц, подчиняющихся статистике Бозе Эйнштейна [1 3]. В частности, в диэлектрических многоатомных кристаллах присутствуют акустические и оптические фононьт. поляритоньт. экситоньт. а также связанные и гибридные состояния квазичастиц [4 8]. В гармоническом приближении бозоны материальных сред не взаимодействуют друг с другом. При понижении температуры среды число бозонов уменьшается и стремится к нулю при температуре, близкой к нулю (по Кельвину). В реальных кристаллах, вследствие наличия ангармонизма. происходят неупругие процессы с участием бозонов: распад одного бозона на два других, неупругие столкновения

ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: [email protected].

бозонов, многочастичное рассеяние бозонов и т.д. Каждый тип бозонов в кристаллах и молекулах классифицируется определённым представлением соответствующей группы симметрии среды [9, 10]. В частности, известны так называемые векторные бозоны, классифицируемые векторными представлениями соответствующей группы симметрии. Во многих материальных средах присутствуют скалярные или псевдоскалярные бозоны. классифицируемые скалярным (полносимметричным) представлением или представлением псевдоскаляра соответственно.

В вакууме также существуют различные типы бозонов [11 13], наиболее известным представителем которых являются фотоны. Фотоны векторные частицы, т.е. классифицируются векторным представлением ортогональной группы, являющейся точечной группой симметрии вакуума. При проникновении фотонов в диэлектрическую среду происходит их резонансное взаимодействие с полярными колебаниями молекул или кристаллов. В результате фотон-фононной гибридизации формируются смешанные квазичастицы фотон-фононьт. известные также как поляритоньт [14 18].

В последние годы было выдвинуто предположение о том. что в вакууме существуют скалярные и псевдоскалярные бозоны [19 21]. В частности, имеются веские аргументы, полученные из астрофизических данных, о том. что в вакууме присутствуют низкоэнергетические псевдоскалярные частицы, названные аксионами [22 26]. Масса покоя акси-онов отлична от нуля и находится в диапазоне 10_3 — 106 эВ. При возрастании энергии аксионов их скорость движения приближается к скорости света. Аксионьт классифицируются псевдоскалярным представлением ортогональной точечной группы симметрии. В соответствии с этим должно происходить резонансное взаимодействие аксионов с псевдоскалярными квазичастицами материальных сред, приводящее к формированию сметанных квазичастиц, которые могут быть названы "аксинонами".

Низкоэнергетические скалярные бозоны в вакууме также имеют очень малую массу покоя 10"3 — 106 мэВ. Соответствующие частицы называют парафотонами. хидн-фотонами или скалярными фотонами. Аналогами поляритонов для скалярных фотонов являются квазичастицы, возникающие в результате резонансного взаимодействия скалярных фотонов с фононами. классифицируемыми единичными представлениями и соответствующими полносимметричным модам материальных сред. Такие сметанные квазичастицы могут быть названы "хиднонами".

В данной работе ставилась задача установления законов дисперсии различных типов гибридных квазичастиц бозе-типа. присутствующих в материальных средах в результате взаимодействия фотонов, аксионов и парафотонов с фононами соответствующего

типа симметрии.

За,кон дисперсии поляритонов в изотропной диэлектрической среде. Теоретический анализ и экспериментальные исследования законов дисперсии поляритонов в реальных кристаллах к настоящему времени проводились во многих работах. В данной работе мы остановимся на выводе закона дисперсии поляритонов для изотропной диэлектрической среды, в которой присутствует лишь один тип полярных колебаний с частотой и0. Рассматривается ситуация, когда объём, занимаемый полярным (дипольно-активньтм) осциллятором, равен У0. В области частот, далёкой от резонанс ной частоты и0, показатель преломления такой среды полагается равным п Уравнения Максвелла в этом случае имеют вид:

дВ - дБ - - -

т1Е = —— ; гоШ = —; Н = еоеЕ = е0Е + Р; (1а)

дъ дъ

<ИуЗ = 0; ёпВ = 0; В = ц0ц.Й = л0Й + ¡0М. (1Ь)

С учётом этих уравнений приходим к соотношению:

д д2Е

тоЬтоЬЕ — ^^^с! IV Е = — ¡0л—rot Н = —¡0ле0е——. (2)

дЪ дЪ2

Е

волн получаем волновое уравнение:

V2 - 4E(r, t) = 0; E(r,t) = Eo exp(ikr - ut). (3)

,2 _ stdl

c0 dt2

Соответственно для закона дисперсии поперечных электромагнитных волн в диэлектрической среде имеет место:

c2k2 c2k2 u2 = -Uf-f-y —(u) = i; u2 = Ccf-. (4)

t(u)—(u) t(u)

Здесь e(u) и —(u) - соответствующие дисперсионные зависимости диэлектрической и магнитной проницаемости. На первом этапе не будем учитывать вклад в диэлектрическую проницаемость валентных электронов, а проанализируем диэлектрические свойства среды с учётом лишь одного полярного колебания, соответствующего осцилляциям ионов. Уравнение движения полярного колебания имеет вид:

14 _ ел/F -> ^ ^

u = —u^u +--E ; u = u0 exp i(kr — ut). (5)

m

Здесь т - масса осциллятора, е - заряд протона, Г - коэффициент, характеризующий силу осциллятора (Г ~ 1) и - величина отклонения колеблющейся частицы от положения равновесия. Амплитуда отклонения ио колеблющейся заряженной частицы от положения равновесия в соответствии с уравнением (5) и с учётом (3) приобретает вид:

е

у/Г

ио = —¡—2-гГ Е0. (6)

т(шо — ш2)

Соответственно для амплитуды дипольного момента и вектора поляризации получаем:

е2Р Р

ро = —-¡—2-2т Ео; (7)

т(щ — ш2)

Р е2Г Р

Ро = „ / 2-Ео- (8)

ту0(ш2 — ш2)

Уравнение движения для вектора поляризации представляется в виде:

^ _ е2 — -, -, е\/Ги -*

Р = —ш20Р + е—Е; Р = Ц-иРо ехр г(кг — шЬ). (9)

тУо Уо

Вводя плазменную частоту шР, от уравнения (9) приходим к соотношению:

- е2 —

Р = —ш20р + ш2Е; шР = —. ао)

Для индукции электрического поля получаем уравнение:

е2Г

Бо = еоЕо + ро = бо

1 +

Ео = боб(ш)Ео. (11)

тУо(ш1 — ш2)

Таким образом, диэлектрическая функция может быть представлена в виде: , , е2Б 1 ш2 ш2 — ш2

б(ш) = 1 + тщ—ш) = 1 + шо—щз = ш—-2;

е2Г

2 2 | 2 2 е Г /10\ ш = шо+ш ; ш = т^- (12)

Уо

ризации диэлектрической функции в виде:

ш2 ш2

. . ш] — ш 2 / \

б(ш) = -2; б^ = п. (13)

шо2 — ш2

Соответственно закон дисперсии для поляритонов в рассматриваемой диэлектрической среде с учётом электронного осциллятора принимает вид:

2 = С2к2 = О2ок2(ш20 — ш2) = о2к2(ш2 — ш2); б(ш)^(ш) б^ш — ш2) (ш] — ш2) '

г2 с0

Мш) = 1; с2 = ^.

От уравнения (14) приходим к биквадратному уравнению

(14)

ш4 - ш2(ш°2 + с2к2)+ ш°с2к2 = 0.

(15)

Точное решение этого уравнения задаёт две поляритонньте ветви:

2 = № + с2к2) ш± = -

2

11

4ш02с2к2 (ш2 + с2 к2)2

(16)

В области малых значений волнового вектора от (16) приходим к соотношениям:

2 2,2

ш+ — ш1 + с

2

1 - к ш1

22

ш2 ~

с2 ш2 с0ш0 ;„2 2 к . бжш1

(17а) (17Ь)

Покажем, что закон дисперсии поляритонов в изотропной диэлектрической среде может быть получен на основе использования вместо трёхмерных уравнений Максвелла одномерной модели, учитывающей гибридизацию полярных колебаний с проникающим в среду электромагнитным полем. При этом уравнения движения для полярных колебаний и связанного с ним электромагнитного поля, задаваемого функцией £(х,Ь),

имеют вид:

и

—ш°и + шр£; и = и0 ехр г(кх — шЬ);

£ =--к £ — и; £ = £0 ехр 1(кх — шЬ).

боо

(18а) (18Ь)

Подстановка в уравнения (18(а), (Ь)) решений в виде плоских монохроматических волн приводит к закону дисперсии, совпадающему с соотношениями (14). (16). Используя связь между частотой ш и волновым числом V(ш = 2пс0и), приходим к следующим выражениям для закона дисперсии поляритонов:

V

к2К2 — V2)

— V 2)

V? +

V.

2); V (

22 Vo + Vp ;

22

Поо; с

4п2е

1

V

V2 (к) - VI +

4п2

\

1

4k2v2

4п2б

^ I

V2 +

к2

4ж2е

V,"

1 — 4 ; V! (к) -

кЧ2

4п2^2;

к 0.

(19)

(20)

(21)

2

с

0

оо

2

2

с

0

2

оо

2

к

2

2

2

2

к

Закон дисперсии хиднонов в изотропной диэлектрической среде. По аналогии с по-ляритонами уравнения движения, учитывающие взаимосвязь скалярных фотонов со скалярными (полносимметричными ) колебаниями материальной среды, могут быть представлены в виде:

s = —и^ss + и2&я; s(x, t) = s'o exp i(kx — ut); (22a)

Я = —и\я — С0к2я — s; с(x,t) = я0 exp i(kx — ut). (22b)

В этих уравнениях функции s(x,t),c(x,t) задают волны, соответствующие скалярным фотонам и скалярным фонолам соответственно; величина uis характеризует эффективность взаимодействия скалярного фотонного поля со скалярными возбуждениями в веществе; uh - частота хиднона при к = 0; u0s - частота полносимметричного колебания. Используя решения (22) в виде плоских монохроматических волн, приходим к двум алгебраическим уравнениям с двумя неизвестными:

2 2 i 2 л UisE /00 \

—и и- = —u^su + и = ^-2; (23a)

U0s — U

—и2 С = —и2С — c2k2E + u2u. (23b)

Разрешая эти уравнения, приходим к закону дисперсии обсуждаемых волн в виде:

U2U2

2 2 , 2 í 2 , и uis /пл \

и = uh + c0k +—2--; (24a)

u0s — u2

k2 = U2 — 4- (24b)

c2 V u0L— uv c0

Отсюда получаем:

k2 = U Ufs — U ) uh; u2 = u2 + 2 (25)

k = , ,2 _ , 2 — C2; ufs = Uos + uis- (25)

!_( ujs — U2 c2 vu0s— uV co

Используя подстановку и = 2nc0v, получаем закон дисперсии в виде:

v2„ - v2

0s

k2 = W( f—^) — 4n2vh- (26)

Из соотношения 24(b) приходим к биквадратному уравнению:

u4 — U2(c0k2 + и% + u2) + u2u02s + c0k2u2s = 0. (27)

Решение этого уравнения приводит к двум ветвям:

ш2 =

(ш% + ш1 + с0к2)

2

11

4(ш02ш2 + с2ш025к2)

/ + ш1 + с0к2)2

(28)

При малых значениях волнового вектора (к ~ 0) получаем закон дисперсии хиднонов

в виде!

2 2 2 ш+ - / + шН —

/в

шН / + шН

+ с0кМ 1 +

ш1 ш0в

ад

0в

(ш2в + ш°2)2 ш2в + ш\

2

ш2 ш2

ш! - Уш'г 2 + с0к2

ш% + ш°

ад

0в

СО

/в

+ ш2 (ш2в + ш2 )2

Переходя в (27), (28) к волновым числам, имеем:

(29а) (29Ь)

42 V — V

к2

4п2

+ v0s + V2

22 + VhV0s +

4п2

V

0в

(30)

V

vhs + VI +

кЛ

4п2 )

1

\

1

4 Кvh + v¡0s (v2s + vh +

V! - V0s + VI —

/в

V 21/2 к2 Vs V0s + к

v0s + VI + 4п2

1

к2 )2 4п2 )

ш = 2пс0v,

у0в

+

vhv02s

V0s Vh (v0s + ^)2

^ 2^ 2 V2 +

v2„ + v0

/В

/г

4п2

vs2v02s

/ + Vh Ив + ^

(31)

(32а) (32Ь)

За,кон дисперсии аксинонов в изотропной диэлектрической среде. Уравнения движения. учитывающие взаимосвязь аксионов с псевдоскалярными колебаниями материальной среды, могут быть представлены в виде!

ги = — ш+ ш0р8п; г = г ехр %(кх — шЬ); П = — ш^п — с°к°п — ги; п = П0 exp %(кх — шЬ).

(33а) (33Ь)

Здесь ша - частота аксинона при к = 0. Отсюда приходим к алгебраическим уравнениям:

2

2 2,2 ш1рвп —ш = — ш0рвг + ш°рвп; г = -о-

ш0рв — ш

2 2 2 7 2,2

—ш п = — ша — с0к п + ш г.

(34а) (34Ь)

2

2

2

2

к

0

2

2

2

2

к

Соответственно для закона дисперсии аксинонов получаем соотношения:

, ,2. 2

2 2,2 7 2, грэ /ог \

ш = иа + с°к +--2--; (35а)

к2 = £ (1 + ) - С2. (35Ь)

С0 V Ш0рз - Ш / С0

- ш2 2 Ша • , ,2 С2 ' шfps С0

с0 1 , ш0ps - ш2 -

к2 = 2 ( - V2)_

V 2 V0ps - V2 )

Ш0pS + (36)

- 4п2у2а. (37)

От соотношения (35), задающего закон дисперсии аксинонов в неявном виде, приходим к биквадратному уравнению:

2

4 2/212I 2 I 2\, 22 ,2122 п Ш -ш (с0к + + + ш„ш0рэ + С°к ш0рз = 0

42

V — V

к

2

0 к2

4п2 + + vOv0Ps + 4П2^ = 0

Решение этого уравнения задает закон дисперсии аксинонов в явном виде:

(38а) (38Ь)

2 _ (ш2рэ + + С0к2) Ш± = -о-

11

4( Ш0р8Ш1 + С0ш02рэк2) 2 к2)2

(ш2рэ+ша+с0к2)

(39)

у 2 + ^ 2 + к Vfps + Vn. + 4п2

'а ^ 4п2

2

1

\

1

4 №рМ2 + и2-В

2 к2

0рэ 4п2 .

v2ps + V2 + )2

; ш = 2пс^.

^рэ^ "а ^ 4п2

В области малых значений волнового вектора (к ~ 0) закон дисперсии для двух аксинонов представляется в виде:

(40)

ветвей

2 2

2 2,2 шаш0'1

Ш+ - ШР + Ш - -2-

Ш }р8 + ^

+ С0к2 1 +

2 2

Ша Ш0рэ

и.

0рэ

(ш°рэ + ш2)2 ш0ps + ш2

2 2

ш2 - -Ш0^ + с2пк2

ш

2

fps

+ а2

и).

0рэ

2 2

Ш0рэШа

ш%8+ша (ш°рэ+ша)2

^ - + Va2 - „2

V

V2 ~

fps

V 2 у 2

^ V0ps

v0ps + va

vsv0s +

+ V2 + 4п2

+

4п2

1

'0s

0s

+

^ V0s

v0ps + V(2 ^ + Va2)2

^ 2 у 2 ^а у0ps

fps

+ V¿0 (vfps + Va2)2

(41)

(42)

(43)

(44)

2

2

2

2

2

2

к

2

Таким образом. в данной (к)

тройных диэлектрических средах для поляритонов. хиднонов и аксинонов. В реальных веществах вид таких зависимостей определяется при задании параметров осциллято-ров5 соответствующих полярным (дипольно-активньтм) колебаниям, полносимметрич-ньтм колебаниям и псевдоскалярным модам в молекулах и кристаллах. В соответствии с правилами отбора для оптических процессов, такие колебания могут проявляться в спектрах инфракрасного поглощения, комбинационного рассеяния и гиперкомбинационного рассеяния света. Например, в кристаллах нитрита натрия в спектре оптических колебаний присутствуют следующие типы колебаний:

= [Аг(г) + В^х) + Во(у)] + [Ао + Бг(х) + Во(у)] + [А^) + А^) + В^х)]. (45)

Первая квадратная скобка соответствует трансляционным решёточным модам (по-

2

2 относительно трех осеи^ третья скобка соответствует внутренним колебаниям группы М02. При этом колебания типа А1(г),В1(х),В2(у), являются дипольно-активньтми. т.е. для них должны реализоваться процессы гибридизации с векторными фотонами, приводящими к формированию поляритонных ветвей. Такие типы колебаний в данном кристалле активны как для процессов комбинационно-

А2 являются псевдоскалярными. Таким образом, для этого типа колебаний должна формироваться ветвь аксинонов. Этот тип колебаний неактивен для процессов однофотонного поглощения, но разреп.!ен для комбинационного рассеяния. Наконец, колебания А1 полносимметричными, т.е. для них следует ожидать процессов гибридизации со скалярными фотонами с формированием ХИДНОНОВ. Исследования угловых зависимостей спектров комбинационного рассеяния позволят провести сопоставление экспериментальных данных с приведенной теориеи.

Таким образом. в данной работе установлены законы дисперсии для квазичастиц в кристаллах, классифицируемых различными представлениями точечной группы симметрии материальной среды: векторным представлением, представлением скаляра и псевдоскаляра. Установлено. что вблизи центра зоны Бриллюэна вследствие резонансного взаимодействия квазичастиц материальной среды с элементарными частицами вакуума той же симметрии реализуются гибридные состояния квазичастиц: поляри-тонов5 аксинонов и хиднонов. Рассчитаны законы дисперсии гибридных квазичастиц и предсказаны особенности в угловых и спектральных зависимостях спектров неупругого

рассеяния света при малых значениях волновых векторов. ^Установленные законы дис~ персии гибридных квазичастиц дают возможность оптимизировать условия для выполнения условий синхронизма при фотон-бозонной конверсии, а также в параметрических многочастичных процессах, сопровождающихся генерацией гибридных квазичастиц и различных типов бозонов вакуума.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 15 02-02882. 13 02-00449, 14 02 00190).

ЛИТЕРАТУРА

[1] А. С. Давыдов, Теория, твёрдого тела (М., Наука, 1976).

[2] М. И. Каганов, Электроны, фононы, матоны (М., Наука, 192, 1979).

[3] V. S. Gorelik, Polaritons and analogical excitations of media and physical vacuum. In: "Physical Interpretations of Relativity Theory". Proceedings of International Scientific Meeting PIRT-2003. Ed. by M.C. Duffy, V.O. Gladyshev, A.X. Morozov (Bauman Moscow State University, Moscow, Liverpool, Sunderland, 2003), p. 56.

[4] V. S. Gorelik, Physica Scripta T 135, 014039 (2009).

[5] V. S. Gorelik, Laser Physics 18 (12), 1479 (2008).

[6] V. S. Gorelik, Acta Phys. Hung В 26/1-2, 37 (2006).

[7] V. S. Gorelik, J. of Russ. Laser Research 28(5), 437 (2006).

[8] V. S. Gorelik, Eur. Phys. J. Appl. Phys. 49, 33007 (2010).

[9] Л. Д. Ландау, E. M. Лифтпиц, Квантовая, механика. Нерелятивистская теория, (Гос. изд-во физ.-мат. лит., Москва, 1963), стр. 391-433.

[10] В. С. Горелик, M. М. Сутцинский, Успехи физических наук 98(2), 237 (1969).

[11] V. S. Gorelik, Dynamic of lattice models of media and physical vacuum. In: "Physical Interpretations of Relativity Theory". Proceedings of International Scientific Meeting PIRT-2005. Ed. by M. C. Duffy, V. O. Gladyshev, A. X. Morozov (Bauman Moscow State University, Moscow, Liverpool, Sunderland, 2005), p.70.

[12] V. S. Gorelik, Gravitation and Cosmology 12, no. 2 3(46-47), 151 (2006).

[13] V. S. Gorelik, Quasi-particles in crystalline chains and in physical vacuum. In: "Physical Interpretations of Relativity Theory". Proceedings of International Scientific Meeting PIRT-2007. Ed. by M. C. Duffy, V. O. Gladyshev, A. X. Morozov (Bauman Moscow State University, Moscow, Liverpool, Sunderland, 2007), p. 253.

[14] J. J. Hopfield, Phys. Rev. 112, 1555 (1958).

[15] С. Н. Henry and J. J. Hopfield, Phys. Rev. Letts. 15, 964 (1965).

[16] S. P. Porto, B. Tell, and T. Damen, Phys. Rev. Letts. 10, 450 (1966).

[17] J. F. Scott, L, E. Cheesman, and S. P. Porto, Phys. Rev. 162, 834 (1967).

[18] Б. H. Маврин, X. E. Стерин, ФТТ 14, 2774 (1972).

[19] Л. Б. Окунь, ЖЭТФ 83(3), 892 (1982).

[20] S. Hoffmann, Phys. Lett. В 193, 117 (1986).

[21] К. van Bibber, X. R. Dagdeviren, S. E. Ivoonin, et al., Phys. Rev. Lett. 59, 759 (1987).

[22] G. Ruoso, R. Cameron, G. Cantatore, et al., Z. Phys. С 56, 505 (1992).

[23] R. Cameron, G. Cantatore, A. C. Melissinos, et al., Phys. Rev. D 47, 3707 (1993).

[24] L, D. Duffy, P. Sikivie, D. B. Tanner, et al., Phys. Rev. D 74, 012006 (2006).

[25] D. D. Standi, Phys. Rev. D 76, 111701(R) (2007).

[26] P. Sikivie, D. B. Tanner, and K. van Bibber, Phys. Rev. Lett. 98, 172002 (2007).

Поступила в редакцию 13 февраля 2014 г.