Специальные аффинные связности 1-го и 2-го порядков Текст научной статьи по специальности «Математика»

V. Malakhovsky, E. Yurova

Tensor fields on m-dimensional manifold of hyperellipsoids in n-dimensional affine space

In n-dimensional affine space An m-parametric families Vm (n-i)-di-mensional nondegenerates central nonruled hyperquadrics (hyperellipsoids) Q are investigated. Tensor fields and invariant families of different geometric images (points, hyperplanes, hypercones) are found. Focal manifold for each hyperellipsoid is defined. For the case m=n-i canonical frame with ends of base vectors in focal points and original in the center is constructed.

УДК 514.76

К. В. Полякова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград polyakova_@mail.ru

Специальные аффинные связности 1-го и 2-го порядков

Продолжается исследование расслоений реперов 1-го и 2-го порядков и касательных расслоений 1-го и 2-го порядков к расслоению линейных реперов на многообразии, проводимое в работах [2—4] и опирающееся на структурные уравнения и деривационные формулы. Способом Лаптева — Луми-сте заданы аффинные связности 1-го и 2-го порядков. Получены разложения компонент аффинной связности 1-го и 2-го порядков с помощью слоевых координат того же порядка, что и связность, и некоторых функций, зависящих от базисных и слоевых координат низшего порядка, чем порядок связности. Рассмотрены некоторые специальные связности, названные простейшими и естественными; указаны их свойства.

Ключевые слова: касательные расслоения 1-го и 2-го порядков, базисные и слоевые координаты, структурные уравнения, аффинные связности 1-го и 2-го порядков, ковариантные производные.

© Полякова К. В., 2015 114

1. Ковариантное задание аффинной связности 1-го порядка. Зададим связность в расслоении Ь( Хт ) касательных линейных реперов над многообразием Хт способом Лаптева — Лумисте [7]

) = ) -Г) ; АГ^ +4 = Г]к1а1, (1)

где тензорный дифференциальный оператор А имеет вид

АГк = «Г +Г1)1 -Г)* -Г).

Объект {Г), Г*к1} назовем первым продолжением аффинной связности, причем пфаффовы (неголономные) производные удовлетворяют сравнениям

Г + Г) - Г) -Г) +) = 0.

В уравнениях (12) раскроем действие тензорного дифференциального оператора А и, переходя к натуральному коре-перу по формулам

*

3 = х1]йх] а) = -хк)«х'к - х)как

3)к = «х)к + х)к3\ - х1ка) - х))1к +(х%х11 - х)к13 получим

* * Г = Г + х]к)(х ? «х^ + х\у)- (Гк + <)(х ) ^ + )-

-(Г+хр( х к «х\ + х13) - «х)к- (4 4 - + Г3 1,

где х1, х) — базисные координаты на Ь(Хт), х)к — слоевые координаты 1-го порядка, х)к1 — слоевые координаты 2-го по-

(* . \

рядка на расслоении ТЬ(Хт); х. — обратная матрица,

V /

*

т. е. х'.х]к = З'к . Считая Г.к = Г.к (х , х,,, хр) функциями базисных и слоевых координат 1-го порядка, получим

бГк , бГк , бГк , ,

йх' +—^йх\ йх р = -3\3\31 йх' +

бх' бх ' бх1 р ' 8р

(2)

+3(rjk + xjk)xp -(Г + оx j -j+xj)x k+

+ (+ xjk) xps - (jpk + xpk) xjs - (Г№ + xjp)xks + + jks + xjks - xpk xps ) xi dx'

Приравнивая коэффициенты при дифференциалах dx[p, дГ'

получим равенство—j^ = -3\3j3jp и, следовательно, разложе-

dxsp

ние rjk =-xjk + yjk для компонент объекта связности 1-го порядка с помощью слоевых координат того же порядка и функций yljk = yjk (xl, xj), зависящих только от базисных координат и образующих тензор.

Утверждение. Для аффинной связности справедливо разложение rjk = -xjk + yjk, где yjk = yjk (xl, xj). Равенство ну-

0

лю тензора yjk = rjk + xjk выделяет связность Г jk = -xjk, которую назовем простейшей.

Приравнивая коэффициенты при дифференциалах , «х1,

получим

д г1 * * *

= ^1(Г]к + х]к)х; -(Г + <)х) -(Г + х')х\, (3)

дх: дГ)

ах'

к ( ... \ ~ = \(Гр + хр ) хрэ - (Грк + хрк ) хр - (Г]р + х )р )хЬ )х1

+ Г + ) - х)к х^р3 . (4)

Уравнения (3, 4) можно записать в виде

а

дх'

Л

1

_ 1 = ЗУ*х р -укх } х1, (5)

дх,.

(к хрх Уркхр +Гкя + х_)кз хркхря ) х1 ,

а для пфаффовых производных компонент аффинной связности имеем выражение

Гк1 = д)ХР 'Г р -У^РкхР1 + ^ хр + УРхк1 - х'к1 + хРхр1 .

а х ) *

Лемма. Для производной -- обратной матрицы х

дхр

* * * справедлива формула др х ) = - х ^х гр .

Действительно, дифференцируя хк)-х к = 5) по х, получим

*

д х 1 * .

х к + х)-- = 0, тогда 5^ х гр + хкд дрх'к = 0, откуда следует

дх,-. дх,

дх) * 1 к д х

,, доказываемая формула.

Замечание 1. Рассмотрим законы преобразований для тензора типа (1, 2)

71 = /р х ' хчхг / 1 = 7р х х ч х г Уjk _ р л]лк> У ¡к _ JqIЛрл ' Л к ■

Продифференцируем второе равенство по х[:

. * *

б7к - бх' * * _ . б х Ч * _ . * б х к

= 7р_р х ч х г + 7р _' х г + 7р х Ч к

бх' = 7г ^ х . к +Лг хр бх' х к +7чг хр х ' бх' .

бхР б хЧ * 5 * ч Учитывая —— = З'.Зр , -— = - х .х ч , получим

8хх бхх

б/^ . ** . *** . ффф

~б~Г = х ] х к -УЦгхр х ' х ] х к -УЦгхр х ] х ' х к . Подставляя

в это выражение /Чрр, приходим к тензорному закону (5). Итак, из преобразований компонент классического

бх'

тензора (если заменить частные производные - на коорди-

бу}

наты х.) можно получить более общие уравнения (5) тензора

в смысле Г. Ф. Лаптева.

Замечание 2. Рассмотрим законы преобразований

7 к+х1к = (/р + хЦг) х р х.хк, 7 к + х.к = (7цг + хцг) х'р1 ч х к;

/¡к = /р хр х Ч х к +(хЦг хр х Ч' х к х1к) .

Тогда дифференцируя последнее равенство по хI и подставляя в полученное выражение функции fqр , получим закон

(3), т. е. часть уравнений на объект связности, записанный в смысле Г. Ф. Лаптева.

Объекты кручения T1Jk и кривизны Я1)^ аффинной связности выражаются по формулам

Т1 — V1 — V1 .1 /?' — Г^1 — г^8 г^1 jk 1 к) , 2-^1 - 7 ЛИ] 1 Лк7 81]

и удовлетворяют уравнениям АТ)к = Т^)1, АЯ1^ = Я^) .

Из разложения Г^ = -х1)к + у)к при симметричных слоевых координатах получим, что кручение и кривизна (в общем случае) выражаются по формулам

1 Т1 = У 1 Я = ^1[к ! 5 У У

2 Т)к = у[)к], 2 ) =~дх^х 1]- Г)[кУ51] ,

т. е. зависят только от базисных координат х1, х) .

2. Простейшая аффинная связность 1-го порядка и ее первое продолжение.

Теорема 1. Справедливы следующие свойства простейшей о

т- 1 1

связности Г )к =-х)к.

1) Простейшая связность является плоской и симметричной. Действительно, в силу симметрии слоевых координат получим

о 1 1 1 0 1 1 1 Т )к = ^х[)к] = 0 , Я )к1 = -^)] = 0 .

2) Равенство нулю ковариантных производных координат х1) выделяет простейшую связность. При этом вертикальный вектор V = х)е) абсолютно параллелен относительно простейшей связности.

Действительно, ковариантные производные координат х выражаются по формуле Vкхг^ = -х7 (Г\к + х^).

1 7

х - х (Г1 , х )

кх] - х](

0

3) Справедливо равенство <яС (ек) = , т. е. соС (ек) = Г 7к,

*

где £' = х' д7 е ТмХ^ М е Хт .

4) Пфаффовы производные простейшей связности выра-

0

жаются по формуле Г 7ц = х^х^ - х^ц .

Легко показать, что со^ (е;) = х^кх1^ - х7ц, т. е.

о

С]к(е;) = Г)ы,

где = х ' д7 + хк ек — невертикальные векторы касательного пространства ТАЬ(Хт), А е Ь(Хт).

5) Для простейшей связности справедливы следующие равенства:

0 0 о

Г )! = ё Г )к (е!) = д ^ Г )к = 0,

т. е. слоевые пфаффовы производные простейшей связности равны нулю; вертикальные векторы е! аннулируют формы 0

ёГ 7к ; производные компонент простейшей связности по

направлению вертикальных векторов равны нулю.

6) В простейшей связности горизонтальные векторы 1-го

о

порядка имеют вид в' = 8Х, а горизонтальные формы связно-А

сти сд = а>181 (см.: [5, с. 146]).

Рассмотрим отображение «Г (е1) = М)к1, где объект

М)к1 = ) - х)%хк1 - х%кх%1 + ) + х'%!^к - х)гГ1к - хк1Г)%

является тензором, т. е. его обращение в нуль инвариантно и 1

выделяет охват Г —1. Этот охват получается из условия «Г)к(еI) = 0, т.е. векторы е е ТХт аннулируют формы

Г:

1 ,

Г )к1 = х)%хк1 + х%кх)1 - х)к1 - хйГ)к + х)1Гак + хк1Г)% ; 1

Я )к1 = (х%[к +Г[к)(х)1 ] +Г)1 ]) . 11

Замечание 3. Если подставить Г 1)к1 в производные (4), то

дГ дУ-

получим —= 0, а тогда —)- = 0, т. е. функции у)к = у)к (х%)

дх дх

зависят только от координат х% .

3. Ковариантное задание аффинной связности 2-го порядка. Ковариантный способ задания аффинной связности 2-го порядка состоит в построении форм [1, с. 167; 6]

3 ЛИ =)к -^к13; (6)

- Г%1 з^к + Г-з8к + Г%1 з' + з;и = ЦЦ . (7)

Объект Г2 = {Г-, Ц)к1} является объектом аффинной

связности 2-го порядка, задающим связность в касательном

расслоении 2-го порядкаТ2Хт .

Аналогично сформулированному утверждению о разложении объекта связности 1-го порядка из уравнений (7) можно

получить разложение 1]к1 = -х]к1 + ;]к1 для компонент объекта связности 2-го порядка с помощью слоевых координат 2-го порядка и функций ;7И = ;7И (х', х7, х^к), зависящих от базисных координат и слоевых координат первого порядка. Функции ; 7к; удовлетворяют сравнениям

л;7к1 -г!с!к+гСк +гшсл -= -(х']1С]к + х']кС]1) - (хк1с7 + х]!Ск1). Внешний дифференциал форм (6) приведем к виду

ёс Ск = Ск л С - С л ю\ - С лас к + 0\к, (8)

где О'^к = 2Щ-цС л С — основные формы кривизны в совокупности форм кривизны {О] = 2Щ-цС лС, О]к} аффинной

связносхи 2-го порядка, \ Щ]Ш = ^ - ^] + +

+ ЬЯ1Гь] — основные компоненты объекта кривизны 2-го

порядка Щ 2 = {Щ]Ы, Щк! } .

Уравнения на компоненты Щ]к! имеют вид

- КСк + ЦСРк + ЦС]Р = ЩкьрС, (9)

т. е. компоненты Щ17к;! образуют тензор вместе с тензором аффинной кривизны 1-го порядкаЩ^ц \ Щ = {Щк1, Щкк}-тензор

кривизны 2-го порядка. Внося формы связности 2-го порядка в уравнения (9), получим

V2Щ]к! ^2рЩкСр;

У 2Я)к1% = «Я)к1% + Я-кЬ3р - Ярк1я33 - Я)р1%3к - Я)кр%31Р -- Я)к1р3% - Я'рЬ33к + Я33рк + Як1%3зр ,

^2рЯ')кЬ = Щккр - + Яф%Г3р + Я')д1%Гкр + Я')1щ%Гр +

+ Я1 Г, + Я1 Ц, - Я, Ц - Я, Ц + л)к1д2 %р+ )кр л)Ьъдкр лкЬъ)др

— ковариантный дифференциал и ковариантные производные компонент Я)к% объекта кривизны 2-го порядка в связности Г2 .

С помощью внешнего ковариантного дифференциала О

уравнения (8) запишем следующим образом: Оз)к = Ц)к.

Дифференцируя (8) внешним образом, получим тождества Бьянки второго порядка в бескоординатном индексном пред-

2

ставлении ОЦ)к = 0, где 2

о а)к = «Ц + Ц А Щ -Ц А ~) - п)-1 Л~1 +

+ 3)кАЦ - Зк А- 3'-1АЦк

— внешний ковариантный дифференциал форм кривизны 2-го

порядка в связности Г2 . Координатное индексное представление тождеств (11) имеет вид

72 п1 + Як{Тр} = 0.

¥{ р^-кр} + Я)-кд{%Тр1}

4. Специальные аффинные связности 2-го порядка. Ковариантные производные невертикальных векторов и объекта

связности Г^ относительно аффинной связности 2-го порядка

2

Г имеют вид

У2 . к г-<1 . 7-гк . 1 тк

= + вИ Гк) + екГ + екЦз ,

V2 Г = Г - Г! Г + Г Г! + Г Г! - Г (10)

; 7к~ ]к! 1 7к1 в!^1 як ]1 ^1 ¡я1 к1 ^]к1 ■ У1У'>

Альтернируя ковариантные производные (10), получим

^[;Г1к] = Щ]к; + "2Г]!Тк; - N]Ы, где Щк; = Г ]\ы] - Г![кГЦ;], причем Щы - -1Тк;СР .

Если V2lГ1Jk = 0, то (см.: [6])

1

т ' = Г' - Г! Г' + Г' Г! + Г' Г! (11)

Л _ ; 1 я; як1 р1 к;> V11-*

т. е. аффинная связность вместе со своим первым продолжением индуцирует аффинную связность 2-го порядка, причем основные компоненты ее кривизны имеют вид

1

О '' __ГРО'' I Г' рр I ^ рр

Л 1 7к рЬ 1 рк^Ах 1 7р кк ■

Ковариантные производные тензора Т в связности Г'к являются образами горизонтальных векторов при линейном отображении, определенном дифференциалом этого тензора, т. е.

VкТ = ёТе ), где вк = ек + Г^е^ . Выясним, когда выполняется аналогичное для объектов, не являющихся тензорами, а также в связности 2-го порядка, в частности

Г е) .

Для левой части имеем

ёГ7ш(е1) =Г)Ы-ГГ +ГГ +ГГ-Сш(е). (12) Сравнивая выражения (10) и (12), получаем

Сш(е;)=7, (13)

т. е. формы о)Ск и горизонтальные векторы 1-го порядка е порождают объект т'7к; .

Вычислим значения форм ojk на горизонтальных векторах 1-го порядка ~ = el + eprqp :

ojk (~l) = Wjkl, Wjkl = xj,xisl - x'jki + xjrl - хр,rp - х)рГ£ . Сравнения на функции Wj,i имеют вид

¿Wjkl - Г оjk + Г с lsk + Г oj + j = 0

и совпадают со сравнениями (7) на компоненты Ljki связности

j, Ljkl }• Будем считать, что W'ki = Ljkl:

1 jkl

Г2 = {Г-к, Ц-к1}. Будем считать, что = Ц3к1, тогда выражение на компоненты объекта имеет следующий вид:

т 1 - xs X - х1 + xs Г1 - х1 Г - х1 Г (14)

jkl ~ jk sl ¿-jkl^^jk1 sl Лsk1 jl л js1 kl ■ V1^

Итак, равенство (13) имеет место в связности

2 i 0 i i

Г - {rjk, L jk/} • Кроме того, если V2 e, - de , (~k), то j вы-

2 ■ 0 ■

ражается по формуле (14). Назовем связность Г - {Г^, L jkl}

естественной связностью 2-го порядка.

Теорема 2. Справедливы следующие свойства естествен-

о 2 ■ о ■ ной связности 2-го порядка Г — {Г^, L jki} ■

о

1. Основная кривизна естественной связности L jы выражается по формуле

о

R 1 — XP R1 - X1 RP - X1 RP

Л jkls - jk pls pk jls jp kls ■

2. Равенство нулю ковариантных производных слоевых ко-

о

ординат xjk 1 -го порядка выделяет объект L 'jkl естественной связности 2-го порядка■

Действительно, ковариантные производные слоевых координат х'7к выражаются по формуле

V; х7ш = Г)к; + х)ш; - х!кх!; - х)кГ1; + х!кг! + х'^Гы

0

и их равенство нулю влечет охват т '7к; (14).

3. Ковариантные производные объекта Г^ и неверти-

_ Г 2

кальных векторов е1 в естественной связности Г являются образами горизонтальных векторов при линейных отображениях, определенных дифференциалами объекта Г'к и векторов е' ; а также образами при отображениях, определяемых горизонтальными векторами, т. е. справедливы равенства

VfГ^k = ёГ'к (~;), V 2ei = ёе, );

V^Гjk = е; Г'к), V ; е' = (е').

4. Ковариантные производные базисных векторов 2-го порядка е' = еу, еЦш, е]ш, е-'Ш ] [2] в естественной связности Г 2

являются образами горизонтальных векторов при линейных отображениях, определенных дифференциалами этих векторов, т. е. справедливо равенство V2е' = ёе'(~к).

5. Формы ю1^ и горизонтальные векторы е; порождают

0

подобъект т '7к; объекта естественной связности 0 2 ■ 0 ■ ■ ~ 0 . Г = {ГШ, Г 7к;} 2-го порядка: С (е; ) = Г )к1.

6. Горизонтальные векторы е; аннулируют формы есте-

0

ственной связности С 7к.

Действительно, вычисляя значения форм (6) на горизонтальных векторах, получим

0 , о , о , о

3 )к(3) = 3)к(3) - Ц )к%3 %(3) = Ц 1 )к1 - Ц)к1 = 0.

С помощью простейшей связности 1-го порядка выделим из естественной связности 2-го порядка простейшую связность

0 0 2-го порядка. Если Г 1-к = -х)к , то из связности Ц 1

получаем простейшую связность 2-го порядка 00

Ц )к1 = - х-к1 + х%кх)1 + х)%хк1 .

Теорема 3. Справедливы следующие свойства простейшей 00 0 , оо связности Г = {Г 1-к, Ц -к} •

00 00

1. Связность Ц является плоской, т• е• Я 1 = 0 •

00

Действительно, кривизна связности Ц 1выражается по фор-

00 , , муле Я = х3кх'р[Щ - х'р1хр[к%] - х3кх'р[Щ - х)к[1%] и равна нУлю, так как слоевые координаты симметричны.

00 2

2. В простейшей связности Г ковариантные производ-

0 00 2 0 ные объекта Г 1-к = -х)к равны нулю, т^е^ V ¡Г 1= 0•

3. Образы базисных касательных векторов

*

8 = х ) д- е ТмХт к многообразию Хт при отображении

00 00

з)к дают объект Ц )-ы , т• е• з)к (е1) = Ц 1•

*

Действуя формами з-к на векторы е1 = х ) д -, получим

'-к па вектиры = х цс- .

00

-к (е1) = х%кх-1 + х-%хк1 - х-к1 = Ц -к1 .

Список литературы

1. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.139—189.

2. Полякова К. В. Репер 2-го порядка расслоения касательных линейных реперов L(Xm) // Геометрия многообразий и ее приложения : материалы научной конференции с международным участием. Улан-Удэ, 2014. С. 22—26.

3. Полякова К. В. Задание аффинной связности с помощью горизонтальных векторов // Дифф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2013. Вып. 44. С. 100—112.

4. Полякова К. В. Двойственные методы исследования дифференциально-геометрических структур // Там же. 2014. Вып. 45. С. 92—104.

5. Сарданашвили Г. А. Современные метода теории поля. Т. 5 : Гравитация. М., 2011.

6. Шевченко Ю. И. Связность в продолжении главного расслоения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1991. Вып. 22. С. 117—127.

7. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Там же. 2006. Вып. 37. С. 179—187.

K. Polyakova Special affine connection of the 1st and 2nd orders

We proceed the studying frame bundles of the 1st and 2nd orders and tangent bundles of the 1st and 2nd orders over linear frame bundle on a manifold by means of covariant method [2—4] and based on structure equations and derivation formulae. Affine connections of the 1st and 2nd orders are given by Laptev — Lumiste way. Decompositions of the 1st and 2nd orders affine connections object are obtained with the help of fibre coordinates of the same order as connection and some functions, depending on basic and fibre coordinates of the lower order then connection order. Some special connections called simplest and natural are considered; their properties are proved.