Задача со смещением для уравнения смешанного типа с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ОБОБЩЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ДРОБНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В КРАЕВОМ УСЛОВИИ1

© 2008 Е.Ю. Арланова2

В работе поставлена и исследована нелокальная задача для уравнения смешанного типа, представленного в верхней полуплоскости уравнением дробной диффузии, в нижней — уравнением влагопереноса. Доказана однозначная разрешимость задачи. Решение выписано в явном виде.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, краевая задача, дробные интегралы и производные.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение смешанного типа:

( ихх — и, у > 0, ,

о = \ Xх 0+’ у (1.1)

I у2ихх — иуу + аих, у < 0, |а| ^ 1.

Здесь D“+ —частная дробная производная Римана—Лиувилля порядка а, 0 < а < 1 от функции и(х, у) по второй переменной [1]:

у

(Б“+ )(х,у) = —-------- Г М(Х’ сії. (1.2)

V °+.уЛ’^ 4уГ(1-а;и Су-01_“

0

Пусть D = D+ иО~, где D+ = {(х, у) : 0 ^ х, у ^ 1} — квадрат, D— —область, расположенная в нижней полуплоскости (у < 0) и ограниченная характеристиками уравнения (1.1) при у < 0 и интервалом / = (0, 1) прямой у = 0;

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором О.А. Репиным.

2Арланова Екатерина Юрьевна ([email protected]), кафедра прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

(1.4)

(1.5)

©о(х) = у — , — V*) и ©1(х) = |—-—, - V1 — х|—точки пересечения характеристик уравнения (1.1) при у < 0, выходящих из точки х е I, с характеристи-у2 у2 в в

ками § = х-— = 0 и т] = х+ — = 1 соответственно; ф)(х), (/*1 ф)(х) —

операторы М. Сайго, введенные в [2]; ф(х) е С(/) П С2(/), фхСу), фгОО— заданные функции, такие, что у1_аф1(у), ,У1_аф2(.У) е С(0+), ф!(0) = фг(0) = 0. Для этого уравнения рассмотрим и исследуем следующую задачу. Задача: Найти решение и(х, у) уравнения (1.1) при |а| < 1 в области D, удовлетворяющее краевым условиям

и(0, у) = фо(у), и(1, у) = ф!(у), (1.3)

о(0])(х) = в{^^М'а~?~а'и«, 0))(х)+

+с(С+¥’'14’^'а1м,(г, 0))(х) + ф(х),

где А, В, С, «1, Ь1 —заданные константы, такие что

_ /1 + а\

л/пА - ГI —— IВ Ф 0,

а — 1 а + 3

—— < а\ < ——, Ь\ > 0,

а также условиям сопряжения

Нт у1~аи(х, у) = Пт и(х, у) (х е /), (1-6)

у^0+ у^0—

Пш у1-а (у1-аи(х, у)) = Пш иу(х, у) (х е /). (1.7)

у^0+ ' 'у у^0—

Будем искать решение и(х, у) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области D, таких, что

/-“м(х, у) е С(Р+), и(х, у) е Сф=), (1.8)

у1-а ^у1—а и) е С Ф+ и {(х, у) : 0 < х < 1, у = 0|) ,

у /—ч (1.9)

иххеСф+иО~), иууеС(о-).

2. Единственность решения задачи

Пусть существует решение исследуемой задачи. Введем обозначения

Г(а) Пш у1-аи(х, у) = Т1(х), Пш и(х, у) = Т2(х), (2.1)

у^0+ у^0-

Г(а) Пш у1-а (у1-аи(х, у)) = У1(х), Пш иу(х, у) = У2(х). (2.2)

у^0+ ' 'у у^0-

Решение уравнения (1.1) в квадрате 0 ^ х, у ^ 1, удовлетворяющее усло-

виям (1.3) и

Г(а) Нт у1~аи(х, у) = Т\(х)(х е /), (2-3)

у^0+

выражается формулой [3]

и(х, у) = ^фо(п)0? (х, у, 0, Ц Лц - ^фі(п)С| (х, у, 1, Ц dц+

і (2.4)

+ ^ Т1(?)0 (х, у, ?, 0) Л?,

о

где для функции Грина имеем

п=-то

30 (х, у, ?, ц) (у - п)в-

!'$( \х~1+2п\^ ^і,р I \х+^+2п\

'1, в

(у -

Г|)Р /

1, в

(у - п)в

д?

Е

5дп(х - Ц, + 2п) о,р/ \х-'%+2п\\ \х — Ц, + 2п\ (_у - г])Р /

+

+

5дп(х + Ц, + 2п) о,р / |х+^+2и|\

6

£>Г а, в

Далее находим, что

|х + § + 2п\ у (у - Г|)Р /

ТО

(г) = 2

п=0

Г(ап + ц)Г(6 - вп)’

в =

а > в-

у

Л = .Ё / Ч^ЛХУ - ч>М (-^)Л'-

у

41 /*■<-

_ р_! 5дп(х -1+2п) о, р / |х - 1 + 2п\

|х - 1 + 2п| 11 в\ (у - ц)в

_ .р-1 5ёп(х + 1 + 2п) о,р / |х + 1 + 2п\\ \х + 1 + 2п\ ^Ру (у - Г|)Р /

Лц+

+

1,р/ |х-^ + 2и|\_ ^р/ |х + —хг + 2п\

'1, в

'1, в

Л?.

Так как (Ба-^х, у)) = Б^+уи(х, у), а Б^+уи(х, у) = Ихх, то

{у

1 “г

“2 2 іф1(11)

(2.5)

_ р-1 5§п(х - 1 + 2п) о, Р / |х-1+2яР

|х - 1 + 2п\ ^Ру (у - г|)Р

+

_ .р-1 5ёп(х + 1 + 2п) о,Р / |х + 1 + 2п\\ \х + 1 + 2п\ ^Ру (у - Г|)Р /

1

IЁ

Лц+

ЛР| |х - ^ + 2и|\ _ ^1,р/ |х + ^ + 2и|

Л?

у

У

2

а

2

у

у

у

ч2 У

ч+,«(-,» = 2 £ (-£$ и-

1 д2 у

"2 Ъ д^] ф1(11)

_ р-1 5§п(х - 1 + 2п) о, р / |х-1+2яр

|х — 1 + 2и| ^Ру (у - г|)Р

о

_ .р-1 5ёп(х + 1 + 2п) о, р / |х + 1 + 2и|\ |х + 1 + 2п\ ^Ру (у - Г|)Р /

+ 1 + 2п1 1 в1

х+2п

2

Лц+

, 1 р-1 V Г ^ ^ і.Р/ х~Ч + 2п

+/ 1 ——

п=-ТО 'О \ У

1

, 1 Р-1 V Уд2 1, р / -х + ^-2и\

+2? 2, ] —~Г~

П=-Ж %. ХУ/

х+2п

1 р-1 V Г л-ч 1.р/ Х + ^ + ^И\л^

п=-то 0 \ У /

Поскольку п е Z, то для выполнения условия 0 < х + 2п < 1 необходимо положить п = 0. Тогда можно записать, что

ч2 у

гла , ч & Г , чСУ“Л)Р 1 0,р/ * \

во+,уи(х, У) = -^] Фо(л) - «1, р ) аЧ-

,2 У

(у- л)р 1 о,р/ 1-х

о

-(х - 1) 1’ в у (у - ц)в

еГЛ----------- +

(У~ Л)Р 1 о,р/ х+1

н--------------Є і

х + 1 1’в у (у - ц)в)

х

)\ац + ^' 1Ьг'<Ве'^{-^г)^

о

1 1 +?м/£г,1®еьр(-

хо Введем обозначения

х

'■=№№®*

ув о

1

2

,2 = Ї ЬеЩ-"^пт,аш’

ув

х

1

/з = /

о

, в у в

І4 =

І5 =

І6 =

У 0

С д2

і дх2

0

у

Г д2

1 дх2 о

у /

Су - л)13 1 о,р/________________________х

Су-л)р 1 о,р ■е

1’ и (у - ц)в

1 — х

-(х - 1) 1’в \ (у - ц)в

о, р I х + 1

д2 (у - г|)Р 1

дх2

+ 1 \ (у - г|)Р

фо(п)Лц,

ф1(ц)Лц,

ф1(ц)Лц-

Так как

д2 і,р/ д2 і, р / х-Ъ,

дх2 1 в\ ув ) д?2 1 в\ ув )’

то

І1 =

х

Г д2 і

і дх2*1

^в:-р^іхі(м =

у

в

х

х

д2 1

у

в

00 Интегрируя дважды по частям и учитывая, что т(0) = т(1) = 0, будем иметь

х

ь = *М\1 НИ +

Аналогично находим

і2-- ті(і)е!;р(-^г

'1, в

р/_1^х

х'/(?)Л?,

7з - -Оде!;!!(-^г)+р(-^)+/е!;р(-^г)

х+?Ч'/(?№,

«р-1

вт , /Г1Ч у о, в

/5 = Фі(°)^—Тв1.Р

в-

г ' /пч У о, в

/б = Фі(°)77їеі ,р

Таким образом, получается следующее выражение:

ув-

в^уи = (б“;*Д = и + |(/5 + /б) + ^/'4/1 + /2 - /з). В работе [4] доказано равенство

Иш у 1 -а (Ба- >(х, у)) = Г(а + 1 ) Пш у 1 -а (у 1 -аи(х, у))

7—>0+ ' 'У у—Ь 0+ ' '

у^о+

у^о+'

(2.6)

х

х

Для функции (^) справедливы следующие соотношения [5]:

1

6, ч и-а, 6+в/ ч

«-г^-а)Г(6 + Р)-

ТО

/

о

ТО

/

о

1

-е11’ д(—Лг)Л =

( а,

Г(Ц)’

1 0,8. лЛ,, а

—е а(-кпш = -„ „ ,

{ а,^ > Г(б)>

1ІШ е^) = о, п ^ | агдг| >

а + 6

-п + е, е > 0, а ^ й? > 0.

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

£—— ТО а, в ^ I О I 2

Воспользовавшись выражением (2.6) и приведенными выше формулами (2.7)—(2.10), совершив замену переменных (х - ^)у-в = 51 (в первом интеграле) и (^ - х)у-8 = 52 (во втором интеграле), получим

Г(а)

ііш у1-а( Ба->( х, у)) у

VI(х) = Г(а) 1ІШ у1 “(у1 аи(х, у)) — _

у^о+ ' 'у Г(а + 1) у^о+

Г(а) Нт у) = ^(<1) ,, Нт у^УЧ/і + /2) =

Г(а + 1) у^о+

г(а) -в

= ----------- Нт у

2Г(а + 1) у^о+

2Г(а + 1) у^о+'

р^-пгК'(М

ув

+ -

(а + 1) у->0+ уР / J 1.Р\ ур / 14

2Г(а + 1) у^о

Г(а) Нт у-РуР Г

2Г(а + 1) у^о+ J

о

х1'(?)Л?

-рл,р Г її® 0.2Р (_^1

^-Лр

Л?+

Г(а)

2Г(а + 1 ) у^і

1

1ІШ у-вув ^о+ J

Т”© 0,2р/ Ч~х

-----р 1 I -------

Х-І !-Р

Л? =

-в

Г(а) Гт'/(х - 5 1 ув)

----------- Нт 1

2Г(а + 1 ) у^о+

о

/т 1(х 5 1 г ) о,2в. ч ,

-----—--------Є1ір (-80(18! +

-51

Г(а)

(1 х)у

-в

+ —------------- Нт

2Г(а + 1) у^о+

с"( х + 52Ув)

о

Г(а)

2Г(а + 1)

ТО

о, 2^ ч , Г(а) „

о ( —5і)«5і-----------------X

1 Р 2Г(а + 1)

Г(а)

ТО

‘(х)Це°

Є° вв(-52)Л52 =

2Г(а + 1)

<( х)

т'/(х)

Г(а) Г(а) / Г(а + 1 )

1 1

+

в

х

+

Таким образом, полученное функциональное соотношение между т 1 (х) и V 1 (х) имеет вид

"(х> = гоЪо"'1'1^ (211)

Найдем соотношение между Т2(х) и V2(x), принесенное на / из гиперболической части D— области D. Используя решение задачи Коши [6,7]

и(х, у) =

ГІІ

—V Г'

1 + а \

-

X + — (1 - 20 2

а-3 а+Ъ

(1 - 0 4 г 4 сіг+

+ У

г(§

Г|Ь£)г[^10

1

Г

х + — (1 - 2г)

а-1 _а+1

(1 - 0 4 ї 4 <*,

найдем и[©о(х)] в форме

1 -а г\ а-3

м[0о(х)] =кЛ14 ’ ’ 4 т_(0)(х) + £2(/.

о+

3-а 1 а-3

4 ’ 2’ 4

о+

у-(0 (х),

к,2 = “Г’!—)/г(—-—|. Подставляя в выраже-

ние (1.4) значение для и[©0(х)] и применяя к полученному равенству опе-

Ъ-а

ратор (/о+ 4

где g(x) = --

=/

о+

^г(х) = с_Ак (/0+2х2(0) О) + #0),

получим

1

/

С - Лк2 I о+ При ф 1 (х) = о имеем

С - Лк2

оф(0](х).

(2.12)

У2(х) =

/о+2 Т2(0 (х).

(2.13)

С - Ак2 \ 0+

Единственность решения задачи вытекает из аналога принципа экстремума А.В.Бицадзе [6].

Пусть тах и(х, у) = х(дго) > 0. Тогда, в соответствии с принципом экстре-

Б+

мума для операторов дробного дифференцирования [7], из (2.13) и условия (А*1 - В)(С - Ак2) < 0 заключаем, что V2(х0) < 0. Поскольку т"(х0) = 0, то из (2.11) заключаем, что V 1 (х0) = 0. Из полученных условий V2(xо) < 0 и Vl(xо) = 0 следует единственность решения задачи.

1

2

2

3. Существование решения задачи

Для доказательства существования решения исходной задачи сведем ее к интегральному уравнению дробного порядка.

Выразим Т1(х) из соотношения (2.11). В результате получим

Т1(х) = Г(1 + а) У1(г))(х). (3.1)

Полагая Т1(х) = Т2(х) = т(х) и Vl(x) = V2(x) = v(x), подставляя (3.1) в соотношение (2.12), с учетом свойств операторов Римана-Лиувилля [1], приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго порядка:

Ак\ - В С-Акг

Перепишем (3.2) в виде

Ак\ - В / з \

Чх) = с_Ак г(! + а) (/02Л(0) О) + 8(х). (3.2)

у(х) = g(x) + —I у(1) л/х- гШ.

ГЫ«

где X =

I у(г) л/х - г<1г. (3.3)

Ак\ - В Г(1 + а)

Функция g(x) е С[0, 1] П C2(0, 1), так как ф(х) е C[0, 1] П C2(0, 1), поэтому используя теорию интегральных уравнений [8], находим

х

у(х) = §(х) + X ^ з (а.(х - (3-4)

0

Здесь бесконечный ряд

то к

гк

= (3'5)

— функция типа Миттаг—Леффлера, которая является целой функцией (комплексной) переменной г = х + iy порядка 1/а > 0 [8]. При ^ = 1 функция (3.5) совпадает с функцией Миттаг—Леффлера Еа(г) = Еа, 1(г). Подставяя (3.4) в (3.1), получим выражение для т(х):

т(х) = Г(1 + а) (12+g(t)) (х)+

+ Г(1 + а)Х

(х). (3.6)

х

Лемма: Если X є С, то

Ґ

2

о+

о

- 5£з 3 (Х(г — 5)2

(х) =

= ^(х - я)2Ез 7 ^Х(х - я)2 |g(s)ds. о

(3.7)

х

Доказательство: Осуществляя по формуле Дирихле перестановку порядков интегрирования, а затем перестановку ряда и интегрирования, имеем

! г

I2

*0+

V 0

(X) =

0

X X

= ^^ ^(х-ОУг-0 '~п

{Ч>-*)’*)’ ы, Г(|*+ I)

йг

~к

к

*=0 Г||д:+ |, 0

s

X

g(s)ds =

(X- 5)2 + 2^(5у5 =

Г 3 00 [Х(х-Я)51* Г 5 3'

= | —--—8(з)(15= I (х- 5)3£з 7 (х(х- 5)3 )#(»й?5.

о Ы)Г|-* + 5

Используя полученное выражение, получим окончательную формулу для функции т(х):

+ а) ( I

т(х) = Г(1 + а)( 12+8(1)) (х)+

X

+Г(1 + а)Х ^(х- 5)2£з 7 (а.(х - 5)2^(5)й?5.

(3.8)

X

X

Используя полученные таким образом функции т(X) и у^), можно найти решение задачи 3.2 в каждой из областей D+ и D-, а значит, и решение задачи 3.2 в заданном классе функций в области D, удовлетворяющее краевым условиям (1.3) и (1.4) и условиям сопряжения (1.6), (1.7).

Теорема. Пусть ненулевые действительные константы А1, А2, а1, Ь, С1 удовлетворяют условию (1.5), функция ф1^) е С[0, 1]ПС2(0, 1). Тогда задача (1.3), (1.4) для уравнения (1.1) при |а| ^ 1 имеет единственное решение, которое может быть найдено в форме решения задачи Коши, где т(x) и у^) определены в (3.8) и (3.4) соответственно.

Литература

[1] Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И.Маричев. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

[2] Saigo, M. A certain boundary value problem for the Euler-Pois-son-Darboux equation / M. Saigo // Math. Japan. - 1979. - Vol. 24. -№4. - Pp. 377-385.

[3] Псху, А.В. Краевые задачи для диффференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка / А.В. Псху. -Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2005. - 186 с.

[4] Геккиева, С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с

дробной по времени производной / С.Х. Геккиева // Докл. Адыгейской (Черкесской) Межд. АН. - 2001. - Т. 5, - №2. - С. 18-22.

[5] Псху, А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка / А.В. Псху // Докл. Адыгейской (Черкесской) Межд. АН. - 2000. - Т. 5. - №1. - С. 45-53.

[6] Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А.В.Бицадзе. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

[7] Нахушев,А.М. Уравнения математической биологии / А.М.Нахушев.

- М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.

[8] Джрбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.М. Джрбашян. - М.: Наука, 1966. -671 с.

Поступила в редакцию 01/IX/2008;

в окончательном варианте — 01/IX/2008.

A PROBLEM WITH SHIFTED VARIABLE FOR A MIXED TYPE EQUATION WITH GENERALIZED OPERATORS OF FRACTIONAL INTEGRO-DIFFERENTIATION IN THE BOUNDARY CONDITION3

© 2008 E.Y. Arlanova4

In the paper a non-local problem for a mixed type equation represented in the upper half-plane by a fractional diffusion equation, in the lower half-plane by a diffusion transfer equation is studied. Unique solvability of the problem is then proved. The solution is represented in an explicit form.

Keywords and phrases: mixed type equation, boundary-value problem, fractional integrals and derivatives.

Paper received 01/IX/2008.

Paper accepted 01/IX/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. O.A. Repin.

4Arlanova Ekaterina Yurjevna ([email protected]), Dept. of Applied Mathematics and Informatics, Samara State Technical University, Samara, 443100, Russia.