Первая краевая задача в полуполосе для дробно-дифференциального уравнения с оператором Бесселя и частной производной Римана-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 4 (2017). С. 117-128.

УДК 517.95

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПОЛОСЕ ДЛЯ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ И ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА^ЛИУВИЛЛЯ

Ф.Г. ХУШТОВА

Аннотация. В работе исследуется первая краевая задача в полуполосе для дробно-дифференциального уравнения с оператором Бесселя и частной производной Рн.мана Лиувилля. Сформулированы теоремы существования и единственности решения рассматриваемой задачи. Представление решения найдено в терминах интегрального преобразования с функцией Райта в ядре. Доказательство теоремы существования проводится на основе свойств указанного интегрального преобразования и модифицированной функции Бесселя первого рода. Единственность решения доказана в классе функций, удовлетворяющих аналогу условия Тихонова. В случае когда рассматриваемое уравнение переходит в уравнение диффузии дробного порядка, показано, что полученное решение совпадает с известным решением первой краевой задачи для соответствующего уравнения. Также рассмотрен случай, когда начальная функция является степенной функцией пространственной координаты. Решение задачи в этом случае выписывается в терминах Д-функции Фокса.

Ключевые слова: оператор Бесселя, частная производная Рн.мана . Iiiymi.гш. диффузия дробного порядка, функция Райта, интегральное преобразование с функцией Райта в ядре, модифицированная функция Бесселя первого рода, Д-функция Фокса, условие Тихонова.

Mathematics Subject Classification: 35А22, 35R11, 35С15

1. Введение

Пусть D1y- оператор интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля дробного порядка 7 с началом в точке а и с концом в точке у, который определяется следующим образом [И, с. 9], [12, с. 28], [15, с. 14]:

y

sign(y- а) g(t) ^

аУ9(У) Г(-7) J \у - t[+l ' '<

а

Dly 9(У)= 9(У), 1 = 0; dn

Dly g(y) = mgnn(y - а) — д(у), п - 1 <1 ^ п, п е N.

Здесь Г(в) - гамма-функция Эйлера.

В области П = {(х,у) : 0 < х < <х>, 0 < у < Т} рассмотрим уравнение

L и(х, у) = Вх и(х, у) - Dи(х, у) = 0, (1)

F.G. Khushtova, Dirichlet boundary value problem in half-strip for fractional differential

equation with bessel operator and rlemann-llouville partial derivative.

©Хуштова Ф.Г. 2017. Поступила 16 сентября 2016 г.

где Вх = х ь -—.{х6 —х) ~ оператор Бесселя, Ь = сопst, а st. Уравнение вида (1), а именно уравнение

Л Гр (Г , <) = « (г - ^ ) ,

где и характеризуют фрактальную размерность среды, Р(г, ¿) - плотность простран-

,

\¥, С, С1оск1е, Т. Г, МоппептасИег [28] для описания процессов переноса в средах, имеющих фрактальную размерность.

При а = 1 уравнение (1) обращается в уравнение

ихх(х, у) + х их(х, у) - Щ(х, у) = 0,

которое было названо И.А. Куприяновым В-параболическим уравнением [5]. При Ь > — 1 последнее уравнение было объектом исследования работы [23], при |6| < 1, х > 0 оно рассматривалось в работе [17].

Исследованию уравнения (1) при Ь = 0, 0 < а < 2, а также его обобщениям, посвящено много работ. Приведем некоторые их них.

В работе [4] методом интегральных преобразований исследована задача Коши для уравнения

В^и(х,г) = А2 Ахи(х,г), х е кт, г> 0, (2)

где Дх = ™=1д2/дх2, п — 1 < а < п, п е N. При 0 < а ^ 1 и 1 < а < 2 решения выписаны в терминах ^-функции Фокса. Решение задачи Коши для уравнения (2) при А = 1, 0 < а ^ 1 в терминах функции Райта выписано в работе [1]. Задача Коши для уравнения (2) в случае, когда вместо оператора Римана-Лиувилля стоит оператор Капуто, была исследована в работе [3].

Для уравнения (2) при т = 1 в работе [2] исследована первая краевая задача в первом квадранте.

В работе [16] построено фундаментальное решение и исследована задача Коши для многомерного диффузионно-волнового уравнения с оператором Джрбашяна-Нерсесяна.

Исследованию задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с производной Капуто и эллиптическим оператором с коэффициентами, зависящими от пространственных переменных, посвящены работы [6], [7], [26].

Интерес к изучению уравнения (1) также вызван его приложениями при решении задач физики, астрономии и других прикладных наук [18], [29], [30].

2. Постановка задачи

Пусть 0 < а ^ 1. Регулярным решением уравнения (1) в области П будем называть функцию и = и(х, у), удовлетворяющую уравнению (1) в области П, и такую, что у1~аи е С(Й), их, ихх, ВОуи е С(П), П - замыкание области П.

Задача 1. Найти регулярное в области П решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

ИшВ О" 1и(х, у) = р(х), 0 <х< ж>, (3)

и(0,у) = 0, 0 <у<Т, (4)

где р(х) - заданная, функция.

Задача 1 при р(х) = 0, и(0, у) = т(у), у1-ат(у) е С[0,Т], была исследована в работе [20]. Представление решения выписано в терминах В-функции Фокса [14, с. 528].

3. Вспомогательные сведения

Приведем здесь некоторые сведения из теории интегральных преобразований и теории специальных функций, которые понадобятся для дальнейшего изложения работы,

В работе А,В, Пеху [15, с, 72] введено интегральное преобразование для функции у(у), заданной на положительной полуоси

те

а''1 ь(у) = у1-1 У ьЦ) ф (- а,р; - ^У-а) М, 0 <а< 1, (5)

о

где ф (р, р; г) - функция Райта, определяемая рядом [24]

2 п

ф (р,р; = -:-^ Р> — 1

п=0 гсЩ рп + р )

В случае когда р = 0, обозначается Аа'0 ь(х,у) = Аа ь(х, у). Если преобразование а''1 применяется к функции, зависящей от нескольких переменных, то в случае необходимости с помощью нижнего индекса обозначается переменная, по которой проводится преобразование, Например, Ас''1у(х,у).

Интеграл (5) будет сходиться, если функция у(у) интегрируема на любом конечном отрезке положительной полуоси и справедливы оценки

Ну)\ <сух, у ^ 0,

где А > — 1, если р = 0 и А > — 2, если р = 0, и

\у(у)\ < сехр (ку£), у ^ ж,

где е< 1/(1 — а), си к - положительные постоянные.

Приведем некоторые свойства преобразования Аа'^ [15, с, 78, с, 80, с, 83], 1°. Пусть V(у) непрерывна в точке у = 0 и дифференцируема при у > 0. Тогда,

,1-1

Иау А-'1 ь(у) = А-'1 ь'(у) + Ь(0).

В частности, справедлива формула

а 0 у

Иоау Аа ь(у) = Аа у'(у). (6)

2°. Пусть 0 ^ р ^ а и Иш И у(у) = у0 < ж. Тогда

у^о

Иш В а-1 а''1 ь(у) = ьо. (7)

у^о

3°. Если, и(у) ^ ь(у) и р ^ 0, то

А"'1 и(у) ^ А"'1 ь(у). (8)

Преобразование (5) для степенной функции и функции Райта вычисляются по формулам [15, с, 74, с, 84]

А"'11 у&-1 = уа6, 5> 0,р = 0; 6> —1,6 = 0,р = 0, (9)

1(ай + р)

Аа'1 уб-1ф (Р,6. — сур)= уаё+1-1 ф (ар, ад + р; — суар), 6 > р. (10)

В работе [22] доказана формула

г 2 1 'ад + а,а

а"'1 у 5-1 е -^ = уа6+1-1 Н¡'О

с 2 4 у

5 + р,а) 01), (* 1)

(11)

где с - постоянная, 6 = 0, ±1, ±2,..., Н™'™(г) - Н-функция Фокса [14, с, 528], [25, с, 1], [27, с. 2]. '

Для Н-функцни го (11) приведем здесь еще аспмптотпческую оценку при г ^ ж [25, с. 18], [27, с" 20]

Н

2, О 1, 2

^ + а 5, а) 0 1), (6,1)

О

ехр

— (2 — а) а 2-а г

а 1

2-а 2-а

(12)

Обозначим через где

4. Основные результаты

0(х,С, у) = А О д(х,С, у), 9(х,С, У)= 2у 6 * ^{Ту), * = —,

(13)

(14)

1и (г) - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка и, определяемая рядом [8, с. 121], [9, с. 139]

Ъ М = £

п=0

п\Г(и + п + 1) \2

(2)

и+2п

Оцепим функцию С(х,£, у). С помощью формул для функции 1и(г) [8, с, 125], [9, с, 141

й

— [г (г)]= гЧи_1(г),

(15)

й

- (г)\ = +1(г),

(16)

(г) + и 1и (г) = х 1и-1(г), (17)

(*)

Г( и+1)\2

(Й" •

из (14) при ^ 2у получим оценки

д п

дхп ' д2п

9(х,í, У)

^ соп8 t•х 213~п £213 у'13'1, * =1/2,

дх 2п

д 2п+1

g(х,C, у)

^сошt•хCУ~п~3/2, * =1/2,

дх 2п+1

д

g(х,C, У)

ду9(х,^, У)

^ С0П8^£у'п'3/2, * =1/2, ^ соп81 ■ х 2Р ^ у-3'2,

п = 0, 1, 2, ...

Применяя к последним оценкам преобразование Аа то переменной у с помощью формулы (9), в силу свойств (6) и (8), приходим к оценкам:

д п

^ " ^сош^х 213 у'аР'\ * = 1/2, (18)

дхп д2п

дх2п

д 2п+1

дх 2п+1

G(х,i, у) G(х,í, у) G(х,i, у)

^ соп81 ■ х ^ у'а (2п+1)/2'1, * = 1/2, ^ сошt ■ £У'а(2п+1)/2-1, * =1/2,

2 а

1

1

\D° G(x,C,y)\ ^ const ■ ж£2/3 у-а^-а-1. Далее, используя формулы (15)—(17), а также асимптотическую формулу [8, с, 147]

Iv (z)

■nz

[1 + 0(z-1) ], | arg zl <-

которая справедлива при больших значениях г, го (14) при > 2у получим оценки

д'

дх'

^ COnst • х

ß+n-1 ^ ß-2 у-п- 2

exp

(х - О2

^ const ■ х ß+2 £13 1 у 2 exp

4у

(х - С)2" 4у .

(19)

где п = 0,1, 2,... Применяя теперь к последним оценкам преобразование А "по переменной у с помощью формулы (11), затем воспользовавшись формулой (12), в силу свойств (6) и (8), находим оценки:

д'

дхг

G(x,C,y)

^ const ■ Рп(х, £, у) exp — а0 |ж — £| 2-а у 2

(20)

\DG(x,£,y)\ ^ const- р2(х,£, у) exp — а0 |ж — £| 2-а у 2—

где а0 = (2 — а) 2 2-а а 2-а ,

рп(х,ш = х ^ е 1 к — ei- ^

(2n-l)(l-q) q(2n-l) 1

" у 2(2 — а) 1,

п = 0,1, 2,

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть |6| < 1, р(х) Е С[0, то), ^(0) = 0 и выполнено условие

lim р(х) exp ( — рх 2—«) = 0, р< (2 — а) 2 2—« (а/Т) 2—°

Тогда функция

u(x,y) = J £1-2/3 G(x,C,y) <¿(0 dt

о

является, решением задачи 1.

(21)

Теорема 2. Существует не более одного регулярного решения задачи 1 в классе функций, удовлетворяющих условию

lim у1-а u(x,y)exp( — kx 2—^) =0 (22)

при некотором, положительном к, причем, сходимость в (22) является, равномерной на, множестве {у Е (0;Т)}.

5. Доказательство теоремы 1

Из оценок (18) и (20) при п = 0 следует существование интеграла в (21), Докажем, что функция и(х,у), определяемая равенством (21), удовлетворяет уравнению (1), Возможность перестановок знаков производных и интегралов при дифференцировании по х и взятии дробной производной по у порядка а следует из полученных выше оценок для функции G(x,£,y).

Продифференцируем равенство (21) по х, используя формулу (15) при и = ß. В результате получим

ß iß

i^u(x,y)= £1-23 ^G(x,U) <p(0 d£, ßx I ßx

z

e

а

ex

ci

где

д д

у) = Ау — д(х,С, у),

д , ^ ч ( х3^3+\ /хП х3+1£3 /хП ,__^

Умножим обе части (23) на х1-213 и продифференцируем полученное равенство по х, используя формулу (16) при V = 3 — 1. Воспользуемся затем формулой (17) при и = 3 и умножим полученное равенство на х23-1. В итоге получим

те

Вх и(х, у) = I £1-23 ВхС(х,£, у) <р(£) С (24)

о

где

ВхС(х,£, у) = А ауВх д(х,£, у), (25)

Вх 9(x, Ь у) = \1ыГ131Ту) +ЧТу)

2х3£3 (х£\ 2х3+1С3+1 т/ (х£\1 -*2±2

(2у)2 3\ 2у) (2у)3 Ч 2у Далее, из формулы (6) следует

DZu(x, у)= e-23D%yG(x,£, y)<p(Od£, (26)

где

д_ дУ

Da0yG(x,i, у) = Аау— д(х,С, у), (27)

д , . ч Г х3+2^3 (х£\ х3^3+2 (х£

(!)

= [ Ь{ ъ) + -щт и I ^

2х3^3 т {х£\ 2х3+1£3+1 . {х£М *2±;2

-Щ2- Ч *)—йт- Ч ¡а) Г " ■

Подставляя (24) и (26) в уравнение (1), видим, что оно обращается в тождество. Проверим теперь выполнимость условия (3), Из формулы (7) следует

те

ПтоВау-1и(х, у) = Ит / £1-23 д(х,{, у) <р(0 % =

У >-0 у^о

Ут J £1-23 д(х, С, у) ш - ф)] d£ + <p(x)J С1-23 д(х, С, у) dt .0 о

= lim[Jl(x, у) + J2(x, у)} .

У^0

Разбивая промежуток интегрирования на части, представим J1(x, у) в виде суммы трех слагаемых

Х-£

J1 (х,у) = J е-23д(х,£,у)Ы0 -v(x)]dt+

о

Х+£ СЮ

+ j t1-23д(х,£,у)Ы0 -v(x)]dt + J е-23д(х,£,у)Ы0 -Ф)]йЦ =

Х—£ Х+£

= Ju(x,y) + Jl2{x,y) + Ji3(x,y), где е - произвольное малое положительное число. Согласно (19), из (14) при у ^ 0 следует оценка

(х—Ё)2

| g(x,£,y) | ^ const- xß-1/2 £ß-1/2 У-1/2 е - ^. (28)

Отсюда получим, что lim J11(x,y) = lim J13(x,y) = 0.

y—ü y—ü

Обозначим через ш(е) = sup {^(x) — <^(£)|, вде £ e [x — £,x + е]. Функция ш(е) ^ 0 при £ ^ 0, так как функция <р(х) непрерывна. Тогда в силу (28) мы можем записать

X + £

Tß-1/2 Г (х-£)2

|J12(x,y)| ^ w(e) J £1/2-ß е - ^ d£.

X-

Сделав в последнем интеграле замену £ = х + 2/yt, получим

2vT

| J12 (х, у) | ^ w(e) xß-1/2 ] (х + 2//i)1/2-ß е-2 dt. (29)

_ £

2 VV

Применяя к интегралу в правой части (29) обобщенную теорему о среднем значении [19, с, 114] и используя затем оценку

£

2 W <х>

j е~t2 dt < j е~t2 dt = /к, находим lim J12(x,y) = const ■ w(e). Отсюда, в силу непрерывности функции ф(х) и произ-

y—ü

вольности выбора £, получаем lim J12(x, у) = 0.

y ^ü

Вычислим интеграл J2(x, у). Для этого воспользуемся формулой [13, с, 306]

Ь-1 -РС27 = cßP-^ г (^) F (5 + ß+ _ с2N

JC е iß (ci)di = 21+ßr(i + ß) 1F1{+ TP), (30) ü

где Rep, Re (i + ß) > 0, | arg c| < n, 1F1 (щЬ; z) - вырожденная гипергеометрическая функция. Придавая параметрам в этой формуле значения 5 = 2 — ß,p =1/(4у), с = х/(2у),

получим

" _х2

й = 1F ,( i;i + ß ^

Тогда из асимптотической формулы при z ^ то [9, с, 322]

1F1 (щ ъ- z) = Гщ) е* "а) [1 + 0(И-1)] ,а,Ь = 0, —1, —2,..., | arg z| < |, следует lim J2(х, у) = р(ж). Таким образом, lim D£-1u(x, у) = р(х).

y—ü y—ü y

Выполнимость однородного условия (4) следует из оценки (18) при п = 0 и условия ß > 0.

Заметим, что решение задачи для неоднородного уравнения

Lu(x, у) = f(x, у)

с условиями

limD 071u(x, у) = 0, 0 <х< то,

y—^ü üy

и(0, у) = т(у), 0 <у<Т, в терминах функции (13) может быть записано в виде

У У со

Ф, y) = j e-2ßGs (x,£,y - v)\=0r(v)dv-j J e-2ßG(x,U - n)№, V)d£dV, 0 0 0

где функции т(у) и f(x, у) такие, что у1-ат(у) G С[0,Т], y1-af (x, у) G (Й), f(x, у) удовле-

x

D "-1 т(у) = 0, lim у1-",f(x, у) exp l-px2 2

У^0

UmD"у1 т(у) = 0, lim у1 af (x, у) exp (-px 2М = 0,

- а

p< (2 - а)2 - ^ (а/Т) 2-« .

6. Представления решения в частных случаях

Получим из (21) представление решения задачи 1 для уравнения диффузии с операто-

3 = 1/2 ( = 0)

[9, с. 143]

-

Ч (*)--

имеем

G(x, ^ У) = Л " д^,, ^ y), g(x, ^ у) = 0]—

Тогда, учитывая другое известное равенство [15, с, 88]

(z—)2 б 4у — б 4у

пФ{-1,-z)=е 4

( x, , )

g(x,C, у) 1

(_ii_ ix-eh ii_x+А

Ф\ 2, 2; ^у ) Ф\ 2, 2; ^у )

2^У

Применяя к последнему равенству преобразование Аа то переменной у с помощью формулы (10), получим

те

u(x, y) = JG(x,£, y)p(0d£, (31)

о

где

уа-1

G(x,C, у) =

J |x-Zi\ J x + A

а

a =2.

2

Функция (31) совпадает с решением краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка, приведенным в [2].

В случае когда ц>(х) является степенной функцией координаты х, то есть ц>(х) = хи, где > 0,

те

и(х, у) = ! e+V-23G(x,i, у)(%. о

Подставляя в последний интеграл функцию G(x,£, у) из (13), меняя затем порядок интегрирования, получим

u(x, у) = Аач Мх, y),

где

СЮ

J3(x, У) = х3 е-£ I e+v-3e -Ё^

о

Интеграл в последнем равенстве вычислим по формуле (30), При 5 = 2 + и — 3, Р =1/(4у) и с = х/(2у) из нее находим

Ых,у) = х23 (4уУ2-3121р^ 1 + V/2; 1 + 3; |2) .

Найденное значение /з(ж, у) подставим в интеграл (5) при р = 0, затем сделаем в нем

= а .

СЮ

о

где

К1(т) = т3е-т 1F1 (1 + v/2; 1+ß;т) , ^(т) = т1+1У12 ф (- а, 0; - т). Интеграл в (32) вычислим с помощью метода, изложенного в [10, с, 9]. Из строки 12,2(1) § 10 [10, с, 263] базовой таблицы найдем преобразование Меллина функции е 1F1 (1 + v/2;1 + ß;r) :

r(1 + ß) r(g)r(ß - v/2 - s) о < Re s < ß — v/2 v< 2ß r(ß - v/2) T(1+ß - s) , 0 <Kes<ß v/2 v< 2ß.

Тогда, в силу свойства 1,4 § 10 [10, с, 130], образом функции 1С1(т) будет:

^--rm*r(ß-s) -<2ß-

ф(- а, 0; - )

ной выше в настоящей работе. Положив в ней ß = 0, 5 = s и используя определение (5), в

= у ,

оо

[т3-1ф (-а, 0; - T)dr = -r(^, Res > 0. J Г(а s)

о

Тогда, в силу свойства 1,4 § 10 [10, с, 130], образ второй функции К-2(т) найдем, если в

1 + /2 + ,

Щs) = J(1 + U/2 + S) ,, Res > -1 - v/2. 2K J Г(а + av/2 + а s) '

Перемножив образы К*(s), i = 1, 2, имеем

^( ) = r(1+ß) Г(1 + v/2 + s)T(ß + s)T(-v/2 - s)

(S) r(ß - v/2) Г(а + av/2 + a s)T(1 - s) ,

где - min {ß, 1 + v/2 } < Ее s < - v/2, v < 2ß.

Вычисляя теперь прообраз функции К*(s), получим значение искомого интеграла в (32)

T(1 + ß) 1 Г Г(1 + v/2 + s)T(ß + s)T(-v/2 - s) ix 2

d s

r(ß - v/2)2nij Г(а + av/2 + a s)T(1 - s) \ 4„,у '

Lioo

(4 Уу)

х

1 + v/2, 1 ), (a + a v/2, a) 4уу (1 + v/2, 1), [ß, 1), (0,1) где Lioo = (ш - ix>, ш + i<x>), - min {ß, 1 + v/2 } < ш < - v/2, v < 2ß.

r(1 + ß) „ 2,1

T(ß - v/2) 2,3

Преобразуем правую часть последнего равенства с помощью формулы [14, с, 529], [25, с- 32] ' _ . _ _ _ _ . _

ар + КАр, Ар

И нт,п Z Н Р,Ч

Ар К ,вд

ттт,п Н Р,Ч

Ьд + К Вд ,Вд

положив в ней к = — и/2, затем подставим полученное выражение в (32), В результате, обозначив через А = Г(1 + и/2)/Г(/ — у/22), приходим к функции

и(х, у) = Ахууа~1Н

а— 1 и 2, 1 2, 3

х

4у с

1, 1

а, а

1,1),(/ — и/2,1),( — и/2,1) _

которая является решением задачи 1 в случае, когда ^(х) = хv, 0 < и < 2/3.

а = 1

т, п

Н р,ч

Н

т 1 , п р 1 , -1

а,1, А1),..., [ар-1, Ар_ 1),(61, В1) б1, В1 ) ,...,( Ьд ,Вд)

а1,А1),..., (а,р_ 1,Ар_ 1)

Ь2,В2) ,...,( Ьд ,Вд)

можно записать в виде

и(х, у) = АхиН

1, 1

1, 2

х2 4у о

1,1)

/ — /2, 1 , — /2, 1

(33)

7. Доказательство теоремы 2 Пусть К (£) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, обладающая следую-

щими свойствами:

К (0 =

{

1, 0 ^ £ ^ г,

0, С ^ г + 1,

(34)

0 ^ К (£) ^ 1, |К (£)| + |К'(£)| ^ Н, где Н - постоянная, не зависящая от г.

Из (25) и (27) следует, что функция С(х,£, у), как функция переменных х и у, удовлетворяет уравнению ЬС(х,£,у) = 0, а функция С(х,^,у — г)), как функция переменных £ иг), 0 < г) < у, - сопряженному уравнению

Ь*С(х, и — п) = В? С(х, и — п) — в« с(х, и — 'П) = 0

(35)

Рассмотрим функцию

v(х, ^У — ч) = К(£) G(х, ^у — Г)).

Учитывая (35), получим

(х, ^у — п) = 2 К (0 (х, £,у — г)) + + - К (О в(х, и — 'Ц) + К(0 в(х, и — Г)).

(36)

Докажем сначала, что, если ^(х) = 0, то и(х, у) = 0 при 0 < у < 5 для достаточно мало.

области Qr = {(х, у) : 0 < х < г, 0 < у < решение однородной задачи, соответствующей задаче 1, представимо в виде

Г+1 у

и(х, У)= / С1 2^и(С, *]) ^(х,^У — ч)^ ^.

0 0

Из (34) и (36) следует, что ~L*v(х,£,у - г/) = 0, если 0 ^ £ ^ г, откуда

Г+1 У

u(x, У)= j J С1-23 u(C, V) (х, ^У - V) drj d£. о

Далее, в силу свойств функции hr (£) и оценок (20), из (36) получим

| L*v(х, £,у - rj) \ ^ const ■ Р1(х, £,у - rj) exp - a0 Ix - £\з-3 (y - rq) -Учитывая эту оценку, а также условие (22), находим

r+1 У

\u(x, у)\ ^ const Р(х,£,у, г]) exp -a0\x - 2-13(у - г])-+ к drq d

где Р(x,£,y, rj) = ^1-2ß r]"-1 P1(x,^,y - rq). При 8 < (а0/к)(2-а)/а и г ^ ж правая часть последнего неравенства стремится к пулю. Это означает, что функция u(x, у) = 0 в области Й1 = {(x, у) :0 < x < ж, 0 < у < ¿}.

Докажем, что u(x, у) = 0 для любого у > 0. Пусть t = у - 8, 8 ^ у < 28. Рассмотрим функцию w(x, t) = u(x, 8 +t). Так как u(x, у) = 0 при 0 < у < 8, то

D "yu(x, у) = D "yu(x, у) = D "tw(x, t). w( x, )

ВХ w(x, t) - D"t w(x, t) = 0, 0 < x < ж, 0 <t < 8,

условиям (22) и

limD "t-1w(x, t) = 0, 0 <x< ж, w(0, ) = 0, 0 < < .

Тогда, согласно выше доказанному, w(x, t) = 0 в области Й2 = {(x, t) : 0 < x < ж, 0 <t< $}, то есть u(x, у) = 0 в Й2 = {(x, у) : 0 < x < ж, 8 < у < 28}. Точно так же доказывается, что u(x, у) = 0 в полосах (п - 1) 8 ^у < n8, п = 3,4,... Теорема 2 доказана,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной II Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 5:1. 2000. С. 1619.

2. Геккиева С.Х. Краевая задача для, обобщенного уравнения переноса с дробной производной, в полубесконечной области // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 1:8. 2002. С. 6-8.

3. Ворошилов A.A., Килбас A.A. Задача, Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной, Капут,о // Дифференц. уравнения. 42:5. 2006. С. 599-609.

4. Ворошилов A.A., Килбас A.A. Задача, типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной, Римана-Лиувилля // Доклады Академии наук. 406:1. 2006. С. 12-16.

5. Киприянов И.А., Катрахов В.В., Ляпин В.М. О краевых задачах в областях общего вида, для, сингулярных параболических систем уравнений // Докл. АН СССР. 230:6. 1976. С. 1271-1274.

6. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка, // Дифференц. уравнения. 26:4. 1990. С. 660-670.

7. Кочубей А.Н., Эйдельман С.Д. Задача, Коши для эволюционных уравнений дробного порядка, // Доклады Академии наук. 394:2. 2004. С. 159-161.

8. Кузнецов Д.С. Специальные функции. Высшая школа, 1965. 424 с.

9. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Физматлит. 1963. 358 с.

10. Маричев О.И. Метод вычисления, интегралов от, специальных функций (теория и, таблицы формул,). Наука и техника, Мн., 1978. 312 с.

11. Нахушев A.M. Дробное исчисление и, его применение. М.: Физматлит. 2003. 272 с.

12. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. 301 с.

13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. Т. 2, М.: Наука. 1983. 752 с.

14. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. Т. 3. М.: Наука. 1986. 800 с.

15. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука. 2005. 199 с.

16. Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения // Известия РАН. Сер.'матем. 73:2. 2009.С. 41-182.

17. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. М.: Наука, Сибирское отделение. 1985. 105 с.

18. Учайкин В.В. Анизотропия, космических лучей в дробно-дифференциальных моделях аномальной диффузии // ЖЭТФ. 143:6. 2013. С. 1039-1047.

19. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II, М.: Наука. 1969. 800 с.

20. Хуштова Ф.Г. Первая краевая задача, в полуполосе для, уравнения параболического типа с оператором Бесселя, и производной Римана-Лиувилля // Матем. заметки. 99:6. 2016. С. 921 928.

21. Хуштова Ф.Г. Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии дробного порядка, // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 19:4. 2015. С. 722-735.

22. Хуштова Ф.Г. Вторая краевая задача, в полуполосе для, уравнения параболического типа с оператором Бесселя, и производной Римана-Лиувилля // Известия вузов. Математика. 7. 2017. С. 84-93.

23. О. Arena On a Singular Parabolic Equation Related to Axiallly Symmetric Heat Potentials // Annali di Mat. Рига Appl. Ser. IV, 105. 1975. P. 347-393.

24. R. Gorenflo, Y. Luchko, F. Mainardi Analytical properties and applications of the Wright function / / Fract. С ale. Appl. Anal. 2:4. 1999. P. 383-414.

25. A.A. Kilbas, M. Saigo H-Transform. Theory and Applications. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton-London-New York-Washington, D.C., 2004. 389 pp.

26. A.N. Kochubei Cauchy Problem, for Fractional Diffusion-Wave Equations with Variable Coefficients // Journal Applicable Analysis. 93:19. 2014. P. 2211-2242.

27. A.M. Mathai, R.K. Saxena, H.J. Haubold The H-Function. Theory and Applications. Springer, New York Dordrecht Heidelberg London. 2010. 268 pp.

28. R. Metzler, W.G. Glockle, T.F. Nonnenmacher Fractional model equation for anomalous diffusion 11 Phvsica A. 211. 1994. P. 13-24.

29. R. Metzler, J. Klafter The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics // Phvsica A: Math. Gen. 37. 2004. R161-R208.

30. V.V. Uchaikin Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I. HEP/Springer, Background and Theory, 2013, 385 pp.

Фатима Гидовна Хуштова,

Институт прикладной математики и автоматизации, ул. Шортанова, 89А, 360000, г. Нальчик, Россия E-mail: [email protected]