Задача Шварца для вырождающейся системы первого порядка в четырехмерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2009, том 52, №7_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956

М.Нурублоев

ЗАДАЧА ШВАРЦА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан И.К.Курбановым 24.05.2009 г.)

1. Исследование разрешимости краевых задач для вырождающихся систем дифференциальных уравнений является актуальным, так как здесь наблюдаются новые эффекты разрешимости краевых задач. Представляет интерес выяснение того, какие эффекты вызваны многомерностью системы. Для многомерных систем первого порядка характеры вырождения существенно разнообразнее, чем для систем с двумя независимыми.

В данной работе рассматривается вырождающаяся на границе не сильно эллиптическая система в четырехмерном пространстве. Выводится общее представление решения системы и исследуются задачи Шварца. Показывается, что характеры разрешимости задачи Шварца для рассматриваемой системы в зависимости от структуры области сильно отличаются.

В пространстве R4 переменных t, X, y, z рассматривается система первого порядка

вида

dw, * т тт ^ .

—- +1 divlJ = 0,-------gradих + rotV = 0,

dt dt

du5 dV тт n ^

—1 + divv = 0,---------gradu5 + rot и = 0,

dt dt

где Uj, U(u2,U3,U4), U5, V(u6,U7,u8) соответственно искомая скалярная и вектор-

функции переменных t, X, y, z, а n - натуральное число.

Характеристический определитель системы (1) имеет вид

z(t, л А Л)=(т2 + Л2+Л2 + Л2) • \j2 +1" (Л2 + А2 + А2)

Следовательно, эта система эллиптична в полупространстве t > 0, а на границе t = 0

вырождается в систему составного типа.

Система (1) при t" = 1 превращается в эллиптическую систему восьми уравнений с четырьмя независимыми переменными, рассмотренную в [1,2].

Аналогично тому, что задача Шварца восстанавливает голоморфную функцию в области по заданному на границе значению ее вещественной части, здесь задача Шварца за-

ключается в отыскании решения системы (1) по заданным на границе значениям четырех его компонентов.

Нетрудно проверить, что всякое решение системы (1) можно представить в виде:

дб дд ди до дд дя ди

ді ’ 2 дх дг ду’ 4 дг ду ді

«Эя ди до ди до

и, =--------------------, и, = —, ип =---------------, И„ =--------, (2~)

дх ду дг 5? Ы о/

где и, и, Я - произвольные гармонические функции по всем переменным, а <5(/, X, у, z) -регулярное решение уравнения

д1д п,д18 д1д д1дч л

+ ? т+тг) = 0- (3)

сА дх ду дг

2. Для системы (1) рассмотрим задачу Шварца в полупространстве

Я+4= ^,х,у,г)-Л>0,(х,у,г)еК3 в следующей постановке:

Задача 1. Найти в полупространстве /^_4 решение системы (1), удовлетворяющЕе на границе полупространства Г : ? = 0 условиям

и\\т-/\> Мб|г-/2’ ^7 |г ^3 5 ^ 8 |г /$■> (4)

где у = 1,4 - заданные непрерывно дифференцируемые функции.

Из общего представления (2) решений системы (1) следует, что для определения функции б, и, и, я краевые условия (4) приводят к задаче Неймана в полупространстве К+4 для уравнения Лапласа и уравнения (3). Решение этих задач записываются явно [3]

я + 2 гГг I .и + 2

д(і, х, у, г) = - — /Я (—)2 [(х ~ і)1 + (У ~ Ц? + (2 - #)2 + Г2

-со I

х/і(£ *7, ОсІ^СІГ]СІ^

»+2 х

ГЇЇ-----№,ч.№<1чК------

2я11! [(х-^+(у-^)2+(.-02+г]

, Л,

тии

и(1,х,у,1) = -—Ц1

2* 3,1 [(*-£)’ + (у-чУ + (г-о’- +г]‘ ’ ’

г ... /4(£7,0^<*7^

, •Д'«

1 -1-ии

0(1,X,у,2) = -—1Ц

2ж [(х_«)Ч(^-,,)Ч(г-0’-+г]

Таким образом, задача 1 для системы (1) в полупространстве Л+ всегда разрешима в классе функций, стремящихся к нулю на бесконечности, и ее решение единственно.

3. Пусть Б - область, лежащая в полупространстве / > 0, часть О границы которой лежит на поверхности ? = 0, а остальная часть границы Г лежит в полупространстве t > О и задается уравнением ( = Р(х,у,г), где Р - заданная в области С достаточно гладкая

функция. Замыкание О пересекается с замыканием Г ортогонально по гладкой замкнутой линии Ь , которая является границей плоской области О .

В ограниченной области Б задача Шварца ставится следующим образом:

Задача 2. Найти в области Б решение системы (1), удовлетворяющее условиям

*4=^ мб|х=/2, и1\ъ=и щ\ъ=и (5)

где 2 = С^Г,а - заданные достаточно гладкие функции.

Из представления (2) решений системы (1) в ограниченной области Б, удовлетворяющих условиям (5), легко увидеть, что функции Я, и, и определяются с точностью до

произвольных гармонических функций (р-(х',у,г\ регулярных в плоской области О , ТО есть:

£ = + (рх, и =их+(р2, и = и0+и3,

где Я0, и0, и0 - регулярные в области Б гармонические функции, однозначно определяемые функциями /2, /3, / из (5).

Более подробно рассмотрим вопрос о построении функции 3(1, X, у, г) . Дифференцируя уравнение (3) по / и учитывая само это уравнение, для функции и1 получаем

г52

^ ^1 _1_ ^и+1 ~дё

д и, д и, д и,

-------- н--------- н--------

ч дх2 ду2 дг2 у

дих

-п- = 0, (6)

Таким образом, для определения компонента и1(і, X, у, г) решения задачи 2 мы должны решить задачу Дирихле для уравнения (6), то есть задачу определения функции и1

из уравнения (6) с условием Щ|х —

В работе [3] доказано, что такая задача всегда разрешима и имеет единственное реше-

ние.

По известной функции и1(ґ, X, у, г), удовлетворяющей уравнению (6), построим функцию

Г

д(і,х,у,г) = ^их(т,х, у,г)с1т + ц/(х, у, г),

где Ц/{х,у,^) - произвольная функция трех переменных. Для того, чтобы функция 8{1,Х,у,г} удовлетворяла уравнению (3), должно выполняться соотношение

о=д-±+А & -1

кл Л

д щ д щ д щ ~дхГ + ~&уГ + ~д?~

СІТ + Ґ

д ц/ ц/ ц/

дх2 ду2 дг1

ди

1 Г

— Г

і

I

а

-п ди1

дт I дт

сіт + Ґ'

д2у/ д2у/ д2ц/

дх1 ду2 дг2

Ґ*2... а2... а2..Л диі

д у/ д ц/ д ц/ 1^ + ~ду2+~дг2

+ •

ді

ґ=0

то есть функция Ц/(х,у, г') должна удовлетворять соотношению

д2у/ д2у/ д2у/ ди1

дх2 ду2 дг2

= -/

<3/

ґ=О

Функция у/(х,у,г) определяется с точностью до произвольной гармонической функции /л(х,у,г) . Таким образом, компоненты и -(^,Х,у,г\ у=1,6,7,8 решения задачи 2 определяются однозначно, а компоненты и .(^,Х,у,г\ у =2,3,4,5 с точностью до градиента гармонической функции трех переменных.

Российско-Таджикский(Славянский) университет

Поступило 27.05.2009 г.

о

о

П

І

ЛИТЕРАТУРА

1. Янушаускас А.И.- Дифференц. уравнения, 1982, т.18, №4, с.699-705.

2. Нурублоев М. - Докл. АН ТаджССР, 1988, т. 31, №6, с. 360-363.

3. Янушаускас А.И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. -Вильнюс: Мокслас, 1990, 178 с.

М.Нурублоев МАСЪАЛАИ ШВАРТС БАРОИ СИСТЕМАИ ТАРТИБИ ЯКУМИ ТАНАЗЗУЛЁФТА ДАР ФАЗОИ ЧОРЧЕНАКА

Дар мак;ола барои системаи тартиби якуми таназзулёфта дар фазой чорченака масъалах,ои Швартс гузошта шуда, х,алх,ои онх,о ёфта мешаванд. Нишон дода мешавад, ки вобаста ба сохт ва шакли сох,а хдлшавандагии масъалаи Швартс гуногун мебошад.

M.Nurubloev

SCHWARTZ PROBLEM FOR THE FIRST ORDER DEGENERATE SYSTEM IN THE FOUR DIMENSION SPACE

In the paper we pose Schwartz problem for the first order degenerate system in the four dimension space and solve it. It is showed that the solvability of the Schwartz problem depends on a shape of a domain.