CC BY
19
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №4
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
Ш.Б.Халилов, Ш.Ш.Самаров*
ОБ ОДНОЙ СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ВЫРОЖДАЮЩИМСЯ СИМВОЛОМ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д. Усмановым 12.07.2006 г.)
Обычно при переходе от одного гомотопического класса к другому символ эллиптической по Петровскому системы уравнения в частных производных вырождается [1]. Задача нахождения корректно поставленных краевых задач для таких систем является актуальной.
Пусть X — (х, у, г) - точка евклидового пространства Я3 и (I, X) е Я4, кроме того,
Е4 = {(7, X) : X е Я3,0 < / < со} и Е0 — {(7, X) : X е Я3, / = 0}. Рассмотрим в ЕЛ следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных, символический определитель которой равен нулю:
д д -Аи + — (их+у +1*2) + — {и(+У2 -и/ ) = 0,
д1
дх
д
д
'х ^у
■^О + т-О, +™х -*О = 0,
ОІ
~Ал; + Іг(их ду
. С* ✓ ч 5 . ч ^
-Ам> + — (их+у +1*г) + — {ч>(-ух+и) = О, дг ді
(1)
где
д д2 | д2 ~ ді2 + дх2
ду2 дг2'
Будем говорить, что решение системы (1) является регулярным в Е4, если оно непрерывно дифференцируемо и исчезает на бесконечности, как 0{р2),р2 = х2 + у2 + г2.
Задача. Найти регулярные в Е4 решения системы (1), удовлетворяющие на границе Е0 условию
и(0,х,у,г) = /(х,у,г), (2)
где а^С2(Е0) и на бесконечности удовлетворяет условию
И^.р2-*2
■у +2 •
Теорема. Рассматриваемая задача всегда разрешима и имеет единственное решение. Доказательство. Введем матричные дифференциальные операторы
ґ „ „ „ „ \ ґ „ „ „ „ \
Б =
Р 0 Рх Р 2 Рз Ро Рі Р2 Рз
Рі -Ро -Рз Р 2 , £> = Рі -Ро Рз -Р
Р 2 Рз -Ро Р\ Р 2 -Рз Ро Рі
Рз -Р2 Рі Ро / \Р 3 Р2 -Рі Ро
2
2
2
д д
ГДЄ Р0 = —, Рі=—: ОТ ох
Так как
Р2
ду’ дг
0 0 0
0 -2рз 2Р2
2Рз 0 ~2Р-
-2Р2 2Рі 0
(Р - £>)£> =
0
= А,
непосредственным вычислением можно убедиться, что
^0 0 о
о ~(р1+р1) 2(р0р3+р1р2) -2(р0р2-р1р3)
0 -'КРоРг-РхРг) ~2(р1+р1) 2(Р0Р1+Р2Рз)
.0 2(р0р2 + р,р3) 2(р0р1 - р2р3) - 2(р\ +р1) у
где А - дифференциальный оператор, сопоставляющий вектору и - (и, V’, и1) левые части
уравнений системы (1).
Следовательно,
Аи = ф-Ъ)Ш = 0. (Г)
Система (1') эквивалентна системе
ш = ф, (р~Ъ)Ф = о. (Iм)
Известно [1], что все регулярные в Е4 решения системы (1'') представимы в форме
и = и0+У.
Здесь ио = (и0,у0,м?0) - произвольное регулярное в Е4 решение однородной эллиптической системы Ги - 0, и — (5, и(] \’0, и’0) с нулевой первой компонентой, которая записывается в развернутом виде
=0, -зх+Щ(+У02-м?0у= 0, -эу+уш+м;0х-и02=0, -э2+м;0(-у0х+и0у= 0,
(3)
а V - некоторое решение системы (Л - Ц)Ф = 0, где Ф = (<р, у/, %).
Известно [1], что все регулярные решения системы (3) выражаются через две регулярные в области Е4 гармонические функции р и д формулами :
■&, ^0 =Р, + Чу
3=Рі+Ях, и0 =Рх-Чі> и0 =Ру
Система (3) для вектора 170 принимает вид:
-™0у =0>
^ + ™0* ~и0, =°,
™0і-У0х+и0у=°
и отсюда
Ып
'0^Рх-Яп ^=Ру~Чг, ™0=Р:+Чу, где гармонические функции р и д связаны между собой соотношением р{ +дх = 0.
Система ф ~ Б <р = 0 в развернутом виде записывается следующим образом:
Ху-ц/2= О, -Хх +(р= 0, Ц/Х~(ру= 0. (5)
Пусть <р0 (I, X) является регулярным в Е4 решением уравнения
д <р0 д <р0 д <р0 А^о = —V + —т~ + —V = 0 • дх ду дг
Тогда любое регулярное в Е4 решение системы (5) представляется формулами
Фо , - д(Ро V,. ^ д(Ръ
дх ду дг
Следовательно, все регулярные в Е4 решения системы (1") представляются формулами
иЦ,Х) = <р0х+рх^(, чЦ,Х) = <р0у+ру-д2, м^,Х) = <р0г+рг+Чу, (6)
где р, + <?х = О .
С другой стороны, <р0 (7, X) при ? = 0 является регулярной гармонической функцией,
определенной на всем пространстве Я3. А такая функция тождественно равна нулю [2].
Далее рассмотрим уравнение
е2<рш+А<р0=0. (7)
Преобразования Фурье регулярных решений этого уравнения выражаются формулой
Фо(*,£7,д) = Щ,V,д)ехр[--/*], р = ^2 + п2 +д2 .
£
Отсюда видно, что при £ —> 0 , ? > 0 равномерно ф{) (7, 1], д) —» 0 и уравнение (7) превраща-
ется в уравнение Агд)0 = 0. Следовательно, ф0(^,^,т},д) = 0 при любой ¿>0 и отсюда <р0 (/, X) — 0 при t >0. Таким образом, первые слагаемые в формулах (6) исчезают и любые регулярные в Е4 решения системы (1) представляются формулами
иЦ,Х) = рх\^,Х) = ру-д2. м^,Х) = рг+ду,
где р, + <?х = О.
Преобразования Фурье регулярных в Е4 гармонических функций р и д выражаются формулами
Р = А€,ч,д)ехр[-р1Ъ ч = Щ,т?,д)ехр[-р*Ъ р = ^2 +л2 + д2, (8)
где А и В - произвольные функции с интегрируемым квадратом.
Применяя к обоим равенствам
Р1 + <7* = °, Рх~Чг=и
преобразования Фурье, получим:
р(—1ф[ = 0, —¡ф — <^=м.
Отсюда, при t - 0, с учетом формулы (8), находим:
рА + ИдВ = 0, -¡^4 + рВ -и(0,^,г/,д).
Решая эту систему алгебраических уравнений, найдем:
Д £ ч, ç) = —w (°, £ л, ç), Щ, V, я) = гР 2и(°’ £ *l’ç)
ÎJ +Ç
Г) +Ç
и
н
p(f, £ іь ç) = —і—rw(0’ £ ъ я) ехР
V +Ç р
q (t, Ç,T],ç) = —------- w( 0, £ г/, ç) exp[-pt].
ri +Ç
(9)
Следовательно,
« (?, £ V, Я) = « (0, £ V, $) ехр\~ptX. Применяя здесь обратное преобразование Фурье, получим:
. ч ! хги(0,£,п,С)ёЫг/(1С
и(?,х,у,г) = ~ — ,ь’ ЬЪ) ь ' ъ
2я"
(t2 + r2)2
(10)
где
г = 4(х-%? +(.У~Г!)2 +(z-f)2.
Таким образом, функция u(t,X) полностью определена. Остается определить функции v(t,X) и w(t,X). С этой целью равенства (9) перепишем следующим образом:
(Л2 +G2)Ku€,V,Q = -i@(f,Z,ri,0, (v2 +£2)q(t,£,v,Q = pu(t,£,ri,0. (S')
Далее, снова применяя обратное преобразование Фурье, получим:
и отсюда как решение уравнения Пуассона имеем:
p(t,X) = wi(t,x)--------f \ux(t,x,ri,Q\n
УІІУ-Ч)2-
^ GO СО
q(t, X) = w2 (t, jc) H— I* fut (t, x, tj, Ç) In
ТГ » •*
2+(z-02 1
rdrjdÇ,
dijdC-,
71<J(y-rj)2+(z-C)2
где w1 (t, x), w2 (t, x) - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые в D функции. Теперь найденные значения гармонических функций p(t, X) и q(t, X) подставляем в выражения для функций v(t, X) и w(t, X). В результате чего имеем:
Ґ л 2 ¿s2 Л со со
*t,X) = ~
Я
w(t, Х) = —— я
1
— J-tl ^y-vf+iz-O2
дудх ôtôz
f ^2 ^2 ^ со со
J fu(t,x,?/, Ç)\n.
dxdz dtdy
■dijdÇ,
d2
d2
1
ЛІІУ-Ї7)2 + 0-0
г drjdÇ.
Таким образом, компоненты v(t, X ), w(t, X ) решения системы (1) выражаются через гармоническую функцию u(t, X), которая является решением задачи Дирихле для уравнения
2
Лапласа в полупространстве и такая функция определяется единственным образом. Тем самым, утверждение теоремы полностью доказано.
Институт математики Поступило 12.07.2006 г.
АН Республики Таджикистан,
Н«
Таджикский технический университет им. М.С.Осими
ЛИТЕРАТУРА
1. Янушаукас А. Методы потенциала в теории эллиптических уравнений. - Вильнюс: Москлас, 1990, 261 с.
2. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1966, 444 с.
Ш.Б.Халилов, Ш.Ш.Самаров ОИД БА ЯК СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛЙ БО Х,ОСИЛАХ,ОИ ХУСУСЙ, КИ РАМЗАШ ИНЦИРОЗ ЁФТААСТ
Дар макола як масъалаи канорй барои як системаи муодилах,ои дифференсиалй, ки рамзаш инкироз ёфтааст, дида баромада шудааст. Ягонагии хдлли масъала исбот карда шуда, дар намуди ошкор навишта шудааст.
Sh.B.Khalilov, Sh.Sh.Samarov ON THE SYSTEM OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION THE SYMBOL OF WICK IS GENERATED
In the article considered one regional problem for system of the differential equations second order which the symbol degenerate. Provided uniqueness of solution problem and one write in obvious rind.
