ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА СОБОЛЕВА С ОТНОСИТЕЛЬНО σ-ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА СОБОЛЕВА С ОТНОСИТЕЛЬНО ^-ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ

А. А, Ефремов

Челябинский государственный университет

Рассмотрена задача оптимального управления для вырожденного линейного уравнения типа Соболева Ы — Мх + у в гильбертовых пространствах с (Ь, (г)-ограниченным оператором М. Доказано существование и единственность решения задачи. Приведен конечномерный пример, иллюстрирующий абстрактные результаты.

Пусть Л' и У - банаховы пространства, оператор Ь £ С(Х\ У). а оператор М ■ (1отМ —> У линеен и замкнут, причем йотМ — X Ставится и исследуется задача оптимального управления для линейного неоднородного операторного уравнения типа Соболева [1]

1х = Мх -)- у, (1)

где у : [ОД'] —» У — некоторая функция, подлежащая дальнейшему определению.

Нас интересует задача оптимального управления для уравнения (1) в случае, когда оператор Ь необратим, в частности, когда кег Ь ф {0}.

Все рассмотрения проводятся в вещественных банаховых пространствах, но при упоминании "спектральных" вопросов используется их естественная комплексификация; все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки" и ограничивают области, лежащие слева при таком движении, символами О и I обозначены соответственно нулевой и единичный операторы, области определения которых ясны из контекста.

1. Относительно спектрально ограниченные {<о операторы

Введем в рассмотрение ¿-резольвентное множество /(М) = {/) 6 С . {цЬ - М)-' 6 АУ;*)} и ¿-спектр аь{М) = С \ рь(М) оператора М..

Определение 1. [2] Оператор М называется спектрально ограниченным относительно оператора Ь (или просто (£, (т)-ограниченным), если

За 6 К+ Ур 6 С > а) => (р Ь /(М)).

56

А. А. ЕФРЕМОВ

Пусть оператор M (L, <г)-ограничен. Рассмотрим замкнутый контур Г С С, ограничивающий область, содержащую crL(M). Имеют смысл интегралы типа Ф. Рисса

где R^(M) = (ßL - M)~XL — правая, a L^(M) = L(\iL - М)~х — левая L-резольвенты оператора M.

Лемма 1. [3] Пусть оператор M (Ь,а)-ограничен. Тогда операторы Р : X —» X, Q :У У — проекторы.

Положим kerP = Л"0, imP = Xх, ker<5 = У0, imQ = У1. Обозначим через Lk (Mk) сужение оператора L (M) на Xk (domM П Хк) к=0,1.

Теорема 1. Пусть onepamp M (L¡^-ограничен. Тогда

(i) L0 :Xk -* Ук, МК : domM П Хк -*ук,к = 0,1,-

(ii) существует оператор М$х 6 Л'°);

(iii) существует оператор ¿¡~1 G £(У] ; Л'1);

(iv) оператор M1 G С{Хх\Ух).

Доказательство. Первое утверждение (i) следует из очевидного соотношения LP = QL. Второе утверждение (i) имеет место в силу замкнутости оператора M и соотношения LLt(M)Mu = MR^(M)u Vu £ domM, которое вытекает из очевидных равенств

{¡iL - M)~X{\L - M) — I + (А — n)R^(M),

(XL - М)(цЬ - M)~x = 1+ (А - ß)L^(M).

(ii) Оператор Mравен сужению оператора

-Ы^'Т

на подпространство

(iii) Оператор L^x равен сужению оператора

-¿-J^L-M)-^

на подпространство У1.

(iv) Как нетрудно заметить, imP С domM. Отсюда М\ G С(Хх\Ух). Теорема доказана.

Теперь предположим, что выполнено

Х° = X, Xх = 0, у0 = У, У1 -0 (3)

(условие вырожденности). Тогда Р = О, Q = О, М0-1 = М~х.

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Б7

Следствие 1. [4, 5] В условиях теоремы 1 с учетом (3) а 1(М) = 0

Положим К — М"11 В силу теоремы 1, следствия 1 и условия (3) оператор Д € причем спектр а(Я) — {0}. Поэтому возможно следующее разложение

оо

(ц1- М)"1 = -^Г/Я^Л/-1 к=о

при любых Р £ рЬ(М).

Определение 2 Точка оо называется устранимой особой точкой, полюсом порядка р £ N, существенно особой точкой Ь-резольвенты (рЬ — М)-1 оператора М, если соответственно Я = 0; 11р ф 0 и Ир+1 = 0, № ф 0 Уд £ N.

замечание 1 В дальнейшем случаи "устранимая особая точка" и "полюс порядкар" будут объединены в случай "несущественная особая точка".

2. Разрешимость задачи Коши

Пусть Хо £ X — некоторый фиксированный вектор. Рассмотрим задачу Коши

*(0) = „„ (4)

для уравнения (1), где вектор-функцию у [0,т] -+ У по-прежнему считаем подлежащей дальнейшему определению Решением задачи (1),(4) назовем вектор-функцию х £ С'1((0, г), X) П С([0, г], /V), удовлетворяющую уравнению (1) и условию (4)

Пусть оператор М (Ь, г)-ограничеи и выполнено (3) Тогда задача (1), (4) в силу теоремы 1 примет вид

Их = хЛ у\ 1(0) = х0> (5)

где Я - М~1 Ь £ С(Х), у0 = М~1у Рассмотрим эту задачу.

Теорема 2 Пусть оператор М (Ь,сг)-ограничен, а вектор-функция у0 £ Ср([0, т],У) П Ср+1((0, г); У), при этом оо — несущественная особая точка Ь резольвенты оператора М, и выполнено (3). Тогда если

«0 =(6)

,=о

то существует единственное решение задачи (5), имеющее вид

*(0 = -£й,»0(?)( 0- (п

4=0

где число р характеризует особенность Ь-резольвенты оператора М в точке оо.

Доказательство. Подставив (7) в уравнение (5), убедимся в истинности утверждения теоремы.

58

А. А. ЕФРЕМОВ

Следствие 2. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, причем оо — несущественная особая точка Ь-резольвенты оператора М и выполнено (3), а вектор-функция у € Ср([0, т]-,У) Л Ср+1((0, г); >'). Тогда при любом

р

хо £ Му = {х € X : х = - ]Г Й'М"У?)(0)}

,=о

существует единственное решение задачи (1), (4), имеющее вид

р

ч±'о

Замечание 2. Множество Му есть формализация условия (6).

В дальнейшем для простоты ограничимся случаем гильбертовых пространств X и У Построим пространства

Н\Х) = {х £ ¿2(0, т,Х)-х£ ¿2(0, т;Х)}, Нр+1(У) -{?/£ ¿2(0, е ¿2(0, г,У)}, Ре{о}1Ш

Вектор-функцию х £ Н1(Х) назовем решением задачи (1), (4), если она удовлетворяет уравнению (1) и условию (4) Поскольку Н1(Х) <-+ С([0, г], X) в силу теоремы 3.1 [6, гл 1], то такое определение корректно По этой же причине является корректным определение множества Му Уу £ НР+1(У). Формулой

р

= -^Г/гигУ*'^) (9)

введем в рассмотрение линейный оператор А • НР+1(У) —► Н1(Х).

Лемма 2. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен и выполнено (3) Тогда

А££.(Н"^(УУ,Н](Х)). Доказательство очевидно вытекает из конструкции (9)

Теорема 3. Пусть оператор М (Ь,а)-ограничен и выполнено (3), причем оо — несущественная особая точка Ь-резольвенты оператора М. Тогда при любых у £ НР+1(У) и хо £ Му существует единственное решение х £ Н1 (X) задачи (1), (4), имеющее вид

х(1) = Ау(Ц

(10)

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

59

Доказательство. Формула (10) следует из (8) Включение х £ Н1(Х) следует из леммы 2

Замечание 3 Утверждение теоремы 3 верно в случае, когда Л' и У — рефлексивные банаховы пространства.

3. Задача оптимального управления

Пусть заданы гильбертово пространство Ы и оператор В £ С(К, У) Введем в рассмотрение пространство управлений оР+1

Н (И){ие Ь2(0,т,и) е12(0,г1г/))«^(0) = 0,д = 011. ,р},

р€{0}им

О р+:

В силу теоремы 3 1 [6, гл 1] пространство Н (И) — гильбертово со скалярным произведением

v ¡.т

[ti.t/l-V/ <ub\vM>udt.

оР+1 оР+1

Выделим в пространстве Н (14) замкнутое и выпуклое подмножество (II) — множество допустимых управлений

Пусть далее Н — некоторое гильбертово пространство наблюдений, а оператор С £ С(Х,К) задает наблюдение ¿(1) — Сх(1) Заметим, что если х £ Н1(Х), то г £ //'(?{)■ Наконец, зададим самосопряженные и положительно опоеделенные операторы £ Г(Ы),1] = 0,1, ,р -+ 1

Нашей целью является докаштельство существования единственного упра-оР+1

вления г> £Нэ (")> минимю рующего функционал качества

Л«) = £ Г Il*(,)W - Aa\t)fndt + Е f < Nqu^(t),u^(t) >u dt уравнения

Lr = Mx + у Bu (1

о P + !

Вектор-функция v £Hg (U) чакая, чго

J(v) — min f(u),

о p+l

«еяв (w)

называется оптимальным управлением.

оР+1

По теореме 3 при любых у £ Нг+ (У), х0 £ Му и и £}{ (14) существует единственное решение х £ Hl(X) задачи (4), (11), имеющее вид

x(t)А(у + Bu)(t) (12)

Фиксируем в (12) у = y(t) и рассмотрим (12) как отображение

D.u-*x(u). (13)

60

А. А. ЕФРЕМОВ

Лемма 3. Пусть оператор М (Ь, <т)-ограничен, выполнено (3), у £ НР+1(У)

оР + 1

фиксировано. Тогда отображение О -.На (¿0 —* II {X), определенное формулой (13), непрерывно.

оР+1

Доказательство. Очевидно, В £ £(Нд (Ю> Нр (У))- Поэтому утверждение леммы следует из (12) и леммы 2.

Пользуясь (13), перепишем функционал качества в виде

3(и) = ||Сгг(и) - го||я'(*) + К «],

где гД»>(<) = 0,1,...,р+ 1. Отсюда

/(«) = тг(«, и) - 2А(«) + \\г0 - С«(0)||^чи),

где

ж(и, и) -= \\С(х(и) - г(0))|&1(7О + [V, V]

о Р+1

— билинейная непрерывная коэрцитивная форма на Я (¿0, а

А(и) =< г0 - С®(0),С(х(«) - х(0)) >я'(Я)

о Р+'

— линейная непрерывная на Н (¿/) форма. Значит, выполнены условия теоремы 1.1 [7, гл. 1]. Поэтому справедлива

Теорема 4. Пусть оператор М (I, (т)-ограничен и выполнено (3), причем оо — несущественная особая точка Ь-резольвенты оператора М. Тогда при любых у £ НР+1(У) и 1о £ Му существует единственное оптимальное у/гра-0 Р+1

влениеь£Но {Щ-

4. Пример

Рассмотрим уравнение

Ьх — Мх + у

в пространствах X = У = К", где операторы Ь определяются соотношениями

X У и М : X

(0 1 0 . . 0 0 0 ^ / 1 0 0 . . 0 0

0 0 1 . . 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0

0 0 0 . . 0 0 0 0 0 1 . . 0 0 0

м =

0 0 0 . . 0 1 0 0 0 0 . . 1 0 0

0 0 0 . . 0 0 1 0 0 0 . . 0 1 0

V 0 0 0 . . 0 0 0 \ 0 0 0 . . 0 0 1 /

У

Очевидно, что операторы Ь,М £ С(Х;У), II управление решениями задачи Коши-Дирихле

где ЙСЙ"

*(«,о) = ж0(«),«ей; Ф,о = о,(в,<)6аох в.,

ограниченная область с границей д£1 класса С00

(14)

>н

Ь. Рассмотрим оптимальное

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

61

С учетом (14) ¿-резольвента оператора М примет вид

/ -1 -ц -/i2 О -1 -р 0 0-1

~рп~3 -я""2 \

—рп~3 -рп~2

-рп~5 -рп~4 -у/1"3

{jiL - М)~

ООО ОНО

\ о о о

-1 • -р -/<2

0 -1 ~р 0 0 -1 /

Отсюда следует <т1(М) — оо. Поэтому справедлива

ЛЕММА 4. Ойератор М (14) (Ь, сг)-ограничен, причем оо — несущественная особая точка Ь-резольвенты оператора М порядка п — 1.

Теперь пусть вектор-функция у 6 НП(У). Тогда множество Му в данном случае примет следующий вид:

В качестве пространства управлений возьмем пространство # (У) (т.е. положим 6 = 1). В силу теоремы 4 справедлива

Теорема 5. При любых у £ НП(У) и то € Му существует единственное упра-0 »

вление V €//у (У), минимизирующее функционал качества

П~ ! + 1

My - {х = (xu...,xn) е А': xt ~ - ]Г Ук^1-}j(0), г = 1,гг}.

J (и) = ||г - г0||^1(л.) + |М1н.(У)

для уравнения

Li — Мх + у + it

с L, М, определенными в (14)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] СвИРИДЮК Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного уравнения типа Соболева // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23. № 12. С. 21692171.

А. В. КЕЛЛЕР

2] СвИРИДЮК Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв. РАН, Сер. Математ. 1993. Т. 57 № 3. С. 192-207.

3] СВИРИДЮК Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН. 1991. Т. 318. № 4. С. 828 831.

4] СвИРИДЮК Г. А. К общей теории полугрупп операторов // УМН. 1904. Т. 49, № 4 С. 47-74.

5] СвиридюК Г. А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах. Дис.... д-р. физ.-мат. наук. Челябинск, 1992 213 с.

6] Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения М.: Мир, 1971. 317 с.

7] Лионе Ж -Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными М.: Мир, 1972. 414 с.

8] ТРИБЕЛЬ X Теория интерполяции Функциональные пространства. Дифференциальные операторы М.: Мир, 1980. 664 с.