CC BY
25
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛУТРАЕКТОРИИ ОДНОГО КЛАССА ПОЛУЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА
Т.Г. Сукачева*
Новгородский государственный университет
Светлой памяти Анатолия Петровича Осколкова посвящается
На основе теории относительно р-секториальных операторов и полугрупп операторов с ядрами установлено существование квазистационарных полутраекто-рий операторного дифференциального уравнения вида Ь й = М и + Р(и), кег Ь ф {0}. Абстрактные результаты иллюстрированы задачей Коши - Дирихле для гибрида системы Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека — Буссинеска, моделирующего термоконвекцию несжимаемой вязкоупругой жидкости.
Ключевые слова: эволюционное уравнение, метод фазового пространства, относительно р-секториальные операторы, относительная резольвента.
Введение
Как известно [1], концепция секториального оператора оказалась чрезвычайно полезной при построении качественной теории уравнений вида
й = Б и + О (и) . (0-1)
Здесь Б : с!от5' —> Ы — линейный, замкнутый, плотно определенный в некотором банаховом пространстве 14, секториальный [1, п. 1.3] оператор, а О : с!отСг —> Ы — нелинейный, вообще говоря, оператор, в каком-то смысле подчиненный оператору 5'.
Поскольку секториальный оператор является генератором аналитической полугруппы {11г : £ € К+ }, К+ = {0} и 1К+ разрешающих операторов уравнения
й = Б и , (0-2)
то задачу Коши
и(0) = и0 (0-3)
для уравнения (0.1) удается редуцировать к интегральному уравнению
и(р) = иги0 + [ иг~!!С(и(8))с18 . (0-4)
Jo
* Работа выполнена при поддержке Международного научного фонда Дж.Сороса (грант КЭЕР с197-756).
Благодаря условиям на оператор С, уравнение (0.4) удается решить методом последовательных приближений, причем оказывается, что полученное решение является решением задачи (0.3), (0.1) [1, гл. 3]. Теперь пусть Ы и Т — банаховы пространства, оператор Ь 6 С(Ы] Р), т.е. линеен и непрерывен, оператор М : с!от М —> Ы линеен, замкнут и плотно определен в Ы, а оператор Р : с!от^ —> Р, вообще говоря, нелинейный и в дальнейшем будет уточнен. Рассмотрим задачу (0.3) для полулинейного уравнения соболевского типа
Ьй = Ми + -Р(и) . (0-5)
(В [2; 3] и многих других работах уравнения вида (0.5) названы уранениями типа Соболева). Если существует оператор Ь~1 6 £{Р] И), то уравнение (0.5) тривиально редуцируется к уравнению (0.1) и потому разрешимость задачи (0.3), (0.5) в случае секториальности оператора Ь~ХМ может быть изучена сходным образом.
Мы будем исследовать разрешимость задачи (0.3), (0.5) в случае необратимости оператора Ь, в частности когда его ядро кег Ь ф {0}. Основным инструментом при исследовании нам послужит понятие относительно р-секториального оператора, которое совпадает с понятием секториального оператора в случае Ь~1 6 £{Р] И). Отметим, что понятие относительно секториального оператора впервые введено в [4], затем уточнено в [5] и развито до понятия относительно р-секториального оператора в [6; 7]. Это понятие охватывает весьма широкий класс операторов, в частности в этот класс входят относительно спектрально ограниченные операторы [8] в случае, когда бесконечно удаленная точка является несущественной особой точкой относительной резольвенты (цЬ — М)~1, а также секториальные операторы.
Итак, пусть оператор М р-секториален относительно оператора Ь. Тогда, как показано в [6; 7], существует аналитическая полугруппа {11г : £ 6 К+ } разрешающих операторов уравнения
Ь й = М и . (0-6)
Однако поскольку ядро этой полугруппы Ы° ф {0} , то уравнение (0.5) не удается редуцировать к эквивалентному уравнению вида (0.4). Для преодоления этого мы воспользуемся методом фазового пространства, основы которого заложены в [9; 10], а затем метод был развит в [11; 12].
Данный метод аналогичен методу Ляпунова - Шмидта для стационарного (т.е. Ьй = 0 ) уравнения (0.5).
Согласно классификации [10], уравнение (0.5) следует отнести к эволюционным уравнениям, поэтому необходимо заметить, что наши результаты лежат в “прямом дополнении” к результатам работ [9; 13], поскольку
здесь не налагается условие монотонности на оператор М + Необходимо еще отметить работы [14 - 17], которые близки к данной работе по объекту исследования, но решительно отличаются подходами и результатами. Приведенные здесь результаты идейно близки к результатам в [18] и являются непосредственным продолжением и развитием результатов работ [19; 20].
Охарактеризуем содержание работы. В первом параграфе содержится сводка результатов теории относительно р-секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов с ядрами, необходимых нам в дальнейшем. Во втором параграфе устанавливаются необходимые и достаточные условия существования квазистационарных полутраекторий уравнения (0.5). В третьем параграфе приведена конкретная интерпретация абстрактной схемы, изложенной во втором параграфе.
В заключение условимся о следующем. Все рассмотрения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении “спектральных” вопросов вводится их естественная комплексификация. Символы I и О обозначают соответственно “единичный” и “нулевой” операторы, области определения которых поясняются в контексте. Символ со1 (а1, <22,... , ап) обозначает колонку координат некоторого вектора. Символы <1 и О лежат в начале и конце доказательств соответственно.
1. Относительно р-секториальные операторы и аналитические
полугруппы с ядрами
Введем в рассмотрение L-резольвентное множество pL(M) = {р Є С : (pL — М)-1 Є U)} и L-спектр aL(M) = С \ pL(M) оператора М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Оператор М называется (L, р)-векториальным, если существуют константы а Є К., к Є IR+, О Є и многочлен Р(р)
степени не выше р Є {0} U N такие, что
(i) S£i0(M) = {р Є С : I arg (р -а) | < О , рфа) С рь(М) ;
(ІІ) шах{ II Rt,p)(M) I\c(U) , II Lt,P)(M) Ікл } < j-p_o ц _ а|
при любых p,p0,pi,...,fip Є S^a(M). Здесь R^,p)(M) = Иpq=0R^q(M) и = n^_0L^(M) — соответственно правая и левая (L, ^-резольвенты оператора М, R^{M) = (pL — M)~lL и L^(M) = L(pL — M)~l.
Пусть рь(М) ф 0, тогда однородное уравнение (0.6) тривиально редуцируется к паре эквивалентных ему уравнений
П^(М)й = (аЬ — М)~1Ми , £^(М)/ = М(аЬ — М)-1/, (1.1)
где точка а е рь(М).
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть оператор М (Ь, р)-секториален. Тогда существуют аналитические равномерно ограниченные разрешающие полугруппы уравнений (1.1).
Пусть Г С а(М) — контур такой, что ащц —> ±0 при |д| —> +оо. Тогда искомые полугруппы задаются соответственно интегралами типа Данфорда-Тейлора
и,=^1^{м)е“,,11‘' р,=Ь!л{м),г'л^ (1-2)
где £ е 1К+.
Введем в рассмотрение ядра
и0 = {<реи :Ц*<Р = 0 Зге Е+}, ?° = {феГ:Р1ф = 0 зге Е+}
и образы
Ы1 = {и еЫ : Нт 11ги = и}, Т1 = {/ € Т : Нш F^/ = /}
*->■0+ 4->0+
этих полугрупп. Обозначим через (М^) сужение оператора Ь (М) на 1Ак (Ык П с!от М) , к = 0,1.
ТЕОРЕМА 1.2.Пусть оператор М (Ь, р)-секториален. Тогда
(1) Ы°+и1 = И0 ф и1, Т°+Т1 = ф Т1 ;
(и) : Ык —V Тк, Мк : Ык П с!от М —> Тк , к = 0,1;
(ш) существует оператор М^1 е £(Т°; 1А°).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Упорядоченное множество ^2, ■ ■ ■ } СЫ назовем цепочкой М-присоединенных векторов собственного вектора <~Ро е кег Ь \ {0}, если
Ьрд+1=Мрд, д = 0,1,...; срд £ кегЬ \ {0}, д=1,2,....
Цепочка может быть бесконечной (в частности, она может быть заполнена нулями, если сро е кег Ь П кегМ \ {0}), но она обязательно конечна, если существует вектор срр такой, что либо срр с!от М, либо Мсрр т Ь.
Мощность конечной цепочки назовем ее длиной. Объединение всех векторов ядра и всех М-присоединенных векторов оператора L называется М-корневым линеалом оператора L. Если М-корневой линеал замкнут, то он называется М-корневым пространством оператора L .
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть оператор М (L, р)-секториален. Тогда
(I) если р > 0, то Ы° — М-корневое пространство оператора L;
(II) если р = 0, то Ы° = ker L.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Оператор М называется сильно (L, р)-секто-риалъным, если он (L,р)-секториален и при всех р, ро,..., рр Є <S@ а{М)
(і) II MRIJM) („X - М )-/||„ < і. _ _ а|
при всех / из некоторого плотного в Т линеала;
const
m II <"£ - н£<™> * |,-.|п£к-г
Замечание 1.1. Если р = 0, то (Ь,р)- и сильно (Ь, р)-секториаль-ный оператор М называется соответственно Ь- и сильно Ь-секториальным [6].
ТЕОРЕМА 1.4. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-секториален. Тогда
(і) и = и°®и\ Т = Т°фТ1 ;
(ІІ) существует оператор Ь~[1 Є С(Т1', Ы1).
Положим 5 = Ь^Мі, К = М~гЬ0.
СЛЕДСТВИЕ 1.1. В условиях теоремы 1.4 оператор Б секториа-
лен.
Из теоремы 1.4 вытекает существование проекторов Р Є С,{Ы) (= Ь(11',и)) и <3 Є £(3~), расщепляющих пространства Ы и Т требуемым образом. Обозначим через Ым линеал сіот М, снабженный нормой графика ||| • ||| = ||М ■ \\р + || • \\и.
СЛЕДСТВИЕ 1.2. В условиях теоремы 1.4 проектор Р Є С(Ым)-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Оператор М называется (Ь, а)-ограниченным, если За > 0 Уд Є С (\р\ > а) => (р Є рь{М)) .
ТЕОРЕМА 1.5. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда
(I) оператор М\ Є С(И1ш, Т1);
(II) при любых ц Є С, \р\ > а
{рЬ-Му1 = -^?іікїїкМй1{І-СЇ) + Т1?^Зк-1Ьї1СЇ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Точка оо называется несущественной особой точкой Ь-резольвенты оператора М, если оператор і? нильпотентен.
СЛЕДСТВИЕ 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.5 и сю — несущественная особая точка Ь-резольвенты оператора М. Тогда оператор М сильно (Ь, р)-секториален, где р — степень нильпотентности оператора і?. В дальнейшем степень нильпотентности оператора і? назовем порядком несущественной особой точки в бесконечности.
СЛЕДСТВИЕ 1.4. В условиях следствия 1.3 аналитические разрешающие полугруппы уравнений (1.1) аналитически продолжимы до разрешающих групп.
Теперь пусть И к и Тк — банаховы пространства, операторы Ак Є С(Ык, 3~к), а операторы Вк : <1отВк —> Т линейны и замкнуты с областями определений АотВк, плотными в Ык, к = 1,2. Построим пространства Ы = Ы\ X ІІ2 , Т = Т\ X 2 и операторы Т — А\ (х) А2 , ]\Т — В\ (х) В2.
По построению оператор Ь Є £(Ы', -Т7), а оператор М : сІотМ —> Т линеен, замкнут и плотно определен, сІотМ = <іот_Ві X с1от_В2-
ТЕОРЕМА 1.6. Пусть операторы Вк сильно (Ак, рк)-секториальны, к = 1,2; причем рі > р2- Тогда оператор М сильно (Ь, рі)-секториален.
2. Квазистационарные полутраектории и нормальные формы
Обратимся к исследованию разрешимости задачи (0.3), (0.5). Пусть оператор і7 Є С°°(Ым', 3~). Локальным решением (далее просто решением) задачи (0.3), (0.5) называется вектор-функция и Є С°°((0, Т)]Ым), Удовлетворяющая уравнению (0.5) и такая, что и(£) —> щ при £ —> 0 + .
Мы будем рассматривать задачу (0.3), (0.5) в случае, когда оператор М сильно (Ь, р)-секториален. Чтобы лучше осознать трудности, которые нам предстоит преодолеть, рассмотрим тривиальный
ПРИМЕР 2.1. Пусть Ым = Ы = Т = Ш2, а операторы L,MиF заданы формулами
Оператор М сильно (L, 1)-секториален, поскольку
(fiL - М)-1 = Ri(M) = ЬЦМ) = (I -J).
Задача ж(0) = 0, где х = col (xi,x2) для уравнения (0.5) кроме тривиального решения col (0,0) имеет еще одно решение col (t/2,t2/4).
Итак, решение задачи (0.3), (0.5) может быть не единственным. Поэтому сузим понятие решения уравнения (0.5).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть пространство U расщепляется в прямую сумму U =ЫоФ Ы\ так, чтобы kerL С Uq. Решение и = v-\-w, где v(t) G Uq , a w(t) G Ы\ при всех t G (0, Г), уравнения (0.5) назовем квазистационарной полутраекторией, если Lv = 0.
Замечание 2.1. В динамическом случае введенное понятие совпадает с понятием квазистационарной траектории (см. определение 2.2 и примечание в [19]).
Далее, поскольку оператор М сильно (L, р)-секториален, то в свете теорем 1.2 и 1.4 задачу (0.3), (0.5) можно редуцировать к эквивалентной форме
Ru° = u° + G(u), и°(0) = и?,,
(2.1)
й1 = Su1 + Н(и), и:(0) = Uq,
где uk G Ык, к = 0,1, и = и0 + и1, Д = M0"1L0, S' = L^Mi, G =
= M0-1(/-g)F, H = L~lQF.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Систему уравнений (2.1) назовем нормальной формой уравнения (0.5). Замечание 2.2. В случае, когда оператор М сильно L-секториален, нормальная форма уравнения (0.5) имеет вид (5.1) в [20].
В дальнейшем ограничимся изучением таких квазистационарных полу-траекторий уравнения (2.1), для которых Ru° = 0. Для этого предположим, что оператор R — бирасщепляющий [21], т.е. его ядро keri? и образ im R дополняемы в пространстве 1А. Положим^00 = keri?, а через U01 = U°QL/00 обозначим некоторое дополнение к подпространству U00. Первое уравнение нормальной формы (2.1) редуцируется к виду
Ru01 = и00 + и01 + G(u), где и = и00 + и01 + и1 . (2-2)
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть оператор М сильно (L, р)-секториален, а оператор R — бирасщепляющий. Пусть существует квазистационарная полу-траектория и = u(t) уравнения (0.5). Тогда она удовлетворяет соотношениям
0 = и00 + и01 + G(u) , и01 = const. (2-3)
<1 Первое соотношение вытекает из (2.2) в силу требования квазистационарности Ru° = Ru01 = 0. Второе соотношение вытекает из тождества Rii01 = 0, ибо в силу теоремы Банаха сужение оператора QrR(I — Pr) на U01 есть непрерывно обратимый оператор. Здесь Qr и Pr — проекторы на im R и keri? соответственно, ker Pr = U01. t>
Замечание 2.3. Второе соотношение в (2.3) поясняет смысл термина “квазистационарные полутраектории”, т.е. это такие полутраектории,
которые “стационарны по некоторым переменным”. Другими словами, ква-зистационарная полутраектория обязательно лежит в некоторой плоскости (I — Pr)u° = const.
Теорема 2.1 устанавливает необходимые условия существования ква-зистационарной полутраектории уравнения (0.5). Перейдем к рассмотрению достаточных условий. Для этого напомним, что в силу следствия 1.1 оператор S секториален. Значит, он порождает на К1 аналитическую полугруппу, которую мы обозначим через {U\ : t > 0}, так как в действительности оператор U\ есть сужение оператора Uf и&К1. Кроме того, в силу следствия 1.2 пространство Км расщепляется в прямую сумму Км = Км фКм так, что вложение Км С Кк, к = 0,1 плотно и непрерывно. И наконец, всюду далее через A'v обозначена производная Фреше в точке v £ V оператора А, определенного на некотором банаховом пространстве V.
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть оператор М сильно (L, р)-секториален, оператор R — бирасщепляющий, а оператор F £ С00 (Км] F) ■ Пусть
(i) в некоторой окрестности Оио С Км точки щ выполнено соотношение
0 = Mq1 + (/ — Pr)G(u00 + Mq1 + и1); (2.4)
(ii) проектор Pr £ С(К*м) и оператор I + PrG' 0 : Км —> Км —
U0
топлинейный изоморфизм (Км = Км П К00);
(iii) для аналитической полугруппы {U\ : t > 0} выполнено соотношение
JQ \\ul\\c(ui-,ul)dt < 00 Vr £ R+. (2.5)
Тогда существует единственное решение задачи (0.3), (0.5), являющееся
квазистационарной полутраекторией уравнения (0.5).
<|Рассмотрим окрестность Оио точки щ. В этой окрестности первое уравнение (2.1) приобретет вид
0 = uoo + PrG(uoo + u%1+U1) (2.6)
в силу условия (i). Далее, из (ii) в силу теоремы о неявной функции существуют окрестности Ои00 С Км, Ou\ С K\j точек «°° = PR(I - P)u0,ul
соответственно и отображение 8 : Оиi —> Оиоо класса С°° такое, что уравнение
и00 = Siu1) (2.7)
эквивалентно уравнению (2.6).
Теперь в силу (2.7) второе уравнение (2.1) в окрестности Оиi приобретет вид
й1 = Su1 + H(8(ur) + Uq1 + и1), (2.8)
где оператор Н((1 + <£)(•) + н^1) : Ои\ —> Ы1 принадлежит классу С°° по построению.
Для того, чтобы доказать однозначную разрешимость задачи и1(0) = Ид для уравнения (2.8), мы воспользуемся методом Соболевского— Танабэ, изложенным в [22, гл. 9]. В силу (ш) и гладкости оператора во втором слагаемом (2.8) все условия теорем 9.4, 9.6 и 9.7 в [22] выполнены. Поэтому если Ид 6 то при некотором Т 6 К+ существует единственное решение и1 = и1 (Ь), ^ £ [О, Г) уравнения (2.8) такое, что и1(Ь) —> при Ь —> 0+ в топологии и\л-
Окончательно решение задачи (0.3), (0.5) в данном случае будет иметь вид и = и1 + 8(и1) + Ид1, и это решение будет квазистационарной полутра-екторией по построению. О
Замечание 2-4• Как нетрудно видеть, для любой квазистационарной полутраектории уравнения (0.5) соотношение (2.4) непосредственно вытекает из первого уравнения (2.3).
Замечание 2.5. Условие (2.5) слишком одиозно и для “настоящих” полугрупп, имеющих оценку ||^||£^1.^1 ^ < £-1сопз1;, не выполняется. В дальнейшем мы собираемся использовать теорему 2.2 именно в такой ситуации, и потому необходимо сделать некоторые пояснения. Пусть = \Ы1',Ь(м\а, а£ [0,1] — некоторое интерполяционное пространство, построенное по оператору Б. Пусть в теореме 2.2 условие “оператор Р £
С00Т)” дополнено условием “оператор Н 6 С00^^; £/*)”, а соотношение (2.5) заменено соотношением
Тогда утверждение теоремы 2.2 не изменится. Обсуждение этого круга вопросов см. в [22, гл. 9 ].
Замечание 2.6. Пусть выполнены условия теоремы 2.2 (возможно, с изменением условия, описанным в замечании 2.5). Построим плоскость В = {и 6 Ым '■ (I — Рн){1 — Р)и = Ид1} и множество М = {и £ Ым ■ Ря((1 ~ Р)и + и)) = 0}- По условию теоремы их пересечение В П Л4 ф 0, так как содержит, по крайней мере, точку щ. Более того, существует С°°-диффеоморфизм 1 + 8, отображающий окрестность Ои 1 на некоторую окрестность Оио С В П Л4. Значит, не меняя доказательство теоремы, можно показать, что для любой точки и'0 £ Оио существует единственное решение задачи и(0) = и'0 для уравнения (0.5), являющееся квазистационарной полутраекторий. Другими словами, уравнение (0.5) порождает локальный полупоток на Оио. А это, в свою очередь, означает, что Оио является частью фазового пространства [11; 12; 20] уравнения (0.5).
(2.9)
3. Приложения
В силу следствия 1.3 все прикладные задачи, рассмотренные в [7; 11; 12; 19], могут считаться конкретными интерпретациями изложенной выше формальной схемы. Но для того, чтобы иметь более содержательный пример, мы рассмотрим начально-краевую задачу из [23], модифицировав систему уравнений сообразно рекомендациям из [24].
Итак, пусть С К” — ограниченная область с границей класса С°°. В цилиндре Гі X ІК+ рассмотрим систему уравнений
(1 - АУ2^ = - (V • - р - дув,
0 = У(У^), (3.1)
ві = эг\72в — V • V# + V • 7 ,
являющуюся гибридом системы уравнений Осколкова в модификации [24] и уравнения теплопроводности в приближении Обербека- Буссинеска. Здесь V = (иі,и2, • • • ,%)ир = ІРі,Р2, ■ ■ ■ ,Рп) — вектор-функции, юк = Ук(хД) и рк = рк(х, £), к = 1,2,... , га ; в = в(х, £) — скалярная функция; число А Є К, а числа г/, ае, д Є К+; вектор у = (0,... ,0,1) — орт в К”. Физический смысл всех величин в (3.1) см. в [23; 24].
Для системы (3.1) рассмотрим задачу Коши - Дирихле
v(ж, 0) = vo(ж), в(х, 0) = в0(х), х Є
v(ж,^) = 0, #(ж,£) = 0, (ж, і) Є X К+. ^ ^
Заметим, что система уравнений (3.1), преобразованная для случая плоскопараллельных течений, и соответствующая начально-краевая задача для нее уже рассматривались в [20]. Однако там мы ограничились случаем Ь-секториального оператора М.
Для того, чтобы редуцировать задачу (3.1), (3.2) к задаче (0.3), (0.5), мы, следуя [24], введем в рассмотрение пространства Н2, Н2, и Н^.
Здесь Н2 и — подпространства соленоидальных функций в пространО
ствах (И/22(^))П П (И/21(^))п и (£2(Г2))п соответственно, а Н2 и — их ортогональные (в смысле (Ь2(Гі))п) дополнения. Через £ обозначим орто-
О
проектор на Н^, причем его сужение на пространство (И^КГі)) П(И/21(^))п будем обозначать тем же символом. Положим П = I — £.
Формулой А = V2Еп \ Н2 0 Н2 —> 0 Н^, где Еп — единичная
матрица порядка га, зададим линейный непрерывный оператор с дискретным конечнократным спектром сг(А) С К, сгущающимся лишь на —оо. Формулой В : V —т- У(У • V) зададим линейный непрерывный сюръектив-ный оператор В : Н 2 0 Н2 ^ с ядром кег В = Н2.
Пользуясь естественным изоморфизмом прямой суммы и декартова произведения банаховых пространств, введем в рассмотрение пространства Ы\ = Н2 X Н2 X Нр и Т\ = X Ня- X Нр, где Нр = Ня-. Построим операторы
/Е(/-АА) Е(/-АА) 0\ /z/ЕА z/EA О \
Ai = П(/- А А) П(7- А А) О , Si = //ПА //ПА -/ .
\ О О О) V о в о )
Замечание 3.1. Обозначим через Аа сужение оператора ЕА на Н2. По теореме Солонникова - Воровича - Юдовича спектр сг(Аа) вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается лишь на —оо.
ТЕОРЕМА 3.1. (І) Операторы А\,В\ Є С{Ы\] Т\), и при А-1 ^ о'(А) оператор А\ является бирасщепляющим, ker А\ = {0} X {0} X Нр, im Ai = = Н(ГхНІх {0}.
(іі) Если А-1 ^ o'(A)U(t(A(7), mo оператор В\ (Аі, а)-ограничен, причем порядок несущественной особой точки в бесконечности равен 1.
Замечание 3.2. Все предыдущие построения взяты из [5; 6; 24], где и следует искать точные ссылки и строгие доказательства.
Далее положим U2 = ^2 = и определим линейный замкнутый
и плотно определенный оператор 52 = seV2 : dom 2 на dom _В2 =
О
П W\ (£)). Если положить оператор А2 равным /, то в силу сектори-альности оператора _В2 [1, гл. 1] справедлива
ТЕОРЕМА 3.2. Оператор _В2 сильно А2-секториален.
Положим
U = Z/l X IA2, Т = Т\ X J~2 ■
Вектор и пространства имеет вид и = col (иа, uv, ир, и$), где col (upjUnjUp) Є Ы\, а ид Є Аналогичный вид имеет вектор / Є Т. Операторы L и М определим формулами L = А і <8> А2 и М = В\ ® В2. Оператор L Є £(ZY; .F), а оператор М : domM —> .F линеен, замкнут и плотно определен, domM = Ы\ X dom_B2.
В силу теорем 3.1, 3.2 и 1.6 и следствия 1.3 справедлива
ТЕОРЕМА 3.3. Пусть А-1 ^ <?(А), тогда оператор М сильно (L, 1)-секториален.
Перейдем к построению нелинейного оператора F. В данном случае его удобно представить в виде F = F\ <g> F2, где F\ = F\ (ua, uv, ug) = = col (-T1(((ua+u7T)-V)(ua+u7T)+gjug), -U(((ua+uv)-V)(ua+uv)+gjug),0), a F2 = F2(ua, uv, ug) = (ua-\-uv) ■ (7 — Vug). Формально найдем производную
Фреше оператора і7 в точке и:
/ Еа(и(7,и7Г) Еа(и(7,и7Г) О —#Е 7 \
, _ Па(и(7, иж) Па(иа1иж) О ~дЩ
и~ О ООО
\ (т - Уив) • (*) (7 - Уив) • (*) О ~(иа + Ия) • (*) /
где а(н(7, Ия) = — ((*) • V)(н(7 + Ия) — ((иа- + Ия) • V)(*) , а на место символа * следует ставить соответствующую координату вектора V в случае, когда мы хотим найти вектор
Далее, в нашем случае пространство Ым =И\Х сіот 52 (в силу непрерывности оператора В\ ). Используя стандартную технику (см., например, [11; 12]), нетрудно показать, что при любых и Є Ым оператор Р'и Є £(Ым'1 3~). Аналогично устанавливается, что вторая производная Фреше і7" оператора і7 — непрерывный билинейный оператор из Ым X Ым в Т. Третья производная Фреше тождественна нулю. Таким образом, справедлива
ТЕОРЕМА 3.4. Оператор F Є С°°(^м; З7)-
Итак, редукция задачи (3.2), (3.1) к задаче (0.3), (0.5) закончена. В дальнейшем всюду отождествляем задачи (3.2), (3.1) и (0.3), (0.5). А теперь перейдем к проверке выполнения условий теорем 2.1 и 2.2.
В силу теорем 1.1 и 3.3 существует аналитическая полугруппа {IIі : £ Є К+} разрешающих операторов уравнения (0.6), которую в данном случае естественно представить в виде IIі = Vі ® И7^, где Vі(\У*) — сужение оператора IIі на Ыі(£/2). Поскольку оператор _В2 секториален, то = ехр(£_В2), что влечет за собой УУ° = {0} и УУ1 = £/2.
Рассмотрим полугруппу {Vі : £ Є К+}- В силу теорем 3.1, 3.3 и следствия 1.4 данная полугруппа продолжима до группы {Vі : £ Є К}. Ее ядро V0 = ІАі° 0 Ыі1, где ІАі° = {0} X {0} X Нр(= кег А\ по теореме 3.2), а и®1 = ЕАд ^^[Н2] х Н2 х {0}. Здесь А\ = I — А А, А\ж — сужение оператора ПА^на Ня- (В [24] показано, что если А-1 ^ <т(А)исг(АГ7), то оператор Адя : Ня —т- И2 — топлинейный изоморфизм). Обозначим через Ы\ образ Vі. По теореме 1.4 имеем Ы\ =^°°0^°1 ®Ы\.
Построим оператор К = А\0 Є (^°° 0^°1), где Аю(-Вю) — суже-
ние оператора Аі(В\) на^0©^1. (Оператор В^ существует в силу теорем 3.3, 1.2 и следствия 1.3). По построению кег і? = Ы^°, а в [24] показано, что іпі і? = Ы®0. Значит, оператор і? — бирасщепляющий. Обозначим через Рц проектор пространства Ь/®0 0 К®1 на Ь/®0 вдоль К®1. В силу конструкции пространства Ым проектор Рд Є £(14^), где Ы^ = Ым П (^°° 0^°1)(= и®0 фи®1). Зафиксируем это в следующем утверждении.
ЛЕММА 3.1. Пусть А-1 ^ &(А) и а(Аа). Тогда оператор і? — бирасщепляющий, причем Рц Є £(Км).
Введем в рассмотрение проекторы
(О О 0\ / О рр О
Р0= ООО , Р1= О П О
\о о п/ \о о о
где Р/2 = Из [24] и в силу того, что ядро УУ0 = {0}, следует
I — Р = (Рц + Р1) <8>О- Применяя проектор / — Р к уравнению (0.5) в данной транскрипции, получаем
ЩиА(иа + Ия) - {{иа + Ия) • \7)(мст + Ия) - ир - #7И0) = 0,
Рия = 0.
Отсюда в силу теоремы 2.1 и свойств оператора В немедленно получаем необходимое условие квазистационарности полутраектории Ия = 0. Другими словами, все решения нашей задачи (если они существуют, разумеется) с необходимостью должны лежать в плоскости В = {и £ Ым : Ия = 0}. Кроме ТОГО, поскольку Пир = Ир, то из первого уравнения (3.3) немедленно получаем соотношение (2.3) в нашей транскрипции
Ир = ЩрАиа - (иа- • \7)ист - дуив). (3.4)
И еще, как нетрудно заметить, Ро = Рд, поэтому второе уравнение (3.3) есть соотношение (2.4) применительно к нашей ситуации. Фиксируем сказанное.
ЛЕММА 3.2. В условиях леммы 3.1 любое решение задачи (3.1), (3.2) лежит во множестве
А = {и е Им : Ия = 0, Ир = П(гМист - (иа ■ У)мст - дуив)}.
Замечание 3.3. Из (3.4) немедленно следует условие (ш) теоремы 2.2 для любой точки Ид 6 Ым{= X {0}). Поэтому ввиду замечания 2.6 множество А — простое банахово многообразие, С°°-диффеоморфное подпространству 1Л\ хЫ2 — является кандидатом на роль фазового пространства задачи (3.1), (3.2.)
Приступим к проверке условий (2.5) и (2.9). Построим пространство
О
Ыа =Ыг X И/21(^)- Данное пространство, очевидно, будет интерполяционным пространством для пары \Ы,Км\а, причем а = 1/2. Как отмечено выше, полугруппа {11г : Ь £ К+} продолжается до группы {У/ : t £ К} на 1Л\, где V/ — сужение оператора V1 на 1Л\. Поскольку Ым = им П 1А\ (по
построению) и оператор В\ непрерывен (теорема 3.1), то в силу равномерной ограниченности полугруппы {11г : Ь £ К+} имеем
1о \\У!\\<
< const||JB1||£(Wl;:Fl)^ < ос УгеЕ+. (3.5)
Далее, в силу неравенства Соболева [22, гл. 9] полугруппа {И7^ : Ь £ К+} удовлетворяет оценке
[ ||И^|| о сИ < оо. (3-6)
£(с1отВ2; ^(П))
Положим =ЫаГ\Ы11 где Ы1 = Ы\ Тогда из (3.5) и (3.6) вытекает ЛЕММА 3.3. В условиях леммы 3.1 выполняется соотношение (2.5).
И наконец, выполняя требование замечания 2.5, найдем оператор Н. Для этого построим проектор \ Т —> Тх. Согласно [24],
= (/ - <9 о - Я і) <8> I, где
13
О О О \ ! О О о\
)0 = | о п <2о3 ), д,= оод?3 о о о ) \о о п
д}3 = ЕАА^А^В-1, д23 = ПАА^А^В-1, д23 = -д23, а оператор
Вж есть сужение оператора В на Н2 (согласно теореме Банаха оператор
Вж-. Н2 ^ Н„ — топлинейный изоморфизм). Таким образом, оператор Н в нашем случае равен оператору Н\ <8> я2, где Ні = а^/ - д0 - ді)^і, а Ні = ^2 (Ац — сужение оператора А на £//). Аналогично тому, как мы показывали включение і7 Є С°°(Ым] 3~), нетрудно показать включение Я ЄС°°(^;^).
Таким образом, все условия теоремы 2.2 выполнены. Поэтому справедлива
ТЕОРЕМА 3.5. Пусть А-1 ^ ст(А) ист(Аст). Тогда при любом ио £ А и некотором Т £ К_|_ существует единственное решение и £ С°°((0, Т)]1Ам) задачи (3.1), (3.2), являющееся квазистационарной полутраекторией.
Замечание 3-4- Некоторые другие интерпретации уравнений соболевского типа изучались в [25 - 28].
Список литературы
1. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.
2. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного уравнения типа Соболева // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 12. С. 2169 - 2171.
3. Осколков А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1991. Т. 198. С. 31 - 48.
4. Свиридюк Г.А., Бокарева Т.А. Число Деборы и один класс полулинейных урав-
нений типа Соболева // ДАН СССР. 1991. Т. 319, № 5. С. 1082 - 1086.
5. Свиридюк Г.А. Полулулинейные уравнения типа Соболева с относительно сек-
ториальными операторами // ДАН. 1993. Т. 329, № 3. С. 274 - 277.
6. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов// Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, вып. 4. С. 47 - 74.
7. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. ИЗО - 1145.
8. Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН СССР. 1991. Т. 318, № 4. С. 828 - 831.
9. Свиридюк Г.А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболиче-ского уравнения // ДАН СССР. 1986. Т. 289, № 6. С. 1315 - 1318.
10. Свиридюк Г.А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений // ДАН СССР. 1989. Т. 304, № 2. С. 301 - 304.
11. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений II Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 2. С. 250 - 258.
12. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, № 5. С. 109 - 119.
13. Свиридюк Г.А., Климентьев М.В. Фазовые пространства уравнений типа Соболева с s-монотонными и сильно коэрцитивными операторами // Изв. вузов. Математика. 1994. № 11. С. 75 - 82.
14. Showalter R.E. The Sobolev type equations // Appl. Anal. 1975. Vol. 5, № 1. P. 15 - 22(1); Vol. 5, № 2. P. 81 - 99(11).
15. Demidenko G.V. Lp-theory of boundary value problems for Sobolev type equations // Part. Diff. Eq. 1992. Vol. 27. P. 101 - 109.
16. Фокин M.B. Существование сингулярного спектра и асимптотика решений задачи Соболева// Тр. Ин-та математики. СО РАН. 1994. Т. 26. С. 107 - 195.
17. Кожанов А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 2. С. 359 - 376.
18. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1516 - 1526.
19. Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв. РАН. Сер. мат. 1993. Т. 57, № 3. С. 192 - 207.
20. Свиридюк Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6, № 5. С. 252 - 272.
21. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера // Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, вып. 4.
С. 3 - 54.
22. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.:
Мир, 1980.
23. Свиридюк Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости II Изв. вузов. Математика. 1990. № 12. С. 65 - 70.
24. Свиридюк Г.А. Об одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости II Изв. вузов. Математика. 1994. № 1. С. 62 - 70.
25. Сукачева Т.Г. Об одной модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 4. С. 552 - 557.
26. Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка// Изв. вузов. Математика. 1998. № 3. С. 47 - 54.
27. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости // Мат. заметки. 1998. Т. 63, № 3.
С. 442 - 450.
28. Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Квазистационарные полутраектории в нестационарной задаче термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости высокого порядка // Третий Сиб. конгресс по прикл. и индустр. математике (ИНПРИМ-98), Новосибирск, 22 - 27 июня 1998 г. Новосибирск, 1998. С. 98 - 105.
SUMMARY
The existence of quasi-stationary semi-trajectories of operator differential equations of the form Lii = Mu-\-F(u), ker L ф {0} is established on the base of the theory of relatively p-sectorial operators and semi-groups of operators with kernels. Abstract results are illustrated by Cauchy-Dirichlet problem for the hybrid of Oskolkov system and heat equation in the approximation of Oberbek-Bussinesque modeling thermoconvection of incompressible viscoelastic fluid.
