CC BY
40
2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(26)
УДК 519.7
ВЗАИМОСВЯЗЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМА НАД ПОЛЕМ
И ВЕСА БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
А. С. Кузьмин, В. И. Ноздрунов
Лаборатория ТВП, г. Москва, Россия
E-mail: [email protected]
Работа посвящена изучению зависимости коэффициентов многочлена одного переменного, задающего над полем из 2n элементов булеву функцию, от веса исследуемой функции. Получены точные формулы зависимости коэффициентов многочлена от первых двух коэффициентов веса в двоичном представлении и ограничения на линейные многообразия функций из рассматриваемых специальных классов.
Ключевые слова: булева функция, бент-функция, многочлен над полем, вес функции, подпространство, многообразия.
Введение
В 70-х годах прошлого века был введён класс функций, находящихся на наибольшем расстоянии, с точки зрения метрики Хемминга, от класса аффинных функций; такие функции названы О. С. Ротхаузом бент-функциями [1]. В дальнейшем в работе [2] А. Йоссефом и Г. Гонгом построен класс функций, которые находятся на наибольшем расстоянии от мономиальных функций — класс гипер-бент-функций.
Несмотря на многочисленные исследования в этой области, пока не получено полного описания данных классов функций. Этим объясняется актуальность изучения свойств бент-функций и гипер-бент-функций и поиска новых методов их анализа.
При изложении результатов удобно использовать представление булевых функций от n переменных в виде многочленов над полем GF(2n). Пусть P = GF(2) — поле из двух элементов, Q = GF(2n) —расширение поля P степени n. Булевы функции f (x0, xi,... , xn-1) от n переменных можно рассматривать как функции вида F : Q ^ P. Для простоты будем считать, что f (0, 0,..., 0) = 0.
Обозначим через в0, е1,..., £n-1 базис поля GF(2n) как векторного пространства над полем GF(2), а через ш0,ш1,..., wn-1 — базис поля GF(2n) над полем GF(2), двойственный к базису в0, в1,..., en-1, т. е.
f 1, если j = k,
trnfo шк) = <" ' . '
[0, если j = k,
n_ 1
где trn(x) = x2 —функция «след» из поля GF(2n) в поле GF(2). k=о
Тогда для любого набора булевых величин x0,x1,... ,xn-1 однозначно определён элемент x G GF(2n):
n_1 x xkвк. к=0
При этом, в силу двойственности базисов, справедливо соотношение xk = trn(^kx). Таким образом, для булевой функции f (x0,x1,... ,xn-1) имеет место равенство
f (x0,x1,... ,xn_1) = f (tr^^x), tr^^x),... , trn(^n_1x)),
задающее эту функцию в виде полинома над полем GF(2n) в базисе £0, £1,..., £n-1.
Обозначим F(x) = f (trn(w0x), tr^^x),... , trn(wn-1x)). Так как функция F представляется в виде многочлена над полем, то
2n-1
F(x) = Е cfcxk, x g Q. (1)
fc=1
Здесь коэффициенты c^ принадлежат полю GF(2n). Заметим, что c0 = 0, так как F(0) = 0, поэтому в формуле (1) сумма начинается c k = 1.
Поскольку многочлен F(x) принимает только два значения 0 или 1, то он может быть представлен в виде
F (x) = tr^(x)),
где Ф^) —некоторый полином над полем GF(2n). В работе [3] показано, что существует представление функции F(x), в котором многочлен Ф^) имеет вид
ф^) = Е xk, 4 g Qfc, k g m. (2)
fceM
Здесь M — набор минимальных представителей всех различных циклотомических классов по модулю 2n — 1 [4, с. 108], Qk = GF(2r), где значение r определяется условия-
( 2n — 1 | 1 ми r = min <t : t> 0,—-—1(24 — 1) } , а — фиксированный элемент поля GF(2n),
(2П - 1,к)
след которого в подполе GF(2r) равен 1.
Замечание 1. Из формул (1) и (2), а также из формулы F(х) = 1гП(Ф(х)) следует, что ск = , если к £ М. Отсюда следует также, что если = 0, то с = 0 для всех таких что £ и к лежат в одном циклотомическом классе.
1. Зависимости коэффициентов в представлении в виде многочлена над конечным полем от веса булевой функции
Рассмотрим задачу установления зависимости коэффициентов многочлена F(х) от параметров двоичного разложения веса самой функции || = п0 + 2п + 4п2 + • • • , где п £ {0,1}. Под весом понимается сумма значений функции по всем аргументам, т.е. || = Е F(х), где суммирование ведётся в действительной области.
Утверждение 1. Коэффициент с2п-1 = 0 тогда и только тогда, когда п0 = 0. Доказательство. Очевидно, что п0 = Е F(х), где суммирование ведётся в поле Q характеристики 2. Тогда
2П —1
По = Е Е Ск хк. хед к=1
Любой обратимый элемент х поля Q можно представить в виде в4 для подходящего £ £ {0,1,..., 2П — 2}, где в — примитивный элемент поля Q. Учитывая, что с0 = 0, получаем
2П —2 2П —1 По = Е Е Ск(в4)к.
4=0 к=1
Поменяем порядок суммирования и выделим слагаемое, соответствующее к = 2П — 1:
2П —2 2П —2 2П —2 П0 = Е Ск Е (вк)4 + С2П—1 Е (в2П—1)4.
к=1 4=0 4=0
Порядок 9 равен 2n — 1, следовательно, вторая сумма при коэффициенте C2n—i есть суммирование единиц 2n — 1 раз; значит, она равна 1. Теперь, применяя формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии, получаем равенство
2n_2 9k(2n-l) _ 1
По = Е Ck-Tjk----+ C2n-i = C2n-i.
k=1 9 — 1
Таким образом, имеем, что n0 = 0 тогда и только тогда, когда c2n-1 = 0. ■
n
Лемма 1 [5]. Пусть a Е {0,1}, i Е {1, 2,..., n} и Е аг = k = n0 + 2n1 + 4n2 + ...,
i=1
где суммирование ведётся в области целых чисел. Тогда
n1 = 52 ajas (mod 2).
1<j'<s<n
Теорема 1. Пусть F : Q ^ P, F(0) = 0 и ||F|| = n0 + 2n1 + 4n2 + ... Тогда
2n-1-1
n1 = C2„_1 + 52 Ck C2n-1-k. (3)
k=1
Доказательство. Зафиксируем примитивный элемент 9 поля Q и аналогично тому, как было сделано в лемме 1, представим элементы поля Q через элемент 9. Пусть x и y — элементы поля Q, x = 9k, y = 91, где k, l — натуральные числа. Будем считать, что x < y тогда и только тогда, когда k < l. Согласно лемме 1, имеем
/2"_1 2n_1 \
n1 = Е F(X1)F(Х2) = Е ( Е CkXk Е Cx2 .
xi,X2€Q : xi<x2 Ж1<Ж2 \ k=0 1=0 /
Так как F(0) = 0, то C0 = 0 и справедливо соотношение
/2П_ 1 2n_1 \ n1 = Е Е Ck(9s)k Е Ci(9i)M
0^s<i^2"_2 \ k=1 1=1 /
0<8<*<2"-2 \ к=1 Далее, поменяв порядок суммирования, будем иметь
2П —1
П1 = Е Е Ск с в*к+й =
2П —1 /
= Е Скс Е в" + вк Е вй +... + Е в*квй
к,1=1 \«=0,1^2п-2 «=1,2^2п-2 «=2п-3,4=2п-2
Применим формулу геометрической прогрессии, выделив отдельно слагаемое, соответствующее I = 2П — 1, так как при нём в1 = 1:
2n_1 2n_2 / 9I (9(2n_2)i _ i) \
n1 = E E CkQ 9(9fl1 1 1) + ... + 9(2"_3)k9(2"_2)M + k=1 1=1 V 91 — 1 у
2n_1 / \ + E Ck cA 52 1 + 9k E 1 +... + 9(2n_3)k k=1,(1=2"_1) \1^i^2n_2 2^i^2n_2 /
_3)k =
k=1,(1=2"_1) \1^i^2n_2 2^i^2n_2 2n_12n _2 1 2n_2
= EE Ck Ci г E 9i19(i_1)k (9(2"_1_i)1 — 1) + k=1 1=1 9 — 1 i=1 2n_1
+ E Ck Ci ((2n — 2) + 9k (2n — 3) + ... + 9(2"_3)k) . k=1,(1=2n_1)
Пусть
2n-1 2n-2 1 2n-2
A = EE Ck E &(i-1)k (&(2n-1-i)i - 1), k=1 i=1 " — 1 i=1 2n-1
B = E CkC1 ((2n - 2) + (2n - 3) + ... + 0(2n-3)k) k=1, (i=2n-1)
Для A имеем
2n-1 2n-2 Ck ci 2n-2
k=1 i=1 & — 1 i=1
2n-1 2n-2 C, C, 2n-2 2n-1 2n-2 C, C, 2n-2
ул ул Ck4 лгк _ V^ CkC1 V^ fl(i+k)i
k=1 1=1 (0 - 1)&k ¿1 k=1 i=1 - 1)^k ¿1 .
Снова посчитаем суммы по отдельности, первую обозначим А, а вторую — А2:
а = ^ ^(2""2)к - 1 + ^ СкС 2П-21 (4.
1 в1 - 1 вк - 1 + г=1,(к=2п-1) (в1 - 1)^ ¿1 '
В силу того, что порядок в равен 2П - 1, имеем в(2п-2)к = в-к, отсюда следует, что 0(2п-2)к - 1 1
——- = —. Заметим, что вторая сумма в равенстве (4) содержит множитель
вк - 1 вк
(2П - 2), а так как характеристика поля равна 2, то она равна нулю. В итоге
2П — 2
Л = 2^2 Ск С 1 ¿1 (в1 - 1)вк'
Теперь посчитаем А2, выделим слагаемое, соответствующее к = 2П - 1:
2П О ОП О ОП О ОП о
-2 2 -2 2 -2 2 -2
А = V _—_ V в(1+к)^ + V С V вЙ =
^ (вг 1)вк ^ ^ вг 1
(в - 1)в г=1 г=1,(к=2"-1) в - 1 г=1
оп о оп о оп О ОП о
2 -2 СкС V-2 , 2п-2 СкС 2 -2
^ ^ 1 + ^ ^ 0(i+k)i+ k,i=1:i+k=2n-1 - 1)^k г=1 k,i=1:i+k=2n-1 - 1)^k г=1
+ ^ ^CL - 1) l=1,(k=2n-1) & - 1 & - 1 2n-2
Первая из трёх сумм равна нулю, так как Е 1 = 2n - 2 = 0 (mod 2), и поэтому
г=1
A = 2n-2 Ckci fli+k(fl-(i+k) - 1) + 2n-2 ^kCL ^l(i-l)
2 k,l=1:i+k=2n-1 - 1)^k ^l+k - 1 + i=1,(k=2"-1) & - 1 ^-1)
on О on о
2n-2 Ck Ci + ^ Ck Ci
k,i=1:i+k=2n-1 - 1)^k i=1,(k=2n-1) & - 1
Осталось вычислить сумму B:
2n-1 2n-3
B = E CkQ E (2n - 2 - i) = k=1,(i=2n-1) i=1
2n-1 2n -3 2n-1 2n-3
E CkCi(2n - 2) E - E CkCi E . k=1,(i=2n-1) i=1 k=1,(i=2n-1) i=1
Заметим, что первая сумма обращается в нуль, значит,
2п—2 2п —3 2п —3
В _ Е Скс/0к Е г(0к1 + Е Скс/ £ г _ к=1,(г=2"-1) г=1 к=2п —1,/=2п —1 г=1
2п —2 /2п —3 2п —3 2п —2 /т2п—2_ т\ '
_ Е Скс/04 Е тМ + с2п—1 Е г = Е Скс/0к -— + с2п—1
к=1,(г=2п —1) V г=1 /х=0к г=1 к=1,(г=2п —1) V Т 1 / ж=6>к
2П—2 / ((2П - 2)т2П—3 - 1)(т - 1) - т2П—2 + т4
= 4,— + Е2 СксЛ((2"- 2)т2П—3 -1"*-1) - ^+т)
к=1,(г=2п — 1) V (т 1) /ж=6>к
С
2 2п—2 к -0к + 1 - 0—к + 0к
'2п —1 + Ск ^0 (0к 1)2 к=1,(г=2" —1) (0 - 1)
2 + ^ 0к - 1 _ 2 + ^ СкС
С2п — 1 + Скс/ //)к 1\2 _ С2п — 1 +
-'2п — 1'/-^1 (0к 1)2 2П — 1 ^ 0к 1-к=1,(г=2" —1) (0 - 1) к=1,(г=2" —1) 0 - 1
Собирая все подсчитанные суммы вместе, получаем
оп о оп О оп о оп о
П _ £ Ск с/ + 2п—2 Скс/ + 2п—2 Скс/ +с2 + ^ Скс/
к,г=1 (0г - 1)0к к,г=1(г+к=2п—1) (0г - 1)0к г=1,(к=2п—1) 01 - 1 к=1,(г=2п—1) 0к - 1
Первую сумму можно разбить на две области суммирования по I + к _ 2П - 1 и I + к _ _ 2П - 1:
оп о оп О оп О
П _ е Ск с/ + ^ Ск с/ + ^ Ск с/ +
- 1)0к к,г=1,(г+к=2п—1) (0г - 1)0к к,г=1(г+к=2п—1) (0г - 1)0к
к,г=1,(г+к=2п—1) (0 1)0 к,г=1,(г+к=2п—1) (0 1)0 к,г=1(г+к=2п—1)
пп
V—2 Ск с/ | 2 2п—2 Ск с/
+ л/ 1 + С2п — 1 +
0 1 2п — 1 ^ ^ 0к 1 *
г=1,(к=2п —1) 0 - 1 к=1,(г=2п —1) 0 - 1
п п п
2 -2 Ск с/ 2 "2 Ск с/ 2 "2 Ск с/ 2
Заметим, что Е 0-1 _ Е р""7. Тогда п1 _ Е 70-^ + С2п — 1 •
г=1 0 - 1 к=1 0 - 1 k,/=1,(/+k=2n —1) (0 - 1)0
Выразив I через к из равенства I + к _ 2п - 1, получаем
2п 2 2п 2
_ 2 + Ск С2п —1—к _ 2 + Ск С2п —1 —к П _ С2п—1 + = (02п—1—к - 1)0к _ С2п—1 + 1 - 0к
(2п—2)/2 „ „ 2^ — 2 2 + ( Ск С2п —1—к + 22 Ск С2п —1—к
С2п—1 + 0к Г —; 0^
к=1 1 - 0 к=(2п— 2)/2+1 1 - 0
(2п—2)/2 (2п—2)/2 _ 2 + ^ —Ск С2п —1—к + ^ —^ Ск С2п —1—к _
_С2п—1 + ¿1 + ¿1 _
(2п—2)/2 С С (2п —2)/2 С С ^ ^ —^ СкС2п_1_к ^ —^ СкС2п —1—к лк
С2п —1 + к=1 + к=1 0 С2 + 2п-1—1 СкС2п —1—к (1 - 0к) _ , + 2п-1—11 сс
С2п —1 + ^ Лк _ С2п —1 +2^ СкС2п —1—к.
к=1 1 - 0 к=1
Теорема доказана. ■
Следствие 1. Пусть ^ : ^ ^ Р, Р(0) _ 0, Р — бент-функция и ||Р|| _ по + + 2п1 + 4п2 + ... Тогда в равенстве (1) С2п—1 _ 0 при п ^ 4, а при п ^ 6 выполняется С2п—1—2г _ 0 для всех I € {0,1,..., п - 1}.
Доказательство. Рассмотрим функцию О(х) = ^(х) + £а(я), где {¿а(х) :
а е ф} — множество линейных булевых функций от п переменных. Функцию О(х)
2" —1
можно представить в виде О(х) = Е 5кхк; линейная функция имеет вид Ьа(х) =
к=1
га— 1
= Е а2 х2 . Тогда имеем равенство «=0
2" — 1 2" —1 га—1 2" —1 га—1
Е 5к= Е Скхк + Е а2 8 х2 8 = Е Скхк + Е (а2 8 + С2 .) х2 8.
к=1 к=1 «=0 к=1,к=28 ,«€{0,1,...,га—1} «=0
Известно [6, с. 236], что вес бент-функции от п переменных описывается значениями 2п—1 + £ 2п/2—1, где е е {-1,1}. Тогда С2"—1 = 0, а при п/2 - 1 ^ 2 (т.е. при п ^ 6) коэффициент п1 в двоичном разложении веса функции ^ равен 0. Имеем
2"-1 —1 2"-1 —1 га—1
Е 5к52" — 1—к = Е СкС2П — 1—к + Е (С28 + а2 ) С2" — 1—28 =
к=1 к=1,к=28 ,«€{0,1,...,га—1} «=0
2"-1—1 га—1
= Е СкС2" —1—к + Е
а С2"-1—28 .
к=1 «=0 Так как ^ и О — бент-функции, то, используя (3), получаем равенства
2" — 1 — 1 2"-1—1
Е 5к52"— 1—к = 0 Е Ск С2П —1 —к = к=1 к=1
га—1
В результате из (5) следует, что Е а28с2п—1—2 8 = 0 для всех а е ф. Таким образом,
«=0
имеем многочлен степени 2П—1 относительно а. Он не может иметь в поле больше чем 2П—1 корней, а в наших условиях он имеет 2П корней, значит, с2п—1—2 8 = 0 для всех 5 е {0,1,... , п - 1}. ■
Следствие 2. Пусть ^ : ф ^ Р, ^(0) = 0, ^ — гипер-бент-функция и || = = п0 + 2п1 + 4п2 + ... Тогда при п ^ 4 имеет место с2п—1 = 0, а при п ^ 6 выполняется с2п—1—^2г = 0 для всех I Е {0,1,... , п — 1} и для всех V, таких, что (V, 2п — 1) = 1.
Доказательство. Рассмотрим функцию О(х) = ^(х) где ¿а " (х) —
собственная мономиальная функция [7] и (V, 2п — 1) = 1; О(х) при этом является гипер-бент-функцией. Тогда имеем равенство
2" —1 га—1
О(х) = Е Скхк + Е а2 8ж^28. к=1 «=0
Заметим, что гипер-бент-функция является бент-функцией. При п ^ 6 аналогично
га— 1
следствию 1 получаем, что Е а28с2п—1—ь28 = 0 для всех а е ф. Отсюда следует, что
«=0
с2п—1—^2г = 0 для всех I Е {0,1,... , п — 1} и для всех V со свойством (V, 2п — 1) = 1. ■
Для получения соотношения для третьего разряда в двоичном разложении веса функции используется следующая лемма.
га
Лемма 2 [5]. Пусть а» е {0,1}, Е а» = к = п0 + 2п1 + 4п2 + ..., где п е {0,1};
г=1
при этом к ^ 4. Тогда п2 = Е ака^а^а/, где сумма берётся по модулю 2.
1^<1<^</^га
При вычислении следующего разряда в разложении веса пока не удалось получить такого же красивого и компактного результата, как в теореме 1. Представим результат вычислений, сами расчёты приведены в Приложении.
Теорема 2. Пусть ^ : д ^ Р, ^(0) = 0 и || = п0 + 2п + 4п2 + ... Тогда
П2 =(С2п-1)4+(в / -1)(0 * - 1)(б,'-Л1)(бк -1)^ *в2;в3к (1 - в3к)+ + V _СкС;С*С/в_П _ в3(к+1)) +
+ /А1,к+=2П-1 (в/ - 1)(в* - 1)(в1 - 1)(вк+; - 1)в* в3(к+;) ( ) +
+ ^ _Ск СгС*С/вк_( взк) +
+ ( в/ - 1)( в* - 1)(вк - 1)2в* в3к( )+
¡=2"-1
+ _СкС;С*С/_(1 _ взк) +
+ /А1+/Й=2п-1 (в/ - 1)(в* - 1)(в;+* - 1)(вк - 1)в* в21в3к ( ) +
+ V _СкС; С*С/_(1 _ вз(к+г+^)) +
+ /А^к^-- ( в/ - 1)( в * - 1)(в*+" - 1)(в к+;+* - 1)в*в 21в3к ( ) +
+ у- _Ск СгС*С/вкв*_(1 _ взк) +
+ (в/ - 1)(в* - 1)(вк - 1)2в3к( ) +
г+^=2п-1
+ V _СкС С*С/_(1 _ в3(к+1)) +
+ /,м+к=2п-1 (в/ - 1)(в; - 1)2(вк+; - 1)2в1 в3к( )+
h=2n-1
+ _ Ск С; С* С/в 21вк 1 - в3(1+к) +
+ /,!^1=2п-1 (в/ - 1)(в; - 1)2(в;+к - 1)2 в3(1+к) +
2П -h=2n —1
+ _СкС1 С*С/_ 1 - в3к + ^ СкС1С*С/ (1 _ в3к) +
+ f,l,k=2n — 1 (в/ - 1)(в; - 1)2(вк - 1) в1 в3к + /л=2П-1 ( в/ - 1)(вк - 1)3вк ( ) +
1
h=2n-1 к,1=2"-1
+ ^ _Ск С; С*С/ (1 - в3к )_+
+ Г,1,=2п-1 (в/ - 1)(в*+/ - 1)(в1 - 1)(вк - 1)в* в21в3к +
=2П-1
+ ^ _СкС;С*С/в;(1 - в3(к+;))_+
+ Д1,к++=2"-1 (в/ - 1)(в*+/ - 1)(в; - 1)(вк+; - 1)в* в3(к+;) +
h+f=2П-1
+ ^ Ск С; С*С/вк (1 - в3к) +
+ ^+¿=2-1 (в/ - 1)(в*+/ - 1)(вк - 1)2в*в3к +
1
1=2П-1
+ ^ _Ск С; С*С/ (1 - в3к )_+
+ М+/к=2"-1 (в/ - 1)(в*+/ - 1)(в 1+*+/ - 1)(вк - 1)в*в21в3к +
l+h+f=2П-1
+ „ _Ск С; С*С/ (1 - в3(1+*+/+к))_+
+ ^к+1++=2П-1 (в/ - 1)(в*+/ - 1)(в;+*+/ - 1)(в;+*+/+к - 1)в*в2;в3к +
h + f,l + h + f=2n —1
^ СкС;С*С/в*+кв2/(1 - в3к) + СкС;С*С/в/(1 - в3(к+;)) +
+ М+Д=2"-1 (в/ - 1)(в*+/ - 1)(вк - 1)2в3к + f,l,l+fc=2n —1 (в/ - 1)(в; - 1)2(вк+; - 1)2в;в3к +
l+h+f=2n-1 h+f=2n-1
+ ^ СкС;С*С/в/в2;вк 1 - в3(;+к) +
+ ЛМ+1=2п-1 (в/ - 1)(в; - 1)2(в;+к - 1)2 в3(;+к) +
h + f = 2п-1
+ ул Ск0/ 1 - + ул С0/ . к
+ /Л^—1 (^ - 1)(0* - 1)2(^к - 1)0* + —1 - - 1)3^к ^ ; +
Н+/=2" —1 ^+/,¡=2" —1
+ ул _^ С С^С/ (1 - 03к)_+
+ М+4=2" —1 (0* - - 1)2(^ - 1)^21 +
/=2П —1
^ СкСг^С/02^0к(1 - 03(г+^+к)) +
+ М+М+Н+к=2" —1 (0Л - 1)2(^ - 1)2(0^+к - 1)203к +
/=2П —1
^ СкСгС^С/(1 - 03(г+^+к)) + СкСгС^С/02^(1 - 03к) +
+ м+м+Н+к=2"—1 (0* - 1)2(0^ - 1)2(0г+^+к - 1)202г03к + М=2П—1 (0Л - 1)2(0к - 1)302к +
/=2п —1 /,¡+^=2" —1
^ СкСгС^С/02г 1 - а^+ь+ц +
+ ь,ь+1,ь+++к=2-—1 (0Л - 1)2(^+г - 1)2 03(г+к)(0г+^+к - 1)2 +
/=2П —1
+ _ СкСгС^С/0г 1 - А3(г+^+к) +
+ ^+^++^=2"—1 (0Л - 1)2(0^+г - 1)2 02(г+к)(0г+^+к - 1)2 +
/=2" —1
+ ^ СкСгС^С/(1 - 03к) + СкСгС^С/0*(1 - 03к) +
+ ^+¿2-1 (0Л - 1)2(0^+г - 1)2(0к - 1)0г03к + н,^—1 (0Л - 1)2(0к - 1)30к +
/=2" —1 /,^+¡=2" —1
+ СкСгС^С/ 1 - 03к + _ СкСгС^С/0г 1 - 03(г+к) +
+ —1 (0Л - 1)2(0г - 1)02г (0к - 1)03к + н,м+й"—1 (^ - 1)2(^г - 1) - 1)^3(г+к) +
/=2" —1 /=2" —1
+ СкС^С/0к 1 - 03к + СкСгС^С/ 1 - 03(к+г) +
+ 1 (0Л - 1)2 (0к - 1)203к + 1 (0г - 1)3 03к(0к+г - 1)2 +
/,¡=2" —1 /,Н=2" —1
+ СкСгС^С/0к 1 - 03(к+г) + СкСгС^С/ 1 - ^ +
+ 1 - 1)3 - 1)2 + ¡^—1 - 1)3 - 1) + /,Н=2" —1 /,Н=2"—1
^ СгС^С/ 1 - ^3(г+к) + ^ ^СгС^С/ )
+ ¡,¡+¿2-—! - 1)(^г+к - 1) ^- 1)2 + /л^-—1 - 1)4 (
/,Н=2"—1 к=2"—1
Доказательство приводится в Приложении.
2. Структурные характеристики бент-функций и гипер-бент-функций
В качестве структурных характеристик рассматриваются вес функции и веса её ограничений на различных подпространствах и многообразиях. Пусть п = 2А, где Л Е N. Фиксируя какие-либо переменные или значения линейных комбинаций переменных функции f (жо,Ж1,... ,жга_1) значениями 0 или 1, получаем вес соответствующей ей функции ^(ж) на подпространстве или многообразии. При определённой фиксации п - в переменных, где в делит п, получаем подполе ОЕ(25). Тогда для функции , ...,Жг в), которая получается из функции f фиксацией п - в переменных, существуют аналогичные приведённым во введении представления в виде полинома от одного переменного над полем. При этом должна существовать зависимость между коэффициентами полиномов, заданных над полем ОЕ(2га) и полем ОЕ(2Л).
Для установления этой зависимости необходимо описать значения веса функции f (жо , ж1, . . . ,1 ) на различных подпространствах. Обозначим (а, ж) скалярное произведение векторов а Е и ж Е f |т — ограничение функции f на пространстве или многообразии Т.
Лемма 3. Пусть а £ Vn \ {0}. Тогда вес функции f (ж0,xi,... , xn-i) ■ (а, ж) равен весу f |w, где W = {ж £ К : (а, ж) = 1}.
Для дальнейшего изложения результатов приведём вспомогательное утверждение.
Утверждение 2. Пусть k ^ 2 и /¿(ж) —булевы функции от n переменных, i = = 1,... , k. Тогда
1 fc
llfi ■... ■ fk ll = 2k=r E (-i)t-i E If +... + fit l|. 2 t=1 1<ii<¿2 <...<¿í<fc
Доказательство. Докажем утверждение методом математической индукции по параметру k ^ 2. База индукции при k = 2 получается из известной формулы
IIf + g|| = IIf II + IIg||-21| f ■ g||.
Шаг индукции. Пусть утверждение верно при k ^ m — 1, покажем, что оно верно и для k = m. Имеет место равенство ||fi ■ ... ■ f || = || (fi ■ f) ■... ■ (ffc-i ■ f) ||. Обозначим gi = (f¿ ■ ffc), i = 1,... , k — 1. Тогда по предположению индукции
1 fc-i
||gi■...■ gk-i|| = ^-=2 E(—1)t-i E IIgii +... + gitII = 2 t=i i^ii<...<it^fc-i
1 fc-i
E(—1)t-i E IIfk (fii +... + fit
Ofc-2
2 t=1 1^ii<...<it <k-1
Теперь снова воспользуемся формулой ||f ■ g|| = ^ (||f || + ||g|| — ||f + g||). Получаем равенство
i k-1
llfi ■... ■ fk || = 2-iE(—1)t-1 E llfk ||+ 2 t=1 1^ii<...<it ^k-1
1 k-1
+2k-r^(—!)i-1 E llfii +... + fitll+ 2 t=1 1^i1<...<it^k-1
1 k-1
E (—i)4 E llfk + fii +... + fit ll. 2 t=1 1<ii<...<it<k-1
Первую из трёх сумм свернём по биному Ньютона, а в третьей преобразуем индексы суммирования:
1 1 k-1
llf1 ■... ■ fk ll = 2ki=T llfk ll + i)t-1 E llfii +... + fit ll+
2 2 t=1 1<ii<...<it<k
1 k
+2i=i E (—i)t-1 E llfii +... + fit ll. 2 t=2 1<ii <...<it=k
Объединяя все слагаемые в одну сумму, получаем
1k
llf1 ■... ■ fk ll = ^^=1E (—i)t-1 E llfii +... + fit ll. 2 t=1 1<ii<i2 <...<it<k
Утверждение доказано. ■
Известно [6, с. 236], что вес бент-функции f от n переменных описывается значениями llf ll = 2n-1 + е2п/2-1, где e £ {1, —1}. Известно также, что сумма линейной и бент-функции снова является бент-функцией. Из этого следует, что llf+$Ц = 2n-1+e'2ra/2-1, где g — произвольная линейная функция; e' £ {1, —1}.
Теорема 3. Пусть f — бент-функция, k ^ 2, gi,... , gfc-i — линейные функции, такие, что для любого t £ {1,... , k — 1} и для любых 1 ^ ii < ... < it ^ k — 1 сумма gi1 + ... + git тождественно не равна 0. Пусть также вес функции f равен = 2n-i + £о ■ 2n/2-i, вес функции f + g¿i + ... + git равен ||f + g¿i + ... + git|| = 2n-i + eib.„,it ■ 2n/2-i, где t £ {1,..., k — 1}, £o, £гь...Л £ {1, —1}. Тогда
llf ■ gi
gk-i|| = 2n-k +
2^/2
fc-i
£0 + E(—1)4
E
t=i
i<¿i<...<¿t<k-i
(6)
Доказательство. Используя утверждение 2 и выделяя слагаемые, содержащие функцию f, получаем
||f ■ gi ■ ... ■ gfc-i11 =
1
2k-i
k-i
+ E(—1)t-i E ||gii +... + git||+ t=i i<ii<...<it<k-i
k1
+ E(-i)* E llgii +... + git + /II .
t=1 1<ii<...<it<fc-1 J
Сумма линейных функций является линейной функцией и её вес равен 2n-1. Подставляя значения весов функций, получаем равенство
llf ■ gi
1
k-i
gk-ill = ( 2n-i + £o2n/2-i + 2n-i E (—1)t-iCk-i +
ki
+ E(—1)
t
t=i
E (2
n— i
+ £
ч,...,ч
t=i 2n/2-i
i<ii<...<ií<k-i
Заметим, что
ki
ki
2n-i E (—1)t-iCk-i = — 2n-i E (—1)tCk-i = —2n-i ((1 — 1)k-i — 1) = 2
ni
t=i
t=i
Возвращаясь к исходному равенству, получаем
i / k-i 1 ' — -1 2n/2-i
gi ■ ... ■ gk-ill = ^ 2n-i + £o2n/2-i + E (—1)t E £¿i.....it2n/2-i .
2 \ t=1 i<¿i<...<¿t<k-i
t=i
Теорема доказана.
Замечание 2. При k < n/2 получаем, что вес ограничения функции / на многообразиях и подпространствах размерности больше n/2 кратен 2. Однако это верно и при k = n/2. Для этого достаточно показать, что выражение в скобках в равенстве (6) сравнимо с нулем по модулю 2. Обозначим данную сумму по модулю 2 через S:
k— 1
S =1+ ЕЕ 1 (mod 2). t=1 1<i1<...<it<k-1
Внутренняя сумма равна биномиальному коэффициенту Ck_ 1. Чётные биномиальные коэффициенты сравнимы с нулем по модулю 2, а количество нечётных биномиальных коэффициентов чётно, при этом 1 в начале формулы равна недостающему коэффициенту при t = 0. Таким образом, получаем, что S = 0 (mod 2).
Заметим, что так как гипер-бент-функция, в частности, является бент-функцией, то теорема верна и для гипер-бент-функций.
Рассмотрим два примера бент-функций и покажем, что при определённых фиксациях переменных можно получить более сильные по сравнению с теоремой З результаты.
л
1) f (xi,..., х2л) = E x2i-1x2i. Функции такого вида являются совершенно нелиней-
i=1
ными, а следовательно, бент-функциями [4]. Заметим, что при фиксации любой переменной x2j единицей получаем, что переменная x2j-1 входит линейно, а значит, получаемая подфункция сбалансирована. Аналогично происходит при фиксации x2j-1 = 1. При фиксации переменной x2j (или переменной x2j-1) нулём получаем, что подфункция не зависит от переменной x2j-1 (или от x2j соответственно). Таким образом, вес функции f чётен на всех подпространствах степени больше первой и функция равновероятна на всех многообразиях степени больше первой, получаемых при фиксации
хотя бы одной переменной Xj = 1.
л
2) f (x1,..., х2л) = Е ХгХ^+л + h(x1,... , хл). Функция f является бент-функцией для
г=1
любой функции h [б]. При фиксации любой из переменных xt, t G {1,... , Л}, единицей получаем, что переменная xt+л входит линейно и, следовательно, получаемая при данной фиксации подфункция сбалансирована. При фиксации любой из переменных xt, t G {1,... , Л}, нулём получаем, что подфункция не зависит от переменной x^+л.
Таким образом, функция f равновероятна на 2л многообразиях степени выше первой, которые получаются выбором и фиксацией переменных xj, j G {1,... , Л}, единицей. Вес функции f чётен на всех подпространствах, получаемых при фиксации хотя бы одной переменной xt, t G {1,... , Л}, нулём.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rothaus O.S. On bent functions jj J. Combinatorial Theory. 197б. V.20(A). F.300-305.
2. YoussefA. and Gong G. Hyper-bent functions jj LNCS. 2001. V.2045. P.406-419.
3. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. О свойствах сумм Вейля на конечных полях и конечных абелевых группах jj Дискретная математика. 1999. Т. 11. №2. С. 66-85.
4. Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.
5. Rueppel R. A. Analysis and Design of Stream Ciphers. Berlin: Springer, 1986. 244 p.
6. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МЦНМО, 2004.
7. Кузьмин А. С., Марков В. Т., Нечаев А. А., Шишков А. Б. Приближение булевых функций мономиальными jj Дискретная математика. 2006. Т. 18. №1. С. 9-29.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство теоремы 2
Сначала докажем вспомогательную лемму. Лемма 4. Пусть s,t G N и s ^ t. Тогда
Е ix
i-1 _ txt+1 - (t + 1)xt - (s - 1)xs + sxs
(x - l)2
tt i1
Доказательство. Заметим, что ^ *хг 1 = ( ^ х® ) . Используя формулу геометрической прогрессии, получим
Ё х-У = (х-х"-' - 1
x 1 x 1
Возьмём производную: , , — , .„
х - 1 у (х - 1)2
ведения подобных слагаемых получим требуемую формулу. ■
4+1 - хЛ' (4 + 1)хт - вх8 - + 1)х4 + вх8—1 - хт + х8
-. После при-
Доказательство теоремы 2.
(2" —1 2П —1 2П —1 2П —1 \ £ Скх1к £ е,х2^ с^ £ с/х4Ч .
к=1 ( = 1 Л,= 1 / = 1 )
Представим элементы х1,х2,хз,х4 через примитивный элемент 0 поля ^ и поменяем порядки суммирования:
( 2П —1 \ 2П —1 П2 = £ £ Ск С(Ске} (08)к (04)1(0р)н(0^ / = £ Ск С1 скс} £ 08к 0410р^0-/
0^8<4<р<у^2п — 2 \к,(,Н,/ = 1 ) к,(,Н,/ = 1 0^8<4<р<-и^2п —2
2"_1 2П—5 / 2П—4
= £ СкС(СкС^ ^^ \08к £ к,(,й,/ = 1 8 = 0 \ 4=8+1
2П—3 / 2П —2 04( £ 0р^ £ 0у/ р=4+1 \ «=р+1
Далее многократно будем применять лемму 4 и, чтобы избежать деления на ноль, будем выделять слагаемые, для которых в показателе 0 присутствует 2" - 1, так как 02 — 1 = 1:
2П —1 2П—5 / 2П—4
П2 = £ Ск С(СкС/ £ 08к £
МЛ,/ = 1 8 = 0 \ 4=8+1
/ = 2П —1 \
04( £3 0Р^+1)//
р=4+1 2П—3
04( £ 0рН(2п - 2 - р)
2-р)/_
2П —1 2П—5 / 2П—4
+ £ СкС(с^с/ ^^ \08к £
к,1,Н = 1 8 = 0 \ 4 = 8+1
/ = 2П —1 \
1)
+
2П —1
Всюду далее для сокращения формы записи вместо £ будем писать £ ; продолжим:
МЛ,/=1 /=2"-1
/ = 2П — 1 ^
+ £ Ск С( сКс/ ^ 08к £ / = 2п-1 8 = 0 \ 4 = 8+1
2П—5 / 2П—4 П2 = £ СкС(скс/ £ 08к £
/ = 2П —1 8 = 0 \ 4 = 8+1
2П—5 / 2П—4 8к
2П—3 0рЬ _ 0/ . 0р(Ь+/)
04( £
р=4+1
2П —3
04( £ 0ркр
СкС(снС/0/ 2"5
2П —4
+ £ £ 108к £
/ = 2п —1 0/ - 1 8 = 0 у 4 = 8+1
Обозначим суммы:
р=4+1
2П—3 04( ^ 0р(к+/) р=4+1
£ ■
/=2П — 1
0^ 1
2П — 5
+
2П — 4
0/ 1 Е Г Е
^ - 1 8 = 0 \ 4=8+1
2П—3 04( £ 0рк
р=4+1
2П—5 / 2П—4
+ £ скссьс/ ^ \08к £
/ = 2п —1 8 = 0 \ 4 = 8 + 1
2П — 3
04( £
+
р=4+1
А = £
/=2П—1
0^ 1
2П—5 / 2П—4
£ 08к £
8=0 \ 4=8+1
2П — 3
04( £ 0р^
в = £ // £5( 08к 2££—4
/=2П —1
8=0
4=8 + 1
2П—5 / 2П—4
я = £ Сксшс/ ^ \08к £
/=2п—1 8=0 \ 4=8+1
р=4+1
2П—3 04( ^ 0р(к+/) р=4+1
2П—3 04( £ р0р^
р=4+1
Посчитаем их отдельно:
А = £
2п-5 2П — 4
— 5 2 —4 2 —3 С/ С1Сь.С? 2 —5 2 —4 0(2 3 4)^ - 1
£ 08к £ 04( £ 0рН = £ СкС(СНС/ £ 08к £ 04(0(4+1)к 0 ^_1 +
СкС(СкС/ 5 а8к 2^4 04( 2" 3 / = 2П —1 0/ - 1 8 = 0 4=8+1 р=4+1
+ ^ с^с^ ^ 0§к £ 04( (2" - 3 - *)= £ ^^^^ ^ 0'8к £ 04( --^^
/ = 2П—1 0/ - 1 8 = 0 4 = 8 + 1
Н = 2П — 1
/,к=2п — 1
-1 - 1 8=0 4=7+1 0^ - 1
0К - 1
+
+ е /г 2ё5 08к2е-4 (*+ 1)041 = £ ш с?у 1)0ь 2ё5 08к 2е-4 +
/ = 2П-1 0г - 1 8 = 0 4 = 8+1 /,"=2"-1 ^ - - 8 = 0 4=8+1
Н=2п-1
+ е (0/ СкС)СГ/ 1) 0" е- 08к е- ^ + е /г е- 08к е- (*+1)0
/," = 2~-1 (0Г - 1)(0 - 1) 8 = 0 4 = 8 + 1 / = 2п-1 0/ - 1 8 = 0 4=8+1
Ь = 2п-1
Обозначим первую после последнего знака равенства сумму А1, вторую — А2, третью — А3: . = СкС;^С/ 2П-5 08й 2П-4 0ы = ^ Скдс^ 2П-5 к 0-21 - 0'80' +
1 /,"¿-1 (0/ - 1)(0" - 1)0" 8=0 4=8+1 /,^-1 (0; - 1)(0" - 1)0" 8=0 0г - 1 +
+ _Ск сг СЛ.С/_ 2п-5 08к (ОП _ „) = _Ск сгс^с/_ 2п-5 08к +
+ /,42^1 (0/ - 1)(0" - 1)0" 8=0 ( ) /,",1=2п-1 (0; - 1)(0" - 1)(0г - 1)0"02г 8=0 +
+ _Ск Сг С^С/_0( 2п-5 08(к + г) + Ск Сг С^С/ 2п-5 „08к _
+ /,",1=2П-1 (0г - 1)(0" - 1)(0г - 1)0" 8=0 + /л=-1 (- 1)(0" - 1)0" 8=0
= у- _СкС^Г_0(2"-4)к - 1 + V _сксгс"с/_(2„_ 4) +
/,",1,к=2п-1 (0Г - 1)(0" - 1)(0г - 1)0"021 0к - 1 + (- 1)(0" - 1)(0г - 1)0"02г +
•" к = 2"--1 =0
С1.С,СъС; 0(2п-4)(к+() _ 1 + у^ _Ск Ч С^С/_0( 0_1 +0 +
+ м,мн1=2»-1 (0; - 1)(0" - 1)(0г - 1)0" 0к+г - 1 + +
+ у^ СкСгС"С/ 2п-5 „ 0(8-1)к0к _ у^ _СкС С^С/_(, 03к) +
+ /Л=2п-1 (- 1)(0" - 1)0" 8=0 мда-1 (0; - 1)(0" - 1)(0г - 1)(0к - 1)0"02103к ( ) +
+ у- _СкСгС"С/0'_П_ 0з(к+г)) +
+ /,л,«,к^=2»-1 (0; - 1)(0" - 1)(0г - 1)(0к+г - 1)0"03(к+г) ( ) +
+ у _Ск С'С"С/0к_2П-5 8( 0к )(8-1)
+ /Л=-1 (0/ - 1)(0" - 1)0" 8=0 5(0 ) "
г=2п-1
2П -5
С помощью леммы 4 вычислим сумму Е в(0к)8-1 при к = 2" - 1, так как при к = 2" - 1 она равна
8=0
нулю:
2п-4 /2"-4 \ ' 1 _ 03к
Получаем, что
А = _Ск Сг С"С/_(1 _ 03к ) +
1 /,",г,к=2п-1 (0; -1)(0" -1)( 0г -1)(0к -1) 0" 02г 03к ( ) +
+ V _СкСгС"С/0'_(^ 0з(к+г)) +
+ /,л,«,к^=2»-1 (0; - 1)(0" - 1)(0г - 1)(0к+г - 1)0"03(к+г) ( ) +
+ V _Ск Сг С^С/0к_03к )
+ /,Ь,^=2П-1 (0/ - 1)( 0" - 1)( 0к - 1)2 0" 03к ( ).
г=2п-1
Вычисление суммы А2 повторяет вычисление А1. Поэтому с учётом замены I ^ I + Н имеем
А = _СкСг С"С/_(1 03к) +
2 м,1+йк=2»-1 (0; - 1)(0" -1)(0г+" -1)(0к -1)0"02г03к ( ) +
+ V _СкСгС"С/_п _ 03(к+г+")) +
+ /,",г+",к^+"=2п-1 (- 1)(0" - 1)(0г+" - 1)(0к+г+" - 1)0"02103к ( ) +
+ V Ск С1 С"С/0к0" (1 03к)
+ (- 1)(0" - 1)(0к - 1)203к ( ). г+ь=2п-1
Ск С/ С" С / 2 -5 2 -4
Теперь вычислим А3 = Е -- Е 08к Е (^ + 1) 041. Для этого воспользуемся леммой 4 и
/ = 2П -1 0/ - 1 8 = 0 4 = 8+1
Ь = 2п-1
2П-4
посчитаем сумму Е (^ + 1) 041 при I = 2" - 1:
4=8+1
2»-4 /2"-4
£ (* + 1)0" _ Е Х+1
=8+1 \е=8+1 /,
4=8 + 1 \4=8 + 1 ,
Подставляя полученное выражение в А3, имеем
(0; - 1)2
А= Е Ск с;с;с/ ^ ^ (в + 1)0,(8 + 2) - ^^ - 0-; + Е с^с/ ^ ^ 2П-3
/,г=2п-1 07 - 1 3=0 (01 - 1)2 /=2»-1 07 - 1 3=0 4=8+2
Тг = 2»-1 ь,г = 2п-1
_ т _скс;с;с/_2П-5(в + 1)д8('+к)д2г + у- _Скс;с;с/_2п-5 „08(г+к)0г +
_ /,¡=-1 (0/ - 1)(0; - 1)2 8=0 + ] + /,¡=-1 (0/ - 1)(0г - 1)2 8=0
Ь = 2»-1 Ь = 2»-1
, скс!с^с/ 2П—5а8кд-, , ^ с/ 2п-%як 2П-3 .
+ ^ 77)7—ГГлдг-^ 0 0 + ^ Ш—ТТ ^ 0 ^ ^
/,¡ = 2»- (0/ - 1)(0( - 1)2 8 = 0 / = 2П-1 (0/ - 1) я = 0 4=8 + 2
Тг = 2»-1 Ь,г = 2п-1
Обозначим последние четыре суммы А3.1, Аз.2, А3.3, Аз.4 соответственно; вычислим их:
_„£-1 (07 1)2 £>+1)08('+к) 02=
Ь=2»-1
_ ;кс;с;с/021 а2»-5, + -Л' + ^ СкССь;7021 2П-5 .
/,.,1+к=2»-1 (07 - 1)(0 - 1)4 8=0 ( + ) ж=б1 + к + /,.==»-1 (07 - 1)(0' - 1)2 8=1 ■
Ь = 2»-1 М + к = 2»-1
2»-5 /2»-4
О учетом равенства Е (в + 1)х8 _ ^ хЧ имеем
8=0 \8=1 )
А31 = у- -Скс'с;с/-(1- 03(к+О)
А3Л /,м+=2»-1 (07 - 1)(0г - 1)2(0к+г - 1)20г03к (1 0 ).
Ь=2»-1
Рассмотрим А3.2:
А3.2 = е (0/ СкС)С;;С71)22^-5 в(0г+к)8-10г0г+к = е (07кС1С72101к)2 П? ^А +°
/,¡ = 2»- (0/ - 1)(0( - 1)2 8 = 0 /,М + к = 2»-1 (0/ - 1)(0( - 1)2 V 8=1 ) ж = ег + к
Тг = 2»-1 Тг = 2»-1
_ Ск с; С;С/ 02,0к 1 - 0-3(,+к) _ Ск с, с^с/ 02;0к 1 - 03(,+к)
/,.,.+к=2»-1 (07 - 1)(0г - 1)2 (0;+к - 1)2 /,.,.+к=2»-1 (07 - 1)(0г - 1)2(0г+к - 1)2 03(,+к) ■ Ь = 2»-1 Ь = 2»-1
Теперь вычислим А3.3:
А _ V сксс;с/ 2»-5 08к0-, _ V сксгс;с/ 0(2»-4)к - 1 +
3.3 /,¡==-1 (07 - 1)(0г - 1)2 8=0 /лк=»-1 (07 - 1)(0г - 1)20; 0к - 1 +
Ь=2»-1 Тг = 2»-1
_ у, _ск с; с^с/_ 1 - 03к
_ /,¡,¿»-1 (07 - 1)(0г - 1)2(0к - 1)0; 03к ■
Ь = 2»-1
Осталось вычислить А3.4:
А3.4 _ е с/^2?-5 08к 2?-31 _ е 2?-31 е 08к _
/ = 2» -1 (07 - 1) 8 = 0 4 = 8 + 2 / = 2» -1 (07 - 1) 4 = 2 8 = 0
h,¡ = 2n-1 Ь,г = 2»-1
^ сксгс^с/ 2»-3,0(4-1)к - 1 + у, сксгс^с/ 2»-31)_
/,к=2»-1 (07 - 1) ¿=2 0к - 1 + /^=-1 (07 - 1) 4=2
М = 2»-1 h,¡,fc = 2n-1 =0
3 2» — 3
_ скс1с;с7 ^.р3 ,(0к)4-1 + V скс'с;с7 ^^р3^ _
-1 (0; - 1)(0к - 1) ¿=2 ( ) + /,к=Г»-1 (07 - 1)(0к - 1) ¿=2
=0
^ ск сгсЛ-с/ Р»-3
/,к=2»-1 (07 - 1)(0к - 1Н 4=2 / ^,¡ = 2» - 1
Для завершения вычисления А3.4 осталось применить лемму 4 и вычислить
2»-3
Е
х
1 + 03к
¿=2 Л=вк 0к (0к - 1)2'
В итоге получаем Аз.4 = ^Е^ (б/ -С1р-/ 1)зе> (1 - 03к). Собирая все суммы вместе, получаем
А = А + А + А = V _Ск _(1 Д3й) +
1 + 2 + 3 мда-1 - 1)(0Л - 1)(0; - 1)(0к - 1)0Л02103к ( ) +
+ V _С/ _( 03(й+г)) +
+ М,«,к+Г=2»-1 (0' - 1)(0Л - 1)(0г - 1)(0к+1 - 1)0^03(к+г) ( ) +
+ V _СкС'С^С/0к_(1 _ 03к) +
+ /Л,к=2»-1 (0/ - 1)(0Л - 1)(0к - 1)20^03к ( ) +
г=2»-1
+ у^ _СкС; С^С/_(. 03к ) +
+(0; - 1)(0Л - 1)(0г+^ - 1)(0к - 1)0^02г 03к ( ) +
+ (0/ - 1)(0Л - 1)(01+^ - 1)(0к+г+^ - 1)0^02103к ( ) +
+ V _СкС'С^С/0к • _(1_ 03к)+ V _СкС'С^С/_(1_ 03(^+О) +
+ /,^,к=2»-1 (0; - 1)(0Л - 1)(0к - 1)203к ( ) + /,.,<+1=2»-1 (0' - 1)(0г - 1)2(0к+; - 1)20г03к ( ) + ¿+Ь=2»-1 Тг = 2»-1
+ у СйС;С^С/0210к 1 - 03(1 + к) +
+ /,1>1+к=2»-1 (0' -1)(0; - 1)2(0;+к - 1)2 03(1+к) + Ь = 2»-1
+ у _С'С^С/_ 1 - 03к + у С'С^С/ (1 _ 03к)
+ /да-1 (0' - 1)(0; - 1)2(0к - 1)0; 03к + /,¿=»-1 (0' - 1)(0к - 1)30к ( )'
Ь=2»-1 М = 2»-1
Сравнивая суммы А и В, можно заметить, что В получается из А заменой Н ^ Н + / и умножением на
Поэтому сразу выпишем В:
В = у _С& С (1 - 03к)_+
/,!,«=»-1 (0' - 1)(0Л+' - 1)(0; - 1)(0к - 1)0^02103к +
+ у _С^С'0;(1 - 03(к+;))_ + СкС;С^С'0к (1 - 03к) +
+ /,.,к+1=2»-1 (0' - 1)(0Л+' - 1)(0; - 1)(0к+; - 1)0^03(к+г) + /,/=2-1 (0/ - 1)(0Ь+/ - 1)(0к - 1)20^03к +
Тг + /= 2» -1 г=2п-1
+ у _СйС;С^С' (1 - 03к)__
+ /,Ь + /^2П-1 (0' - 1)(0Л+' - 1)(0; + ^+' - 1)(0к - 1)0^02;03к +
¡+ь+/=2п-1
+ _СйС;СЬС'(1 - 03(^+' + к))_+
+ /,к + 1 + Ь + / = 2»-1 (0' - 1)(0Л+' - 1)(0' + ^+' - 1)(0г + ^+' +к - 1)0^02103к +
ь+/,г+ь+/=2П -1
+ у СйС^С'0^+к02' (1 - 03к) + СйС^С'0'(1 - 03(к+;)) +
+ /л+да- (0' - 1)(0Л+' - 1)(0к - 1)203к + /,.,1+к=2»-1 (0' - 1)(0; - 1)2 (0к+; - 1)20;03к +
г + Ь+/ = 2п-1 Ь+/ = 2п-1
+ у СйС;С^С'0'0210к 1 - 03(1 + к) + СйС;С^С'0' 1 - 03& +
+ /,.,1+1=2»-1 (0' - 1)(0; - 1)2(0;+к - 1)2 03(1 + к) + /,.,¿^»-1 (0' - 1)(0; - 1)2(0к - 1)0; 03к +
=2»-1 Ь+/=2п-1
+ V Ск С'С^С'0' (1 03к)
+ /,¿=»-1 (0' - 1)(0к - 1)30к (1 0 )'
ь+/,г=2п-1
Осталось посчитать последнюю сумму:
2"-5 / 2»-4
в = Е СкССьС' £ 0-к Е
'=2»-1 я=0 \ ¿=8+1
2»-3
041 Е
Р=4+1
2»-5 2»-4 2»-3
= Е СкС,СЛС^ р(0^)р-10Ч
Л = 2»-1 я = 0 ¿=8+1 р=4+1 /=2»-1
2п-5 2п-4 2п-3 2п-5 2п-4 ( 2п-3 V
+ £ Ск с; слс/ £ 0я* £ 0« £ р _ £ Ск с,слс, £ 0е* £ 0«0М £ +
/,Л,=2п-1 я = 0 ¿=я+1 р=*+1 Л=2п-1 я=0 ¿=я+1 \р=4+1 /
2п-5 2п-4 2п-3 + £ Ск С;С£С/ £ 0я* £ 0« £ р. /,Л,=2п-1 я=0 ¿=я + 1 р=*+1
Обозначим последние две суммы и ^2 соответственно. Для вычисления сначала посчитаем следующую сумму:
/2П-3 \ ' _ ,0£(*+1) - (, + 1)0*£ - 0-£ ^^ = ^ .
Вернёмся к :
А = £ С*С!СЬ С; 0£ 0** 0« ™--£±10-0- =
Л = 2п-1 я = 0 ¿ = 8 + 1 (0 - 1)
/ = 2п-1
С, С,С, 2п-5 2п-4
= £ С*С'С£С;02 £ 0,* £ (¿0*(;+£)0£ - (, + 1)0*(£+;) - 0«0-£) =
Л=2п-1 (0 - 1) я = 0 ¿=8+1
/ = 2п-1
= Е 2Е5 0я* 2Е4 ^0*(г+£) + Е 2ё5 0** 2ё4 (*+ 1)0^+г)+
Л = 2п-1 (0 - 1) я = 0 ¿ = 8+1 Л = 2п-1 (0 - 1) я = 0 ¿ = 8 + 1
/ = 2п-1 / = 2п-1
+ £ (§?СТ^2£5 0я*2£-4 0*'.
Л = 2~-1 (0£ - 1)2 я = 0 ¿ = , + 1
/=2п-1
Обозначим получившиеся суммы ^1.1, ^1.2 и ^1.3 соответственно. Тогда
2£ 2п —5 2П-4
Я1Л = £ С*С'.С£С/02 £ 0я* £ ¿0(*-1)('+£)0'+£
л=2^-1 (0£ - 1)2 я = 0 ¿=8+1 / = 2п-1
^ (0ь ;)2 Е 0я*0'+£ Е1 х + Е (0£ ;)2 Е 0я* Е
л=2п-1 (0 - 1) я = 0 \*=я + 1 / х=дг + л л=2п-1 ,н -
/ = 2п-1 х " /,г + Л = 2п-1
М + л=2п-1 (0£ - 1)2 я = 0 \*=я + 1 /х=дг + л л=2п-1 (0£ - 1)2 я=0 ¿=8 + 1
С использованием леммы 4 выпишем значение
2п-4
-
х
*=я+1 / ж=ег+л
0-3('+£) - 50('+Ь)(я + 1) - (5 + 1)0(' + £)я (0'+£ - 1)2
Подставляя это выражение в ^1.1, получаем
_ СйС^С;02£0'+£ 2П-5 0-3('+£) - 50('+£)(я+1) - (а + 1)0('+£)я
= ^ + 6^-1 (0£ - 1)2 ,=0 0 (0' + ^ - 1)2 + / = 2п-1
^ С&С'С£С/02£ 2П-4 , 08й = v С*С'С£С/02£ 2П-5 08й +
+ л=2П-1 (0£ - 1)2 ¿=1 я=0 М + М2П-1 (0£ - 1)2(0'+£ - 1)202('+£) я=0 +
/,1 + Л = 2п-1 / = 2п-1
+ V С*С'С£С;03£0' 2п-5 ч0('+Ь+Й)«0'+Ь + V С*С'С£С;03£0' 2\-5(ч + 1)0('+£+*)я +
+ Л,г + ^=2П-1 (0£ - 1)2(0' + £ - 1)2 ,=0 50 0 + М + М2П-1 (0£ - 1)2(0' + £ - 1)2 ,=0 (5 + 1)0 +
/ = 2п-1 / = 2п-1
^ СйС'С^С;02£ 2п-4 ,0** - 1 + С*С;С£С;02£ 2п-4 . . =
+ л,к=5П-1 (0£ - 1)2 ¿=1 г 0* - 1 + л =2П-1 (0£ - 1)2 ¿=1 ' • '
/,г + л=2п-1 /,г + h,fc=2n-l ^ у ^
=0
_ у, _Сй С; С£С;__1 - 03* +
= М + Л^п-! (0^ - 1)2(0' + £ - 1)202' 03*(0* - 1) +
/ = 2п-1
+ V С*С'С£С;04£02' 2п-5 ч0('+Ь+й)(8-1)0'+Ь+й +
+ ^ (0£ 1)2 (0'+£ 1)2 ^ 5 +
ь,г+ь,г+л+ь=2п-1 (0 - 1) (0 ' - 1) я=0 /=2п-1
+ ^ СйС;С£С;03£0' /2П-5 + СйС;С£С;02£ 2П-4,0*(4_1)0* _
л,г+л,г+л+к=2п-1 (0£ - 1)2(0;+£ - 1)2 \ ,=0 /т=дг+л+к л,к=2п-1 (0£ - 1)2(0* - 1) ¿=1
/=2п-1 х и /,1+Л=2п-1
= ^ сйс;еье;(1 - а3к) + ейе,е^е;А2^к(1 - д3(г+^+к)) +
н^ + н^: —1 (^ - 1)2(01+Л - 1)2(0к - 1)02г03к + н,1 + н,г+Н+к=2:- 1)2(0 + Л - 1)2(0г+^+к - 1)2д3к +
f = 2: —1 f = 2: —1
+ v ейсе^е;(1 - д3(г+^+к)) + ейе,е^02*(1 - а3к)
+ (0Л - 1)2(Рг+^ - 1)2(Рг+^+к - 1)2Р2гР3к + ь,к=2П-1 (0Л - 1)2(Рк - 1)3Р2к '
f = 2: —1 ^¡ + Н = 2: —1
Теперь посчитаем ^1.2:
С,.2 = £ 2£5«*' (2£3 X')' + I: 2£52£3 <•
н,н+г=2: —1 (а - 1) я=0 \'=я+2 / „=дн+г н=2: —1 (а - 1) я=0 '=я+2
f = 2: — 1 х = " ^Н + г = 2: —1
/ 2:-з )' (з + 1)^(ь+г)(8+2) - 5^(ь+г)(8+1) - д-(ь+г) По лемме 4 имеем I ^ ж' I = - +,--2-. Вернёмся к вычисле-
\'=8+2 / х=ен+г (а + - 1)
нию С,.2:
1.2 Н,Н+1=2: —1 (^ - 1)2 ^=0 (Р^ - 1)2 +
f = 2: —1
+ £ 2£3( £2
н=2: —1 (а - 1) '=2 я=0
^Н + 1 = 2: — 1
Заметим, что вторая сумма была посчитана в А3.4. Продолжим преобразования:
дЬ 2:-5
V-» е; ег епе;>
•/1.2 '
н
f = 2: —1
аЬ 2:-5
Dl 2 = V _CfcС;CfeC/вк_2 5 + 1)0(h+i + fc)s02(h+i) +
Dl'2 J=i»—1 (Ph - 1)2(Ph+; - 1)2 s=0(s + 1)P +
+ s (gh c1C2(f 1)22£ sP(h+;+k)sP(h+;) +
h,h + i = 2n —1 (P — J-) (P — 1) s = 0 f = 2n —1
^ CkCCfeCf2n-5 k (h+0 + v CkCChCfph(1 - p3k)
+ h,h+f=2n-i (Ph - 1)2(Ph+; - 1)2 s=o + h,fc=2n_i (Ph - 1)2(Pk - 1)3Pk
f = 2n —1 f,h + i = 2n —1
_ Ck C; ChCfp3hp2; Z2"-4 V +
^ + ^ = 2-1 (P^ - 1)2(Ph+l - 1)4 S=1 J x = eh + ; + k +
+ CfcC;CfeCf P2hP; Z2^5 V ph+l+fc +
h,h + i,,h + i + fc = 2n-1 (Ph - 1)2 + г - 1)2 \ S=1 /x = gh + i + fc
+ v Cfc c; CfeCf (1 - P3k) + Cfc ClCfeCf Ph(1 - P3k)
+ (Ph - 1)2(Ph+; - 1)2(Pk - 1)P;P3k + h,fc=2n_1 (Ph - 1)2(Pk - 1)3Pk '
f = 2n-1 f,h + i = 2n-1
_ CkC;CfeCf P3hP2;__1 - P3(l + h+k)
= h,h + .,h+^+fc = 2»-1 (P^ - 1)2(Ph+; - 1)2 P3(l + h+k)(P; + h+k - 1)2 +
f = 2n — 1
CkCChCf P2hP;__1 - P3(l+h+k)
+ Ь,Ь + г,Ь^Г+к = 2П —1 (Ph - 1)2(Ph + ; - 1)2 P2(l + h + k)(P; + h+k - 1)2 +
f = 2n —1
+ ^ CkC;CfeCf (1 - P3k) + ^ CkC;ChCf Ph(1 - P3k)
h,h + 1,^2n —1 (Ph - 1)2(Ph + ; - 1)2(Pk - 1)P;03k 1 h,fc=2n —1 (Ph - 1)2(Pk - 1)3Pk •
f = 2n —1 f,h + i = 2n —1
Далее вычислим сумму D1.3:
Ci-CCuCt 2n-5 2n-4 Ci-CCuCf 2n-5 д(2"-3)г _ pi(s + 1) Dl-3 = Ъ (Ph-1)2 P Ъ P = Ъ TPh-^ Ъ P --1-+
h = 2n — 1 (P - 1) s = 0 i=s + 1 M = 2n — 1 (P - 1) s = 0 P - 1
f = 2n —1 f = 2n —1
+ CkC;ChCf 2n-5 PSk 2n-4 1 _ v _CkC;ChCf_2n-5 PSk 1
+ h=in—1 (Ph - 1)2 s=0 i=r+1 1 (Ph - 1)2(P; - 1)P2; s=0 +
f,i = 2n —1 f = 2n —1
I CkC;ChCf P' 2n—5 Ps(;+k) I CkC;ChC/ 2n—5 sP(s-1)kPk _
+ 1 (Ph - 1)2(P; -1) ¿0P + h=in—1 (Ph -1)2 s=0sP P
f = 2n —1
f,i = 2n —1
СкС(СКС/ 1 - 03к + ^ СкС(СКС/0( 1 - 03((+к) +
1 (0Ъ - 1)2(0( - 1)02( (0к - 1)03к + л,.,.+к=2п—1 (0Ъ - 1)2(0( - 1) (0(+к - 1)03((+к) + / = 2» — 1 / = 2» — 1
+ скс(^с/0к А2П—5 ТЛ ' = V СкС(СЪС/__1 - 03к +
+ ь,к=2П—1 (0Ъ - 1)2 ^=1 У х=6к 1 (0Ъ - 1)2(0( - 1)02( (0к - 1)03к +
/,¡ = 2» —1 / = 2» —1
^ СкС(СНС/0( 1 - 03((+к) + _ СкС(СНС/0к 1 - 03к
+ 2-< ЮЪ. 142/ й( 14 /¿)(+к 14а3(( + к) + ^
,.,.+1=2»—1 (0Ъ - 1)2(0( - 1) (0(+к - 1)03((+к) ^=2»—1 (0Ъ - 1)2 (0к - 1)203к'
/ = 2» — 1 /,. = 2» — 1
Осталось вычислить
2»—5 2»—4 2»—3 2»—5 2П—3 р—1
Я = £ скс(скс/ £ 08к £ 04( £ р = £ скс(вкс/ £ 08к £ р £ 04( =
/,Ъ=2» —1 8=0 4=8 + 1 р=4+1 /,Ъ=2» —1 8=0 р=8+2 4=8+1
2»—5 2»—3 0(р—1 —8)^ _ 1 2»—5 2»—3
= £ скссъс/ £ 08к £ р0(8+1)(----+ £ скссъс/ £ 08к £ р(р - 1 - в) =
1=2» —1 8=0 р=8+2 0 - 1 /,Ъ,(=2» —1 8=0 р=8+2
/,Л = 2" — 1
= £ ^ 2»—5 08к 2»—3 р0(р—1)(0( + £ ЦР/ 2»—5 08к 2»—3 р0(80( +
¡ = 2» — 1 0 - 1 8 = 0 р=8 + 2 . = 2» —1 0 - 1 8 = 0 р=8 + 2
/,Ь = 2" — 1 /,Ь=2" — 1
2» —5 2»— 3 с,с,с,с,0( 2»—5 / 2»—3 V
2»—5 2» —3 С1.С,Сь.С,0( 2»—5 / :
+ £ СкС(СЪС/ £ 08к £ (р(р - 1)+ рв)= £ Ск0(СъС/0 £ 08к
/,Ъ, (=2» — 1 8=0 р=8+2 ¡=2» —1 0 - 1 8=0 \р
/,Л = 2" — 1 \
хр +
-1 8 = 0 р= 8 + 2 ¡ = 2»—^ 0 - 1 8 = 0 \р=8 + 2 у х = е.
С1С,С,С.0( 2»—5 2»—3 2»—5 2»—3
+ £ Ск0(СЪС/0 £ 08((+к) £ р + £ скссъс/ е в08к Е р-
¡ = 2» —1 0 - 1 8 = 0 р=8 + 2 /,Ъ, ( = 2» — 1 8 = 0 р = 8 + 2
/,Ь = 2" — 1
Обозначим три последние суммы ^2.1, ^2.2. и ^2.3. Заметим, что ^2.1 вычисляется аналогично ^1.2:
Я2.1 = £ 2££—5 08к ( 2£ =
¡ = 2» — 1 0 - 1 8 = 0 \р=8 + 2 / Л. /,Ь = 2» — 1 V / Ж = 6¡
= скссъс/0( 2»—5 08к (в + 1)0((8+2) - в0((8+1) - 0—( =
¡=2»—1 0( - 1 8=0 (0( - 1)2
/,Л = 2" — 1
= £ У/Г 2£—5(в + 1)08(к+() + £ С;0(СЪС/Г 2£—5 в0(8—1)(к+()0(+к + ¡ = 2» —1 (0 - 1) 8 = 0 ¡ = 2» —1 (0 - 1) 8 = 0 /,Ь = 2» —1 /,Ь = 2» — 1
+ скс(със/0( 2»—5 08к0—( = скс(със/03( 1 - 03(к+() +
+ ¡=2»—1 (0( - 1)3 8=0 ¡,¿+¡=2»—1 (0( - 1)3 03(к+()(0к+( - 1)2 +
/,Ь = 2» — 1 /,Ь = 2» —1
+ Скс(със/03(0к 1 - 03(к+() + Скс(със/ 1 - 03к
+ /щ 143 л3(к+п/ лк+( 142 +
Вычислим ^2.2:
1 (0( - 1)3 03(к+()(0к+( - 1)2 ¡,к=2»—1 (0( - 1)3 03к(0к -1) • /,Ь = 2» —1 /,Ь = 2» —1
Я2.2 = £ Ск0(СЪС/0 2£—5 08((+к)2£—3 р = £ Ск0(със/0 2££3р£08((+к) =
¡ = 2 »— 1 0 - 1 8 = 0 р=8 + 2 ¡ = 2 »— 1 0 - 1 р=2 8 = 0 /Л = 2» — 1 /,Ь=2" — 1
к Ъ /0 2 —3 0( +к)(р—1) - 1 к Ъ /0 2 —3 = £ 0( / Е р 0(+к 1— + Е 0( / Ерр-1) =
¡,¡ + ¿ = 2 1 — 1 0 - 1 р=2 0 - 1 ¡ = 2» — 1 0 - 1 р=2 4 V '
/,Л=2" — 1 /,^,¡ + ¿ = 2» — 1 =0
скс (съ/0 2 :—3 р0(р—1)( (+к) = ^ скс (съ/0 (2 :—3 Л
¡,¡+¿=2»—1 (0 ( - 1)(0(+к - 1) р=2 р ¡,¡+¿=2»—1 (0( - 1)(0(+к - 1)1 р=2 б_
/,Ь = 2 »— 1 /,Ь = 2 »— 1 ^ / С^б^^
_ Скссъс/0( 1 - 03((+к)
¡,¡+¿=2»—1 (0( - 1)(0(+к - 1) 0(+к(0(+к - 1)2 ' /,Ь = 2» — 1
Осталось вычислить ^2.3:
2 —5 2 —3 2 —3 р—2
Я2.3 = £ Скссъс^ 508^ р = Е Скссъс/0^ р £ 50(8—1)к /,Ъ,(=2» — 1 8 = 1 р=8 + 2 /,Ъ,(=2» — 1 р=3 8=1
2"-3 /р-2 у 2"-3 р-2
Е СкС;СьС/0к Е Р Е X8 + Е СкС;СьС/0к Е ^ в.
,¡=2" -1 Р=3 \ 8 = 1 /х=^ /А(,к=2"-1 р=3 8 = 1
1
/,М=2"-1 Р=3 \8 = 1 / х=^ /А(,к=2"-1
/Р-2 8^' РХР-1 - (Р - 1)ХР-2 - 1 „
Заметим, что ¿^ = -7-ГГт-. Тогда
V8 = 1 Ух=0* (Х - 1)2
Л у^ 0к 2"-3 Р0к(Р-1) - (Р - 1)0к(Р-2) - 1 +( )4
Л2.3 = Е СкС1 С"С/0к Е Р-Ш-Т\2--+ (с2"-1)4 =
/,М = 2"-1 Р=3 (0 - 1)
к = 2"-1
= Е 2"-3 Р20к(Р-1) + (с2"-1)4 = £ (^Е ^ +(С2"-1)4
/,М = 2"-1 (0к - 1)2 Р=3 У ^ /,^,¡=2"-1 (0к - 1)2 I Р=3
к = 2"-1 к=2"-1 \
= СкС1 СЛ,С/0к 1 - 03к +(с )4 = ^ СкС С^С/ (1 03к) + (с )4
= (0к - 1)2 0к(0к - 1)2 + (С2"-1) = /,진-1 (0ГТТУ4(1 - 0 ) + (С2"-1) ■
к=2"-1 к = 2"-1
В итоге получаем
Л = v СкС;С"С/(1 - 03к) + Ске;С"С/02"0к (1 - 03('+"+к)) +
М + Л=2"-1 (0" - 1)2(01+" - 1)2(0к - 1)02103к + м + М+^=2"-1 (0" - 1)2(01 + " - 1)2(01+"+к - 1)203к +
/ = 2" - 1 / = 2" -1
+ v Ске;С"С/ (1 - 03('+"+к)) + Ске;С"С/02"(1 - 03к) +
+ м + М+^=2"-1 (0" - 1)2(01+" - 1)2(0 + "+к - 1)202103к + ^¿"-1 (0" - 1)2 (0к - 1)302к +
/ = 2" -1 /,! + Ь = 2"-1
^ СкСгсьС/021 1 - 03(1+"+к) +
+ ЬЛ + 1Л++^ = 2"-1 (0" - 1)2(0"+1 - 1)2 03(1+к)(01 + " + к - 1)2 + /=2"-1
+ СкС1 С"С/0'__1 - 03(1+"+к) +
+ ЬЛ + 1Л+1^ = 2"-1 (0" - 1)2(0"+1 - 1)2 02(/+k)(0/ + h + k - 1)2 + /=2"-1
+ СкС1 С"С/ (1 - 03к) + СкС;С^С/0"(1 - 03к) +
+ ^+¡^"-1 (0" - 1)2(0"+1 - 1)2(0к - 1)0103к + ^-1 (0" - 1)2(0к - 1)30к +
/ = 2" - 1 /,Ь + 1 = 2"-1
^ СкС1 С"С/ 1 - 03к + ^ СкС1 С"С/01 1 - 03(1 + к) +
+ ^¿"-1 (0" - 1)2(0; - 1)021 (0к - 1)03к + МТО"-1 (0" - 1)2(01 - 1) (0+к - 1)03(1+к) +
/=2"-1 /=2"-1
+ Ск С1 С"С/ 0к 1 - 03к + Ск С; С^С/ 1 - 03(к+;) +
+ ^=2"-1 (0" - 1)2 (0к - 1)203к + ¡,Ь + 1=2"-1 (01 - 1)3 03к (0к + 1 -1)2 + /,¡ = 2" - 1 /,Ь = 2"-1
+ Ск С, С^С/ 0к 1 - 03(к+1) + Ск С, С^С/ 1 - 03к +
+ ¡,к+1=2»-1 (01 - 1)3 03к(0к+1 - 1)2 + ¡,*=к-1 (01 - 1)3 03к(0к - 1) + /,Ь = 2"-1 /,Ь = 2"-1
^ СкСгС^С/ 1 - 03(1+к) + у- СкС С"С/ (1 _ 03к) + (с )4
+ ¡,¡+¿2"-1 (01 - 1)(01+к - 1) 0к(01+к - 1)2 + (0к - 1)4 (1 0 ) + (С2"-1) ■ /,Ь = 2"-1 к = 2"-1
Выражение А + В + Л даёт требуемый результат. ■
X
