CC BY
16
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. McEliece R.J. A public-key eryptosystem based on algebraic coding theory // DSN Prog. Rep. Pasadena: California Inst. Techno!., 1978. P. 114-116.
2. Сидельников B.M. Открытое шифрование на основе двоичных кодов Рида-Маллера // Дискретная математика. 1994. 6. № 2. С. 3-20.
3. Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.
4. Сидельников В.М., Першаков А. С. Декодирование кодов Рида-Маллера при большом числе ошибок // Пробл. передачи инф. 1992. 28. № 3. С. 80-94.
5. Карпунин Г. А. О ключевом пространстве криптосистемы Мак-Элиса на основе двоичных кодов Рида-Маллера // Дискретная математика. 2004. 16. № 2. С. 79-84.
Поступила в редакцию 10.06.08
УДК 519.95
А.Е. Шиганов1
О СИНТЕЗЕ ОРИЕНТИРОВАННЫХ КОНТАКТНЫХ СХЕМ С НЕКОТОРЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА СМЕЖНЫЕ КОНТАКТЫ*
В работе исследуется реализация булевых функций в классе ориентированных контактных схем (ОКС) с некоторыми ограничениями на вес, число и типы смежных контактов. Рассматриваются ОКС, в которых из произвольной вершины может исходить не более А дуг, а среди пометок исходящих дуг может быть использовано не более V различных булевых переменных. Вводится понятие веса вершины ОКС, который полагается равным А, если в вершину входит одна дуга и А(1 + ш), где ш > 0, иначе. Далее обычным образом определяется вес ОКС как сумма весов вершин, вес булевой функции как минимальный вес реализующих ее ОКС и функция Шеннона №\„и1(п) как максимальный вес булевой функции от п переменных. Для этой функции Шеннона при А > 1, V > 1 и произвольном ш > 0 получена так называемая оценка высокой степени точности:
А 2« /
= ---— 1+-
А — 1 п V п
Полученный результат показывает, каким образом введенные в классе ОКС весовые и структурные ограничения влияют на асимптотическое поведение функции Шеннона „ ш(п) и ее оценки высокой степени точности.
Ключевые слова: булева функция, контактная схема, сложность, функция Шеннона, оценка высокой степени точности.
1. Постановка задачи. В настоящей работе изучается поведение функции Шеннона, связанной с реализацией булевых функций в классе ориентированных контактных схем (ОКС) [1] с некоторыми ограничениями на вес, число и типы смежных контактов.
Пусть II — класс всех ОКС, а I д — класс ОКС И, таких, что полустепени исхода вершин I! не превосходят А. Весом вершины V ОКС I! из класса 11\ назовем А, если в V входит одна дуга, и А(1 +ш), где ш > 0, иначе. Под сложностью Ь(Е) произвольной ОКС Е будем понимать число контактов в ней. Весом ОКС I! из класса 11\ назовем сумму весов вершин 1!.
Для вершины V ОКС Е обозначим через число различных булевых переменных, которые встречаются среди пометок дуг, исходящих из V. Пусть г/(Е) = тахгде максимум берется по всем вершинам 1!. Обозначим через £/д,к множество схем Е ич I д. таких, что г/(£) ^ ь>.
Сложностью Ь(/) (соответственно весом булевой функции / называется минимальное
число контактов (соответственно минимальный вес) ОКС (соответственно Т, € реали-
зующей /. Функции Шеннона, связанные с функционалами Ь(/) и определяются обычным
образом:
Ь{п)= тах £(/), = тах
__f(Xl,...,Xn) f(Xl,...,Xn)
хФакультет ВМиК МГУ, асп., e-maihdf-dxQmail.ru.
*Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 06-01-00745.
Асимптотическое значение 2п/п функции Шеннона для сложности ориентированных контактных схем может быть установлено с использованием результатов, полученных О.Б. Лупановым [2, 3]. Из этих результатов, в частности, следует, что*
£ Л + Jbgn-OMN £ / + 3
п \ п J п \
log п + 0( 1)
п
В работе [4] оценки на Ь(п) были впервые уточнены, а именно была получена так называемая асимптотическая оценка высокой степени точности (АОВСТ)**:
= vt 2 logn ± 0(1) \
п \ п J
В работе [5] изучалась реализация булевых функций в классе двоичных решающих диаграмм (Binary Decision Diagrams — BDD) (см. [1, гл. 2, § 7]) с весовыми ограничениями. В этой работе вес вершины BDD полагался равным 1, если в вершину входит одна дуга, и (1 + ш), ш > 0, иначе. В [5] была получена АОВСТ для соответствующей функции Шеннона, а используемые построения могут быть перенесены на класс ^д для получения АОВСТ:
п \ п /
В работе [6] рассматривался класс контактных схем с ограничением на степени вершин и была получена асимптотика соответствующей функции Шеннона.
В работе [7], а также в настоящей работе модель весовых ограничений в классе ВОО [5] и структурных ограничений [6] переносится на случай ОКС. Отметим, что в [7] фактически была установлена АОВСТ:
А 2п ( т~~г 1оеп ± 0(1) \
И\а,ы(п) = 1 + -^ . (1)
А — 1 п \ п I
Основным результатом настоящей работы является следующая Теорема. Для п ^ 1, ш>0, А > 1 и 1 < ^ ^ А справедливо
А 2п ( 2ЛГ"Г2 1е^п±0(1)\
= Т^Т- 1 + —-Ё-— • (2)
А — 1 п \ п
2. Некоторые разбиения единичного куба. Универсальные множества функций и селекторные разбиения переменных. Множество 8 С {О, I}9 называется т-регулярным [1, гл. 4, § 6], если т < д, |<5| = 2™ и наборы из 8 имеют различные префиксы длины т. Заметим, что на т-регулярном множестве наборов 8 С {О, I}9 любая функция /(х\,... ,хд) совпадает с некоторой функцией д(х 1,... ,хт). Из результатов [1, гл. 4, § 6] вытекает справедливость следующей леммы.
Лемма 1. Пусть т < д и д\,... ,дд-т — набор функций от переменных х\,... ,хт. Тогда существует разбиение А = (^1,..., куба {О, I}9, такое, что для г = 1,..., 2(1~т множество 81 является т-регулярным и каждая функция д^ совпадает на 81 с переменной х:-1+т или с ее отрицанием, Э = 1,... ,д - т.
Пусть 9?(у1,... ,ур) — булева функция, существенно зависящая от всех своих переменных. Множество функций О от переменных х\,... ,хт называется универсальным порядка т для (р, если для любой функции д(х\,... ,хт) в множестве О найдутся функции д 1,... ,др, такие, что д может быть представлена в виде
д = <р(ди...,др).
Пусть У — множество булевых переменных. Для множества '/.. У. к V. будем обозначать через а € {0,1}, подстановку константы а на места всех переменных из У.
Пусть I) — разбиение множества булевых переменных У = {щ,..., ур} на компоненты У^ ..., У^. Разбиение Б называется селекторным разбиением переменных функции <р(у1, ■ ■ ■ ,ур) [В, § 3], если
*Все логарифмы в данной работе берутся по основанию 2.
""Равенство к(п) = £(п) ± 0(д(п)) означает, что \Н(п) — £(п)| = 0(д(п)).
для любого г, г = 1,... и для любой переменной у, у Е Уг, существуют такие булевы константы аЬ . . . ,аг_1,аг + 1, • • • чт0 в случае подстановки У^, . . . ,Уг-1 Уг + 1 !<**+!, • • • функция (р
совпадет с у или у.
Из результатов [8, § 4, лемма 5] вытекает следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть И = (Ух,... , У^) — селекторное разбиение множества переменных функции .. •, уг) г/ §1,..., — набор целых чисел. Пусть целое т выбрано так, шо выполнено условие
а
\ 8к ^ 2т, тогда существует универсальное множество функций О порядка т для ср такое,
что:
1) о = о1и---иоа-,
2) к = 1,...,с1;
3) множество (7 является универсальным для {р с тем ограничением, шо функции из бгх,..., подставляются на места переменных из У15..., У^ соответственно.
Напомним, что глубиной вершины корневого дерева называется число ребер на пути от корня к этой вершине. Высота корневого дерева определяется как максимальная глубина его листьев.
Рис. 1. Ориентированная контактная схема Тр
Отметим, что при и = X равенство (2) переходит в равенство (1), поэтому будем рассматривать случай, когда 1 < v < А. Обозначим 7 = min(^, А — z/), £ = max(A — 2z^, 0). При этом 7 > 0 и £ ^ 0. Пусть р — четное, I = [log]?], b = 21 — р. Рассмотрим (1,^)-ОКС Тр (см. рис. 1), являющуюся корневым деревом высоты I с (р — 1) внутренней вершиной, входным полюсом а!х и выходными полюсами ад,..., ар_1. В схеме Тр из каждой вершины а!{ исходят дуги, помеченные щ, щ, г = 1,..., (р — 1). Будем называть выходы ад,..., ар_г выходами типа 1.
Для каждой вершины а!^ г = 1,..., (р — 1), проделаем следующие операции.
1) Если 7 > 1, то присоединим к а!{ исходящие дуги, помеченные переменными ... . . . , + +
2) Если 2v > А, то дополнительно присоединим к а[ исходящие дуги, помеченные переменными
ui+j(p-l)i • • • 5 ui + (i/-l)(p-l)'
3) Если £ > 0, то дополнительно присоединим к а[ £ исходящих дуг, помеченных переменной Щ + {у- 1)(р-1)-
4) Концы присоединенных дуг пометим
_9ч..... а
Wz-l)(A-2) + (A-3)
соответственно.
Таким образом, из каждой вершины а^, г = 1,..., (р — 1), исходят дуги, помеченные переменными:
..., г^_|_(7_1)(р_1), г^_|_(7_1)(р_1),
4-V-'
27
^¿+7(^-1)5 • • • ^ Щ + {^-1){р-1)ч
V — 7
Ui+(v-l)(p-l)l • • • 5 Ui+(v-l)(p-l) •
Будем использовать следующие обозначения:
• при 7 > 1 выходы о^'+(<_1)(А_2)+2к_1 И Ор+(г_1)(д_2)+2/г-2' к = ^ • • • , (т - 1), будем называть
выходами типа (к + 1);
• при С > о выходы Ор_|_(г_1)(д_2)+(д-з)-(£-1)' • • •, <+(г-1)(А-2)+(А-з) бУДем называть выходами типа
(7 + 1),..., (7 + £) соответственно;
• все остальные выходы будем называть выходами типа 0.
Полученную ОКС обозначим Тр. Положим р = и(р — 1), р' = (р — 1)(А — 2) + р. Вершины а'0',... ... ,а'р,_1 будем считать выходами Тр. Отметим, что схема Тр является (1,р')-ОКС из класса 11х,р-Пусть — функция проводимости между входом а[ и выходом а", ] = 0,..., (р' — 1). Введем функцию срр следующим образом:
р'-1
(рр(щ, ...,ир,Уо,.. .,УР>-1) = \/ Уз!у
3=0
Будем говорить, что переменная у^ связана с выходом а", ] = 0,..., (р' — 1).
Пусть I/ = {«1,..., Ир}, У = {уо,..., 1}. Множество и разделим на непересекающихся подмножеств следующим образом: для й = 1,..., I = 1,..., V множество IIсодержит все переменные и^, такие, что ] = к + (г — 1)(р — 1), 1 ^ к ^ (р — 1), и Uj, гIj помечают дуги, исходящие из вершины глубины (й — 1). Отметим, что для ъ = 1,...,г/ выполнено = й = — 1, |{у(М)| р _ 2'
Обозначим через множество переменных из У, связанных с выходами типа г, г = 0,..., (7 + ^). Пусть множество У^'0) состоит из всех переменных у^ из таких, что путь в дереве Тр от а[ к а" содержит четное число замыкающих контактов. Если 7 > 1, то для г = 2,... ,7, обозначим через множество переменных из У^г\ таких, что выход а" является концом размыкающего контакта. Положим Г^-1) = у(0\у(*.о)? г = 1,...,7. Легко видеть, что |у(°)| = (р—1)(г/—-у), |у(1-°)| = |у(1-1)| = р/2, |У(г,0) | = |У(г,1) | = р ^ 1 для г = 2,..., 7 при 7 > 1 и |У(т+0| = р - 1 для г = 1,..., £ при £ > 0.
Лемма 3. Пусть С > 0, 7 > 1, тогда разбиение Б = (У<°), У^'0),..., У^'0), У^'1),..., У^'1),
У^1),..., у(т+0, ..., ..., и^К,..., и^У)
множества переменных II и У функции (рр
является селекторным.
Доказательство. Заметим, что в ОКС Тр для г = 1,..., (р — 1) два пути, которые начинаются из а\ по дугам, помеченным переменными из множества и^'1^ для некоторого <1, а затем проходят только по размыкающим контактам переменных множеств ..., никогда не приведут в
выходы, с которыми связаны переменные из одного множества У^'0") (о € {0,1}).
Пусть путь из вершины а[ к выходу а" проходит по дугам с пометками и,..., и. Пусть а переменная связана с выходом типа Выполним подстановку
7Т(М)| Тг(.г-1,1)\ тт(г,к) I
и . . . , и I 1 , и I .
Далее сделаем следующие подстановки.
1. При ] = 1:
У(7+1)|о,...,У(7+^|о, У(2'°)|0,...,У^|0, (г = 2,..., г/).
2. При 1 < ] < 7:
У(7+1)|о,...,У(7+^|о, У^ |0, и^\аг (г = 1,...,0,
У^'°)|о (2<г<7, ъф]), У^
3. При ] = 0:
У(7+1)|о,...,У(7+^|о, ¥«>%,¥«>% (< = 1,...,7),
о-
4. При 7 < i ^ 7 +
U™\o,...,U«>% (2 У(°)|0,
У«|о (7 + 1 < г ^ 7 + С, i^j), U«'»|0 (1 < г < I, i ф г).
В каждом из четырех случаев функция срр совпадает с переменной yt.
Пусть щ € для некоторого d, 1 ^ d ^ I, щ помечает дугу, исходящую из вершины
а'к, и пусть путь между вершинами а[ и а'к проходит по дугам с пометками и^, • • •, . Положим /3(1+1 = ... = /3i = 0. Пусть а = 0, если набор (/3i,..., Pd-i) содержит четное число единиц и а I иначе. Рассмотрим подстановку ... ,Us^d~l'l^\pd_1, \pd+1, • • •, U^1,1^ , • • •, Далее сделаем следующие подстановки.
1. При j = 1:
(i = 2,...
2. При 1 < j < 7:
F^lbF^lo, (1<г<7, i Ф j),
U«>%,U«>% (1 (2
3. При 7 < j ^ v.
U^ IcF^k, F^lcF^lo (l<i<7),
В первом и во втором случаях функция совпадет с переменной «¡, а в третьем — с переменной щ. Лемма доказана.
Следствие. При £ = 0 разбиение
D = у(1,0); _; у(7,0); у(1Д);...; ^(Т'1), г7(1Д),..., ..., г7(гд),..., u^v))
множества переменных U U Y функции (рр является селекторным.
Лемма 4. Пусть натуральные числа т, rri, s и р таковы, что s,p — четные, т ^ [logp] и выполнено условие s(p(X— 1) — А) — 2р + ит(р— 1) ^ 2™, тогда существует универсальное множество G порядка т для (рр, такое, что G = G U G', и при этом:
1) множество G универсальное для (рр с тем ограничением, что функции из G (G1) подставляются вместо переменных из множества U (из множества Y соответственно);
2) G < v2T+l, |G'| < (7 + C)2s+2;
3) число различных функций вида д'{х,\,..., xrn-i, а), где g' € G', а € {0,1}, не больше, чем (7 + C)2s/2+2.
Доказательство. Пусть D — селекторное разбиение переменных функции ipp, построенное по лемме 3. Искомое универсальное множество G получается по лемме 2, которое применяется к разбиению D, набору ич d h> + 2т + i, + I чисел
_ I _ I _ I _ I
— • • • ; sv — • • • ; s(l-l)v+l ~ Sl i • • • i Slv ~ S^
v
+1 = S, . . . , S[V+27+£ + l = S,
27+i + l
где s'k = r + k — I, k = 1,..., l, и числу т. Проверим выполнение условий леммы 2:
d 1-1
Y,\Yk\sk = s(p( А - 1) - А + 2) + и(р - 21~1)т + + к - I) >
к=1 fc=l
¿—1 п п ОО п
> Ф(А - 1) - А) + и(р - 1)т - и21~2 £ > в(р(Л - 1) - А) + и(р - 1)т - и21~2 =
к = 1 /с — 1
= 5(р(Л - 1) - А) + - 1 )т - ^ 5(р(Л - 1) - А) + - 1 )т - 2г/р ^ 2Ш.
Таким образом, условия леммы 2 выполнены. Для завершения доказательства положим (7 = С\ и ... ... и Сг^, С = £т\£т.
Пусть q = m +
G
и множество (7 состоит из функций ..., Обозначим через А =
= ..., 62д-т) разбиение куба {0,построенное по лемме 1 для набора функций ($1,... ,дд_т). Отметим, что на наборах из 1 ^ г ^ 2<г_т, произвольная функция д(х 1,... ,хд) совпадает с некоторой функцией 'д от переменных ж15..., для которой можно подобрать функции ..., принадлежащие (7, и функции ..., принадлежащие (т7, такие, что
В то же время, по лемме 1, найдутся булевы константы су^, такие, что на наборах из функция
'д совпадает с некоторой функцией д7 вида
9 = , • • • , 5си • • • > (3)
где т < ¿i ^ ¿2 ^ ... ^ ip ^ д.
Возьмем п > q и для произвольной функции f(xi,... рассмотрим ее разложение по переменным ...
f(xu...,xn)= V
где х' = ... Воспользовавшись разбиением А, получаем следующее представление для /:
2 q — m
/(*!,...,*„)= V V (4)
где Xi(x') — характеристическая функция г = 1,..., 2<г_т, а функция fa"¿(х') совпадает с /(ж7, сг77) на наборах и имеет вид (3).
3. Доказательство верхней оценки функции Шеннона Ддя произвольной функ-
ции /(жх,... ,жп) построим (1,1)-ОКС X/, реализующую / с использованием представления (4).
На рис. 2 изображена (1, 2п)-ОКС ..., жп), реализующая систему из 2П элементарных конъ-
юнкций вида х^1 • • • х°п • Возьмем схему ..., хд) и для каждого г, г = 1,..., 2<г_т, отождествим
те ее выходные вершины, номера которых совпадают с номерами наборов из Полученную (1, 2а~т)-ОКС обозначим X. Заметим, что X реализует систему характеристических функций для компонент ..., 52д-т разбиения А.
К каждому выходу S присоединим отдельную (l,2n 9)-ОКС Hn-q(xq+i,... ,хп) и обозначим полученную схему через S". Легко видеть, что
WA)aJ(£") < Хш2я + Х2п~т.
Рассмотрим (t, 1)-ОКС S', t ^ (7 + £)2S+2, реализующую все различные функции из G', которую можно построить, используя метод каскадов, следующим образом:
1) разложение проводится по переменным xm,xm-i,... ,х\;
2) все остаточные функции вида д'(хi,...,xm-i,a), где д' € G', а € {0,1}, реализуются без отождествления вершин.
Из свойств 2 и 3 системы G (см. лемма 4) следует, что = 0(2s) + 0(2m+s/2).
Так как каждая функция fa",i(x') в разложении (4) имеет вид (3), т.е. существуют функции g'Q,..., д'р1_1, принадлежащие G', набор булевых констант «1,..., ар и набор индексов т < i\ ^ %2 ^ • • • ... ^ %р ^ q, таких, что
fa",i(x ) = fpipii 1 ■ ■ ■ 1 хг§19oi ■ ■ ■'9p'-i)i
то f<j>>,i(x') может быть реализована с использованием схемы Тр следующим образом:
1) переменные и\,... ,ир заменяются переменными ж^1,...,хсоответственно;
2) выходы а$,...,ар,_1 отождествляются с теми входами схемы где реализуются функции g'Q,... ,д'р>_1 соответственно.
Осуществим указанную операцию для каждой функции fa",i(x'). При этом будем использовать одну схему S' и 2п~т отдельные схемы Тр. Входные полюса, в которых реализуются функции /(7»)i(x'), отождествим с соответствующими выходами схемы S" в соответствии с разложением (4) и обозначим полученную схему Sf. При этом
WA)W(S/) < Xoo2q + A2n_TO + Xp2n~m + 0(2S) + 0{2m+s!2). Выберем параметры р, m, s, т следующим образом:
Г 2™ + 1st + sX
s = 2|"(n-21ogn)/2l, m = |_2 log n ^ log i/J-4, т = [logn- log is\ - 2, p = 2 ——---—--
2(s(A — IJ — 2 + 1st)
Так будут выполнены условия леммы 4 и доказана верхняя оценка для функции Шеннона
4. Нижняя мощностная оценка функции Шеннона И А.„..,(/')- Буквой с с индексами будем обозначать константы.
Лемма 5. Количество неизоморфных (1,1)-ОКС S, S € от переменных х\,... ,хп, таких,
что WA)W(S) < W, не больше, чем cfnuW^x(W/\ogW)^x-^w^x, где а = а(Х ,is,oo).
Доказательство. Пусть схема S из рассматриваемого класса содержит t вершин с полустепенью захода больше 1. Для того чтобы задать такую схему S, достаточно выбрать ее остовное наддерево [1, гл. 2, § 1] D, пометить дуги D буквами переменных, выбрать t вершин D и присоединить листья V к выбранным вершинам. Обозначим через р количество вершин в S, тогда р ^ W/X — Отметим, что S содержит не более Ар ребер, поэтому количество способов выбрать наддерево V не превосходит 4Ар [9]. Пусть v — внутренняя вершина V, тогда количество различных способов пометить буквами переменных дуги, исходящие из v, не превосходит C^(2is)x ^ с2пи, где = с2{Х,и). Выбрать t вершин дерева V можно не более чем 2Xp+l разными способами. Дерево V содержит не более (Ар^р + 1) листьев, которые можно присоединить к выбранным t вершинам не более чем разными способами. Таким образом, получаем верхнюю оценку c^nuptXp~p+1, где сз = сз(Х,и), на число неизоморфных ОКС рассматриваемого класса на р вершинах, из которых t имеют полустепень захода больше 1. С учетом того, что р ^ W/X — out, 0 ^ t ^ W/{uА) и неравенства
( с4 q \9
max xq~x ^ ( -- ) ,
*e[o,e] \ log q J
получаем утверждение леммы.
Для доказательства нижней оценки воспользуемся мощностным неравенством, вытекающим из леммы 5,
\l0g Wx,u,co(n)J и тем фактом, что log W\,v,u(ri) ^ п — logп + 0(1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ложкин С. А. Основы кибернетики. М.: Изд-во МГУ, 2004.
2. Л у панов О. Б. О синтезе контактных схем // ДАН СССР. 1958. 119. № 1. С. 23-26.
3. Л у пан о в О. Б. Об асимптотических оценках числа графов и сетей с п ребрами // Проблемы кибернетики. Вып. 3. М.: Физматгиз, 1960. С. 5-21.
4. Ложкин С. А. О синтезе ориентированных контактных схем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1995. № 2. С. 36-42.
5. Lozhkin S.A., Shiganov А. Е. High accuracy asymptotic bounds on the BDD size and weight of the hardest functions // Fundamenta Informaticae (in print).
6. Коршунов А. Д. Об асимптотических оценках сложности контактных схем заданной степени // Дискретный анализ: Сб. науч. тр. Вып. 5. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1965. С. 35-63.
7. Шиганов А. Е. О сложности ориентированных контактных схем с ограниченной полустепенью исхода // Проблемы теоретической кибернетики. Тезисы докл. XV Международной конф. Казань: Отечество, 2008. С. 133.
8. Ложкин С. А. Асимптотические оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Наука, 1996. С. 189-214.
9. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
Поступила в редакцию 06.10.08
УДК 519.95
Т.И. Краснова1
АСИМПТОТИЧЕСКИ МИНИМАЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ*
Для монотонных симметрических булевых функций /™(ж) = V установлена асимпто-
тика Ьв(/™) ~ Зп, где Ьв(/™) — сложность реализации функции схемами из функциональных элементов в базисе В = {&, —}.
Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, сложность схемы, монотонные симметрические булевы функции.
Для монотонных симметрических булевых функций /^(ж) = V х^х^ установлена асимптотика Ьв(/2) ~ Зп, где Ьв(— сложность реализации функции в базисе В = {&, —}.
1 Механико-математический факультет МГУ, студ., е-таП:ко1юуа1л€1уа.ги.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863), программы государственной поддержки ведущих научных школ РФ (проект № НШ-4470.2008.1) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").
