Взаимодействиедвухслойнойанизотропнойполосы<неии жесткого основания Текст научной статьи по специальности «Физика»

Теория упругости

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕДВУХСЛОЙНОЙАНИЗОТРОПНОЙПОЛОСЫ И ЖЕСТКОГО ОСНОВАНИЯ

С.Г. КУДРЯВЦЕВ, канд. техн. наук, доцент Ю.М. БУЛДАКОВА, аспирант

ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет» 424000, Республика Марий Эл, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, дом 3 KudryavcevSG@volgatech. net

Представлены результаты исследования напряженного состояния двухслойной анизотропной полосы бесконечной длины, лежащей на жестком основании.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: двухслойная полоса, жесткое основание, анизотропия, напряжения.

В современной технике многослойные конструкции из композитных материалов находят широкое применение. Поэтому, с целью их рациональной работы, необходимо обеспечить оптимальное соотношение между физическими и геометрическими параметрами слоев. Для однородно-изотропных многослойных сред данный класс задач рассматривался в ряде работ, например [1].

Проведем, на основе уравнений плоской задачи теории упругости, анализ напряженно-деформированного состояния полосы бесконечной длины, составленной из двух различных однородных анизотропных плоскопараллельных слоев и скрепленной с жестким основанием. Высота полосы h по длине не меняется (рис. 1).Ось х направим вдоль нижней плоскости полосы, ось у - перпендикулярно границе основания. Направления осей анизотропии слоев совпадают с осями координат. Нумерацию слоев выберем снизу вверх. Для каждого слоя значения упругих характеристик материалов, высоту, напряжения и перемещения будем снабжать нижним индексом (к), где к= 1, 2.Статическая поверхностная нагрузка: нормальная q(x) и касательная т(х), - прикладывается к верхней плоскости полосы.

При определении напряжений и перемещений в произвольной точке двухслойной полосы исходим из уравнений, полученных в [2]. Искомые функции напряжений и перемещений на нижней плоскости каждого слоя, при наличии сил сцепления между слоями, определим из условий: перемещения точек на нижней плоскости первого слоя: и0(1)(х, у = 0)=»О(1)(х, у = 0) = 0; на границе контакта слоев: и„(2)(х, у = = иш(х, у = в„(2)(х, у = = ит(х, у = ау„(2)(х, у == ^)=ау^)(х, у = тху0(2)(х, у = h1) = тху(1)(х, у = h1); на верхней плоскости полосы: оу(2)(х, у = И) = q(x) и тху(2)(х, у = И) = т(х). Индекс "о" относится к нижней плоскости каждого слоя. Используя интегральное преобразование Фурье [3] и граничные условия, найдем выражения функций напряжений и перемещений

через поверхностную нагрузку отдельно для первого и второго слоя в виде несобственных интегралов, которые, ввиду их сложной структуры, не приводятся.

Численный анализ напряженного состояния проводится для частного случая, когда на верхней плоскости в сечении х=0 силадействует перпендикулярно границе двухслойной полосы. Сила равномерно распределена вдоль оси перпендикулярной плоскости рисунка, а ее интенсивность равна (-£).

На рисунках 2-5 представлены графики изменения безразмерного параметра напряжения ду от упругих характеристик материала слоев и значения у . Кривая 1 соответствует распределению напряжений в полосе, слои которой выполнены из одного изотропного материала (коэффициент Пуассона v = 0,25). Кривые 2 и Зпостроены при значениях упругих характеристик верхнего слоя £1=19,6 ГПа, Е2=30,5 ГПа, Сп=4,75 ГПа, ^2=0,14, нижнего - Е:=5,3 ГПа, Е2=28,06 ГПа, Gl2=2Д6 ГПа, Vl2=0,33, которые приведены в работе [4]. Цифрой 2 обозначены кривые, когда наибольшее значение модуля упругости обоих слоев направлено по оси у, цифрой 3 - по оси х. Высота первого и второго слоя одинакова. Результаты расчета получены для полосы в условиях обобщенного плоского напряженного состояния (ширина полосы Ь = 1).

Из рис. 2 и 3 видно, что значения ду в сечении х = 0, когда наибольшее значение модуля упругости обоих слоев направлено по оси у больше, чем для

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 -1 -2

-4 -5

-6

Рис. 2. Изменение параметра напряжения ду на линии контакта слоев -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 -1 ~ -2 -3 -4 -5

Рис. 3. Изменение параметра напряжения ду на линии контакта полосы с жестким основанием изотропного материала, и меньше, если наибольшее значение модуля упругости направлено по оси х. Во всех случаях с увеличением параметра у значение ду возрастает, а область распространения по оси у уменьшается. 26

//А 3_

| К 1

_ ОуЛА _ X _ у °у=р;х=У у к ;

1 1 1 . 2

ч\ <т

\1

~ о утЛ * ~ )

—, х — У к'У~к КЛ-

Графики изменения параметра о у в увеличенном масштабе, при значениях у > 0, показаны на рис. 4 и 5. Точками на кривых отмечены значения у , в которых параметр а у = 0, а далее сжатие сменяется растяжением.

0 0.5 1 1,5 2 2*5 3 3.5 4 4.5 5

0,25 Ъу 0 -0,25

Рис. 4. Изменение параметра напряжения 5у на линии контакта слоев 0 0,5 1 1,5 2 2*5 3 3,5 4 4,5 5

0,25 -0,25

На рис. 6 приведены графики изменения параметра о у при разных отношениях высоты слоев полосы. Кривые построены для варианта, когда наибольшее значение модуля упругости для обоих слоев направлено по оси х. Результаты сравнения показывают, что с увеличением высоты верхнего слоя значение параметра 5у в сечении у = 0 на линии контакта слоев уменьшается.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

-1

_ -2 С5у

-3

-4

-5

Характер изменения безразмерного параметра касательного напряжения уху по длине полосы в зависимости от характеристик материала слоев и величины у показан на рис. 7 и 8. Нумерация кривых соответствует обозначениям на предыдущих графиках.

Из сравнения кривых, представленных на рис. 7, видно, что значения параметра уху на линии контакта слоев меньше для двухслойной анизотропной полосы, чем для полосы из изотропного материала. Параметр уху в точках, показанных на графике, меняет знак. На линии контакта полосы с жестким основанием (рис. 8) знаку параметра уху по длине не меняется, но максимальное зна-

2

X = 0 ,77 / V

—>— : / х =1,41 СГу =-г— Ь _ х -: х = — ■ У = ^

/ 4 = 1,22 | 1< И И 1 1 1

? - 0,87 . V' 2 1 5

— = 1,77 А „ х —; х - —

: V — 1,оо р И И

Рис. 5. Изменение параметра напряжения 5у на линии контакта полосы с жестким основанием

.у

\

й

~ ст ау = ъ пЬ _ -—: х = Г х _ у —; у=— И И 1 1 «

1

Рис. 6. Изменение параметра 5у на линии контакта слоев при разных отношениях высоты слоев

чение Тху в полосе из изотропного материала меньше, чем в полосе, составленной из двух анизотропных материалов.

-5 -4 -3 -2 -1 0 I 2 3 4 5

А 1

к\3 1 Л 1 085

, - ' ■ * 1,20

\\ 0,35

и »И Л _ х —: х =— А ■н

1 1

Рис. 7. Изменение параметра напряжения %ху на линии контакта слоев

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2

г ад тЛ ._ л- •н

А

Рис. 8. Изменение параметра напряжения Хху на линии контакта полосы с жестким основанием

Тху

1

0.9 0.8 0.7 0.6 У 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 о

-1

о

1

2 -1

Тху

о

1 -1

кгу

о

1 ,

\А

/ / \1

у*

1 ;

1 /

(1

Г;

, 1

1

*

•

1

%

2

Г

1

\ ?

V

|

X =0,1

5 = 0 5

х =1.0

Рис. 9. Изменение параметра напряжения хХу по высоте полосы и разных значений параметра х На рис. 9 представлены эпюры распределения параметра Тху по высоте двухслойной полосы и разных значений х . Изменение безразмерного параметра нормального напряжения ах по длине полосы на линии контакта слоев показано для верхнего слоя на рис. 10, нижнего - на рис.11, на линии контакта полосы с жестким основанием на рис. 12. Видно, что значения ах в сечении х = 0 для двухслойной полосы, составленной из разных анизотропных материалов, больше, чем у изотропного материала. Зона распределения по оси х параметра хх больше для случая, представленного кривой 3. Точками на кривых обозначены значения ~ , где параметр ах меняет знак.

Эпюры распределения параметра с* по высоте двухслойной полосы и разных значений у представлены на рис.13. В области, примыкающей к линии действия сосредоточенной силы и у = 1, значения а* - отрицательные, а при

5 4

3

ах 2 1 0 -1

о

-4

-3

-2

1 стхпк „ у У

И А

3 :'.*

X / * - 0,20 = 0,28

1 // X уу = 0,49

ч4*^ ...

Рис. 10. Изменение параметра напряжения о * в верхнем слое на линии контакта слоев

<Ух

-5

1

0 -1 -2

-2

-1

0

1

Рис. 11. Изменение параметра напряжения о * в нижнем слое на линии контакта слоев

-5

-4

-2

-I

I

0 -]

-2 -3 -4

-10 I

(Ух -4

0

4 -4

0

4 -4

0.9 0.8 0.7 0.6 У 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

я / 2

1

•

V.

\ ч.

I

' 4 = |

/ |

3 . ;; 1

г .!

/ г

1 д

1

3

х С ,20

л^-'С

^ СТхЯЙ „ а* =-; х = -; М А ' А

I |

'л'?

ВДСЙ _ а*=-; х = у= А А М

1

Рис. 12. Изменение параметра напряжения о * на линии контакта полосы с жестким основанием

V

1/

\

1

3 / \1

г = о.1 *=05 г=1.о

Рис. 13. Изменение параметра напряжения о * по высоте полосы и разных значениях параметра у

возрастании х меняются на положительные. В сечении ~ = 1 для случаев представленными кривыми 1 и 2, параметр сх практически равен нулю.

Полученные формулы для определения напряжений и перемещений позволяют проанализировать напряженно-деформированное состояние в двухслойной анизотропной полосе при других вариантах поверхностной нагрузки, упругих и геометрических характеристиках слоев. Используя данный подход, можно провести анализ напряженно-деформированного состояния двухслойной полосы при отсутствии сил сцепления между слоями и основанием.

1. Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З.Власов, Н.Н.Леонтьев.- М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960. -492 с.

2. Кудрявцев, С.Г. Взаимодействие анизотропной полосы и жесткого основания / С. Г.Кудрявцев, Ю. М. Булдакова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. -2012.- № 4. -С.29-35.

3. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфлянд. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1963. -368 с.

4. Васильев, В.В. Механика конструкций из композитных материалов / В. В.Васильев.-М.: Машиностроение, 1988. -272 с.

1. Vlasov, V.Z., Leontyev, N.N. (1960). Beams, plates and envelopment on the elastic base, M: State publishing house of physical and mathematical literature, 492 p.

2. Kudryavtsev, S.G., Buldakova J.M. (2012).Interaction of anisotropic band and rigid base, Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, № 4, pp. 29-35.

3. Uflyand, Ya.S. (1963). Integrated transformations in tasks of the theory of elasticity, M.-L.: Publishing house of Academy of Sciences of the USSR, 368 p.

4. Vasilyev, V. V.(1988). Mechanics of designs from composite materials, M.: Mechanical engineering, 272 p.

INTERACTION OF THE TWO-LAYER ANISOTROPIC BAND AND RIGID BASE

Kudryavtsev S.G., Buldakova J.M.

Results of research of the stress state of a two-layer anisotropic band of the infinite length lying on the rigid base are presented.

KEY WORDS: two-layer band, rigid base, anisotropy, stresses.

Литература

R e f e r e n c e s