Исследование напряженного состояния двухслойной полосы при разных вариантах сцепления между слоями и жестким основанием Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДВУХСЛОЙНОЙ ПОЛОСЫ ПРИ РАЗНЫХ ВАРИАНТАХ СЦЕПЛЕНИЯ МЕЖДУ СЛОЯМИ И ЖЕСТКИМ ОСНОВАНИЕМ

С.Г. КУДРЯВЦЕВ, кан. техн. наук, доцент Ю.М. БУЛДАКОВА, аспирант

ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет» 424000, Республика Марий Эл, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, дом 3 [email protected]

Представлены результаты исследования напряженного состояния двухслойной полосы, лежащей на жестком основании, при разных условиях сцепления между слоями и нижней плоскости полосы с основанием.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: напряжение, двухслойная полоса, жесткое основание, анизотропия.

При проектировании многослойных конструкций из анизотропных материалов, с целью их рациональной работы при заданных внешних нагрузках, необходимо обеспечить оптимальное соотношение между толщиной и упругими характеристиками материала каждого слоя. Для однородно-изотропных многослойных сред данный класс задач рассматривался в ряде работ, например [1], для трансверсально-изотропного материала в работах [2,3].

Рассматривается плоская задача теории упругости для полосы бесконечной длины, лежащей на жестком основании (рис. 1). Толщина полосы h, составленной, в общем случае, из двух однородных анизотропных плоскопараллельных слоев, по длине не меняется. Нумерацию слоев выбираем снизу вверх. Для каждого слоя значения упругих характеристик материала, высота, напряжения и перемещения обозначены нижним индексом k ^ = 1, 2). Ось х направлена вдоль нижней плоскости полосы, у - перпендикулярно границе основания. Статическая поверхностная нагрузка прикладывается к верхней плоскости полосы.

При определении напряжений и перемещений в произвольной точке полосы исходим из уравнений, полученных в [4]. Искомые функции напряжений и

Рис. 1. Схема взаимодействия полосы и жесткого основания

перемещений на нижней плоскости каждого слоя определяются в зависимости от условий сцепления между слоями и нижней плоскости полосы с основанием. Проводится анализ напряженного состояния при следующих вариантах:

1) полоса скреплена с основанием: и^)(х, у = 0) = о^)(х, у = 0) = 0; на границе контакта слоев выполняются условия полного сцепления: и(2)(х, у =^) = и(1)(х, у = М), Ю(2)(х, у = М) = 0(1)(х, у = /ц), Оу(2)(х, у = М) = Оу(1)(х, у = М), Тху(2)(х, у = Ы) = Тху(1)(х, у = Ы{);

2) полоса лежит на гладком основании: Т(1)(х, у = 0) = 0, о^)(х, у = 0) = 0; на границе контакта слоев выполняются условия полного сцепления: и(2)(х, у = М) = и(1)(х, у = М), 0(2)(х, у = М) = 0(1)(х, у = Оу(2)(х, у = /ц) = = Оу(1)(х, у = М), Тху(2)(х, у = М) = Тху(1)(х, у = /ц);

3) полоса скреплена с основанием: и^)(х, у = 0) = и(1)(х, у = 0) = 0; отсутствуют силы сцепления между слоями Т(2)(х, у = Ы1) = Т(1)(х, у = Ы1) =0, У(2)(х, у = М)= 0(1)(х, у = Оу(2)(х, у = /ц) = Оу(1)(х, у = М);

4) полоса лежит на гладком основании: Т(1)(х, у = 0) = 0, и(1)(х, у = 0) = 0; отсутствуют силы сцепления между слоями: Т(2)(х, у = Ы1) = Т(1)(х, у = Ы1) = 0, 0(2)(х, у = М) = 0(1)(х, у = Оу(2)(х, у = /ц) = Оу(1)(х, у = М).

Для каждого варианта функции напряжений в первом и втором слое найдем, используя интегральное преобразование Фурье, через поверхностную нагрузку, приложенную перпендикулярно границе полосы, в виде несобственных интегралов, которые, ввиду их сложной структуры, не приводятся.

Результаты численного расчета приведены для двухслойной полосы, которая находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния (ширина полосы Ь=1). На верхней плоскости в сечении х=0 действует сила перпендикулярно границе полосы. Сила равномерно распределена по ширине полосы и ее интенсивность равна (-Р). Высота первого и второго слоев одинакова.

На рис. 2 представлены, для 4-го варианта, графики изменения безразмерного параметра напряжения С у = (а ужк)! Р на линии контакта полосы с основанием в зависимости от упругих характеристик материала слоев (материал слоев принимается изотропный, коэффициент Пуассона для обоих материалов у=0,25). Графики в увеличенном масштабе, когда х = (х/Ы) > 0, показаны на рис.3. Точками на кривых отмечены значения ~ , в которых <~у =0.

о -1

-3

2. Изменение параметра сту на линии контакта полосы и основания

0,5 1 1,5 2 2*5 3 3,5 4 4,5 5

и, 0,25 су0 -0,25 -0,5

Рис. 3. Изменение параметра ау на линии контакта полосы и основания

x

5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Рис.

, „0

Из сравнения кривых на рис. 2 видно, что при увеличении модуля упругости материала верхнего слоя максимальное значение с у уменьшается, а размеры сжатой области по оси х увеличиваются. Данная закономерность характерна для всех рассматриваемых вариантов.

В таблице 1 приведены значения с у для сечения х = 0 на линии контакта

полосы с жестким основанием, в зависимости от отношения Е2/Е\ и разных вариантов условий сцепления. Из данных следует, что параметр Су достигает

наибольшего значения при отсутствии сил сцепления между слоями и нижней плоскости полосы с основанием. При отношении (Е2/Е1)=200 значения Су практически совпадают для всех рассматриваемых вариантов.

Таблица 1. Значения параметра ду в сечении ~ =0, на линии контакта полосы

с основанием в зависимости от отношения Е2/Е1 и разных условий сцепления

Е2/Е1 1 2 5 10 100 200

1 вариант

- с у 2,558 2,392 2,142 1,934 1,243 1,065

2 вариант

- с у 2,889 2,703 2,408 2,153 1,318 1,115

3 вариант

- с у 3,359 3,077 2,632 2,285 1,329 1,120

4 вариант

- с у 3,632 3,294 2,774 2,379 1,341 1,122

На рис. 4 показаны, для 4-го варианта, графики изменения параметра с у на

линии контакта полосы и основания, когда (Е2/Е1) < 1, а в таблице приведены значения Су в сечении ~ =0. На рис. 5, для ~ >0, графики изображены в увеличенном масштабе. Из сравнения кривых и данных таблицы заключаем, что при уменьшении модуля упругости материала верхнего слоя значения с у, в сечении .г =0, возрастают, а сжатая зона вдоль оси х уменьшается.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 -1

ст» -3

-4

-5

Рис. 4. Изменение параметра сгу на линии контакта полосы и основания

X

.0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4.5 5

1

е2/е = 1

/!ус \\х = С ,985

Ш =0,910 = 0.830 вари, ;шт 4

Рис. 5. Изменение параметра сту на линии контакта полосы и основания

Характер изменения безразмерного параметра касательного напряжения уху = (х Ху ^по высоте полосы у =(у/И) и разных значений , для 4-го варианта, показан на рис. 6. Видно, что увеличение модуля упругости материала верхнего слоя приводит к увеличению значения ~хху в верхнем слое полосы и уменьшению - в нижнем.

г2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -1 0 1 2 3 4

-1 0 12 3

0.9 0. 0.7 0.6 У 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

/

л' '^е21ех=ЮО 1 1 1

у \ еы ех = 1С

у 2 /£ 1=]

с л 2/е,

N \

/

/ /. •

ш 1

1

7

-•К

е21ег=ш >Е2!Е\г Ю

е2!е]=\

: 0.1

х = 0.25

х =0.5

Рис. 6. Изменение параметра ~ху по высоте двухслойной полосы (вариант 4)

Результаты расчета параметра напряжения ах = (ах, для варианта 4, в зависимости от характеристик материала слоев и параметров ~х , у сведены в таблицу 2. Данные показывают, что наибольшие значения ах, по абсолютной величине, возникают в точках верхней плоскости полосы. В области, примыкающей к линии действия силы и у =1.0, параметр ах имеет отрицательное значение, которое при удалении от линии действия силы меняется на положительное. При увеличении отношения Е2/Е1 область отрицательных значений параметра ах возрастает.

Таблица 2. Значения параметра дх в зависимости от упругих характеристик материала слоев и параметров ~, ~ для варианта 4

~ = 0.1 ~ = 0.25 ~ = 0.5

Е2/Е1 1 | 10 | 100 1 | 10 I 100 1 | 10 I 100

.у сгх во 2-м слое

1.0 -7.80 -12.87 -22.95 2.54 -1.49 -10.84 2.62 1.16 -5.97

0.9 -3.54 -6.26 -12.22 -0.91 -3.18 -8.63 0.62 -0.28 -4.49

0.8 0.00 -0.97 -2.93 -0.88 -1.63 -3.43 -0.02 -0.29 -1.67

0.7 1.26 2.05 3.93 -0.02 0.70 2.47 -0.33 0.03 1.43

0.6 2.11 4.93 10.79 0.74 3.03 8.48 -0.55 0.35 4.56

0.5 3.35 8.94 19.19 1.24 5.31 14.72 -0.95 0.25 7.34

с х в 1-м слое

0.5 -1.68 -0.58 -0.13 -0.68 -0.35 -0.10 0.47 -0.02 -0.05

0.4 -0.50 -0.20 -0.05 -0.32 -0.15 -0.04 -0.07 -0.04 -0.03

0.3 0.08 0.01 0.00 -0.01 -0.01 0.00 -0.06 -0.02 0.00

0.2 0.36 0.13 0.03 0.19 0.09 0.03 -0.08 0.01 0.01

0.1 0.50 0.20 0.05 0.29 0.15 0.04 -0.07 0.03 0.02

0.0 0.53 0.22 0.05 0.33 0.16 0.05 -0.07 0.04 0.03

В табл. 3 приведены результаты расчета параметра ах, в точках верхней плоскости полосы (у =1.0), в зависимости от вариантов сцепления между слоями и отношения Е2/Е1. Из анализа данных можно установить: при постоянной

величине отношения Е2/Е1 и у =1.0 условия сцепления между слоями несущественно влияют на значения у х .

Таблица 3. Значения параметра сх при ~ =1.0 в зависимости от отношения Е2/Е1 и

разных вариантах сцепления между слоями

гг = 0.1 гг = 0.25 г = 0.5

Е2Е1 1 1 10 1 100 1 1 10 1 100 1 1 10 1 100

1 вариант

с х -7.78 -12,43 -22,44 2,32 -1,25 -10,39 2,05 0,95 -5,68

2 вариант

с х -7,61 -12,32 -22,61 2,51 -1,11 -10,53 2,27 1,19 -5,74

3 вариант

с х -7,72 -12,64 -22,55 2,60 -1,28 -10,45 2,63 1,28 -5,64

4 вариант

с х -7,80 -12,87 -22,95 2,54 -1,49 -10,84 2,62 1,16 -5,97

Графики изменения параметра у х, для 2-го варианта граничных условий, на линии контакта слоев показаны: для верхней полосы на рис. 7, нижней - на рис. 8. В таблицах приведены значения а х в сечении у =0. Точками на кривых обозначены значения у , в которых происходит смена знака. Сравнение кривых на рис. 6 и 7 показывает, что в двухслойной полосе, выполненной из разных материалов и полном сцеплении между слоями, нормальное напряжение а х терпит разрыв на линии контакта слоев.

.-5-4-3-2-1 О 1 2 3 4 5

25 20 15 10 5

5,0 -5

1

5х(х=0) +0,93 +8,38 +20Д1

10

100

/-:■//'•, нь

Е-,/Ел = 100

V

5с =0,34. /х = 0.57

Ж

'х = 0.96

вариант 2

/•у/-:-1()ч

вариант 2

Рис. 7. Изменение параметра а х на линии контакта слоев для верхнего слоя -5-4-3-2-10 1 2 3 4 5

0,5

-0,5 -1

е,/ел

1

е-1е\ = ь 1

+0.93

10

+0.25

/'•,//•:,-км)

100

-0 14

Рис. 8. Изменение параметра ух на линии контакта слоев для нижнего слоя

На рис. 9 представлены графики изменения параметра напряжения а у на

линии контакта полосы и основания, когда слои состоят из анизотропных материалов при условиях сцепления, соответствующих варианту 3. Кривая 1 построена для полосы, слои которой выполнены из одного изотропного материала (коэффициент Пуассона V = 0,25,). Кривые 2 и 3 построены при значениях упругих характеристик материала верхнего слоя Е1 = 19,6 ГПа, Е2 = 30,5 ГПа, в12 = 4,75 ГПа, V12 = 0,14, нижнего - Ех = 5,3 ГПа, Е2 = 28,06 ГПа, вп = 2,16 ГПа, Vl2 = 0,33, приведенных в работе [5]. Цифрой 2 обозначена кривая, когда наибольшее значение модуля упругости материала обоих слоев направлено по оси у, цифрой 3 - по оси х. Высота первого и второго слоя одинакова.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

-1 -2 -3 -4 -5

Рис. 9. Изменение параметра &у на линии контакта полосы и основания

В табл. 4 приведены, для сечения х =0 и разных параметрах ~у , значения

а у в зависимости от вариантов сцепления между слоями. Нумерация кривых в

таблице и последующих рисунках соответствует обозначениям на рис. 9. Сравнение данных показывает, что с увеличением ~у условия сцепления оказывают

незначительное влияние на величину значений а у.

Таблица 4. Значения параметра <гу в сечении ~ =0 при разных вариантах

сцепления и значениях ~

а = о х = 0.25 а = 0.5

кривая 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 вариант

-(~у 2,558 4,803 2,457 3,096 5,453 2,900 4,233 6,288 3,865

2 вариант

-(~у 2,889 5,081 2,597 3,156 5,339 2,822 4,229 6,149 3,790

3 вариант

у 3,359 4,947 2,662 3,928 5,653 3,182 4,544 6,346 3,999

4 вариант

у 3,632 5,209 2,827 3,928 5,507 3,105 4,510 6,178 3,921

Характер изменения параметра напряжения ~ху, для 3-го варианта, на линии контакта полосы с основанием, показан на рис.10. Видно, что область распространения ~ху по длине полосы больше, когда слои состоят из анизотропных

материалов. Графики изменения параметра ох на линии контакта слоев, для 3-го варианта, показаны: для верхнего слоя на рис. 11, нижнего - на рис. 12. Сравнивая кривые на рис. 7 и 11, 8 и 12 для изотропного материала при отношении Е2/Е1=1, можно отметить качественное и количественное отличия в характере распределения параметра ( на линии контакта слоев, в зависимости от вариантов сцепления между слоями.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0,5 т„0 -0,5 -1

Рис. 10. Изменение параметра тху на линии контакта полосы и основания

В заключение отметим, что граничные условия для первого и третьего вариантов, при значении Ъ ^ да, соответствуют задаче о расчете бесконечно длинной полосы, лежащей на упругом основании под действием поверхностной

V ¡/

Ч-ч

у4

\ вари; ант 3

г'- *'■ 1

—^— ? 3

ч. 1

вариант 3 1

-1 0 1 2 3 4 5

' кривая 1 2 3 3 / \

,5x(x=0 )+3,850 +3.914 +7.985

—-- 1 ' ; X = 0.25

\\ /x = 0,35

~ 3: // x =

вари; ант 3

Рис. 11. Изменение параметра с х на линии контакта слоев для верхнего слоя

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5,0 -2 -4 -6

Рис. 12. Изменение параметра с х на линии контакта слоев для нижнего слоя

нагрузки. В первом варианте полоса скреплена с основанием, в третьем - сцепление отсутствует. Граничные условия для второго и четвертого вариантов аналогичны условиям, когда трехслойная полоса сжимается с двух сторон симметричной нагрузкой. Во втором варианте верхний и нижний слои одинаковой высоты скреплены со средним слоем, в четвертом - между слоями сцепление отсутствует.

Л и т е р а т у р а

1. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. -М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. - 492 с.

2. Fabrikant V.I. Tangential contact problem for a transversely isotropic elastic layer bonded to an elastic foundation/Journal of Engineering Mathematics. - 2011. - Vol. 70. -Issue 4. - P. 363 - 388.

3. Fabrikant V.I. Tangential contact problems for several transversely isotropic elastic layers bonded to an elastic foundation //Journal of Engineering Mathematics. - 2013. - Vol. 81. - Iss. 1. - P. 93-126.

4. Кудрявцев С.Г., Булдакова Ю.М. Взаимодействие анизотропной полосы и жесткого основания // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. -2012. - №4. - С. 29-35.

5. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

R e f e r e n c e s

1. Vlasov VZ, Leontyev NN. (1960). Beams, plates and envelopment on the elastic basis. M: State. publishing house of physical and mathematical literature, 492 p.

2. Fabrikant VI. (2011). Tangential contact problem for a transversely isotropic elastic layer bonded to an elastic foundation. Journal of Engineering Mathematics. Vol.70, Iss. 4, p. 363 - 388.

3. Fabrikant VI. (2013). Tangential contact problems for several transversely isotropic elastic layers bonded to an elastic foundation. Journal of Engineering Mathematics. Vol.81, Iss. 1, p. 93 -126.

4. Kudryavtsev SG, Buldakova JM. (2012). Interaction of an anisotropic strip and rigid basis. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, №4, p. 29-35.

5. Vasilyev VV. Mechanics of designs from composite materials. M: Mechanical engineering, 1988. 272 p.

STRESS STATE RESEARCH OF TWO-LAYER STRIP AT DIFFERENT OPTIONS OF COUPLING BETWEEN LAYERS AND THE RIGID BASE

Kudryavtsev S.G., Buldakova J.M.

Results of research of a tension of the two-layer strip lying on the rigid base are presented, under different conditions of coupling between layers and the bottom plane of a strip with the base.

KEY WORDS: tension, two-layer strip, rigid base, anisotropy.

/X 2 \ x = 0,46

\ Hi

. кривая 1 2 3

5x(£=o; ) -2,400 -1.528 -5.738 > Д вариант 3