Взаимодействие ударной волны с энтропийным слоем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м VII 197 6 М2

УДК 533.6.011

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С ЭНТРОПИЙНЫМ СЛОЕМ

А. Н. Минайлос

Методом сквозного счета [1] исследовано взаимодействие ударной волны с плоскими высокоэнтропийными струями как в свободном сверхзвуковом потоке, так и в потоке у поверхности тела. Рассмотрен случай правильного отражения волн.

1. Аналитическое исследование задач о взаимодействии и отражении разрывов в плоском сверхзвуковом потоке сталкивается с рядом математических трудностей, вызванных нелинейностью решения (обширная библиография приведена в [2]). Трудности значительно возрастают, если параметры поля течения не являются кусочно-постоянными функциями координат.

Численное решение задачи методами сквозного счета позволяет обойти эти трудности. Однако возникают другие трудности, связанные с точностью и интерпретацией полученных результатов. Под влиянием диссипативных членов, присутствующих в расчетной схеме, ударные волны и контактные разрывы размываются. Слабые волны могут совсем нивелироваться схемой. В [1] показано, например, что схема С. К. Годунова [3] полностью размывает слабый скачок уплотнения после второго отражения его от поверхностей тангенциальных разрывов. Метод, рассмотренный в [1], не содержит в направлении У искусственной вязкости. Диссипативные члены присутствуют там только начиная с четвертых производных решения. Это позволяет описывать более слабые ударные волны, чем допускает схема [3].

В связи с наличием в поле течения различных видов разрывов определение существования скачка уплотнения, тангенциального разрыва или волны разрежения проводится по нескольким параметрам течения (например, плотности, энтропийной функции, давлению). В случае ударных волн иногда целесообразно проверять значения нормального к определяемой волне компонента числа М до и после ударной волны.

После того как существование волны установлено, ее положение можно указать с точностью до размеров размытого фронта. Будем считать для определенности, что положение дискретного разрыва соответствует значению координаты точки, в которой плотность равна полусумме плотностей до и после разрыва.

Таким образом, необходимо помнить, что схемы сквозного счета не описывают слабые разрывы. С другой стороны, возможно и появление в результатах ложного, не существующего на самом деле „схемного" энтропийного слоя, наиболее ярко выраженного в области за течением Прандтля — Майера.

Исследованные типы течений изображены на фиг. 1 и 2. Сплошными линиями показаны ударные волны, штриховыми — тангенциальные разрывы и пунктиром — границы течения Прандтля — Майера. Цифрами указаны отдельные области течения между разрывами. В дальнейшем нижние индексы в обозначе-

Рт

025

Фиг. 2

В С

О

10

ниях параметров указывают номера областей на фиг. 1 и 2, в которых рассматриваются параметры. Стрелками показаны направления течения в отдельных областях. Число М] основного потока равно 6, отношение удельных теплоемкостей х = 1,4 во всем поле течения. С учетом приложений к внешним задачам аэродинамики был исследован узкий класс задач, в котором энтальпия торможения считается постоянной. Угол падения ударной волны "0 (см. фиг. 1) и отношение ПЛОТНОСТИ В энтропийном слое К ПЛОТНОСТИ ОСНОВНОГО потока N = задаются.

Течение А (см. фиг. 1) описывает взаимодействие ударной волны со свободной сверхзвуковой высокоэнтропийной струей, имеющей в начальном сечении постоянные параметры:

Рз = Ръ Яз = ЛН?1.

и

V'

*-1 Я.

К, = 0;

здесь /? — плотность, отнесенная к /?,; Р — давление, отнесенное к У^ах- £/, V — компоненты скорости в декартовой системе координат (отнесены к Кшах)-

Течение В (см. фиг. 2) отличается от А тем, что энтропийный слой движется вдоль прямолинейной поверхности. Параметры у поверхности тела рассчитываются с помощью „принципа отражения": введения вспомогательного фиктивного слоя / — 1 (/—нумерация узлов сетки в направлении оси у), на котором

(Л/=1 = (П1=3. (Р = {Р, Р, Щ), (К)/=1 = -(К)/=2.

Стенка расположена посредине между узлами 1=1 и 2.

В данном случае „принцип отражения" эквивалентен расчету параметров на стенке с помощью распада разрыва; см., например, [4].

Течение С отличается от В линейным законом изменения плотности в энтропийном слое и моделирует энтропийный слой около боковой поверхности тупого тела, летящего со сверхзвуковой скоростью. Профиль плотности на внешней границе энтропийного слоя имеет разрыв первой производной, а на поверхности тела R^: = N. В случае С параметры течения являются переменными не только в областях влияния течения Прандтля—Майера, как в случаях А и В, а во всем поле течения. Линии разрывов искривляются.

Расчеты проводились до места, где в энтропийном слое остаются только слабые ударные волны, плохо описываемые разностной схемой.

2. На фиг. 1 и 2 изображены картины течения, полученные при 0 = 25° и N = 0,5. Взаимодействуя с энтропийным слоем, ударная волна производит работу по сжатию слоя и ослабевает.

В случае А энтропийный слой изменяет направление движения в ту же сторону, что и поток за ударной волной (/—2). В задаче встречаются два типа взаимодействия волны с контактным разрывом: с образованием течениия разрежения и ударной волны (в точке В на фиг. 1) и с образованием двух ударных волн (точки С, £>, Е на фиг. 1). Известно [5], что эти типы течений отличаются отношением скоростей звука на контактном разрыве со стороны волны и с противоположной стороны.

Падающая основная ударная волна (/—2) проходит через энтропийный слой (3—5) и выходит из слоя ослабленной (1—7). Система остальных волн, распространяющихся в слое и выходящих из него, значительно слабее основной. Например, первая отраженная волна (5—6) по перепаду плотностей в восемь раз слабее волны (1—2) (см. фиг. 3, на которой изображены значения плотности /?, энтропийной функции Б = Р/Я* и числа М в сечении А—А, фиг. 1).

На фиг. 3 штриховыми линиями обозначены значения параметров в начальном сечении, сплошными линиями — в сечении А—А, цифрами обозначены соответствующие области фиг. 1.

Отметим, что в энтропийном слое растут плотность и энтропия, а число М уменьшается от значения М = 3,7 до величины М = 2,5 (в области 5) и М=2,35 (в области 6). Немонотонность поведения функций /? и М (фиг. 3) в области тангенциального разрыва (4— 5) вызвана неудачной формой введения изоэнтро-пичности в расчетную схему. Вводя условие изоэнтропичности в виде конечноразностного уравнения, а не алгебраического соотношения, можно устранить эту немонотонность [1].

На фиг. 4 для различных вариантов течения А, отличающихся углом падения волны 0 и отношением плотностей N. представлены степень уплотнения энтропийного слоя /?ю//?з. угол поворота струи 5 и уменьшение угла наклона основной ударной волны после прохождения ее через энтропийный слой Д0=0—02. На фиг. 4 (так же как и на фиг. 6) кружками обозначены результаты при 0=25° и квадратами—при 0=30°. Разброс значений Д0 вызван неточностью определения угла 02 по размытому фронту волны. Характерны почти линейная зависимость функции ЯюЩз (определяет уменьшение площади поперечного сечения струи) от параметра N и сильная нелинейность функции Д0. Значения 5 слабо зависят от Ы, зависимость 8 = 6(0) близка к линейной.

В предельном случае (ДГ-> 1) в течении А контактные разрывы вырождаются, энтропийный слой исчезает, получается простое решение для косой ударной волны. На фиг. 4 в этом случае Д0 = 0, 8 определяет угол поворота потока в ударной волне (1 — 2) и = Рг1Р.\- Результаты расчетов в этом случае

совпадают с точным решением.

В случаях В и С (фиг. 2) основная волна (3 — 5) сжимает энтропийный слой и отражается от поверхности тела (5 — 6), проходя вторично по слою. Затем, в случае В, ударные волны многократно отражаются, ослабевая, от контактного разрыва (4 — 5, 7 — 8, 10—//,...) и поверхности тела, в случае С контактный разрыв „слабый", на нем рвутся первые производные плотности и скорости газа, а не сами функции, поэтому в точке Б волна выходит из слоя не отражаясь.

В случае С, как уже отмечалось, линии разрывов искривлены из-за наличия градиентов параметров в энтропийной струе. Точка отражения основной волны лежит ниже по потоку, чем в случае В.

Распределение давления по поверхности тела Рт (см. фиг. 2) иллюстрирует в случае В отражение ударных волн от стенки при X = 3,5; 5,1; 6, а в случае С—отражение одной волны при АГ=4,1 и затем плавное сжатие в области „удара"

о тело слоя 5 (до X = 6). Рост плотности в энтропийном слое значительно (в два-три раза) больше, чем в случае А (фиг. 5 и 6). Это объясняется наличием сильной отраженной волны (5 — 6). На фиг. 5 для случаев В и С представлены в сечении Т7 — Р те же зависимости, что и на фиг. 3 для случая А■ Обозначения те же, что и на фиг. 3. Число М в случае В в области 7 (фиг. 2) падает до 2,8, в области 10 — до 2,6 и в энтропийном слое — до 1,3.

На фиг. 6 представлены сжатие струи

з> давление в энтропийном слое Рп и угол отражения основной волны 03 для различных вариантов случаев В и С. Варианты отличаются, как и на фиг. 4, значениями 0 и N. Белые значки относятся к случаю В, черные— к С, форма значков, как и на фиг. 4, соответствует разным углам падения волны.

Как и отношения плотностей углы 03 в случаях В и С близки между собой. При Л^1 получаем в пределе течение без энтропийного слоя с отражением ударной волны от стенки. Случаи В и С при этом тождественны и обозначены на фиг. 6 белыми значками. В этом предельном случае полученное решение проверено по точным соотношениям в ударных волнах. Результаты совпадают с точностью до 1 %.

Фиг. 4

В заключение необходимо отметить, что в расчетах не учитывались влияние вязкости, наличие пограничного слоя и слоя смешения, которые могут существенным образом изменить картину.

На примерах плоского и осесимметричного течений со скачками Джино Моретти [6] убедительно показал преимущества схемы расчета, описывающей ударные волны как дискретные разрывы, по сравнению с некоторой схемой сквозного счета. Эта схема сквозного счета для иллюстрации была им выбрана неудачно, так как в окрестности разрыва она дает не имеющие физического смысла осцилляции решения. Осцилляции искажают решение в областях взаимодействия разрывов и отражения их от твердых поверхностей. Неудачный выбор схемы дискредитирует методы сквозного счета.

Однако при правильном выборе схемы сквозного счета, во-первых, удовлетворяющей условию монотонности и, во-вторых, имеющей второй (или „почти" второй) порядок аппроксимации, такой метод может вполне конкурировать с методом, использующим алгоритм [6], до таких слабых амплитуд разрывов, интенсивность которых сравнима с ошибкой аппроксимации разностной схемы. Требование повышенного порядка аппроксимации схемы необходимо, чтобы разрывы размывались в пределах двух-трех счетных интервалов независимо от интенсивности самих разрывов.

В областях формирования ударных волн и тангенциальных разрывов метод сквозного счета имеет преимущества, так как не требует специального алгоритма, который следил бы за образованием разрывов.

Автор благодарит И. В. Иерусалимскую, принимавшую участие в программировании, расчетах и анализе результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Косых А. П., Минай л ос А. Н. Исследование методов сквозного счета для задач сверхзвуковой аэродинамики. .Ученые записки ЦАГИ‘, т. VII, № 1, 1976.

2. Арутюнян Г. М., Карчевский Л. В. Отраженные ударные волны. М., „Машиностроение*, 1973.

3. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Матем. сб., т. 3, № 47,

1959.

4. Иванов М. Я., К р а й к о А. Н., Михайлов Н. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 12, № 2, 1972.

5. Курант Г., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М., Изд. иностр. лит., 1950.

6. Moretti Q. Three-dimensional, supersonic, steady {lows with any number of imbedded shocks. AIAA Paper N 74-10.

Рукопись поступила 26/VII 1974 г.