CC BY
31
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХСОЛИТОННЫХ ИМПУЛЬСОВ В НЕЛИНЕЙНОМ многомодовом волноводе
А.В. Гладких, В.С. Павельев, В.А. Сойфер Институт систем обработки изображений РАН
Аннотация
В [1] проведено численное исследование эволюции амплитудных огибающих односолитонных лазерных импульсов, соответствующих модам с различными фазовыми скоростями, в нелинейном многомодовом волноводе. В данной работе приведены результаты для двухсолитонных импульсов, соответствующих различным модовым пакетам. Численно исследован эффект распада двухсолитонных импульсов на односолитонные.
Введение
Существенным недостатком многомодового волокна является наличие уширения импульса в результате групповой и межмодовой дисперсии. В одномодовых волокнах, получивших широкое практическое применение, межмодовая дисперсия отсутствует, а нелинейность показателя преломления волокна позволяет нелинейным сжатием скомпенсировать дисперсионное расплывание импульса [2-4].
В работе [5] для предотвращения уширения импульса за счет межмодовой дисперсии предложено использовать инвариантные модовые пакеты. Другими словами, принципиально возможно построение многоканальной линейной ВОЛС, в которой в качестве носителей отдельных каналов передачи информации будут использованы пакеты мод, имеющих одинаковые значения постоянной распространения. Интерес к поперечным модам как носителям независимых каналов передачи информации связан, во-первых, с постоянным повышением качества производимых многомодовых волокон [11], во-вторых, с разработкой методов качественного синтеза дифракционных оптических элементов - мода-нов [12, 13], способных эффективно формировать и селектировать поперечные моды лазерного излучения. Общая теория построения телекоммуникационных систем с уплотнением каналов в линейной ВОЛС, основанном на использовании поперечных мод, детально изложена в [12].
В связи с появившейся возможностью селективного возбуждения поперечных мод представляет интерес вопрос совместной эволюции импульсов, соответствующих различным модовым пакетам, в нелинейных волноводах.
В [1] проведено численное исследование эволюции амплитудных огибающих односолитонных лазерных импульсов. В данной работе приводятся результаты для двухсолитонных импульсов.
2. Теория распространения мод в нелинейном волноводе
Эволюция амплитудной огибающей Ф/ (г, t) /-ой
моды многомодового оптического волокна во втором приближении теории дисперсии, при пренебрежении затуханием, зависимостью групповой скорости от интенсивности, нелинейным поглощением и другими факторами в приближении медленно-
меняющихся амплитуд описывается системой уравнений шредингеровского типа [6,7,8]:
дФ ,■ , дФ ,■
------1 + в,-------------]~
дг 1 дґ
- і1 в 2
д 2Ф
1
дґ
2- + 2ік0"нел *
|2
2 1
I + 2Кіі Ц)Ф і = 0’
(1)
*( I /\Ф,
т Ф /
где суммирование ведется по всем каналируемым модам;
в/ - постоянная распространения/-ой моды;
\
в . да .
V J
-1
- групповая скорость /-ой моды;
в у
Гд2в Л да7
-1
- дисперсия групповой скорости;
О =
22 | |\ит (*,У)| \и1 (*,У)| "о(х,У)Лхёу
ю___________________________________.
| | рт (X, у)\ dxdy
иі (х, у) - поперечное распределение поля 1-ой
моды;
2п
Ко =~Т
волновое число;
по( х, у) = "
1 -Д
- распределение ли-
нейного коэффициента показателя преломления в параболическом волокне.
В данной работе рассматривается случай распространения двух инвариантных модовых пакетов, состоящих из мод Гаусса-Эрмита с индексами (р, ф) и (д, р). Представим импульсы в каждой моде в виде:
/(В г-шt)
, V п ’
п = 1,4;
п = 1 и п = 2 первый модовый пакет; п = 3 и п = 4 второй модовый пакет.
Совместная эволюция амплитудных огибающих четырех мод в нелинейном волноводе описывается системой:
дФ п
дг
-+в дфп
" дґ
- і 1 в" ^Ф" і 2 в" дґ2
■ +
эо —оо
4 2 1 2
+ 2/к0пнел ( IЯпт |Ф т| + 2Кпп 1Фп| )Фп = ^
m=1 2
п = 1,4 . (2)
Наложим следующее условие: на входе в волокно амплитудные огибающие мод одного пакета имеют одинаковый вид (Ф1(0,Г) = Ф2(0, Г),
Фз(0, Г) = = Ф 4(0, Г) ), что эквивалентно случаю одновременного возбуждения мод пакета. Используя данное условие и то обстоятельство, что в\ = Р2,
Я11 = Я22, Я12 = R2\,
уравнения, описывающие эволюцию первой и второй моды, идентичны. Аналогично - для третьей и четвертой моды. Таким образом, в данной постановке задачи, достаточно рассмотреть систему из двух эволюционных уравнений, для огибающей первого модового пакета и второго. Далее индексом ‘1’ будем идентифицировать величины, относящиеся к первому модовому пакету, а индексом ‘2’ — ко второму.
В нормированной сопровождающей системе координат
А =в2 ,
Я14 = Я23 •
С2
П = —— 2,
2
т = -
т0
t — г
(3)
Ф / = 41тнел К11 Ф /,
} Г' ] ’
С0
эволюционные уравнения принимают вид:
. дФ1 дФ1 1 д2Ф,
/ — --+ /ф1 — -------------\- +
дп
(
Ф
дт 2 дт1
+ 2 |ф2|
Л
V
дФ
К
11
Ф1 = 0
2 дФ 2 1 д Ф 2
—2 + /ф9----------- + — а----------г2 +
дп дт 2 дт
(
\
2
К
21
К
Ф
2 \ К
22
11
К
Ф
2
Л
2
11
Ф 2 = 0
(4)
где введены следующие обозначения:
I 2 — в2
ф = Л——, ф2 = —gl, а =
в2
Р1
2С
0
Р1'
К11 = Я11 + 2Я12, К12 = Я13 + Я14 , К21 = Я31 + Я32 , К22 = Я33 + 2Я34
.V-2в1//
Пусть т0 = -
С,
- длительность импульса .
0
Начальные условия для системы (4) подставлялись в виде
Ф/ (0, т) = Ф0/ 8есИ(т) (5)
Импульсы называются односолитонными, если и Ж-солитонными, если Ф0/ = N, где
Ф 0 / = 1,
N > 2 . Из системы (4) видно, что для получения N -солитонного импульса в первом модовом пакете необходимо Ф01 = N, а во втором модовом пакете
- Ф02 = N
К
11
К
22
2. Результаты численного исследования распространения двухсолитонных модовых пакетов
Решение системы (4) производилось разностным методом, предложенным в работе [9] для решения систем уравнений Шредингеровского типа.
Исследование проводилось для следующих значений: длина волны излучения 2 = 1,55 -10—6 м , п = 1,458, Д = 0,009, значение нелинейного коэффициента показателя преломления
— 22(мЛ 2
пнел = 1,2' 10 I в I • Для различных экспери-
ментов меняли только радиус волокна Я.
Важной особенностью N -солитонных импульсов является их периодичность по п [10]. Величина периода, выраженная в дисперсионных длинах ^д = т01Р" , равна П2. Пример такого периодического изменения формы огибающей показан на Рис.1.
Рис.1. Эволюция амплитудной огибающей двухсолитонного импульса в нелинейном волокне
При одновременном возбуждении двух модовых пакетов с разными групповыми скоростями распространения возможно несколько вариантов эволюции в зависимости от выбранного радиуса волновода.
Первый вариант: модовые пакеты расходятся (Рис.2). На начальном этапе импульс в каждой моде эволюционирует как в случае отсутствия межмодо-вого взаимодействия, но заметны некоторые отличия у передних и задних фронтов импульса. По мере
1
2
2
распространения от переднего фронта импульса “быстрого” модового пакета отщепляется небольшой по амплитуде импульс; аналогичное явление происходит для заднего фронта импульса “медленного” модового пакета. При дальнейшем распространении, отщепившийся импульс распространяется со скоростью большей, чем у основного импульса, и близкой к скорости в случае отсутствия меж-модового взаимодействия (рис. 2, пунктирная линия). После расщепления, каждый импульс стабилизируется к форме односолитонного импульса.
Рис. 2. Эволюция двухсолитонных импульсов в случае одновременного воздуждения двух модовых пакетов (0,1) и (0,2) в нелинейном параболическом волокне. Случай расхождения. Я=30 мкм. Пунктиром показан импульс в случае отсутствия межмодового взаимодействия: а) модовый пакет (0,1); б) модовый пакет (0,2)
Второй вариант: в результате взаимодействия импульсов на входе в волокно каждый из них расщепляется на три импульса, причем два из них распространяются в направлении, соответствующем данному модовому пакету (во введенных координатах), а третий — в противоположном направлении. Скорость распространения импульсов значительно отличается от скорости в случае отсутствия межмодового взаимодействия. Форма импульсов приближается к форме односолитонного импульса рис. 3.
Заключение
Полученные результаты показывают существование различных вариантов эволюции амплитудных огибающих двухсолитонных импульсов в нелинейном многомодовом волокне, зависящих (в предложенной системе координат ) от скорости расходимости импульсов. Наличие межмодового взаимодействия на входе в волокно приводит к распаду первоначального двухсолитонного импульса в каждой моде на несколько односолитонных импульсов, с различной длительностью и интенсивностью. Также происходит изменение скорости распространения импульсов.
Рис. 3. Эволюция двухсолитонных импульсов в случае одновременного возбуждения двух модовых пакетов (0,1) и (0,2) в нелинейном параболическом волокне. Случай расщепления. Я=73 мкм. Пунктиром показан импульс в случае отсутствия межмодового взаимодействия: а) модовый пакет (0,1); б) модовый пакет (0,2)
Наличие данных эффектов потребует своего учета при проектировании многоканальных ВОЛС. Исследованные эффекты также можно использовать для получения односолитонных импульсов из двух-солитонных. Аналогичные результаты распада первоначального импульса нами были получены для трех- и четырехсолитонных импульсов.
Литература
1. Шерман А.Ю. Нелинейное взаимодействие со-литонных импульсов в многомодовом оптическом волокне. // Компьютерная оптика.-1989. вып.6.-стр.32-37.
2. Хасэгава А., Кодама Ю. Передача сигналов оптическими солитонами в одномодовом волокне.// ТИИЭР.-1981. Т.69, в.9. стр.57-63.
3. Hasegava A. Plasma Instabilities and Nonlinear Effects.-New York: Springer-Verlag 1975.-p.195.
4. Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J.P. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fiber.// Phys. Rev. Lett.-1980. vol. 45.-p.1095.
5. Бахарев М. А., Котляр В.В., Павельев В.С., Сойфер В.А., Хонина С.Н. Эффективное возбуждение пакетов мод идеального градиентного волновода с заданными фазовыми скоростями. // Компьютерная оптика.- 1997. вып.17.-стр.21-24.
6. Hasegava A. Self-confinement of multimode optical pulse in a glass fiber // Optics Letters.-1980. vol. 5.-p. 416-417.
7. Crosignani B., Cutolo A., DiPorto P. Coupledmode theory of nonlinear propagation in multimode and single-mode fibers: Envelope solitons
and self-confinement. // JOSA.-1982. v.72.-p.1136-1141.
8. Водянский С.Я., Зуев М.А., Шапинский В.В., Шварцбург А. Б. Квазидинамическое моделирование нелинейной эволюции импульсов в нерегулярных многомодовых градиентных волноводах. // Компьютерная оптика.-1989. вып.6.-стр.37-42.
9. Програмное обеспечение ЭВМ. Библиотека
прикладных программ. БИМ-М.-Минск,
1986.в.2.
10. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А. С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. -М.: Наука, 1988.
11. C. Koeppen, R. F. Shi, W.D. Chen, F. Garito, "Properties of plastic optical fibers" J. Opt. Soc. Am. B Vol. 15, N 2, (1998) p. 727-739
12. Soifer V.A., Golub M.A., Laser Beam Mode Selection by Computer Generated Holograms, CRC Press, 1994.
13. Duparre M., Pavelyev V., Luedge B., Kley B., Soifer V., Kowarschik R. Generation, Superposition And Separation Of Gauss-Hermite-Modes By Means Of DOEs. SPIE Proceedings, Vol. 3291 (1998) 104-114
