CC BY
33
Изв. вузов «ПНД», т. 13, № 5-6, 2005 УДК 548; 537.611.46
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТАНОВЛЕНИЯ СОЛИТОННОГО РЕЖИМА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСОВ МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ВОЛН
А.А. Галишников, Г.М. Дудко, Ю.А. Филимонов
На основе численного решения нелинейного уравнения Шредингера рассмотрен процесс формирования солитонов магнитостатических волн в условиях, когда амплитуда и форма входного импульса отличаются от солитонного решения и на эволюцию солитона оказывает влияние несолитонная часть. Показано, что при отсутствии диссипации возможно наблюдение осцилляций пиковой амплитуды солитона магнитостатических волн, характеризуемых пространственным периодом Л: LD < Л < 66 • LD (или частотой Q: 0.015 • T-1 < Q < T-1), где Ld и TD - длина и время дисперсии импульса. В условиях диссипации, соответствующей реальным ферритовым пленкам, влияние несолитонной части проявляется лишь в виде немонотонной зависимости пиковой мощности выходного сигнала магнитостатических волн от мощности входного импульса.
Введение
Распространение солитонов магнитостатических волн (МСВ) в ферритовых пленках активно исследуется в связи с перспективностью их применения в СВЧ-устройствах обработки информации [1, 2]. К настоящему времени показана возможность образования солитонов МСВ в ферритовых пленках и структурах феррит - диэлектрик - металл [3-5] и выполнены многочисленные эксперименты по их наблюдению [6-11]. Было проведено подробное численное моделирование распространения солитонов МСВ на основе как нелинейного уравнения Шредингера [9, 10, 12-14], так и системы нелинейных дифференциальных уравнений движения пространственных фурье-компонент вектора СВЧ намагниченности нелинейного импульса [15]. Были также описаны критерии формирования солитона [16] и исследованы вопросы определения скорости распространения [14, 17], затухания [18], столкновения и
отражения солитонов [19]. Однако до сих пор при анализе прошедшего пленку импульса МСВ никак не учитывалась возможность влияния на его огибающую несо-литонной части импульса. Между тем для оптических солитонов хорошо известно [20], что для входных импульсов, отличающихся от солитонного решения формой или амплитудой, несолитонная составляющая импульса может заметно менять условия формирования солитона. Цель данной работы - на основе численного решения нелинейного уравнения Шредингера исследовать особенности поведения солитона МСВ в ферритовой пленке, определяемые несолитонной частью импульса.
Отметим, что впервые влияние несолитонной составляющей (несолитонной волны) на солитон нелинейного уравнения Шредингера было описано в работе [21]. Решение нелинейного уравнения Шредингера методом обратной задачи рассеяния показало, что начальное распределение безразмерной комплексной огибающей волны ф(х, вида
Ф (х,г = 0) = N8ееЬ [(Ы + 8) х], |8| < 1/2 (1)
трансформируется в N солитонов и несолитонную волну, причем таким образом, что отношение суммарной энергии солитонов к полной энергии составляет величину
1 - . (2)
(Ы + 8)2
При 8 = 0, -1/2 несолитонная составляющая приводит к осцилляциям пиковой амплитуды импульса, которые затухают пропорционально 1-1/2 из-за дисперсионного расплывания несолитонной волны. Тем не менее для оптических солитонов наблюдение таких осцилляций вполне возможно, поскольку расстояния, на которых они все еще заметны, могут составлять несколько десятков дисперсионных длин импульса Ьи1, что, с одной стороны, может заметно превосходить длительность входного импульса, а с другой, оказывается гораздо меньше длины пробега солитона в высококачественном оптическом волокне [20].
Иначе обстоит дело с импульсами МСВ в ферритовых пленках. Во-первых, в экспериментах по наблюдению солитонов МСВ используются входные СВЧ-импуль-сы квазипрямоугольной формы. Это изменяет условия формирования солитона относительно случая лесй-образного импульса, и следует ожидать лишь качественного совпадения с результатами работы [21]. Во-вторых, достаточно высокая скорость релаксации СВЧ намагниченности в ферритовых пленках приводит к более быстрому спаданию амплитуды несолитонной части и ограничивает длину пробега импульса МСВ лишь единицами длин дисперсии Ьи. В данной работе на примере поверхностных магнитостатических волн (ПМСВ) в структуре феррит - диэлектрик - металл показано, что при типичных для ферритовых пленок значениях параметра диссипации влияние несолитонной части проявится в виде максимума зависимости выходной пиковой мощности от мощности входного сигнала.
1На длине Ьв входной гауссов импульс, имевший длительность Т0 по уровню е 1, уширяется в раз [20].
1. Постановка задачи
Будем рассматривать распространение ПМСВ в структуре феррит - диэлектрик - металл при значениях параметров, отвечающих эксперименту, описанному в [11]. Считаем, что структура состоит из пленки железоиттриевого граната (ЖИГ) толщиной ! = 14.1 мкм, намагниченностью насыщения 4пМо = 1750 Гс и шириной линии ферромагнитного резонанса АН = 0.35 Э, которая через воздушный зазор Н = 100 мкм нагружена на металлический экран. Для определенности считаем, что структура помещена во внешнее магнитное поле Н = 897 Э, которое ориентировано касательно плоскости пленки и перпендикулярно направлению распространения волны. В структуре с такими параметрами ПМСВ на частоте несущей f = 4594 МГц характеризуется коэффициентами дисперсии в = 2.5 • 104 см2/с и нелинейности у = —7.8 • 109е-1, которые удовлетворяют критерию Лайтхилла формирования солитонов [5], и значениями групповой скорости Уа = 3.6 • 106 см/с и временного декремента а = 6 • 106 е-1 [22].
Для моделирования эволюции волны воспользуемся стандартным подходом, основанном на решении нелинейного уравнения Шредингера для комплексной огибающей волны ф [4, 12, 22]
+Ш + 2eS - YH2 » +jО" = 0 №
с граничными условиями, соответствующими возбуждению волны прямоугольным импульсом с амплитудой фо и длительностью То
л \ фо, г < То, ф (х = 0, г) = 4 (4)
{ 0, г > То.
При этом можно определить пороги образования N-солитонных режимов [4]
(2К — 1) . (5)
=
п
2Уд То 1
С учетом (5) граничные условия (4) можно переписать в виде, аналогичном (1),
(N - ô), t < То,
(6)
" (x = 0,t) = { Vg То!
0, t > То.
Будем рассматривать случай входных импульсов длительностью То = 20 нс при значениях параметров уравнения (3), отвечающих выбранной частоте несущей f = 4594 МГц. При этом значения порогов одно- и двухсолитонного режимов, рассчитанные из (5), составляют "0 = 0.039 и = 0.117, соответственно.
п
1.1. Бездиссипативный случай. Рассмотрим процесс формирования соли-тонов в условиях отсутствия диссипации а = 0. На рис. 1 приведены зависимости пиковой амплитуды импульса |фтах(х^)1 от его координаты для входных амплитуд в диапазоне фд < фо < Ф2 (|8| < 1/2). Можно видеть, что аналогично известному случаю, описанному в [20, 21], зависимость |фтах(x,t)| имеет осциллирующий характер, которому можно сопоставить амплитуду 8ф и пространственный период Л, определив его как расстояние между соседними максимумами. Поведение |фтах(х^)| можно охарактеризовать частотой осцилляций □ = Уд/Л.
При выбранной длине пробега импульса в 3 см удается выделить один период осцилляций для импульса с ф0 « 0.06 (см. рис. 1). При этом осцилляции характеризуются пространственным периодом Л « 1.44 см и частотой □ « 2.5 МГц. С дальнейшим ростом ф0 частота и амплитуда колебаний растут2 . Однако в окрестности ф^ = 0.07 « « (фд + ф0)/2 (8 = 0) амплитуда осцилляций резко падает. Такое поведение аналогично случаю ^ес^-образного входного импульса, для которого при 8 = 0 несолитонная волна не образуется. При приближении амплитуд вход-
х,см
Рис. 1. Зависимости пиковой амплитуды солитонов |фтах | (двухсолитонный режим) от их координаты. Рядом с кривыми указано значение входной амплитуды фо
ного сигнала к значениям порога двухсолитонного режима частота и пространственный период осцилляций достигают, соответственно, максимальных и минимальных значений □ « 15 МГц и Л « 0.25 см. При этом амплитуда колебаний достигает максимальных значений 8ф « 0.27фо.
На пороге двухсолитонного режима ф0 = ф0 образуются два неосциллиру-ющих солитона. При ф0 > Ф2 наблюдаются осцилляции обоих солитонов, причем с частотами в общем случае не кратными друг другу. На достаточно больших расстояниях осцилляции как в одно-, так и в двухсолитонном режиме затухают, и в системе распространяются неосциллирующие солитоны.
Сделаем оценку частоты осцилляций огибающей |фтах(х^)|. Для простоты будем рассматривать односолитонный режим и предположим, что на участке осцил-ляций поведение огибающей импульса определяется лишь интерференцией несоли-тонной составляющей и солитона вида [23]
ф5 (х, г) = ^есЬ ( А (х - Vt)
ехр
А 2 3
А23 2 - в (х -
(7)
где А и V - независимые параметры, имеющие смысл амплитуды и скорости солитона и определяемые начальными условиями. Понятно, что в таком приближении частота осцилляций определяется относительной скоростью изменения фаз солитона и несолитонной волны. Сопоставить скорости изменения фаз солитонной и несоли-тонной частей импульса удобнее всего в движущейся со скоростью солитона системе
2Заметим, что на периоде колебаний осцилляции происходят таким образом, что уменьшение амплитуды сопровождается увеличением ширины импульса. Это отражает, с одной стороны, требование сохранения энергии при а = 0, а с другой, малое изменение энергии несолитонной части непосредственно под солитоном на периоде колебаний.
координат = х — УЬ, Ь). На рис. 2 показано рассчитанное из (3) при входной амплитуде фо = 0.11 распределение фазы импульса 0 Ь) вдоль координаты ^ для двух моментов времени Ь и Ь + ЛЬ, где величина ЛЬ = 63 нс выбиралась близкой к периоду осцилляций, чтобы изменение фазы было максимальным. Штриховой линией на рисунке показана огибающая импульса, которая заметно отличается от нуля на участке |^ | < 0.1. Понятно, что фаза импульса при значениях | ^ | > 0.1 определяется несолитонной частью, что подтверждается квадратичным характером зависимости 0(§), типичным для линейных волновых пакетов в среде с квадратичной дисперсией [20].
Как видно из рисунка, за время ЛЬ фаза импульса под огибающей изменяется на величину Л0 ^ 2п, в то время как фаза несолитонной волны в непосредственной близости от солито-на практически не изменяется - точки А и В. Если предположить, что «под» солито-ном изменение фазы несолитонной составляющей также будет незначительным, то осцилляции огибающей будут определяться изменением фазы солитона. При этом период осцилляций Т можно оценить, используя (7). Приравнивая к 2п набег фазы солитона во времени, получим
Рис. 2. Распределения фазы 0 = х — УЬ, ) импульса в моменты времени ¿т = ¿1 + (т — 1) ЛЬ, т = 1, 2, ЛЬ = 63 нс, фо = 0.11. Штриховой линией показана огибающая импульса |ф|; пунктирными линиями показаны пороги одно- и двухсолитонных режимов
Л2 * = 2п 2
Т=
4п
уА2
(8)
Параметр А мы можем оценить, предполагая, что энергия несолитонной части мала по сравнению с энергией солитона. Тогда, записывая условие сохранения первого интеграла движения [20] для уравнения (3)
с
I
|ф (х, Ь)|2 1х = СОПБ^
(9)
для входного импульса (4) и солитонного решения (7) получим
ф2 Уд То = 7 А2 8всЬ^ А^в (х — УЬ)^ 1х = = АЛ (х — уА
= 2А\I — .
У
Из (10) определим амплитуду солитона как
(10)
А Ф2УдТм/
(11)
ПГ = — оп
Для частоты осцилляций □ = Т 1 с помощью (8), (11) получаем
у^2 ф4К,2Т2У2
4п 16л|3
На рис. 3 приведены зависимости амплитуды солитона и частоты осцилляций, полученные из анализа численных решений (3) и с помощью оценочных формул (11), (12). Как видно, соотношение для пиковой амплитуды солитона (11) удовлетворительно описывает результаты, полученные численно (максимальное расхождение значений порядка 60%). Для частоты □ оценка с помощью формулы (12) соответствует численным результатам хуже. Достаточно хорошее совпадение имеется лишь вблизи порога односолитонного режима. Вблизи порога образования двух солитонов разница в значениях частот, полученных из (12) и численного решения (3), достигает 120%. Увеличение ошибки около порога двухсолитонного режима можно объяснить тем, что в несолитонную составляющую уходит значительная доля энергии входного импульса, что никак не учитывается в (12).
Отметим, что, если в выражение для частоты осцилляций (12) подставить значения фо, отвечающие порогу образования Ж-солитонного режима (5), и воспользоваться выражением для времени дисперсии гауссова импульса
Т и =
V 2Т 2 уд То
8|3 '
(13)
то для частоты осцилляций □ при значениях входных амплитуд фд < фо < Ф2 получим выражение
0.015 • Т-1 < □ < Т-1. (14)
Таким частотам осцилляций отвечают пространственные периоды Л
Ьи < Л < 66 • Ь
(14)
где Ь- = Т иV„.
Рис. 3. Зависимости амплитуды солитона А(а) и частоты осцилляций й(б) от входной амплитуды фо. Сплошные линии рассчитаны по формулам (11) и (12); точками отмечены значения, полученные в результате численного моделирования; пунктиром отмечены пороги ф0 и ф0
1.2. Диссипативная среда. При решении (3) с учетом выбранного значения параметра диссипации а = 6 • 106с-1 осцилляции амплитуды импульса не наблюдались. Однако влияние несолитонной составляющей приводило к появлению немонотонной зависимости |фтах(фо)| в некоторой точке x пленки. Прежде чем перейти к обсуждению расчетов отметим интересную особенность поведения солитона на рис. 1. Как можно видеть, пиковая амплитуда солитона фо = 0.11 в некоторых точках x оказывается меньше амплитуды солитона ф0 = 0.10 (отмечено штриховой линией на рис. 1). Это значит, что амплитуда выходного импульса на расстоянии x = 0.6 см при увеличении входной амплитуды от ф0 = 0.10 до ф0 = 0.11 будет уменьшаться. Можно предположить, что при учете диссипации данный эффект, вызванный влиянием несолитонной части, сохранится.
Для иллюстрации этого предположения обратимся к зависимостям фтах (ф0, x), рассчитанным из (3) для двух значений коэффициента диссипации (рис. 4). Для скорости диссипации а = 2 • 106с-1, что примерно втрое ниже типичных значений для пленок ЖИГ, можно наблюдать осцилляции пиковой амплитуды в плоскости ф0 = const (см. рис. 4, а). При этом видно, что в плоскости x = const образуется максимум зависимости фтах (ф0, x = const) - одна из них выделена жирной линией. При значениях а = 6 • 106с-1, которые типичны для пленок ЖИГ, осцилляции пиковой амплитуды в плоскости ф0 = const не наблюдаются по причине быстрого затухания импульса (см. рис. 4, б). Тем не менее максимум в плоскости x = const сохраняется - такая зависимость выделена жирной линией. Итак, можно заключить, что взаимодействием солитона МСВ с несолитонной волной в условиях типичной диссипации в пленках ЖИГ приводит к образованию экстремумов на зависимости выходной пиковой амплитуды от амплитуды входного сигнала.
Отметим, что немонотонные зависимости фтах (ф0, x) наблюдались как в экспериментах по изучению солитонов МСВ в ферритовых пленках [9, 18], так и в ряде работ [9, 15, 22] по численному моделированию зависимости солитонов МСВ. Однако причина немонотонности зависимости фтах (ф0) в работах по численному моделированию (см., например, [9, 15]) не обсуждалась. В экспериментах она связы-
Рис. 4. Зависимости пиковой амплитуды фтах от координаты х, см и входной амплитуды фо при а = 2 • 106с-1 (а) и а = 6 • 106 с-1 (б)
валась с выполнением условий оптимального формирования солитона при выбранных уровнях входного сигнала и расстоянии между входной и выходной антеннами или развитием процессов параметрического возбуждения спиновых волн [9, 18]. К сожалению, до сих пор целенаправленных экспериментов по выяснению причины существования немонотонной зависимости фтах (фо>ж) поставлено не было. Это позволяет рассматривать влияние несолитонной волны в качестве одной из вероятных причин появления максимума зависимости выходной пиковой мощности от входной.
Заключение
В рамках модели, основанной на нелинейном уравнении Шредингера, рассмотрен процесс формирования солитонов магнитостатических волн в условиях, когда амплитуда и форма входного импульса отличаются от солитонного решения и на эволюцию солитона оказывает влияние несолитонная часть. Для бездиссипативного случая показано, что наличие несолитонной составляющей приводит к осцилляци-ям профиля огибающей импульса, которые затухают по мере формирования соли-тонного режима. В приближении малости энергии несолитонной части получены формулы для оценки частоты осцилляций и амплитуды огибающей, которые дают значения этих параметров, по порядку величины совпадающие с результатами численного решения нелинейного уравнения Шредингера. Показано, что при значениях диссипативного параметра магнитостатических волн, отвечающих типичным пленкам ЖИГ, осцилляции не наблюдаются. Однако механизм взаимодействия солитона и несолитонной составляющей в этом случае проявляется в виде немонотонного характера зависимости пиковой выходной амплитуды импульса от амплитуды входного импульса и может являться одной из возможных причин образования подобного максимума в экспериментах с солитонами магнитостатических волн.
Работа поддержана грантом РФФИ № 04-02-17537 и Фондом содействия отечественной науке.
Библиографический список
1. Звездин А.К., Медников А.М., Попков А.Ф. Функциональные устройства на магнитостатических и магнитоакустических волнах // Электронная промышленность. 1983, № 8. С. 14.
2. Marcelli R., Nikitov S.A. Nonlinear microwave signal processing: Towards a new range ofdevices. Kluwer Acad. Publ, 1996.
3. Лукомский В.П. Нелинейные магнитостатические волны в ферромагнитных пластинах // Укр. физ. журн. 1978. T. 23, № 1. C. 134.
4. Звездин А.К., Попков А.Ф. К нелинейной теории магнитостатических спиновых волн // ЖЭТФ. 1983. T. 84, вып. 2. C. 606.
5. Бордман А.Д., Никитов С.А. К теории поверхностных магнитостатических волн // ФТТ. 1989. Т. 31, вып. 6. С. 281.
6. Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. Наблюдение спин-волновых солитонов в ферромагнитных пленках // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 38, вып. 7. С. 343.
7. Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. Солитоны огибающей и модуля-
ционная неустойчивость дипольно-обменных волн намагниченности в пленках железоиттриевого граната//ЖЭТФ. 1988. Т. 94, вып. 2. С. 159.
8. De Gasperis P., Marcelli R., Miccoli G. Magnetostatic soliton propagation at microwave frequency in magnetic garnet films // Phys. Rev. Lett.,1987. Vol. 59, № 4. P. 481.
9. Chen M., Tsankov M.A., Nash J.M., Patton C.E. Backward volume wave microwave envelope solitons in yttrium iron garnet films // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 49, № 18. P. 12773.
10. Tsankov M.A., Chen M., Patton C.E. Forward volume wave microwave envelope solitons in yttrium iron garnet films: Propagation, decay, and collision // J. Appl. Phys. 1994. V. 76, № 7. P. 4274.
11. Filimonov Yu. A., Marcelli R., Nikitov S.A. Non-linear magnetostatic surace waves pulse propagation in ferrite-dielectric-metal structure // IEEE Trans. on Magn. 2002. September. Vol. 38, № 5. P. 3105.
12. Дудко Г. М. Эффекты самовоздействия магнитостатических волн в ферромагнитных пленках: Автореф. дис... канд. физ.-мат. наук / Саратов: СГУ, 2002. С. 24.
13. Slavun A.N., Dudko G.M. Numerical modelling ofspin wave soliton propagationi ferromagnetic films // J. Mag. Mag. Mat. 1990. Vol. 86. P. 15.
14. Zaspel C.E., Kabos P., Xia H., Zhang H. Y., Patton C.E. Modelling of the power-dependent velocity of microwave magnetic envelope solitons in thin films // J. Appl. Phys. 1999. Vol. 85, № 12. P. 8307.
15. Костылев М.П., Ковшиков Н.Г. Возбуждение, формирование и распространение солитоноподобных импульсов спиновых волн в феромагнитных пленках: численный расчет и эксперимент // ЖТФ. 2002. T. 72, вып. 11. C. 5.
16. Nash J.M., Kabos P., Staudinger R.A., Patton C.E. Phase profiles of microwave magnetic envelope solitons // J. Appl. Phys. 1998. Vol. 83, № 5. P. 2689.
17. Xia H., Kabos P., Staudinger R.A., Patton C.E., Slavin A.N. Velocity characteristics of microwave-magnetic-envelope solitons // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 58, № 5. P. 2708.
18. Xia H., Kabos P., Patton C.E., Ensle H.E. Decay properties of microwave-magnetic-envelope solitons in yttrium iron garnet films // Phys. Rev. B. 1997. Vol. 55, № 22. P. 15018.
19. Kovshikov N.G., Kalinikos B.A., Patton C.E., Wright E.S., Nash J.M. Formation, propagation, reflection, and collision of microwave envelope solitons in yttrium iron garnet films // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 54, № 21. P. 15210.
20. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988.
21. Satsuma J., Yajima N.Initial value problems of one-dimensional self-modulation of nonlinear wavesin dispersive media // Prog. Theor. Phis. Suppl. 1974, № 55. P. 284.
22. Галишников А.А., Дудко Г.М., Филимонов Ю.А. Солитоны поверхностных магнитостатических волн в структуре феррит-диэлектрик-металл // Радиотехника и электроника. 2004. T. 49, № 2. C. 228.
23. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.
Саратовский филиал Института Поступила в редакцию 8.09.2005
радиотехники и электроники РАН
NUMERICAL MODELLING OF MAGNETOSTATIC WAVE SOLITON FORMATION PROCESS
A.A. Galishnikov, G.M. Dudko, Yu.A. Filimonov
Through numerical simulation by nonlinear Schrodinger equation magnetostatic wave soliton formation process is considered when amplitude and shape of initial pulse differ from soliton solution and non-soliton part can influence on soliton evolution. It is shown, that in lossless approximation soliton peak amplitude can oscillate with spatial period A: LD < A < 66 • LD (or friequency Q: 0.015 • T-1 < Q < T-1), LD u TD - length and time of dispersion. With dissipation corresponding to ferrite films, influence of non-solitin part leads to non-monotone behaviour of dependence peak output power versus power of input pulse.
Галишников Александр Александрович - родился в 1980 году в Саратове. Окончил факультет нелинейных процессов Саратовского государственного университета (1997). По окончании поступил в аспирантуру Института радиотехники и электроники РАН. Работает в Саратовском филиале того же института в должности младшего научного сотрудника. Область научных интересов - нелинейная динамика распределенных систем, магнитостатические волны в ферритовых планарных структурах.
Дудко Галина Михайловна - родилась в 1961 году в Свердловске. Окончила физический факультет Саратовского государственного университета по специальности «радиофизика». С 1983 по 2003 год работала в Саратовском отделении Института радиотехники и электроники РАН. В 2002 году защитила диссертацию по теме «Эффекты самовоздействия магнитостатических волн в ферромагнитных пленках» на соискание ученого звания кандидата физико-математических наук. С 2003 года старший научный сотрудник НПК «Прецизионное оборудование». Область научных интересов - нелинейные явления в магнитоупорядоченных средах, компьютерное моделирование. Автор и соавтор 14 научных статей.
Филимонов Юрий Александрович - родился в 1955 году. Окончил Московский физико-технический институт (1979), кандидат физико-математических наук, директор Саратовского филиала ИРЭ РАН. Область научных интересов -волновые явления в магнитных пленках. E-mail:[email protected]
