CC BY
60
УЕБТЫНС
мвви
ГИДРАВЛИКА. ИНЖЕНЕРНАЯ ГИДРОЛОГИЯ. ГИДРОТЕХНИЧЕСКОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 627.1
В.Н. Байков, М.А. Волынов*
ФГБОУВПО «МГСУ», *ГНУВНИИГиМ им. А.Н. Костякова
ВЗАИМНАЯ СОГЛАСОВАННОСТЬ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ТЕЧЕНИЯ И ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Проанализированы условия, обеспечивающие строгую согласованность между закономерностями течения и гидравлического сопротивления в трубах и широких каналах. Отмечено, что при традиционных способах определения коэффициентов сопротивления для труб и каналов их величины различаются в 4 раза. Показано, что дефицит средней скорости для труб и каналов, найденный интегрированием профиля скорости, зависит от параметра Кармана и различается в 1,5 раза. Полученная связь параметра Кармана с дефицитом средней скорости придает этому параметру однозначное физическое определение. Реализуя оригинальный прием сопоставления опытной закономерности сопротивления для гладких труб с выражением для коэффициента сопротивления, полученным интегрированием логарифмического профиля скорости, удается несколько уточнить значение параметра Кармана и второй константы профиля скорости, которые несколько отличаются от опытных значений, найденных И. Никурадзе.
Установленные уточненные значения первой и второй констант турбулентности для течений в гладких и шероховатых трубах обеспечивают строгое соответствие между закономерностями сопротивления и распределением скоростей в гладких и шероховатых трубах.
Ключевые слова: течение в трубе, течение в широком канале, гидравлическое сопротивление, дефицит средней скорости.
Как известно, коэффициент гидравлического сопротивления связан с распределением скоростей в потоке [1—5]. Эта связь может быть полезной для уточнения кинематических характеристик потока (так называемых констант турбулентности), поскольку гидравлическое сопротивление потоков экспериментально определяется достаточно просто и точно. В некоторых случаях, когда отсутствуют данные о сопротивлении, но имеется надежно измеренное распределение скоростей в потоке, оно может быть использовано для определения гидравлического сопротивления [6]. Однако до настоящего времени существуют различающиеся трактовки этой связи, что оставляет этот вопрос актуальным и открытым для дальнейшего исследования и уточнения.
Коэффициент гидравлического сопротивления 1 входит в формулу Дарси— Вейсбаха [7] которая для труб записывается в виде I V2
К = 1--, (1)
* d 2g У '
где Ъ* — потери напора; I и d — диаметр трубы и ее длина соответственно.
к
Учитывая, что = 7 — гидравлический уклон и й = 4R формулу (1) можно записать в виде
1 = Щ. (2)
V 2
Для широких открытых потоков характерным вертикальным размером является глубина потока к, которая в этих случаях совпадает с гидравлическим радиусом R. В связи с этим, формулу для потерь напора для этих случаев часто записывают в виде [8]
IV 2 IV 2
К =1 -— = 1 -—. (3)
* А 2g Я 2я ^
При этом
1 = Щ. (4)
V 2
Таким образом, коэффициенты сопротивления для труб и каналов, определенные при сопоставимых условиях, будут различаться в 4 раза, что следует учитывать при сопоставлении коэффициентов гидравлического сопротивления труб, каналов и речных русел.
Поскольку закономерности сопротивления труб изучены достаточно подробно, для выявления особенностей сопротивления открытых русел оказывается целесообразным определять коэффициент сопротивления по формуле (2). Учитывая (на основании уравнения равномерного движения [9]), что
^ = и*2 = яЯ1, (5)
Р
можно записать (2) в виде
1 = ^ (6)
V 2
откуда
^ = |. (7)
и* VI
v
Отношение — может быть найдено интегрированием профиля скорости и*
по сечению трубы или по глубине потока в широком канале.
Указанное обстоятельство позволяет привлечь данные по коэффициенту гидравлического сопротивления, найденному по потерям напора к проверке гипотез, положенных в основу теоретических построений для определения профиля скорости в потоке.
Интегрируя профиль скорости:
и = 11п ^ + с (8)
и* К V
по глубине потока, можно получить среднюю скорость на вертикали (или среднюю скорость для широкого канала и русла):
V = + С (9)
и* К V К
VESTNIK
MGSU
В этом выражении остается неопределенной константа C и параметр Кармана к . Тем не менее, с использованием этого выражения и профиля скорости (8) можно определить «дефицит средней скорости»:
UmaxzL = Iln+ с - ImU*L +1 - с = I. (10)
U* К V К V к к
Таким образом, коэффициент к для плоского потока получает четкое и однозначное количественное определение в виде
к = _^-. (11)
umax - V
При рассмотрении осесимметричного течения в трубе средняя скорость определяется интегрированием профиля по площади поперечного сечения. В результате интегрирования получается следующее выражение для средней скорости в трубе:
V = iln_21 + C. (12)
u* к v 3 к
Тогда де фицит средней скорости для потока в трубе при "max = — ln + C оказывается равным u*
umax - V = 1ln"ГО _ 1lnU-!b - M - C = (13)
u* к v к v к к
Связь коэффициента к с параметрами течения в трубе при этом приобретает вид
к = 1,5-(14)
umax _ V
Различающееся в 1,5 раза значение дефицита средней скорости для течений в каналах и трубах при одинаковых динамических характеристиках этих течений потребовали их дальнейшего исследования, результаты которого рассматриваются далее.
Как отмечалось выше, неопределенные параметры профиля скорости могут быть определены либо прямыми измерениями распределения скоростей в поперечном сечении потока, либо независимым методом по измерению гидравлических потерь. Следует отметить, что и при прямой проверке необходимо знать динамическую скорость uкоторая для труб определяется по гидравлическим потерям, а для открытых лабораторных каналов (при равномерном движении) может быть определена из уравнения равномерного движения (5). Для речных потоков при определении величины u* возникают дополнительные сложности, которые следует принять во внимание.
Рассмотрим возможность определения параметров профиля скорости (коэффициента к и постоянной C) с использованием значительного объема экспериментальных данных по гидравлическому сопротивлению гладких труб, полученных И. Никурадзе [10], который установил, что
= 2lgReVl-0,8. (15)
VI
Произведем преобразование этой формулы с учетом (7):
1 = 21в—^ + 21^л/8 -0,8 = 2!в^ + 2lg2 + 2lg8 -0,8. (16)
VI V 78 V 4 7
Окончательно получаем в удобном для дальнейшего анализа виде следующий аналог формулы (15):
Л = 0,87^ + 0,7. (17)
С учетом (7) из выражения (12) получаем:
1 = _1 1П и*п -+ С. (18)
VI кл/8 V 2 кл/8 л/8
Учитывая, что в зависимостях (17) и (18) только первые слагаемые правой части содержат 1п * 0 , очевидно, что коэффициенты перед этими слагаемыми
V
должны совпадать:
= 0,87, (19)
кл/ 8
что позволяет установить величину к = 0,407 (опираясь на опытные данные по гидравлическому сопротивлению гидравлически гладких трубопроводов).
Для обеспечения равенства остальных слагаемых в правой части уравнений:
3 С
С = 0,7, (20)
2кл/8 л/8
из которого при ранее найденном значении к = 0,407 находим значение С = 5,66. По результатам прямых измерений И. Никурадзе значение С = 5,5.
Установленные таким образом значения к и С несколько отличаются от средних значений к и С, которые обычно принимаются по опытным данным Никурадзе, что указывает на целесообразность дальнейшего изучения вопроса с целью выявления возможных причин найденных расхождений.
При рассмотрении потоков в шероховатых границах [11] в качестве характерного линейного масштаба принято использовать высоту выступов шероховатости А. Характеризуя расстояние от шероховатой границы потока до рассматриваемой точки в потоке безразмерной величиной у/А и интегрируя уравнение
ёи _ 1-у/т0/р _ 1 и* ёу к у к у ' можно получить логарифмическое распределение скоростей по глубине потока в виде
и = 1]пУ + С. (21)
и* к А
Интегрирование этого профиля скорости по глубине к позволяет получить следующие выражения:
Гидравлика. Инженерная гидрология. Гидротехническое строительство VESTNIK
_MGSU
для средней скорости на вертикали (или в широком канале)
V = iln£-i + C, (22)
u* к Д к и для дефицита средней скорости —
umax V _1 (23)
u* к
Для потока в шероховатых трубах интегрированием по сечению трубы получено следующее выражение для средней скорости:
V _ lln^-^ + C, (24) u* к Д к
и для дефицита средней скорости —
umax — V _ 15 (25)
u* к
Полученные выражения дефицита средней скорости для потоков в шероховатых трубах совпадают с выражениями дефицита скорости для потоков в гидравлически гладких трубах, что позволяет рассматривать эти соотношения как универсальные.
Как известно, коэффициент к и постоянная C в профиле (21) были установлены прямыми измерениями скоростей для закрепленной песчаной шероховатости [12] опытами И. Никурадзе. При этом установлено, что к _ 0,40 и C _ 8,48.
Полученные выше зависимости для средней скорости в шероховатых трубах позволяют на основе большого массива независимых измерений потерь напора уточнить значения к и C. Обобщением этих экспериментов является формула И. Никурадзе для коэффициента сопротивления шероховатых труб 1 r
-f=_ 21g-0 +1,74, (26)
где ks — размер песочной шероховатости, равный диаметру зерен песка, наклеенных на стенку трубы, т.е. в данном случае ks _ Д . Учитывая выражения (7) и (24), запишем
_L ( Iln Г0 — ^ + C1 _ 21g Г0 +1,74. (27)
V8(к д к J бд ' v '
Переходя к натуральным логарифмам, получаем
11nr0 — — + C _ 2,451n— + 4,91. (28)
к Д к Д
Поскольку величины — не входят в другие слагаемые равенства, для его Д
выполнения необходимо, чтобы коэффициенты перед логарифмом слева и
справа были равны, т.е. 1 _ 2,45, откуда к _ 0,408.
к
Это значение с высокой степенью точности совпадает с найденным выше значением к для гладких труб. При этом значении к необходимое условие равенства других слагаемых позволяет определить значение C:
- — + C = 4,91, (29)
к
откуда C = 8,59, что несколько превышает значение C = 8,48, которое указывает И. Никурадзе по результатам измерений скоростей.
Следует еще раз отметить, что для естественных водотоков с незакрепленной шероховатостью выбор нулевой плоскости отсчета существенно влияет на угол наклона профиля скорости, кроме того, определение шероховатости Д или ks также представляет методические и принципиальные сложности, поэтому данные вопросы для естественных водотоков должны быть рассмотрены дополнительно.
Библиографический список
1. Брянская Ю.В., Маркова И.М., Остякова А.В. Гидравлика водных и взвесене-сущих потоков в жестких и деформируемых границах. М. : МГСУ, изд-во АСВ, 2009. 263 с.
2. Брянская Ю.В., Байков В.Н., Волынов М.А. Распределение скоростей и гидравлическое сопротивление при течении в трубах, каналах и речных руслах // Гидротехническое строительство. 2011. № 3. С. 36—39.
3. Брянская Ю.В. Особенности кинематики течения и гидравлического сопротивления при переходном режиме // Гидротехническое строительство. 2004. № 12. С. 26—29.
4. Akinlade O.G., Bergstrom D.J. Effect of surface roughness on the coefficients of a power law for the mean velocity in a turbulent boundary layer // Journ. of Turbulence. 2007. V 8. Pp. 1—27.
5. Jiménez J., Hoyas S., SimensM.P., Mizuno Y. Turbulent boundary layers and channels at moderate Reynolds numbers // Journ. Fluid Mech. 2010. V. 657. Pp. 335—360.
6. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. М. : Недра, 1982. 222 с.
7. Михалев М.А. Гидравлический расчет напорных трубопроводов // Инженерно-строительный журнал. 2012. № 6(32). С. 20—28.
8. Зегжда А.П. Гидравлические потери на трение в каналах и трубопроводах. М-Л. : Гос. изд-во литер. по строит. и архитект., 1957. 277 с.
9. Брянская Ю.В. Течение в пристеночном слое и за его пределами (в трубе, канале и пограничном слое) // Вестник МГСУ 2010. № 4. Т. 2. С. 60—66.
10. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения в гладких трубах // Проблемы турбулентности. М-Л. : Изд-во ОНТИ НКТП, 1936. С. 75—150.
11. Gioia G., Chakraborty P. Turbulent friction in rough pipes and the energy spectrum of the phenomenological theory. Phys. Rev. Lett, 96: 2006, рp. 1—4.
12. Nikuradse I. Stroemungsgesetze in rauhen Rohren // Forschungs-Heft (Forschungs auf dem Gebiete des Ingenieur-Wesens). № 361, 1933. Рр. 1—22.
Поступила в редакцию в марте 2013 г.
Об авторах: Байков Виталий Николаевич — старший преподаватель кафедры гидравлики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499)261-39-12, [email protected];
VESTNIK
MGSU
Волынов Михаил Анатольевич — кандидат технических наук, доцент, руководитель отдела, ГНУ Всероссийский научно-исследовательский институт гидротехники и мелиорации им. А.Н. Костякова (ГНУ ВНИИГиМ им. А.Н. Костякова),
127550, г. Москва, ул. Большая Академическая, д. 44, [email protected].
Для цитирования: Байков В.Н., Волынов М.А. Взаимная согласованность закономерностей течения и гидравлического сопротивления // Вестник МГСУ 2013. № 5. С. 133—140.
V.N. Baykov, M.A. Volynov
MUTUAL CONSISTENCY OF REGULARITIES DEMONSTRATED BY THE FLOW AND HYDRAULIC RESISTANCE
Mutual consistency of regularities demonstrated by the flow and hydraulic resistance is analyzed in this article. It is proven that the values of friction factors of pipes, identified through the employment of traditional methods, differ from those of channels by 4 times. It is also proven that the average velocity deficit inside pipes and channels, identified by integrating velocity profiles that depend on the Karman parameter, differ by only 1.5 times. The relation between the Karman parameter and the average velocity deficit provides this parameter with a clear physical sense.
The original method of reconciliation of the experimental regularity of smooth pipes against the resistance ratio formula, obtained by integrating the logarithmic velocity profile, adjusts the value of the Karman parameter and the second constant of the velocity profile, as both are slightly different from the experimental values identified by I. Nikuradze.
The average velocity deficit identified for the flow in rough pipes by integrating the velocity profile coincides with the same in smooth pipes, and they both have the same dependence on the Karman parameter. The adjusted Karman parameter value is almost the same for rough and smooth pipes. The adjusted value of the second turbulence constant for rough pipes is a little higher than the experimental value identified by I. Nikuradze.
Adjusted first and second constant values of turbulence for rough and smooth pipes assure more consistency between the regularities of resistance and distribution of velocities inside smooth and rough pipes.
Key words: pipe flow, wide channel flow, hydraulic resistance, average velocity deficit.
References
1. Bryanskaya Yu.V., Markova I.M., Ostyakova A.V. Gidravlika vodnykh i vzvesenesu-shchikh potokov v zhestkikh i deformiruemykh granitsakh [Hydraulics of Water Flows and Suspended Matter Bearing Flows in Rigid and Deformable Borders]. Moscow, ASV Publ., 2009, 263 p.
2. Bryanskaya Yu.V., Baykov V.N., Volynov M.A. Metodicheskie osnovy obrabotki dan-nykh gidrologicheskikh izmereniy rechnykh potokov na pryamolineynykh uchastkakh rusel [Methodology of Processing of Hydrologic Data of River Water Flows in Straightforward Beds]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Construction]. 2010, no. 11, pp. 60—64.
3. Bryanskaya Yu.V. Osobennosti kinematiki techeniya i gidravlicheskogo soprotivleniya pri perekhodnom rezhime [Peculiarities of Kinematics of Flows and Hydraulic Resistance in the Transient Mode]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Construction]. 2004, no. 12, pp. 26—29.
4. Akinlade O.G., Bergstrom D.J. Effect of Surface Roughness on the Coefficients of a Power Law for the Mean Velocity in a Turbulent Boundary Layer. Journ. of Turbulence. 2007, vol. 8, pp. 1—27.
5. Jiménez J., Hoyas S., Simens M.P., Mizuno Y. Turbulent Boundary Layers and Channels at Moderate Reynolds Numbers. Journ. Fluid Mech. 2010, vol. 657, pp. 335—360.
6. Al'tshul' A.D. Gidravlicheskie soprotivleniya [Hydraulic Resistances]. Moscow, Nedra Publ., 1982, 222 p.
7. Mikhalev M.A. Gidravlicheskiy raschet napornykh truboprovodov [Hydraulic Analysis of Pressure Pipelines]. Inzhenernostroitel'nyy zhurnal [Civil Engineering Journal]. 2012, no. 6(32), pp. 20—28.
8. Zegzhda A.P. Gidravlicheskie poteri na trenie v kanalakh i truboprovodakh [Hydraulic Friction Losses in Channels and Pipes]. Moscow, Gos. izd-vo liter. po stroit. i arkhitekt. [State Publishing House of Civil Engineering and Architecture], 1957, 277 p.
9. Bryanskaya Yu.V. Techenie v pristenochnom sloe i za ego predelami (v trube, ka-nale i pogranichnom sloe) [Flow in the Near-wall Layer and Beyond Its Borders (in a Pipe, Channel and Boundary Layer). Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 2, pp. 60—66.
10. Nikuradze I. Zakonomernosti turbulentnogo dvizheniya v gladkikh trubakh [Turbulent Motion Patterns inside Smooth Pipes]. Problemy turbulentnosti [Problems of Turbulence]. Moscow - Leningrad, ONTI NKTP Publ., 1936, pp. 75—150.
11. Gioia G., Chakraborty P. Turbulent Friction in Rough Pipes and the Energy Spectrum of the Phenomenological Theory. Phys. Rev. Lett. 2006, no. 96, pp. 1—4.
12. Nikuradze I. Stroemungsgesetze in rauhen Rohren. Forschungs-Heft (Forschungs auf dem Gebiete des Ingenieur-Wesens). 1933, no. 361, pp. 1—22.
About the authors: Baykov Vitaliy Nikolaevich — Senior Lecturer, Department of Hydraulics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 261-39-12;
Volynov Mikhail Anatol'evich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Director, Department of Water Resources Management, All-Russian Research Institute of Hydraulic Engineering and Land Reclamation named after A.N. Kostyakov (VNIIGIM), 44 Bolshaya Akademicheskaya st., Moscow, 127550, Russian Federation; [email protected].
For citation: Baykov V.N., Volynov M.A. Vzaimnaya soglasovannost' zakonomernostey techeniya i gidravlicheskogo soprotivleniya [Mutual Consistency of Regularities Demonstrated by the Flow and Hydraulic Resistance]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 133—140.
