Вывод уравнения первого закона термодинамики на основе законов и механики Ньютона и статистической физики Текст научной статьи по специальности «Физика»

114

НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА

УДК 536:53

II ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ЗАКОНА И ТЕРМОДИНАМИКИ НА ОСНОВЕ ЗАКОНОВ И МЕХАНИКИ НЬЮТОНА И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

им. С. Торайгырова

- " Эрбгр жеке микроболгиектерге жазылган Нъютонныц екипш

1||| зацын математикалыц туржнЫру жолымен жуйенщ барлыц белшектерШц энергияларыныц взгеру зацына ауысуы берглген.

Путём математических преобразований второго закона Ньютона, записанного для каждой отдельной микрочастицы, даётся переход к закону изменения энергии всех микрочастиц системы.

By mathematical manipulations of the second Newton's law writen down for each separate microparticle, transition to the law of energy change of all system microparticles is given.

В учебной литературе по термодинамике можно выделить три метода вывода уравнения первогозаконатермодинамики (ГОТ) для потока, основанные либо на совместном решении уравнений движения гидромеханики Эйлера с уравнением ГОТ для хаотического движения микрочастиц закрытой системы (подвижной или неподвижной) относительно их центра инерции [1, 2] bq = du + pdv, либо на составлении балансовых уравнений энергии для подвижного элемента среды (подвижной закрытой термодинамической системы) [3 - 5] или для открытой термодинамической системы [4,6]. Критический анализ этих методов дан в работе [7]. Наряду с этими методами в работах [8 -10]1 даны методы вывода уравнения ГОТ для нестационарного потока, основанные на интегрировании известного векторного уравнения Навье-Стокса вдоль траектории макрочастицы и составлении балансового уравнения энергии для подвижного элемента среды с учётом вязкостных и технических сил.

1 Работы [7 - 10] можно найти в сборнике [11].

В.В. Рындин

Павлодарский государственный университет

Термодинамика считается феноменологической (изучающей внешние стороны феноменов - явлений) наукой, которая, с одной стороны, не затрагивает внутреннее строение вещества, а с другой стороны, базируется на некоторых эмпирических законах, не сводимых к основным законам механики Ньютона. Одним из таких законов считается первый закон термодинамики, согласно которому теплота идёт на изменение внутренней энергии и на совершение работы. Уравнение ПЗТ получено Р. Клаузиу-сом в 1850 г. в виде Ь() = <111 + 6Ж . Применительно к потоку это уравнение имеет вид

где Е =Е, + Е + и - полная энергия подвижного элемента среды.

К р

В то же время многие основоположники термодинамики (Р. Клаузиус, Л. Больцман, М. Планк и др.) стремились придать определённый молекулярный смысл таким термодинамическим величинам, как температура, теплоёмкость, энтропия, внутренняя энергия и др. В данной работе показана принципиальная возможность получения уравнения первого закона термодинамики для газового потока, исходя из молекулярно-ки-негических представлений о строении вещества.

Поскольку в основе понятий энергии и работы лежит понятие силы, то возникает мысль, нельзя ли путём математических преобразований второго закона Ньютона, записанного для каждой отдельной микрочастицы, перейти к закону сохранения энергии всех микрочастиц, составляющих систему. На такую возможность указывал ещё Дж. Орир в своей «Популярной физике» : «Число действительно основных законов природы исключительно мало и законы Ньютона можно вывести из законов сохранения импульса и энергии, и наоборот. Дело вкуса - что считать основным законом» [12].

Руководствуясь этим положением, выведем уравнение энергии (1) для подвижного элемента потока, применив законы классической механики Ньютона к движению частиц рассматриваемого элемента потока: микрочастиц - атомов, молекул, электронов и т. п. и субмикрочастиц - ещё более малых частиц (гравитонов, фотонов, фононов и др.), обеспечивающих взаимодействие между микрочастицами на расстоянии, характеризующееся потенциальной энергией. Для этого выделим в подвижной среде малый её элемент (рисунок 1), состоящий из N частиц.

(1)

116

НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА

Абсолютная (полная) скорость отдельной _]-й частицы (с щ= с ч) относительно неподвижной системы отсчёта 0, связанной со стенками канала, слагается из переносной скорости (с аер = с0„0 = с = с атою = с) центра инерции 0' подвижного элемента среды относительно центра неподвижной системы отсчёта 0 (скорости упорядоченного, направленного движения частиц или скорости потока) и относительной скорости (с ](Г= с ужг:) относительно центра 0' подвижной системы координат, связанной с центром инерции элемента среды (скорости хаотического движения частиц):

Сщ == С\0 — С00 + С]0 = С + Схаот ]• • (2)

Умножив скорости в (2) на массу ]-й частицы т., перейдём к импульсам Кщ = = т.{ + т,схаот} (3)

В результате взаимодействия ]-й частицы с другими частицами её импульс изменяется. При этом полное приращение импульса]-й частицы за время (к будет равно убыли импульсов провзаимодействовавших с ней п частиц, в число которых входят как собственные частицы системы, так и частицы окружающей среды (п = п , + пс<), или иначе, - сумме элементарных импульсов, переданных в результате этих взаимодействий:

= | Щ (4)

Если левые и правые части соотношения (4) поделить на время <31, то получим

с!К,/<к = (5)

Отношение подведённого импульса к промежутку времени называется потоком импульса, или силой [13, 14], с которой действует 1-я частица на _)-ю. = 5Кц / ск

Тогда соотношение (5) примет вид уравнения второго закона Ньютона

согласно которому скорость изменения импульса частицы равна сумме сил (сумме потоков импульса), действующих на неё со стороны других частиц.

Если обе части этого уравнения умножить скалярно на вектор перемещения ]-й частицы сЦ, то перейдём от баланса потоков импульса, или баланса сил (если под скоростью изменения импульса понимать собственный поток импульса, или собственную силу) к балансу энергий (если под теплотой и работой понимать энергии перехода)

= (7)

Учитывая, что производные от перемещений по времени есть скорости в абсолютном, упорядоченном и хаотическом движениях

с . = (3?. / = (1? ./ с1/ + с!? ,/с1/=с + с ,

* щ -3] упор I ° хаот; хаот}'

а также выражение (3) для импульса, получим балансовое уравнение энергии (7) для отдельной частицы в таком виде:

П

+ &т.с ) с + ¿(т.с )с = Е^Иь (8)

у ] хаот у 3 хаот У хаот}

Просуммировав уравнение (8) для всех N частиц системы и учитывая, что суммарный импульс хаотического движения частиц равен нулю (считаем массу частицы постоянной):

118

НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА

Л ¿V л

^хаоч^с) = т. =0; сбЦс^-т, =0;

получим уравнение энергии для подвижного элемента среды массой

¿V

т= ^ т\ в таком виде:

N N

= г 2й(т>г) +

N « « „

+ ^ = ^ ^ ^ • (9)

Введём следующие обозначения:

N

(1Ек - с) =т с!(с2/ 2) - изменение КЭ упорядоченного движе

ния частиц системы (элемента потока массой т);

N N N

сШ = = истант,) = ис2хаоч) /2 = Ц^хаот _

изменение внутренней энергии элемента потока - энергии ХД всех собственных частиц системы (микро- и субмикрочастиц) относительно их центра инерции (подвижного или неподвижного); в случае идеального газа, когда не учитывается энергия движения субмикрочастиц (час-тиц-связников), обеспечивающих взаимодействия между микрочастицами на расстоянии, изменение внутренней энергии будет равно изменению КЭ ХД атомов и молекул системы;

Л'

с!Есо6 = .¿(/«¡ сУ = <1Ек + <Ш - изменение собственной энергии

системы - энергии всех микрочастиц выделенного элемента среды в их абсолютном движении относительно стенок канала (сюда не входит энергия движения частиц внешних полей, например, гравитационного поля Земли).

Поскольку при взаимодействии двух частиц силы, с которыми они взаимодействуют, равны по модулю и противоположны по знаку, то сумма произведений этих сил на перемещения будет равна нулю для всех про-взаимодействовавших между собой И1Со6 собственных частиц системы

N ли«

С учётом введённых обозначений и оставшихся внешних взаимодействий с частицами окружающей среды п уравнение (9) примет вид

N "ОС

= + (10)

Если направления действия отдельных микроскопических сил (потоков импульса) совпадают, то они, суммируясь, вызывают появление макроскопических сил (давления, трения, технических и др.), действующих на элемент среды. Отдельные микроскопические перемещения могут совпадать по направлению, что приводит к появлению макроскопических перемещений. Другие же силы и перемещения так и остаются микроскопическими. В соответствии с этим (по методу расчёта сил и перемещений) правую часть уравнения (10) можно разбить на два слагаемых, каждое из которых характеризует энергию движения, переданного макроскопическим ЬЕШЦЮ и микроскопическим ЬЕ^^ способами, или частичные (парциальные) приращения1 собственной энергии системы в этих процессах,

.V "ОС М "О С N ПОС

- й^макро + б^микро Р(^соб)макро + Р^со^микро"

Энергию переданного движения, которую можно рассчитать как произведение макроскопических сил (макроскопических потоков импульса) и перемещений, принято называть макроскопической работой, или просто работой (произведения микроскопических сил и перемещений для отдельных частиц называются микроработами)

"ОС Л' лОС "ОС.

= =р(Еетб)шчх,

Здесь штрих означает, что работа является «внешней по знаку» работой, так как она совершается внешними силами над системой и равна убыли энергии внешних тел (приращению энергии системы).

1 Использование символов 5 и <3 для обозначения элементарности величин и частичных приращений величин, которые не являются частными приращениями, рассматривается в [15].

120

НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА

Если действие микроскопических сил не приводит к появлению макроскопических перемещений, то расчёт как изменения энергии системы, так и переданной энергии ведётся другими методами, без рассмотрения сил и перемещений. Ту часть изменения энергии системы (переданной энергии), которую не удаётся рассчитать через силы и перемещения принято называть теплотой (количеством тепла)

N "ОС _

(50е = У 5) = dE = р(Е J .

v . '—у J Лчязсро мшгро r v соо^мякро

Индекс «е» у теплоты означает, что теплота внешняя, т. е. полученная от внешних источников тепла по законам теплообмена (микроскопическим путём).

Теплоту как изменение энергии системы в соответствующем процессе принято рассчитывать через теплоёмкость или энтропию, а как переданную энергию в процессах теплообмена - через тепловые потоки, определяемые из соответствующих уравнений теории теплообмена (Фурье, Ньютона-Рихмана и др.).

С учётом введённых понятий теплоты и работы уравнение энергии (10) примет вид

áE^ = áEk + áU = \Qe+^W;. (И)

Работа, совершаемая силами тяжести (энергия движения, подведённого к частицам системы в результате их столкновения с потоками гравитонов), равна убыли потенциальной энергии положения элемента подвижной среды

6 W' =F d? =-d E=-mgáz.

1 тяж тяж р °

Перенеся эту величину влево, получим в левой части уравнения (11) изменение полной энергии элемента подвижной среды, равное суммарному изменению собственной (внутренней и кинетической) и внешней (потенциальной)энергий:

dE = d(U + Ек + Ер) = d (и + с2/ 2 + gz) т =

где W = - W - «внутренняя по знаку» работа, так как она совершается внутренними силами системы над внешними телами и равна убыли собственной (внутренней) энергии системы (приращению энергии внешних тел).

Уравнение (12) тождественно уравнению (1) и поэтому является аналитическим выражением ГОТ для потока в общем вцде. Исходя из приведённого метода вывода этого уравнения, основанного на молекулярно-кинетическом представлении о строении вещества, следует также, что потенциальная энергия внешних полей не является собственной энергией частиц системы в их абсолютном движении относительно неподвижных стенок канала.

ЛИТЕРАТУРА

1 Новиков И. И. Термодинамика: Учеб. для втузов. -М.: Машиностроение, 1984.-592 е.: ил.

2 Арнольд JT. В. и др. Техническая термодинамика и теплопередача: Учеб. для вузов.-2-еизд.-М.: Высш. шк. 1979.-446 е.: ил.

3 Кириллин В. А. и др. Техническая термодинамика: Учеб. для вузов. -2-е изд. -М.: Энергия, 1974. -448 е.: ил.

4 Кушнырёв В.И. и др. Техническая термодинамика и теплопередача: Учеб. для вузов. - M.: Стройиздат, 1986.-464 е.: ил.

5 Бэр Г. Д. Техническая термодинамика. Теоретические основы и технические приложения //Пер. с нем. -М.: Мир, 1977. -518 е.: ил.

6 Техническая термодинамика: Учеб. для вузов //Под ред. В. И. Круто-ва-2-еизд -М.: Высшая школа, 1981. -439 е.: ил.

7 Рындин В. В. О методах вывода уравнения первого закона термодинамики для стационарных и нестационарных потоков //Ред. ж. «Изв. вузов. Энерг.» - Минск, 1989. - 11 е.: ил. Библиогр. 7 назв. (деп. № 4370-В89 от 23. 05. 89 г.).

8 Рындин В. В. Интегрирование уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости (Навье-Стокса) вдоль траектории и линии тока //Ред жур. «Изв. вузов. Энерг.», Минск. - 1986 - деп. № 8547-В86 - 10 с.

9 Рындин В. В. К вопросу определения затрат энергии на преодоление гидродинамических сопротивлений при нестационарном течении // Машиностроение (Изв. высш. учеб. заведений). - 1987. - № 1. - С. 46-51.

10 Рындин В. В. Вывод уравнения первого закона термодинамики для нестационарного потока//Ред. ж. «Изв. вузов. Энерг.». Минск: - 1989. -11 е., ил. Библиогр. 3 назв. (деп. № 5438-В89 от 14. 02. 89 г.).

122

НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА

11 Рындин В. В. Сборник о публикованных научных работ по термодинамике, газовой динамике и физике //Юбилейный выпуск к 55-летию. - Павлодар: ПТУ, 2002. -156с.: ил.

12 Орир Дж. Популярная физика//Пер. со 2-го американского издания. -М.: Мир, 1969.-556 е.: ил.

13 Рындин В. В. Новая интерпретация понятия силы и законов движения Ньютона //Вестник Павлодарского университета. - 2000. - № 2.-С. 163-177.

14 Рындин В.В. Использование гидромеханической аналогии для пояснения смысла силы и законов Ньютона //Наука и техника Казахстана. - 2004, -№ 1. - С. 20-31.

15 Рындин ВВ. Первое начало термодинамики в его становлении и развитии //Монография. - Павлодар: ПТУ им. С. Торайгырова, 2004. -533 е.: ил.