CC BY
28
2016, № 2 (16)
89
ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН
УДК 681.586.787
А. А. Трофимов, Е. В. Кучумов
ВЫВОД СООТНОШЕНИЙ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ РАСЧЕТА МАГНИТНОЙ ПРОВОДИМОСТИ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ РАСТРОВЫХ ДАТЧИКАХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
A. A. Trofimov, E. V. Kuchumov
OUTPUT RATIO BASED ON A MODIFIED GEOMETRY FOR THE CALCULATION MAGNETIC CONDUCTIVITY IN THE ELECTROMAGNETIC DISPLACEMENT SENSORS RASTER
Аннотация. Актуальность и цели. Предметом исследования являются электромагнитные растровые датчики перемещений. Целью работы является исследование распределения магнитной проводимости в электромагнитных растровых датчиках перемещений, работающих в широком диапазоне температур. Материалы и методы. Обоснована целесообразность проведения расчета магнитной проводимости в рабочих зазорах растровых датчиков перемещений. Разработана и математически описана физическая модель электромагнитного датчика перемещений. При решении поставленных задач использованы методы теории электрических цепей и электромагнитного поля. Результаты. Выведены выражения для расчета магнитной проводимости в рабочих зазорах датчиков перемещений с торцевым сопряжением зубцовых растров для однородного магнитного поля с введением поправочных коэффициентов, учитывающих потоки с торцевых поверхностей и боковых граней выступов ротора и статора, позволяющие разработать методику расчета конструктивных параметров чувствительных элементов растровых датчиков перемещений. Выводы. Предложенная авторами физическая модель электромагнитного растрового преобразователя перемещений и приведенные выражения для расчета магнитной проводимости позволяют на стадии разработки выбирать оптимальные конструктивные параметры чувствительного элемента для обеспечения максимального значения модуляции выходного сигнала.
Abstract. Background. The subject of this study is electromagnetic raster encoders.The aim is to study the distribution and magnetic conductivity in electromagnetic raster displacement sensor operating over a wide temperature range. Materials and methods. The expediency calculation magnetic conductivity in the gap raster encoders. Developed and described mathematically physical model electromagnetic displacement sensor. When solving tasks used methods theory of electrical circuits and electromagnetic field. Results. We derive expressions for the calculation of the magnetic conductivity in the gap displacement sensor with mechanical conjugation the tooth pattern to a uniform magnetic field with the introduction of correction factors that take into account flows from the end faces and the side faces of the rotor projections and the stator, allowing to develop a methodology of calculation of design parameters
90
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
sensitive elements raster encoders. Conclusions. The authors proposed a physical model electromagnetic displacement bitmap converter and given expression to calculate the magnetic conductivity allow the development stage to choose the optimal design parameters sensor to maximize the value output signal modulation.
Ключевые слова: датчик перемещений, растр, магнитная проводимость, магнитодвижущая сила, нониусное сопряжение, статор, ротор.
Key words: motion sensor, screen, magnetic conductivity, magnetomotive force, vernier pair, stator, rotor.
Совершенствования технических характеристик электромагнитных датчиков перемещений удалось добиться за счет использования в их конструкции растровых комбинационных сопряжений [1, 2].
В разработках приборов реализованы два вида растровых сопряжений ферромагнитных элементов (статор - ротор). На их основе разработаны два типа базовых конструкций малогабаритных датчиков угловых перемещений, которые использованы при построении датчиков перемещений повышенной точности.
В основу первого типа положено комбинационное сопряжение двух цилиндрических растров [3, 4], образованных статором и ротором. Второй тип датчиков перемещений построен на использовании комбинационного сопряжения кольцевого и спирального (по спирали Архимеда) растров [5, 6].
При проектировании цифровых электромагнитных датчиков как линейных, так и угловых перемещений разработчику приходится решать вопросы, связанные с получением максимального значения модуляции выходного сигнала с чувствительного элемента (ЧЭ) растрового датчика перемещений. Для решения этой проблемы необходимо провести расчет магнитной проводимости в зазоре между статором и ротором датчика.
В физической модели электромагнитного преобразователя перемещения (рис. 1) ферромагнитные элементы 1 и 2 образуют зазор-паз, в котором расположен чувствительный элемент 3. Контур ЧЭ описывается функцией f2(x, y). Сопрягаемые поверхности заданы функциями f (x, y) и f3 (x, y, e). Для определенности введем некоторые допущения и ограничения:
- магнитодвижущая сила (МДС) равномерно распределена по площади зазора в пределах контура ЧЭ;
- магнитное сопротивление ферромагнитных элементов мало по сравнению с магнитным сопротивлением зазора;
- ЧЭ 3 и элемент 2 неподвижны, перемещается элемент 1, перемещение s происходит только вдоль оси Х в плоскости XOY;
- плоскость ЧЭ (обмотки) параллельна плоскости ХО Y;
- исследуемые растры прямолинейные и регулярные.
2 016 , 2 16)
Соотношение значения длины рабочего зазора и длины магнитной силовой линии в магнитопроводе позволяет сделать вывод о том, что << , поэтому допущение хм = 0 не внесет существенных погрешностей при ограничении частоты питания, значение которой определено экспериментальным путем и составляет 7 кГц.
Выражение для нахождения значения выходной ЭДС в соответствии с [2] имеет вид
е = -W-T ft F(х, У, *х, У, e)dxdy,
dt
(1)
где Ж - число витков вторичной обмотки; - контур ЧЭ; Е(х, у, ?) - функция распределения МДС по площади ЧЭ; Х(х, у, в) - локальная магнитная проводимость, определяемая выражением
Х(x, у, е) =
/з(x, У, е) - fi(x, у)
Здесь ц0 - магнитная проницаемость вакуума; цг - относительная магнитная проницаемость среды в зазоре (для воздуха ц г = 1).
Функцию Е(х, у, ?) для рассматриваемых частот можно представить как
F(x, у, t) = Fa (x, у) / (t). С учетом (1) выражение (2) примет вид
/ (t)
е = -W-
dt
- JJ F0 (x, у)Я(x, у, e)dx dy,
(2)
(3)
где -W
dfo (t) dt
определяет временной закон модуляции потока возбуждения; F0 (x, у) характе-
ризует распределение МДС в площади сечения зазора для области ЧЭ (область 3 на рис. 1), а x, у, е) описывает медленно меняющуюся магнитную проводимость зазора в зависимости от параметра s.
Например, если МДС распределена в пределах контура ЧЭ равномерно и модулируется напряжением синусоидальной формы, т.е. F0 (x, у) = F0 = const, f0 (t) = karctg(tg(rni)),
dfo (t)
dt
■ = к ю, то из выражения (3) получим
е = - WkrnF0 JJА(x, у, е)dxdy .
(4)
Таким образом, при условии постоянства пространственного распределения МДС в пределах контура ЧЭ выходная ЭДС будет определяться текущим значением магнитной проводимости растрового зазора:
G (е) = JJХ(x, у, е)dxdy .
(5)
Несмотря на то, что функция распределения магнитной проводимости х, у, в) может быть представлена в явном виде в случае аналитического задания функций поверхностей /1( х, у) и /3( х, у, в), выражение (4) является существенно приближенным. Для случая профилей ротора и статора в виде кусочно-постоянных (зубчатых) структур выражение О (в) не
учитывает флуктуаций пространственного распределения МДС из-за наличия повышенного магнитного поля возле острых кромок. Поэтому в данном случае актуально применение специальных методов для математического описания свойств исследуемого датчика.
При обтюрационном сопряжении, когда шаг нарезки зубцов статора равняется шагу зубцов ротора, наиболее эффективным является метод, основанный на условном преобразовании
91
S
S
S
S
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
конфигурации паза [7]. В этом случае реальные прямоугольные границы паза ОВСВ (рис. 2) заменяют условными границами ОЕ и ЕВ, проведенными под углом Р к плоскости сопряжения.
_
В
О
Е
С
/
В
Ю
Рис. 2. Условно-графическое обозначение конфигурации паза
Магнитные силовые линии в зоне сектора угла Р имеют форму дуг окружностей и прямых линий в зазоре (рис. 2). При таких условиях можно достаточно просто связать координаты поля с текущим и интегральным значениями проводимости в зазоре. Значение угла Р выбирают из условия
Г1 а / 8< 10,
Р =
1,1 а / 8>10.
Текущее и интегральное значения проводимости паза соответственно равны
Я (х) = ц0/ (8 + Рх);
а/2
а =
2ц0 Г= 2(1 + 0оР|, О0 8 + Рх Р 1
где а0 = а / 8 .
Для нониусного сопряжения (рис. 3), когда шаг нарезки зубцов опорной шкалы не равен шагу нарезки зубов нониусной шкалы, значения углов Р0 и Рн выбирают аналогично обтюра-ционному сопряжению. Значения текущей и интегральной проводимостей находят по участкам [7].
Ю
т /к /X
i ч * У Рн/ ^ Ьн ^
ан
92
а
Рис. 3. Условные границы при нониусном сопряжении
2016,№2(Х6)
Для комбинационных сопряжений наиболее эффективным является экспериментально-теоретический метод расчета проводимостей.
Для пояснения метода воспользуемся рис. 4, на котором показаны проекции зубцовых зон ротора и статора и контур обмотки [2, 8-10]. Заштрихованными линиями показаны зоны зубцовых поверхностей. Для учета влияния боковых магнитных потоков вводится эмпирический коэффициент ^, значение которого получено по результатам физического моделирования на установке для исследования комбинационных сопряжений с подвижными растрами. Этот коэффициент уравнивает интегральные значения потока в реальном пазу и потока для расчетного случая, когда поле такого же паза предполагается однородным.
А
"Ч
А-А
1 с
V/
й
/// ТУ/
е
я
н
X
Ал
Рис. 4. Проекции зубцовых зон ротора и статора
Из рис. 4 видно, что участки сопряжения можно разделить на четыре типа, отличающиеся магнитной проводимостью. Суммарную магнитную проводимость контура обмотки О можно выразить следующим образом:
4 ( т ^ т т т т
О = I I ДОл = I ДО1 +1 ДО- 2 + X ДО-3 + I ДО ) }=1 }=1 }=1 }=1
1=1
=1
- 4'
(6)
где ДО1 - магнитная проводимость участка «выступ над выступом»; ДО2 - магнитная проводимость участка «выступ ротора над впадиной статора»; ДО3 - магнитная проводимость участка «впадина над впадиной»; ДО4 - магнитная проводимость участка «выступ статора
над впадиной ротора»; т - число участков цепи «зуб - впадина».
Учитывая геометрические параметры сопряжения, показанные на рис. 4, получим выражение для расчета магнитной проводимости воздушного зазора:
О =
я с е й
(7)
где 51,..., ¿4 - площадь участков, охваченных обмоткой считывания, с проводимостями О^...,О4 соответственно; Н - высота контура считывания (см. рис. 4); т1 = 1§ф-Н - шаг зуб-цового сопряжения; ф - угол наклона зубцов статора; с, й, е, я - глубина воздушных зазоров участков.
93
г
1
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
Так как значение длины воздушного зазора участка «выступ статора над впадиной ротора» равно значению воздушного зазора участка «впадина над впадиной» (а = е), а площади участков 52 и 54 одинаковы, формула (7) примет вид
О =
ц0Н
1+ ГII+!± | с ^
с а I с
(8)
Для расчета площадей 51 , 52 , 5з из геометрических соображений выразим значение относительной ширины контура:
rtgq
л=-
(9)
где г - ширина контура обмотки.
Площадь участка «выступ статора над впадиной ротора» равна
52 - 51.
ШФ
(10)
где у1 = — . в
1
Площадь участка «впадина над впадиной»:
2
5з =-^(У1 - 2) + 51;
(11)
5Х = 53 - площадь участка «выступ над выступом».
Для одного участка «выступ над выступом» площадь 5Х как функция перемещения Х вычисляется следующим образом:
51 (х ) =
tgф
гН| 1 - х2 2 4 Н
г г
при--< х < —,
2 2
Н | г Я г
rtgФ| Т-хI при2< х <Т- 2
tgф
г2 Г Н
— + | х--
4 I 2
Н г Н г
при---< х <--+ —,
2 2 2 2'
(12)
Г Н | Н г г
rtgф|х --1 при - + 2 < х < Н -2.
Если в рассматриваемом датчике имеются четыре обмотки считывания, то функции
Н
О, (х) будут сдвинуты друг относительно друга на величину, равную —:
О, (х ) = О, Г х + Н-(, -1); г
(13)
где , = 1, ...,4.
Тогда функции магнитной проводимости воздушного зазора будут иметь вид
О1 (хг) = О Г х + 2;г 11, О2 (x, г) = О Г х + 2 + ^г ^,
Оз (x, г) = О| х + 2 + 22;г|, О4 (x, г) = ОI х + 2 + 3Н;г |.
(14)
94
т
1
т
2016, № 2 (16)
95
Подставляя значения участков магнитной проводимости Gb ..., G4 в формулу (6), получим общую магнитную проводимость воздушного зазора.
Таким образом, анализ физической модели растровых электромагнитных датчиков и выведенные математические выражения для расчета магнитной проводимости в воздушных зазорах ЧЭ показывают, что для формирования математической расчетной модели необходимо, отказавшись от решения методами теории поля, решить эту задачу другим способом, например, методами теории цепей с разработкой обобщенной схемы замещения.
Список литературы
1. Конюхов, Н. Е. Электромагнитные датчики механических величин / Н. Е. Конюхов, Ф. М. Медников, М. Л. Нечаевский. - М. : Машиностроение, 1987.
2. Трофимов, А. Н. Взаимоиндуктивные датчики перемещений : моногр. / А. Н. Трофимов, А. А. Трофимов. - Пенза, 2009. - 174 с.
3. Трофимов, А. Н. Унифицированный ряд высокотемпературных растровых электромагнитных датчиков перемещений / А. Н. Трофимов, А. В. Блинов, А. А. Трофимов // Датчики и системы. - 2007. - № 7. - С. 24-29.
4. Трофимов, А. Н. Расширение температурного диапазона растровых трансформаторных датчиков перемещений / А. Н. Трофимов, А. А. Трофимов // Измерительная техника. -№ 6. - 2009. - С. 24-27.
5. Дмитриенко, А. Г. Электромагнитный датчик линейных перемещений с торцевым сопряжением растров / А. Г. Дмитриенко, Д. И. Нефедьев, А. А. Трофимов // Измерения. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2015. - № 2 (12). - С. 4-10.
6. Трофимов, А. А. Расчет магнитной проводимости в растровом сопряжении электромагнитного датчика больших линейных перемещений / А. А. Трофимов // Датчики и системы. - 2008. - № 6. - С. 7-10.
7. Зверев, А. Е. Преобразователи угловых перемещений в цифровой код / А. Е. Зверев, В. П. Максимов, В. А. Мясников. - Л. : Энергия, 1974. - 184 с.
8. Дмитриенко, А. Г. Вопросы разработки унифицированных конструкций датчиков для перспективных систем измерения и контроля специальной техники / А. Г. Дмитриенко, А. Н. Трофимов, А. А. Трофимов // Измерительная техника. - 2010. - № 10. - С. 18-21.
9. Зеленский, В. А. Способы совершенствования растровых взаимоиндуктивных датчиков перемещений / В. А. Зеленский, А. А. Трофимов // Известия Самарского научного центра РАН. - 2009. - № 4. - С. 5-9.
10. Патент RUS 63143 Российская Федерация, МПК G08C. Растровый трансформаторный преобразователь перемещения в код / Мокров Е. А., Цыпин Б. В., Трофимов А. Н., Мельников А. А., Трофимов А. А. - заявл. 19.01.2007 ; опубл. 10.05.2007, Бюл. 13.
Трофимов Алексей Анатольевич
доктор технических наук, профессор, кафедра информационно-измерительной техники и метрологии, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: [email protected]
Кучумов Евгений Владимирович
кандидат технических наук,
старший научный сотрудник,
Научно-исследовательский институт
физических измерений
(Россия, г. Пенза, ул. Володарского, 8/10)
E-mail: [email protected]
Trofimov Aleksey Anatol'evich
doctor of technical science, professor,
sub-department of information and measuring
equipment and metrology,
Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Kuchumov Evgeniy Vladimirovich
candidate of technical sciences,
senior researcher,
Scientific-research Institute
of physical measurements
(8/10 Volodarskogo street, Penza, Russia)
УДК 681.586.787 Трофимов, А. А.
Вывод соотношений на основе модифицированной геометрии для расчета магнитной проводимости в электромагнитных растровых датчиках перемещений / А. А. Трофимов, Е. В. Кучумов // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2016. - № 2 (16). - С. 89-95.
