CC BY
46
УЖ 519.171.1
ВЫ ВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ЧИСЛА ПРОСТЫ X ЦИКЛОВ ЗАДАННОЙ ДЛИНЫ 3 ПРОСТОМ ГРАФЯ
М С. Астахов
Омских государственный тгкэагический учшссрсигяет. с. Омск, Россия
Амиашииия — P»rmai|iiih^piik с< i;ih;< шцгчон шиинепка njnitihi\ цикмин к сальни jipiужрных графах. Для сильно регулярных графов количество простых циклов может быть выряжено через параметры сильно регулярных графов при длине цикла менее S. Задача поиска циклов заданной длины в сильно регулярных графах является полиномиальной при длппс цикла мопсе S. В работе вычисляется вклад отдельных слагаемых универсальной формулы в значение количества циклов в рассматриваемом ||кн|н*, при угликмн, ч 1 и .(.'mh:i nitk.i;i iiii.«* Я. Пшмс кынипрьий /(глнгк'м кмкид it iiiim, sin parcuaiрнкн-емый класс слагаемых универсальной формулы может быть выражен через параметры сильно регулярного графа.
Ключссые слова: простой цикл, сильно регулярный граф.
Г ВВРДРНИР.
В 1972 году Харари представил универсальные формулы [I] для вычисления количеств? циклов в произвольном графе для циклов длинен $=3,4,5 В 2311 г. Варапаев и Перепечко [3] предложили универсальные формулы для вычисления количества циклов зздашюн длины для произвольных графов. Кроме того, in.ni были не с ледованы частные свойства универсальных формул для специальных классов графов - двудольных графов, драфов с шраничешюй степенью в сроки В ра&лс [4] приволжех форму.хы вычисление кашчеичва ииьлоъ заданной длины r сильно регулярном графе через его параметры для случаев s<fi r данной работе игследуетгя зависимость между количеством простых циклов в сильно регулярных графах и параметрами сильно регулярных графов пои s£S
ТТ Постановка задачи
В материалах конференции [4] представлен способ вычисления г-соличества циклов сильно регулярных графах. зависящий от параметров сильно регу лярных графов. При увеличении длины цикла в универсальной формуле попадаются слагаемые, к которым не могут быть применены правила редуцирования f/l- Назооём их пе редуцируемыми.
Таким образом, среди формальных графов, слагаемых формулы для вычисления циклов заданной длины.
при уКГЛИЧГНИИ ДЛИНЫ ЦИКЛИ кпречлкпг* П1И1<1ГИЫГ, 1 коюрмм НГЛКСЯ ||рИМГНИ1Ь ф<1[:мулм МОНИЖГИИЧ KJSfl-
носга суммирования. Следовательно, вполне возможно, что данные слагаемые не могут быть выражены через параметры сильно регу лярного графа и. более того, влияют на то, что задача поиска гамнльтонова цикла в сильно регулярных графах псрсстаст быть полиномиальной [4] при увеличении размера графа, в котором осуществляется лсиск гамнльтонова шасла. Рассмотрим в статье вклад нерегулируемых слагаемых в значенннт
III ТЕОРИЯ
Оформление рисунков
Напомним основные положения [/1].
слс)=££сахм). а)
где й - произвольный граф (в данном случае сильно регулярный); Л - шпгрипа смежности графа С; длины инкпа: Сс(С) - количество простых циклов в графе С: С.с - коэффициенты при с лагаемых унизерегльной формулы; Нп ~ формальные графа, являющиеся слагаемыми универсальной формулы.
Для сильно регулярного графа б будем обозначать: л - количество вершин в сильно регулярном графе; А — степень вершин сильно регулярного графа, а - количество вершин смежных двум смежным вершинам; Ь — количество Еерлшн смежных двум несмежным вершинам.
Определим термин редуцирование графа - как процесс уменьшения кратности суммирования, т е. редуцирование графа - это последовательное убирание вершин степени I и 2 из формального графа, с конечным стягиванием его в точку. Таким образом, назовем формальный граф Редуцируемым, если у нас есть возможность стянуть его в точку, что равнозначно выражению графа через параметры сильно регулярного графа.
О-1
/ \
/ \ 2 4
/
/
- А ,
/ \
/ ч
2 4
- (Ь
/
/
I
\
+ лр \ + ¿7
'4
/
/
3
1 =3 Ч
\
/
*А \
I № / I в.1 а \ч I (¡2у
= /РоРп + гРа^п + «РДя + {Р^п
Рис. 1. Пример редуцирования графа С
Для сильно регулярных графоз справедливы следуюлотс свойства [4]:
1) из формальных графов, которые являются слагаемыми универсальной формулы для сильно регулярных графов, можно убирать вершииь: сгепени 1:
2) из формальных графов, которые являются слагаемыми универсальной формулы для сильно регулярных графов, можно убирать вершииь: сюпснн 2:
3) для с< 7 формула для подсчета количества циклов заданной длины имеет полиномиальную сложность.
Таким образом, при 5< 7 слагаемые универсальной формулы для сильно регулярных графов редуцируются в
точку.
При увеличении длины пиита до ¿>7 в универсальной формуле появляются слагаемые, к которым не могут быть применены правила редуцирования. Основное свойство этих слагаемых - все степени вершин нередуни-руемого слагаемого имеют степень с/> 3.
Соответственно, к графам данного вида не могут быть применены формулы понижения кратности суммирования.
Па рисунке 2 изображено представление графа С, где Р(а,о,<1,г.) - часть графа, которая может был. редуцирована в точку, а С| — коэффициент перед нередуиируемой частью графа С.
Cs(G) - Г (a, b. d, n) + Ci / | \
2-3-4
\ I / \ /
s I /
5
Рис. 2. Прсдашешс |рафа О
Исследуем вклад нередуцируемых слагаемых в универсальную формулу для вычисления количества циклов з снльнс регулярном графе.
На рис. 3 показано представление нсрсдуцнрусмон части графа G.
«l2ttl3tbl4Ü23Ü25Ü3SaMa46
iutotuu
Рис. 3 Представление нередуцпруемой части графа G
Для того опишем дна алгоритма. которые реализуем в среде компьютерных вычиглеетий Распитием алгоритм, с помощью которого осушегтр.тплгя поиск графов. к которым не могут оытк применены формулы понижения кратности гуммирования
А лгоритм 1 - Поиск череАуциру&чых форипгьнъа графоя. Шш 1.
Осуществляем поиск вершин степени 1. Шаг 2
Удаляем гершины степени 1. Шаг 3. Условие 3.1
Ьсли найдена оерипша степени; вершина степени 2, смежная вершинам/ п к 2 , то
Шаг 3.1.1.
Прибавляем к матрице смежности формального графа строку 1, полученную сложением строк/ и к. Шаг 3.1.2
Прибавляем к матрице смежности формального графа столбец U полученный сложением столбцов^- и к. Шаг 3.1 3.
Удаляем вершины (соэтветствз'ющие строки и столбцы) к из матрицы смежности формального графа. Конец алгоритма
По.~ле того как будут определены все встречающиеся нерегулируемые графы, погчитаем вклад каждого та-Ä-oiu нередуднруемою слагаемо! и з униьерсальн>ю формулу. Для возьмем набир нешоморфныл сильно
регулярных [рафоз с идннакивымн параметрами п, Ы, а, Ъ
Вычислять вклад каждого слагаемого будем по следующему алгоритму.
A.iiupuiM 2 - ьычис/teHue оклада н ередуцируемои. ишааъмоо. в значение С/О)
Шаг 1. Cycle (Ä.S) n=dmi(A)
Шаг 2. for i= to п do
for ii~l to n do
tor i~l todo
Условие 2.1 ifl —1_3 или then r=0 Условие2.2. else г-a!.^...a^, Шаг 2.3 R=R+r Конец алгоритма
/
i\ -
\ /
IV РьзульгАтыэ&идоимншив Применим алгоритм 1 к полученным формулам для подсчета циклов заданной длины. R формулах для длин пнкла х < 7 нередзщируемые фигуры не япгречяютгя
В формулах для s=8,Q,10 встречается по одной нередуцируемои фигуре В формуле для 5-11 встречается 1L нередуцпруемых слагаемых. В формуле для х—1 ?. встречается 46 нерегулируемых слагаемых
После того как нередут тируемые слагаемые найдены, нычиглим вклад каждого слат-aevoro я значение
C_s(Q).
Дли лш возьмем ш библшне&и сильно регулярных графе* «Database of adjacency шайке;» он cospeclial lion-isomorphic graph pairs» массив графов размерностей 29.35.4Э. 64.
Приведём в табл. L параметры сильно регулярных графов, для которых будем проводить вычисления (Nt -количество сильно регулярных графов в выборке).
ТАБЛИЦА 1
ПАРАМЕТРЫ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНЫХ ГРАФОВ
S II А а h Ъ
29 11 16 / 11
35 18 9 9 227
40 12 2 4 28
64 18 7 6 167
На рис. 4 и 5 обозначены нередуцируемые фигуры, по которым будут проводиться вычисления
1-2
Рис 1. Нередуцнруемая часть графа G
Рис 5. Нередуцнруемая часть графа G В табл. 2 отражен вклад нередуцируемых фигур в значение C:(XSr
ТАБЛИЦА 2
ПАРАМЕТРЫ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНЫХ ГРАФОВ
А' Он Он О ¿с 0(4
Hjg 34104 102060 11520 41472
11« 477456 1388110 234240 1751040
v. Обсуждение результатов
Как видно нз вычис лительных экспериментов, каждое не стягиваемое слагаемое от различных неяэоморф-ных сильно регулярных графов с одинаковыми параметрами (и, «У. а, Ь) даёт один к гот же вклад в универсальную формулу вычисления количества циклов заданной длины. Таким образом, численный вклад не стягиваемых фигур в уннвсрссльную формулу зависит только от параметров сильно регулярного графа.
VI ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Было показано, что численный вклад не стягиваемой фигуры в лннверсальную формулу зависит только от параметров сильно регулярного графа. Можно говорить о справедливости следующей гипотезы:
Гипотеза. Пусть G - сильно регулярный граф, fT^H'j И\ нередуцируемьш слагаемые универсальной формулы для вычисления циклов заданной длины, тогда вклад не стягиваемых слагаемых в универсальную формулу зависит от параметров сильно регулярного графа.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
L. Нагагу F., Manvel В. On the Number of Cycles in a Graph. Matematick asopi?, 1971, vol. 21. no. 1. PP. 55—63.
2. Камерон П., Лннт Дж. ван. Теория графов, теория кодирования и блок схемы. М 1980 г., 144 с.
3. Воропаев А. Н. Кратности сумм в явных формулах для подсчета циклов фиксированной длины в неориентированные графах. Прикладная дискретная математика. № 14. 2011. С. 42—55.
4. Астахов М. С., Шутенко А В.. Широков И. В Вывод форз>гулы для подсчета числа простых циклов в простом графе (тезисы доклада. Аппроксимация логических моделей, алгоритмов и задач - АЛМАЗ'2: тез. докл. Междунар. конф. Омск: Изд-во ОМГТУ. 2015. С. 6—10.
5. Астахов М. С., Широков И. В., Шутенко А. В. Графическое представление алгоритма получения аналитической формулы для вычисления количества простых циклов в произвольном графе // Проблемы современной науки и образования: Науч. — метод, журн. М: Из-во проблемы науки. 2014. № 2. С. 9-12.
