CC BY
42
УДК 004.8+519.17
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2
СОВПАДЕНИЕ МНОЖЕСТВ МИНИМАЛЬНЫХ И НЕРЕДУЦИРУЕМЫХ ГРАФОВ СМЕЖНОСТИ НАД ПЕРВИЧНОЙ СТРУКТУРОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ БАЙЕСОВСКОЙ СЕТИ*
А. А. Фильченков1, А. Л. Тулупьев2
1. С.-Петербургский государственный университет, СПИИРАН, мл. науч. сотр., аспирант, [email protected], [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, СПИИРАН,
д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected], [email protected]
Введение. В искусственном интеллекте среди класса вероятностных графических моделей выделяют алгебраические байесовские сети (АБС), представляющие собой модель баз фрагментов знаний с неопределенностью [1, 2]. АБС позволяют поддерживать непротиворечивость в системе фрагментов знаний [3-5], а также осуществлять различные виды логико-вероятностного вывода, работая с интервальными оценками вероятностей [6-10]. Под фрагментом знаний подразумевается идеал конъюнктов положительно означенных литералов за исключением пустого конъюнкта со скалярными или интервальными оценками вероятности истинности [1, 11-14]. Для удобства такой идеал называется идеалом конъюнктов.
Для представления и обработки АБС используется иерархия структур [1, 6, 1517]. Первичной структурой АБС считается набор взаимно не поглощающихся идеалов конъюнктов. Вторичная структура АБС отражает связи между идеалами конъюнктов и представляется в виде особого графа [1, 6, 18]. Такой граф называется графом смежности и должен отвечать ряду требований [3, 6, 16]. Графы смежности нашли применение в теории байесовских сетей доверия [1, 9, 19-22]; адаптация формализма графов смежности к потребностям теории алгебраических байесовских сетей выполнена в [1, 2, 6, 9, 18, 23]. Выбор вторичной структуры АБС, от которого зависит эффективность работы алгоритмов глобальных логико-вероятностных выводов и поддержания глобальной непротиворечивости, составляет одну из двух основных задач глобального обучения АБС [1, 24].
Исследования минимальных графов смежности как вторичной структуры, создающей определенные удобства для обработки АБС, начинаются с работы [16], в которой рассматриваются вопросы построения отдельного минимального графа смежности. Проблемы, связанные со всем множеством минимальных графов смежности, поднимаются в статье [17], где, в частности, сформулирована и доказана теорема о представлении множества минимальных графов смежности в виде декартового произведения множеств особых подграфов. Дальнейшие работы [25-28] развивали и уточняли полученные результаты.
С точки зрения построения множества минимальных графов смежности, одним из наиболее актуальных вопросов является вопрос о том, как соотносятся множества минимальных по числу ребер и нередуцируемых графов смежности, поставленный
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 09-01-00861-а и № 12-01-00945а) и Правительства Санкт-Петербурга (грант ПСП №10697 (2011 г.)).
© А. А. Фильченков, А. Л. Тулупьев, 2012
в [25]. Совпадение свойств минимальности и нередуцируемости у графа смежности упрощает как анализ таких графов, так и их построение.
В этой статье будет доказана теорема о совпадении множеств минимальных графов смежности и нередуцируемых графов смежности, что, в свою очередь, позволит доказать теорему о числе ребер минимального графа смежности и теорему о матро-идном представлении минимальных графов смежности над АБС.
1. Магистральная связность и графы смежности. Дальнейшее изложение опирается на систему терминов, построенную на основе объединения и уточнения таких систем, введенных в [17, 28].
Ненаправленный граф — пара (У,Е), где V — множество вершин графа, а Е — множество ребер, каждое из которых является неупорядоченной парой (VI) ,г Ф
^^ € V. Для удобства будем через V и Е обозначать функции от графа, возвращающие множество его вершин и множество его ребер соответственно: V (О') = V'; Е (О')=Е', где О' ={У',Е').
Алфавит — множество атомарных пропозициональных формул
А = {х1,...,хп }.
Слово V — подмножество алфавита: V £ А.
Лексический граф Ь — граф, для которого на вершинах и ребрах определена весовая функция Шь, множеством значений которой является множество слов некоторого алфавита.
Согласованный лексический граф (СЛ-граф) Ь — такой лексический граф, что вес любого ребра этого графа равен пересечению весов концов этого ребра:
V (V, и) € Е (Ь) Шь ((V, и)) = Шь (V)пШь (и).
Магистральный путь В : Vь ^ Ve от вершины Vь до вершины Уе, пересечение весов которых непусто, принадлежащих согласованному лексическому графу Ь — это такой путь от вершины V, до вершины Ve, что вес любой вершины, лежащей на этом пути, содержит пересечение весов начальной и конечной вершин: В : Vь — Ve, где Р : Vь ^ , такой, что VVi € В Ш V) пШ V) с Ш(V).
Вес магистрального пути определяется как пересечение весов начальной и конечной его вершин.
Утверждение 1. Вес любого ребра, лежащего на .магистральном пути, содержит вес магистрального пути.
Доказательство. Пускай В — магистральный путь, (V, и) € В. По определению магистрального пути Ш (V) э Ш (В), Ш (и) э Ш (В). По определению согласованного лексического графа Ш ((^,и)) = Ш(V) пШ(и) =>- Ш ((^,и))э Ш (В).
Согласованный лексический граф магистрально связен, если между каждой парой несовпадающих вершин, веса которых содержат общие элементы, существует магистральный путь.
Множество главных конъюнктов максимальных фрагментов знаний (МФЗ), вошедших в АБС, — это такое множество слов V* = {Vi £ А}^т, что:
1) оно не содержит несобственное подмножество алфавита:
V Ф А, V Ф 0;
2) никакое слово полностью не содержит никакое другое слово:
У(г Ф з) (( ф V)&(У ф У).
Граф максимальных фрагментов .знаний — ненаправленный граф О, вершины которого соответствуют элементам множества главных конъюнктов МФЗ, вошедших в алгебраическую байесовскую сеть, а ребра удовлетворяют условию
(У,У) е Е (О)^ъ п V Ф0.
В графе МФЗ ребра допускаются только между вершинами, пересечение весов которых не пусто. Однако в целях данной статьи нам необходимо будет ввести и рассмотреть более общую структуру: граф на МФЗ без каких-либо ограничений на ребра.
Обобщенный граф максимальных фрагментов .знаний — ненаправленный граф О, вершины которого соответствуют элементам множества главных конъюнктов МФЗ, вошедших в алгебраическую байесовскую сеть.
Обобщенный граф МФЗ отличается от графа МФЗ только тем, что на его ребра не наложено никаких ограничений. Очевидно, что любой граф МФЗ является обобщенным графом МФЗ, тогда как обратное неверно.
Введем понятие веса для обобщенного графа МФЗ. Пускай (О — обобщенный граф МФЗ.
Вес Ш (У) вершины У е V (О} — множество атомов алфавита, вошедших в
Ш (V) = & е У} .
Нетрудно заметить, что вес вершины полностью совпадает с фрагментом знаний, которому эта вершина соответствует.
Вес Ш ((Уг,У])) ребра (Уг ) е Е ((О) графа О определяется как пересечение весов тех вершин, которые соединены этим ребром:
Ш ((У )) = Ш (У )пш (У).
Вес Ш(Н) подграфа Н £ (О — наибольшее по включению слово, которое входит в веса всех его вершин:
Ш (Н)= п Ш (У).
УеИ
В силу того, что графы МФЗ — подмножество обобщенных графов МФЗ, мы ввели понятие веса и для графов МФЗ.
Утверждение 2. Граф МФЗ и обобщенный граф МЗФ с весом, введенным на их ребрах в предыдущем определении, являются согласованными лексическими графами.
Доказательство. Это следует непосредственно из определения веса.
Благодаря введенным понятиям мы можем определить граф смежности как ма-гистрально связный граф МФЗ. При этом магистрально связный граф необязательно связен (например, граф из двух вершин аЬ и ес1, в котором нет ребер, тем не менее, является магистрально связным).
Максимальный граф смежности Отах — наибольший по числу ребер граф смежности. Так как в графе МФЗ возможны не все ребра, а только те, которые соединяют
вершины, пересечение весов которых непусто, то максимальный граф смежности вовсе необязательно совпадает с полным графом.
2. Сужения и сжатия. Сужение О [ и ненаправленного графа О на слово и — это ненаправленный граф, в который входят те и только те вершины и ребра исходного графа О, веса которых содержат или равны и:
o| и = (VV € V(о),и£ ш(V)},ЕЕ €Е(О),и£ шЕ)}).
Значимое сужение О [ и — сужение графа О на вес и какого-либо ребра графа О.
Сильное сужение О | и —значимое сужение О [ и, из которого удалили все ребра веса и:
о{и = (VV € V(О),и£ ш(V)},ее €е(О),ис ш(е.)}).
Сильное сужение разбивается на компоненты связности. Такие компоненты мы будем называть владениями.
Теперь мы введем сжатие ац, которое применимо к трем различным объектам.
Сжатие ац компоненты связности РЦ £ О | и в вершину fi, отображение на множестве подмножеств вершин, сопоставляющее множеству вершин Рц вершину /ц.
Сжатие ац множества ребер Е.¿^ с (О { и)\(О I и), соединяющих владения Рц и Р^ в ребро е, — отображение на множестве подмножеств ребер, сопоставляющее множеству ребер Еребро е, соединяющее вершины / = ац (Р.) и /j = ац (Р^) и имеющее кратность, равную \.
Сжатие ац графа смежности О в граф Кц — отображение на множестве графов, сопоставляющее графу О, являющему графом смежности, граф Кц, вершинами которого являются владения сильного сужения О { и, а ребро между двумя вершинами /1 и /2 графа Кц существует, если существует ребро в графе О между вершинами, принадлежащими соответствующим /1 и /2 владениям Р^ и Рц. Кратность такого ребра (/1/2) равна числу всех ребер, соединяющих вершины из Р^ и Рц.
То же самое, но более формально:
Сжатие ац : О ^ О, ац (О) = Кц, где Кц = (Ец,Ец,с1(е)), такое, что:
1) Fц = {/.\/. = ац (Р.) ,Р. £ V (О I и)};
2) Ец = {е.\е. = ац (Е^); Е^ с (О ± и)\(О [ и)};
3) а : Ец М; а (ац (Е^)) = \Eijj\.
В этом определении / — вершину, получившуюся сжатием какого-то владения, будем называть феодом; К — ненаправленный граф с кратными ребрами, полученный сжатием значимого сужения О [ и, будем называть курией веса и.
Оммаж Нц —курия Кц, являющаяся деревом, все ребра которой имеют кратность, равную единице.
Мы будем рассматривать минимальные графы смежности — графы смежности с минимальным числом ребер, и нередуцируемые графы смежности — графы смежности, которые при удалении любого ребра перестают быть магистрально связными.
Жила Бц — множество ребер минимального графа смежности М, входящих в М I и и не входящих в М | и:
Бц = (М I и)\(М { и).
Доказано [28], что жила представляет собой множество ребер веса и, любой минимальный граф смежности разбивается на жилы, и число ребер в каждой жиле фиксировано, а также [17], что в жилу Бц входят все ребра минимального графа веса и и что любая жила сжимается до оммажа.
3. Теорема о множестве нередуцируемых графов смежности
Лемма 1 [28]. Пускай в какой-то курим веса и графа смежности О есть ребро кратности не меньше двух. Тогда удаление одного из ребер графа О, сужаемого до этого кратного ребра, сохранит его магистральную связность.
Лемма 2 [28]. Пускай в какой-то курии веса и графа смежности О есть циклы. Тогда удаление произвольного ребра из графа О, сужаемого до какого-либо ребра, принадлежащего циклу на феодах, сохранит его магистральную связность.
Теорема 1 (о множестве нередуцируемых графов смежности). Множество нередуцируемых графов смежности совпадает с множеством минимальных графов смежности.
Иначе говоря, любой минимальный граф смежности является нередуцируемым, а любой нередуцируемый граф смежности минимален по числу ребер. Отметим, что вопрос о том, как соотносятся минимальные и нередуцирцемые графы, рассматривался в [17, 27], и в этих публикациях были получены результаты, на которые мы опираемся в данной работе.
Доказательство. Любой минимальный граф смежности является нередуциру-емым графом смежности, потому что при удалении какого-либо ребра он перестанет быть графом смежности (иначе бы исходный граф не был минимальным по числу ребер).
Рассмотрим все возможные курии Кц нередуцируемого графа смежности О^. Если курия не является оммажем, то есть деревом, все ребра которого имеют кратность, равную единице, то эта курия должна содержать кратные ребра или хотя бы один цикл. Но тогда, по лемме 1 или по лемме 2 соответственно, мы можем удалить из графа Окя ребро так, чтобы магистральная связность сохранилась. Значит, ребра любого значимого веса образуют жилу, откуда следует, что О^я минимальный граф смежности.
4. ЖЖадный алгоритм. Из теоремы 1 следует, что жадный алгоритм, который удаляет из максимального графа смежности ребра, сохраняя магистральную связность, пока не получит нередуцируемый граф смежности, построит некоторый минимальный граф смежности.
Ниже приведен листинг такого алгоритма. Функция ]отдтарН(О) возвращает значение «истина», если обобщенный граф максимальных фрагментов знаний С является графом смежности и «ложь» в противном случае.
В цикле 2-4 алгоритм строит множество ребер Е максимального графа смежности.
В цикле 5-9 алгоритм перебирает все ребра из Е. В строке 6 проверяется, является ли граф О = (У, Е\{в}) графом смежности, и если является, то в строке 7 е удаляется из множества ребер Е. Заметим, что работа данного алгоритма эквивалентна построению нередуцируемого графа смежности.
О — граф смежности тогда и только тогда, когда его произвольное значимое сужение О I и магистрально связано [28].
Поскольку на каждом шаге 7 алгоритм оставляет такой граф, который является графом смежности, а прекращает алгоритм работу тогда, когда удаление ребер из
Листинг 1 Алгоритм построения минимального графа смежности
Require: V Ensure: G = (V, E) 1: E 0
2: for all (u, v € V)&(u * v)&(W(u) n W(v) * 0) do
3: E ^ E u{(u,v)}
4: end for
5: for all e € E do
6: if joingraph((V, E\{e})) then
7: E ^ E\{e}
8: end if
9: end for
10: return G (V, E)
графа невозможно, построенный в результате работы алгоритма граф О будет являться нередуцируемым, а потому, как следует из теоремы 1, минимальным графом смежности.
5. Число ребер минимального графа смежности. Число ребер минимальных графов смежности равно сумме ребер жил каждого значимого сужения. Число ребер в каждой жиле равно числу владений соответствующего сужения, уменьшенного на единицу.
Теорема 2. Число ребер любого минимального графа смежности над .заданной АБС равно еу Сопп(ОтаХ | и) - \У\, где Сопп(ОтаХ | и) — число компонент связности графа Отах | и, а У — множество значимых весов.
Доказательство. Так как Сопп(Отах | и) —это число компонент связности Отах | и, то Сопп(Отах | и)- 1 совпадает с числом ребер в жиле веса и; поскольку ребра жилы являются прообразом ребер оммажа — дерева на феодах, до которых сжимаются указанные выше компоненты связности, число ребер в соответствующей жиле равно числу компонент связности, уменьшенному на единицу. Отсюда следует, что число ребер в минимальном графе смежности равно сумме таких слагаемых для каждого значимого веса.
6. Матроид. Теория матроидов приведена в [29] и [30], на русском языке достаточно подробно рассмотрена в [31]. Дадим одно [29] из многочисленных эквивалентных определений матроида, наиболее подходящее для целей настоящей работы.
Матроид М — это пара (Е, I), где Е — конечное множество, а I — семейство независимых подмножеств Е со следующими свойствами:
1) пустое множество независимо;
2) каждое подмножество независимого множества независимо;
3) А и В — максимальные по включению независимые множества (базы), тогда (Уа е А\В)ЗЬ е В\А : А\ {а} и {Ь} — максимальное по включению.
Теперь введем понятие независимости, для обобщенных графов МФЗ.
Лемма 3. Полный обобщенный граф МФЗ Остр магистрально связен.
Доказательство. Рассмотрим две произвольные вершины графа Остр. Вес ребра, соединяющего эти две вершины, равен пересечению весов этих вершин, следова-
тельно, он является магистральным путем между этими вершинами, поэтому Остр магистрально связен.
Лемма 4. Магистрально связный граф (О при добавлении к нему ребра сохраняет магистральную связность.
Доказательство. Между каждыми двумя вершинами графа О существует магистральный путь. В графе, полученном добавлением к О произвольного ребра, между каждыми двумя вершинами будет существовать магистральный путь, совпадающий с магистральным путем между этими вершинами в графе О, поэтому полученный граф будет магистрально связен.
Лемма 5. Для нередуцируемых графов смежности О1 = (V, Е\А) и Оц = (V, Е\В), А Ф В, для любого а € А\В найдется Ь € В\А такое, что граф О* = (V, Е\(А\{а}и{Ь})) является нередуцируемым графом смежности.
Доказательство. Из теоремы о нередуцируемых графах смежности следует, что число ребер в нередуцируемых графах смежности одинаково, поэтому если граф смежности получается из нередуцируемого добавлением одного ребра и дальнейшим удалением другого ребра, то он будет нередуцируемым. Заметим, что А\В и В\А не пусты, так как \А\ = \В\ и О1 Ф Оц.
Итак, О* = (V, Е\(А\{а}и{Ь})) = (V, Е\Аи{а}\{Ь})). Переформулируем лемму: требуется доказать, что, добавляя к О1 новое ребро а из О2 , мы можем удалить из него такое ребро Ь, не лежащее в Оц, что О1 останется графов смежности.
Пускай мы добавили к графу О1 ребро а веса и : а € Е(Оц),а £ Е(О{). Назовем новый граф О+. Рассмотрим курию К ц графа О+. Обозначим е+ = ац(а): Н1 —оммаж О1; Нц —оммаж Оц; Е(К ц) = Е(Н1) И{е+}, где И — функция на паре множеств ребер курии: (Ещ ,¿1 (е))И(Ец2 ,ёц(е)) = (Ецг и Ец2 ,¿1 (е) + ¿ц(е)).
Если кратность ребра е+ больше единицы, то по лемме 1 мы можем удалить из О+ такое ребро Ь, что е+ = ац(Ь) и граф О* = (V, Е(О+)\{Ь}) будет графом смежности. Заметим, Ь £ Е(Оц), так как иначе в курии ац(Оц) ребро е+ имело бы кратность хотя бы 2 (от ребер а и Ь), а значит, Оц не был минимальным, поэтому не был нередуци-руемым.
Если кратность ребра е+ равна единице, то Кц содержит всего один цикл. Действительно, если бы в Кц было несколько циклов {С1,Сц,...}, то все они проходили бы через е+, тогда (СД{е+}) и (Сц\{е+}) так же было бы циклом, но при этом не содержащим ребра е+, а значит, цикл был в графе Н1 —противоречие.
В единственном цикле С графа Кц существует ребро е- = ац (Ь), которого нет в оммаже Нц, иначе бы все ребра цикла С также были бы и в оммаже Нц, а значит, сам оммаж Нц содержал бы цикл, что привело к противоречию. По лемме 2 граф О* = ^,Е(О+ )\{Ь}) будет графом смежности.
В обоих случаях граф О* будет магистрально связным, и число его ребер будет равно числу ребер графов О1 и Оц, поэтому он будет минимальным графом смежности, и, следовательно, нередуцируемым графом смежности.
Теорема 3 (о матроиде). Пусть дан набор МФЗ V и максимальный обобщенный граф МФЗ Остр = (V, Естр), построенный над этим набором. Пускай /ьъс — множество всех независимых множеств, построенных над V, где под независимостью множества А £ Естр будем понимать то, что обобщенный граф МФЗ О = (V, Естр\А) магистрально связен. Тогда пара М = {Естр,/ьъс} является матроидом.
Доказательство.
1) 0 € I. Остр = (V, Естр\0) —граф смежности (это следует из леммы 3), поэтому 0 независимо.
2) А ф В, В е 1ььс ^ А е 1ььс. Граф Оа = (У, Естр\А) получается добавлением к графу смежности О?в = (У, Естр\В) ребер В\А, и, как это следует из леммы 4, О?а — граф смежности. Следовательно, А независимо.
3) А и В — максимальные по включению независимые множества (базы), поэтому для любого а е А\В существует такое Ь е В\А, что А\ {а} и {Ь} — максимальное по включению. Это следует из леммы 5.
Заключение. В статье установлено, что пара, состоящая из множества ребер максимального обобщенного графа МФЗ Естр и множеств всех его подмножеств, результатом вычитания которых из Естр будут ребра графа смежности, построенного над тем же набором вершин, является матроидом, что является следствием теоремы о совпадении множеств минимальных и нередуцируемых графов смежности. С точки зрения построения вторичной структуры АБС по ее первичной структуре наиболее важными являются следующие следствия, ассоциированные с результатами теории матриодов:
1) множества минимальных и нередуцируемых графов смежности совпадают, так как все базы матроида имеют одинаковую мощность;
2) построение минимального графа смежности допускает «жадное» решение;
3) число ребер в минимальном графе смежности выражается через нулярность матроида и равно сумме рангов матриц инцидентности для каждого значимого сужения, уменьшенного на число значимых сужений.
По сути, мы показали, что совпадение множеств минимальных графов смежности и нередуцируемых графов смежности эквивалентно возможности матроидного представления множества графов смежности.
Следует также отметить, что выражение числа ребер графа смежности через ранги матриц инцидентности значимых сужений позволит предсказывать без явного построения наличие циклов в графах смежности, что является достаточно важной задачей глобального обучения АБС [32]. Предложенный в статье подход, возможно, позволит выявлять наличие циклов в графах смежности над заданной первичной структурой АБС более эффективно, чем это осуществляется сейчас [32].
Литература
1. Тулупьев А. Л., Николенко С. И., Сироткин А. В. Байесовские сети: логико-вероятностный подход. СПб.: Наука, 2006. 607 с.
2. Тулупьев А. Л. Основы теории алгебраических байесовских сетей: программа спецкурса для студентов старших курсов и аспирантов. СПб.: СПбГУ, 2007. 7 с.
3. Тулупьев А. Л. Непротиворечивость оценок вероятностей в алгебраических байесовских сетях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009. Вып. 3. С. 144-151.
4. Тулупьев А. Л. Непротиворечивость оценок вероятностей в идеалах конъюнктов и дизъюнктов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009. Вып. 2. С. 121-131.
5. Сироткин А. В. Проверка и поддержание непротиворечивости алгебраических байесовских сетей: вычислительная сложность алгоритмов // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 15. С. 162-192.
6. Тулупьев А. Л. Алгебраические байесовские сети: глобальный логико-вероятностный вывод в деревьях смежности: учеб. пособие. СПб.: СПбГУ; ООО Изд-во «Анатолия», 2007. 40 с. (Сер. Элементы мягких вычислений).
7. Тулупьев А. Л. Алгебраические байесовские сети: локальный логико-вероятностный вывод: учеб. пособие. СПб.: СПбГУ; ООО Изд-во «Анатолия», 2007. 80 с. (Сер. Элементы мягких вычислений).
8. Тулупьев А. Л. Апостериорные оценки вероятностей в идеале конъюнктов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2010. Вып. 1. С. 95-104.
9. Тулупьев А. Л., Сироткин А. В., Николенко С. И. Байесовские сети: логико-вероятностный вывод в ацикилческих направленных графах. СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. 400 с. (Сер. Элементы мягких вычислений).
10. Сироткин А. В. Проверка и поддержание непротиворечивости алгебраических байесовских сетей: вычислительная сложность алгоритмов // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 4 (15). С. 162-192.
11. Тулупьев А. Л. Алгебраические байесовские сети и байесовские сети доверия: сравнительный анализ выразительной мощности // Информационные технологии и интеллектуальные методы: Сб. трудов СПИИРАН. 1997. Вып. 2. СПб.: СПИИРАН, 1997. С. 121-147.
12. Тулупьев А. Л. Поддержание непротиворечивости фрагмента знаний с интервальной нечеткой мерой оценки неопределенности // Теоретические основы и прикладные задачи интеллектуальных информационных технологий: Сб. трудов СПИИРАН. СПб.: СПИИРАН, 1998. С. 82-92.
13. Тулупьев А. Л. Поддержание непротиворечивости фрагментов знаний с оценками доверия и правдоподобия // Информационные технологии и интеллектуальные методы: Сб. трудов СПИИРАН. 1999. Вып. 3. СПб.: СПИИРАН, 1999. С. 72-97.
14. Сироткин А. В. Модели, алгоритмы и вычислительная сложность синтеза согласованных оценок истинности в алгебраических байесовских сетях // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2009. №11. С. 32-37.
15. Тулупьев А. Л. Задача локального автоматического обучения в алгебраических байесовских сетях: логико-вероятностный подход // Труды СПИИРАН. 2008. Вып. 7. СПб.: Наука, 2008. С. 11-25.
16. Тулупьев А. Л., Столяров Д. М., Ментюков М. В. Представление локальной и глобальной структуры алгебраической байесовской сети в Java-приложениях // Труды СПИИРАН. 2007. Вып. 5. СПб.: Наука, 2007. С. 71-99.
17. Фильченков А. А., Тулупьев А. Л. Структурный анализ систем минимальных графов смежности // Труды СПИИРАН. 2009. Вып. 11. СПб.: Наука, 2009. С. 104-127.
18. Тулупьев А. Л. Ациклические алгебраические байесовские сети: логико-вероятностный вывод // Нечеткие системы и мягкие вычисления: Научный журнал Российской ассоциации нечетких систем и мягких вычислений. 2006. Т. 1, №1. С. 57-93.
19. Jensen F. V. Bayesian Networks and Decision Graphs. New York: Springer-Verlag, 2001. 268 p.
20. Korb K. B., Nicholson A. E. Bayesian Artificial Intelligence. New York: Chapman and Hall/CRC, 2004. 364 p.
21. Nilsson N. J. Probabilistic Logic // Artificial Intelligence. 1986. Vol. 47. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B. V., 1986. P. 71-87.
22. Сироткин А. В. Байесовские сети доверия: дерево сочленений и его вероятностная семантика // Труды СПИИРАН. 2006. Вып. 3. Т. 1. СПб.: Наука, 2006. С. 228-239.
23. Тулупьев А. Л. Дерево смежности с идеалами конъюнктов как ациклическая алгебраическая байесовская сеть // Труды СПИИРАН. Вып. 3. Т. 1. СПб.: Наука, 2006. С. 198-227.
24. Тулупьев А. Л. Автоматическое обучение фрагментов знаний в алгебраических байесовских сетях // Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. V-я Международная научно-практическая конференция (27-30 мая 2009 г., Коломна): Сб. науч. трудов: в 2 т. Т. 1. С. 163-176.
25. Опарин В. В., Фильченков А. А., Тулупьев А. Л., Сироткин А. В. Матроидное представление семейства графов смежности над набором фрагментов знаний // Науч.-техн. вестн. С.-Петерб. гос. ун-та информационных технологий, механики и оптики. 2010. Вып. 4. C. 73-76.
26. Фильченков А. А., Тулупьев А. Л., Сироткин А. В. Мощность множества минимальных графов смежности // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 15. С. 136-161.
27. Фильченков А. А., Тулупьев А. Л., Сироткин А. В. Особенности анализа вторичной структуры алгебраической байесовской сети // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 12. С. 97-118.
28. Фильченков А. А., Тулупьев А. Л., Сироткин А. В. Структурный анализ клик минимальных графов смежности // Вестн. Тверского гос. ун-та. Сер. Прикладная математика. 2011. №20. С. 139-151.
29. Oxley J. G. Matroid Theory. New York: Oxford University Press, 1992. 532 p.
30. Welsh D. J. A. Matroid Theory. Academic Press, 1976. 433 p.
31. Харари Ф. Теория графов. М.: УРСС, 2003. 300 с.
32. Фильченков А. А., Тулупьев А. Л. Анализ циклов в минимальных графах смежности алгебраических байесовских сетей // Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 2 (17). С. 151-173.
Статья поступила в редакцию 22 декабря 2011 г.
ХРОНИКА
12 октября 2011 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили канд. физ.-мат. наук, доц. В. А. Диевский (Военный инженерно-технический университет) и канд. физ.-мат. наук, доц. А. В. Диевский (СПбГИТМО) с докладом на тему «Организация Интернет-тестирования студентов по теоретической механике».
Краткое содержание доклада:
В связи с переходом на преподавание в соответствии с новыми Государственными образовательными стандартами появилась необходимость в модернизации принятой в вузах системы текущего и итогового контроля знаний студентов (введение кре-дитно-модульной системы, 100-балльной системы оценок и т.п.). Возникают новые методики, требующие обсуждения. Авторы доклада привели свои предложения по проведению специфического вида контроля — Интернет-тестирования.
