Вывод частотного уравнения собственных колебаний упругой трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены Текст научной статьи по специальности «Физика»

4/2010 ВЕСТНИК _МГСУ

ВЫВОД ЧАСТОТНОГО УРАВНЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ, ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КРАЯ КОТОРОЙ ШАРНИРНО

ЗАКРЕПЛЕНЫ, А ДВА ДРУГИХ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕНЫ

DERIVATION OF THE FREQUENCY EQUATION OF

NATURAL VIBRATIONS OF AN ELASTIC THREE-LAYERED

PLATE, TWO OPPOSITE EDGES OF WHICH ARE HINGED AND TWO ARE RIGIDLY FIXED

A.B. Богданов, О.И. Поддаева

A.V. Bogdanov, O.I. Poddaeva

ГОУ ВПО МГСУ

В этой статье рассмотрен вывод частотного уравнения собственных колебаний упругой прямоугольной трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены.

This article discusses the derivation of the frequency equation of natural vibrations of an elastic rectangular three-layered plate, two opposite edges of which are hinged and two are rigidly fixed.

Рассмотрим плоский элемент как изотропную однородную упругую трехслойную пластину.

Будем предполагать, что плоскости раздела слоев находятся в жестком контакте, при этом внешние два слоя состоят из одного материала и имеют одинаковую толщину |h2 — hj, а внутренний слой - из другого материала и его толщина hl. В плоскости

XOY пластина занимает область |0 < x < ll; 0 < y < l2} .

В дальнейшем параметры внутреннего слоя обозначать индексом "l", а внешних слоев - индексом "2".

Частоты собственных колебаний упругой трехслойной пластины будем определять, основываясь на приближенном уравнении поперечных колебаний четвертого порядка [l]:

s2w _,да2W Д2... „

"аТ+- +¿AW = 0 (1)

где

А (к2 - \ )2 [ I (7 - 8П + Ь2 (7 - 8У2) + (7-8У1>3 к2+; 1 Ь2 (1 + рк/2ДЬ2 9Ь(1 -V!) 2(1 -у2) 16(1 -у1) '

(3 - 4У2)

+Р

2г.2

2 + р Ь

2 I1 "^2 ).

= к3 ^ - \ )21 Р

А11+к Г32+А}

к3

А

1+к)+З2+а \

2 ( 2Л 2 1 + 2

V к

к

2А2 -1 ,

—2-+1

2 А

4 + —

к

„А

14А

^♦11

I Р)

"А, + 2--2

А

Аз -

к3 (к - к )2 Ь2

8(1 + рк/2)

4рД

(1+3 ]

V к

- 2р

1 + А1 40А2

к 3Ь2к3

1

; (I = 1,2)

к = р=Р±. Ь = А =

к2 - к1 Рг Ь2 1 2(1 )

Ь у

1 - скорость поперечной волны, 1 - коэффициент Пуассона, - плотность.

Пусть два противоположных края пластины при у = 0 и у = ¡2 шарнирно

оперты, а два других при X = 0 и X = ¡1 жестко закреплены.

Граничные условия для такой пластинки имеют следующий вид:

Ж

Ж

х=0

= ж

у=0

= Ж

у=¡2 '

д Ж д Ж

дх х=0

д 2Ж д 2Ж

ду2 у=0 ду2

= 0

= 0

(2)

Решение уравнения (1) будем искать в виде [2]:

Г , Л т Г

кпу

~Г

V 2

Ж (х, у, I) = ехр I ^Жк (х)б1и

V к1 ) к=1

где ^ - безразмерная частота собственных колебаний ] Подставляя (3) в уравнение (1), для получим уравнение:

(3)

[пластины

4/2010

ВЕСТНИК

.МГСУ

dX ^ d2Wk

■ + Bi-+ B2Wk = 0,

dx

dx

(4)

где

D A2 2 ¿2 0 2

Bi= ~r r £ - 2r2;

A3

B2 = A r^4 - ri2

A

i

A r22 + —

A3 A3

(5)

f + r

где

b1 кж ri ; r2 h1 l2

Общее решение уравнения (4) запишем в виде:

cos(а0x) ^ cos(a1x)

Wk (x ) = Ci

a,

0

a

+ C

cos (a0 x) cos (aix)

a*

a,

+

+C

sin (a0x) ^ sin (aix)

«0 (6)

a,

+ C

sin (a0 x) sin (ai x)

a*

a.

где Cj - постоянные интегрирования, a - корни характеристического уравне-

ния:

a4 + Bla2 + B2 - 0

и равны:

B,

B,

л2

- B,

В этом случае на краях пластины имеем граничные условия:

жк = ^ = 0

йх

(7)

(8)

(9)

Тогда из общего решения (6) n=0, m=1, при этом из условия на левом краю постоянные интегрирования C1 и C3 равны нулю, а из условия на правом краю получаем:

sin (а0/) sin {alll)

"4

C2 [cos[a0li) - cos[aili)] + C4

a,

= 0 (i0)

C2 [«0 sin («0li ) _ a\ sin {aA )] _ C4 [cos (<Vi ) _ cos {ai li )] = 0

откуда, из условия нетривиальности решения системы уравнений (10), получаем трансцендентное уравнение вида:

2 _а+а2

а0

-вт (а011) вт [а111) - 2 сов {а011) сов (а111) = 0

Для анализа частотного уравнения (11) преобразуем его. Представим косинусы в виде рядов:

(11)

синусы и

вш 2 = Х(-1У

СОв 2

1.0 (21 +1)!' "" ^ ^ (2у)!'

Тогда уравнение (11) эквивалентно следующему:

со

2-(а„2 + а?) £(-1)21

1=0

= Е(-1)

1=0 )следую!

(«0«1)

1

,2И)

Е

1=0

(21 +1)!(21 +1)!

ч21 (ад) 1 и[ 1 Ш21)\

в41 = 0

Пусть 1 — 0 , 1 — 0, выпишем первые слагаемые в уравнении (12):

(а02 +а12 )е2 = 0

(12)

(13)

Используя (8) а0 = ,

в

-+„

'V2

IV 2у

-В2 ; а1=,

в

IV 2у

■ В имеем

а^ + а\ = В1

а2 а2 = В2

0 1 2

Тогда уравнение (13) примет вид:

В1 = 0

Подставляя В1 из (5) получаем:

А- 2Г22 = 0

3

Тогда частота собственных колебаний равна:

Г \2

? = 2

V Г У

Аз

А2

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

При 1 - 0,1 , 1 = 0,1 :

(«02 +

(ад )2 вб _ 2 (ад)

36

-(а02 + а12 )е2 = 0

(19)

4/2010

ВЕСТНИК .МГСУ

Подставляя В1 , В2 получаем: в в1 е6 _ в1 е _ в 2=о

136 2 1

Д

-"'14 х 2 -"1 п

—е--е--- = 0

1

Д

36

Д

2

При I — 0,1,2 , j — 0,1,2 получим уравнение: ,2 , „,2\ (ЭД ) 6 ^ (^оа1 ) „4 /__2

36

(ЭД )

еь - 24

(ао + )■

10 ' 5!5!

Подставляя Bj , B2 получаем:

(«о2 +«12)

(2 2 \ 2 а0 +а1 )е

(^0^1 j 8 А --—е - 0

4!4!

(20)

(21)

в в е6 _ ве4 _ в 2+в^+в, _В1 е8=0

136 2 1 15!5! 14!4!

где е - /1 / к1.

Используя значения В1 , В2 из (5) получим частотное уравнение вида:

а/0+++ + + а6 = 0

где

Л2 Л е8г10

а _ Л1 Л2е г к •

1 _ ,<3 1'

A

-3

2 A е8 г'

A

+ А1г22 + A ^

A

A

3 У

(22)

(23)

6 6 е г

A2

:1A1A2 + е2 k1 36

Г 1 ^

6AA2Г24 + 4Ar2 + —(2A22Г22 + A23Г24 + A2 ) ;

V A3 JJ

d4 = -

44^ е г

A3

+е r22k1

_! А е2 (1 + г22 ) +—Л1е2 +1A + ; 36 A3 у 2} 18 1 2 A3

4Л^4 + -1 (4AV + 6Aг2 + 2)

J J

ВЕСТНИК МГСУ

4/2010

i ^e6г26к, (4 + 5Л) - A +18 r22 +Vr24 + 2 e2 (l + Ar22)

2 2/ d5 = e-r

5 A

7 1 66 1 4 4.^22 o810r

d6 =-18e r2 " 2e r2 + 2e r2 " 2e r2 ki;

ki =

f г i +-

v5!5! 4!4!y

Аналогично можно взять первые четыре и больше слагаемых в выражении (12) и получить более точное частотное уравнение и соответствующие ему частоты.

Литература

1. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах. М. 2007.

2. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. М.: АСВ, 2005.

3. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.

4. Исаев C.A., Судаков А.Г., Баранов П.А., Усачов А.Е., Стрижак С.В., Лоханский Я.К., Гувернюк С.В. «Разработка, верификация и применение основанного на многоблочных вычислительных технологиях распараллеленного пакета открытого типа VP2/3 для решения фундаментальных, прикладных и эксплуатационных задач аэромеханики и теплофизики», Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2009. Т. 150. № 17. С. 59-72.

Literature

1. Filippov I.G., Filippov S.I. Kolebatelnie i volnovie protsessi v sploshnih szhimaemih sredah, M, 2007.

2. Egorychev O.O. Kolebania ploskih elementov konstruktsii. M.: ASV, 2005.

3. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.

4. Isaev S.A., Sudakov A.G., Baranov P.A., Usachev A.E., Strizhak S.V., Lohanskii Ya.K., Gu-vernyuk S.V. «Development, Verification and application-based multiblock computational technologies parallelized package open-VP2 / 3 for basic, applied and operational objectives of Aeromechanics and Thermophysics», Journal of South-Ural State University. Series: Mathematical Modeling and Programming. 2009. V. 150. № 17. pp. 59-72.

Ключевые слова: упругая трехслойная пластина, колебание, коэффициент Пуассона, шарнирное закрепление, жесткое закрепление, поперечная волна, плотность

Key words: elastic three-layer plate, vibration, Poisson's ratio, pinned, stiffening, transverse wave, density

Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26

e-mail: [email protected] Контактные данные: (495) 739-33-63, e-mail: [email protected]

Рецензент: Киселев А.Б., д.ф.-м.н., профессор МГУ им. М.В. Ломоносова