Нормальный удар по ортотропной пластине Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК 4/2010

НОРМАЛЬНЫЙ УДАР ПО ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЕ

OWN TRANSVERSE VIBRATIONS OF A PRESTRESSED ORTHOTROPIC PLATE

O.A. Егорычев, O.O. Егорычев, О.И. Поддаева,

B.B. Брендэ

O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, O.I. Poddaeva,

V.V. Brende

ГОУ ВПО МГСУ

Рассмотрен нормальный удар no плоскому элементу конструкций. Получено уравнение собственных колебаний предварительно напряженной ортотропной пластины постоянной длины, закрепленной с двух противоположных сторон шарнирно.

Considered a normal attack on the flat structural elements (plate). Obtained the equation of natural oscillations of a prestressed orthotropic plate of constant length, fixed on two opposite sides articulated.

Пусть имеется ортотропная предварительно напряженной пластина постоянной толщины h, занимающая в пространстве область (y е (-да; +<»), x е [-l; l]). Пластина закреплена

шарнирно на границе, при x = ±l В момент t = 0 по поверхности пластины произведен удар интенсивности fz (x, t), причем fz (x, t) симметрична относительно оси 0X.

с [1]

В качестве уравнения, описывающего поведение пластины, примем уравнение

82W А d4W , d4W А 84W 1 ч

-A, —— - A -;—- + A—— = - f (x, t I (1)

где:

h

dt2 1 dt4 dt2dx2 3 dx4 hpA5,

A = T^ + c ^ A3 + 3^1 + ao Г A551 ],

A = h2[2(1 + c0 )(1 + a0)"' -2A13A331 + 3A331 Al (AuA33 - Д2 )] , (2)

A3 = [2 ^ + co )A33 (A11A33 _ A13 ) ]

где p- плотность, Aij - константы материала, a0, c0 - начальные перемещения,

W (x, t ) - поперечный прогиб пластины, b - скорость поперечной волны

Граничные условия ^ : при x = ±l

d2W

W = = 0 (3)

dx2

4/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

Начальные условия нулевые: t = 0

W =

dW d2W d3W

dt dt2

dt3

Пусть F (x, t ) =

fo (x, t)

phA55

(4)

(5)

Тогда уравнение (1) для определения W примет вид:

д2Ш , a4W , дV , д^ , —т + А—4— А—;—7 + Аз—Г = ¥ Iх»')

дг2 1 Эг4 Зг дх2 ^ Эх4 ^ ;

Известно что решение (6) представляется в виде:

V = W0(0)+ 0

Где W0(0) -общее решение однородного уравнения, Wн

(6)

, -частное решение

Общее решение однородного уравнения (6) представляется в виде:

Wo(0) (х,!) = £ Рп (^)

Будем считать, что функция ¥ представляется в виде:

¥¥* ('г)

Подставляя (8) в (6), для определения Рп получим уравнение:

(7)

(8) (9)

1 + AI —

P) + A I — I p = F

(10)

apP4 -

Общее решение однородного уравнения можно представить в виде:

Pn = KKn sin (b£tj + K2¡„ cos (b&j + K3,„ sin ^hj + cos ^h&j (11)

где K¡ n - произвольные постоянные интегрирования, ^ 2 - частоты собственных колебаний.

Частное решение из (7) будем искать, используя метод вариации произвольных постоянных. Тогда для K¡ получим выражения:

"Fn sin Í h ^

K' _ Fn cos l h ^ J K

bl ^ ^ ) 2'П (Íj * ^ )

(12)

K,

Fn cos ib £J

n l hb2

, K= -

- Fn sin ib Lt n l h Ы

h U (£ ) ' ( b U (£ ^ )

h

Откуда:

Wo (x, t) = £sm[ —

- (b * )í

Fn cosl ^&

T Í ^ )

dt-

ВЕСТНИК МГСУ

4/2010

- cos

h « и

Fn sinl h ^

-U M ^ )

dt + sinf — ^t j j"

Fn C0sl h &

— U (£ ^ )

dt -

:—* и

Fn sinl h ^

\ \

(13)

h 1*2 (£ -if )

dt

Так как в данной задаче начальные условия (4) нулевые, то все произвольные постоянные общего решения однородного уравнения равны нулю.

Это означает, что Wf> (х,t) = 0и W = Wr0 (x,t).

(14)

cos

Литература

1. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. Изд-во АСВ. Москва. 2005. 239 с.

2. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязко-упругих пластин и стержней. Кишинев. ШТИИНЦА. 1988. 190 с.

3. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.

4. Исаев C.A., Судаков А.Г., Баранов П.А., Усачов А.Е., Стрижак С.В., Лоханский Я.К., Гувернюк С.В. «Разработка, верификация и применение основанного на многоблочных вычислительных технологиях распараллеленного пакета открытого типа VP2/3 для решения фундаментальных, прикладных и эксплуатационных задач аэромеханики и теплофизики», Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2009. Т. 150. № 17. С. 59-72.

References

1. Egorychev O.O. Fluctuations of plane structural elements. Publishing house ASV. Moscow. 2005. 239 pp.

2. Filippov I.G., Cheban V.G. The mathematical theory of vibrations of elastic and viscoelastic plates and rods. Chisinau. Shtiintsa. 1988. 190 pp.

3. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.

4. Isaev S.A., Sudakov A.G., Baranov P.A., Usachev A.E., Strizhak S.V., Lohanskii Ya.K., Guvernyuk S.V. «Development, Verification and application-based multiblock computational technologies parallelized package open-VP2 / 3 for basic, applied and operational objectives of Aeromechanics and Thermophysics», Journal of South-Ural State University. Series: Mathematical Modeling and Programming. 2009. V. 150. № 17. pp. 59-72.

Ключевые слова: механика деформируемого тела, упругость, анизотропия, ортотропная пластина, собственные колебания, нормальный удар

Key words: mechanics of deformaUle bodies, elasticity, anisotropy, orthotropic plate, the natural oscillations, a normal kick

Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26 Контактные данные: (495) 739-33-63, e-mail: [email protected]

Рецензент: профессор кафедры волновой и газовой динамики мех.-мат ф-та МГУ, д.ф.-м.н.

Киселев А.Б