CC BY
46
2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ВЫРОЖДЕННЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ
Для комплесков, кривизна которых равна нулю для любой прямой, КаК1 = 0 при всех в = а, а = 2, 3. Комплекс (2) в этом случае принимает один из видов:
K«^ = KßJß ,
K < = Kß uß,
Ка^а = Kß
Сформулируем без доказательства следующую теорему.
Теорема 5. Существуют три типа комплексов нулевой кривизны: специальный, тангенциально-вырожденный специальный, вырожденный специальный. Для комплексов первых двух типов существует канонический репер первого порядка. Канонический репер вырожденного специального комплекса не существует.
Специальный комплекс состоит из прямых, касающихся некоторой поверхности V. Если поверхность V является тангенциально-вырожденной, то комплекс мы называем тангенциально-вырожденным специальным. Вырожденный специальный комплекс состоит из однопараметрическо-го множества связок прямых, центры которых описывают некоторую кривую в абсолютной плоскости [5].
Библиографический список
1. Киотина Г. В. Группа движений обобщенно-галилеева пространства // Вестн. Рязан. ГПУ. 2004. С. 117-126.
2. Розенфельд Б. А., Зацепина О. В., Стеганцева П. Г. Гиперкомплексы прямых в евклидовом и неевклидовом пространствах // Изв. вузов. Математика. 1990. № 3. С. 57-66.
3. Киотина Г. В. Комплексы прямых в бифлаговом про-
странстве // Труды вторых Колмогоровских чтений. Ярославль, 2004. С. 338-344.
4. Кованцов Н.И. Теория комплексов. Киев, 1963. 292 с.
5.Киотина Г. В., Зацепина О. В., Ромакина Л.Н. Специальные комплексы прямых в пространствах , 1Б5, Вз // Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры: тез. докл. международ. конф. Саратов, 2008. С. 85-86.
УДК 513.6
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРОСТРАНСТВ ТОЛЕРАНТНЫХ ПЕТЕЛЬ
Е.В. Коробченко
Саратовский государственный университет, кафедра компьютерной алгебры и теории чисел. E-mail: [email protected]
В статье доказывается теорема об изоморфизме между гомотопическими группами исходного толерантного пространства и гомотопическими группами на единицу меньшей размерности пространства толерантных петель исходного пространства.
Ключевые слова: толерантное пространство, пространство толерантных петель, гомотопические группы толерантного пространства.
Homotopy Groups of Space of Tolerant Loops. E.V. Korobchenko
Saratov State University,
Chair of Computer Algebra and the Theory of Numbers E-mail: [email protected]
In the article is proved the theorem about isomorphism between homotopy groups of initial tolerant space and homotopy groups with descremented by one dimension of space of tolerant loops.
Keywords: tolerant space, space of tolerant loops, homotopy groups of tolerant space.
Толерантное пространство (Т-пространство), по определению Зимана [1], — это пара (X,т), где X — множество, а т с X х X — рефлексивное и симметричное отношение, называемое отношением толерантности. Отображение / : (X, т) ^ (У, в) Т-пространств называется толерантным (Т-отображением), если из х\тх2 следует /(х\)в/(х2). К настоящему времени имеется достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория Т-пространств [2].
© Коробченко Е. В., 2011
15
В гомотопической толерантной теории гомотопические параметры берутся из толерантных отрезков (/m, im) длины m (m е N), в которых
k l df
fc = 0,m>, —im— -<=>- \k — /1^1. 1 m m
. n n .
Произведение Т-отрезков для краткости будем обозначать ¿m) = ( х х ¿TOi ) и называть
.¿=1 i=1
n-мерным толерантным кубом размера m = (mi,..., mn) Е х N.
Т-отображения /o,/i : (X, т) — (Y, называются толерантно гомотопными относительно подмножества A с X, что записывается в виде /0 ~ /i(rel A), если существуют n е N и Т-отображение F : (X х /п,т х in) — (Y, 0) такие, что
1) (УхеХ) F(x,0) = f0(x), F{x, l) = /i(ar), 2) (У x E А)(У k = 0~й) F = f0(x).
Если n = 1, то Т-отображения /0,/1 называются просто толерантно гомотопными и записываются в виде /о ^ /1 (rel A), или /о ^ /i при A = 0.
Всякое толерантное отображение ¡m : (/m, ¿m) — (X, т), m е N, называется толерантным путем (Т-путем) в пространстве (X, т) длины m, соединяющим начало пути x0 = ¡m(0) е X с концом пути хт = сот( 1) е X. Точки Xk = LUm(k/m), k = 0, m, называется траекторией толерантного пути сот.
Обозначим через P(X, x0) множество Т-путей в (X, т) с началом в точке x0 е X. Если ¡m(0) = ¡m(1) = x0, то ¡m называется толерантной петлей (Т-петлей) в точке x0.
Обозначим через 0(X,x0) = {¡m е P(X,x0)|o>m(0) = ¡m(1) = x0} подмножество Т-петель множества Т-путей в (X,т). На множестве P(X) имеется обычная частичная операция *, сопоставляющая Т-путям ¡mi : (Imi, ¿mi) — (X, т), ш'т2 : (/То2, ¿m2) — (X, т), удовлетворяющим условию Wmi (1) = ¡m2 (0), новый путь
¡mi * ¡m2 : (1mi +m2 , 1mi+m2 ) - (X, т),
задаваемый формулой
am * a
wmi(fc/mi), fc = 0, mi,
1 ™2 ' т! I иот2((к — т^/тг), к = т1,т1+т2.
Определение 1. Пусть о>ТО1, ¡т2 е Р(X, х0) — произвольные Т-пути пространства (X, т) с началом в точке х0 е X и пусть для определенности т2 > Ш1. Тогда Т-пути о>т1 и ш'т2 назовем к-толерантными, если выполняются следующие свойства:
1) ио'т2 = £т2-т1 *7ш1' ГДе £т2-т1 ~ ПОСТОЯННЫЙ ПуТЬ ДЛИНЫ т2 - ть (V к = 0, 1712 — Ш\)
£т2-т1{к/{т2 — ш\)) = хо, а 7^ представляет собой отрезок пути со'т2: (Ук = 0,т1) Ут1(к/т1) = = ш'т2 ((к + т2 - т1)/т2);
2) «1.
При т1 = т2 = т постоянный путь ет2-т1 = е0 длины 0 является формальным объектом. Его траектория состоит из одной единственной точки х0, и относительно операции * он ведет себя как нейтральный элемент, т. е. е0 * Ут = = шт. Это означает, что согласно определению 1 имеет место правило:
иоткио'т -<=>- иот^ио'т -<=>- [(Ук,1 = 0,т) \к — < 1 =>- иот(к/т)тио'т(1/т)}.
Из определения 1 следует, что все постоянные пути с началом в точке х0 являются к-толерантными друг другу.
Назовем п-мерным толерантным сфероидом (Т-сфероидом) размера т пространства (X, т) в точке хо Е X любое толерантное отображение аш '■ (1т^т) —► (X,т) такое, что агп(д1ш) = где с) 1Ш = \ {кг/Шг)1=ТЧ1 Е 1Ш\ (3 г = 1 .п) кгЕ {0, 7Щ
Im — Л
k
Е. В. Коробченно. Гомотоппчеснпе группы пространств толерантных петель
Договоримся в дальнейшем записывать М = (М1,..., Мп) ^ т, если М^ ^ Шг для всех г = 1, п. Для М > т определим продление а-^-— сфероида а-ш'.
1мш С^м^м)
«т ^(&г/т*)г=1,п) , (V г = 1,п) кг < Шг, жо, (3 г = 1, п) > т,.
Определение 2. п-мерные Т-сфероиды произвольного размера аж(1), а!_(2) пространства (X, т) в
точке жо назовем толерантно гомотопными и обозначим аЖ(1) ~ а4т(2)' если существует М е х N такое, что М > ] = 1,2, и имеет место толерантная гомотопия:
^ : «М,т(!) ~ «Жт(2)(ге15/м)-
(1)
Классы эквивалентности толерантно гомотопных Т-сфероидов будем обозначать [а-щ], а множество классов — пп (Х,х0).
На множество п-мерных Т-сфероидов произвольного размера определим операцию *, сопоставив Т-сфероидам аш( 1) : (/ж(1), ¿ж(1)) -»• (Х,т), /3^(2) : (/ж(2), ¿ж(2)) -»• (Х,т) Т-сфероид аш( 1) */3^(2) :
(/Ж(1)+Ж(2), ¿Ж(1)+Ж(2)) —>• (Х,т) такой, что для любого г = 1,п и всех кг = 0, т-1') имеет место
представление
,(2)
(«ш(!) * Ап(2))
(1) , (2) т,- + ш ) у
г=1,п ,
«тР)((^М(1))г=Т^), (Уг = 1,п) кг <
Ап(2) (((** " ™г(1))М(2))г=Т^ (V« =Т~И)кг^ х0, в остальных случаях.
Для Т-сфероидов определяется двойное замедление % : (/2™, ¿2т) —► (X, т) формулой
' к, \ \ ( ( 1
2тг)г=Т~п) ат\\Шг
г=1 ,п .
Такое двойное замедление имеет свойства (см. [3]), позволяющие доказать, что на множестве классов толерантно гомотопных п-мерных Т-сфероидов произвольного размера корректно определена операция
[ат(!)] * [Рт(2)] — [ат(!) * Ртп(2)],
(2)
превращающая множество пп(X, х0) в группу, которая называется п-й гомотопической группой Т-пространства. Нейтральным элементом группы 7гп(Х,хо) будет класс [е^-], где е^ = хо. Операцию, определенную формулой (2) при условии ш(1) = ш(2), можно задать другой формулой
(3)
где
7 О 1 2
к1
к
(!) (!) I (2)\
,т1 ,...,тп +тп ) 1 + ш\
кп \ _ пз(1,к1)
(1)
(2)
ш
(1)
(1)
ШП' + Шп
(2) I — * РШ<
(2)
. ^ (1) х ... х / (1) х / (1) х ... х / (1) —X,
то1-1-1 т^ ' тг —1 тг + 1
кг—1 кг+1
ш
(1) (1) (1) (1)
^ 777,(1)
шш
г—1 "^+1
шп
ш
к],
(2) : / (1) х ... х / (1) х / (1) х ... х / (1) ^ X,
(2) т\ ' тг —1 тг + 1 '
(1) шп
^(г,^) / А
кг—1 кг+1
кп
ш
(2) (2) (2) (2) ш ш шп
Рт(2
к1
кг
ш
(2) ш(2)
(2) шп
к
т
к
к
п
п
1
к
п
Теорема 1. Пусть (X, т) — произвольное толерантное пространство с отмеченной точкой x0 е X, пусть (0(X, x0), к) — пространство толерантных петель пространства (X, т) с отмеченной петлей ei е 0(X,x0). Тогда для каждого натурального n > 2 имеется изоморфизм
фп : Пп(X, Хо) = Пп-i(0(X, xo), ei).
Доказательство. Рассмотрим произвольный сфероид а^' : (1т'^ш') —► (0(Х, ж о), ж),
atrñ>(dlrñ>) = ei, a¡J,) = ( —,..., ^üzL j ? где fc' = ..., fc„_i), m' = (mb ... ,m„_i). 06o-
\mi шп_1 /
значим через длину петли a—, . Возьмем максимальную длину всех петель тп = ш_ах
к'
Определим новое отображение <^п(«т') : hñ X следующим образом:
m = (m',mn), к = (к1кп)1 kn=0,mnJ
<£>{<**) = (-■ ■ ■ ■ ■ А) = И') (^МО ■ О « Ь. <
Покажем, что (4) определяет п-мерный сфероид в пространстве (X, т).
Возьмем к = (А*,..., I = (^ь • • • Лп-1-, 1п) такие, чтобы для всех % = 1,п имело место
fc i неравенство — li| ^ 1. Необходимо показать, что
<-Рп («т' ) (dim) = Хо . (6)
Так как а-щ' — сфероид в пространстве (Г2(Х, жо), для /г' и Т имеем а^)ка^). По определению 1 это означает, в предположении ) ^ что
(к') _ _ (Г)
— £d(k')_d(V) * °W ~ !')•
£mn_d(V) *a<m) = и £mn-d(i') *a-m = ~ два просто толерантно гомотопных
Т-пути. Тогда и ^(Jb-^-iW^j представляют собой т-толерантные точки этих
к I -1-1
путей с толерантными аргументами ПРИ условии к ьШ'1 ■ Это доказывает (5). Свойство (6)
следует из (4) и того факта, что для сфероида a^'iplm') = £i-
Покажем, что отображение фп : пп-1(0(X, x0)) ^ nn(X, x0), задаваемое формулой
Фп ([«ж' ]) = [<pn («Ж')], (7)
где — произвольный сфероид в Г2(Х, ж о), определенно корректно и является изоморфизмом групп фп : nn-i(0(X, xo)) = nn(X, xo).
Корректность (7) означает, что для толерантных сфероидов аш,(i) ~ аШ'(2) имеет место
<рп («ж«)) - '-Рп (аШ(2)). (8)
Согласно определению 2 для сфероидов аш,(i) и аш,(2) существуют м' > j = 1,2, такие, что а-р/_/(1) ~ а-р/ _/(2) (je\dlj[>). Достаточно ограничиться рассмотрением простой толерантной гомотопии
«М',т'(1) ~ %,т'р) (reld/дг)- (9)
Из формулы (4) следует
1)) = (10) Поэтому для доказательства (8) достаточно показать, что
М=(Ш\тп). (11)
Е. В. Коробченно. Гомотоптесте группы пространств толерантных петель
Формула (9) означает, что для всех к' справедливо
аЮ, . Тогда, исполь-
зуя рассуждения, приведенные выше (см. доказательство свойства (6)), получаем, что для всех
к = (кг,..., кп-1, кп) и всех I = (/1,..., /п-1,1П), где |кг — к\ < 1 при любом г = 1, п, справед-
ливо (рп (%'щ 1(1))т<^п (а—щ/(2)), ЧТО и доказывает (11).
Докажем гомоморфность фп. Обозначим Мп = тах(т!1),т12)}. Предположим, что Мп = т42). Тогда, используя (4), (7), (10) и (2), (3), получаем:
41п{[аШ'( 1)] * [аж'(2)]) = 1) *«ж'(2))] = к(ай'(1))(йг(1),лг„),т * =
= [<Рп (<%!' (1) ) (ш' (1), М„ ), т ] * Ьп(%(2))] = [^п(аЖ'(1))] * Ь/г(аЖ'(2))] = фп ( к'(Ч ]) * Фп (]) • Для доказательства сюрьективности фп возьмем произвольный элемент [/З^-] £ кп{Х,хо). Для построения прообраза этого элемента при отображении фп определим сначала отображение Хп-ЛРш) '■ 1Ш> —>• С1(Х,хо) следующей формулой:
кп
п
тп
= ш~1 (я,—
тп
(х»-ЛШк)
т! = (то, 1,..., т.п-1), к' = (к^..., /гп_1), кп = 0, т.п.
(12)
Так как ¡Зщ толерантно по каждому аргументу, то из (12) следует, что для любого к путь (Хп-Л/^ш))^ ^ является толерантным в X. Ввиду того что [Зш — Т-сфероид и (к ,0), (к ,1) е д1ш, получаем равенства (Хп-Л/Зш))^ = (х'п-Л/Зш))^= Таким образом, в любой точке к' значение (х'п-ЛРт))^* ^ представляет собой толерантную петлю с вершиной в хо.
Далее покажем, что х'п-ЛРт) ~ толерантное отображение, т.е. для всех к'ЬгпЛ' справедливо
Ып-гОЗш^^Ып-гОЗш))^^-Сотношение (13) означает, что для толерантных кп 1п1п
тп тп
Используя определение %п—1, соотношение(14) можно переписать в виде
ш-1 Ы,—)^)-1 (т,—
тп тп
Справедливость формулы (15) следует из толерантности отображения /Зш- Таким образом, Хп-Л/Зш) ~ толерантное отображение, но Хп-ЛРт) не является сфероидом, так как отсутствует необходимое условие на границе. Для того Хп-<1 {Рт) чтобы выполнить это условие, строим сфероид Хп-1(/Зш) '■ 1{т'1+2,т'2+2,...,т'п_1+2) -»■ £1(Х,х0), определение которого, чтобы избежать громоздкости записи, представлено графически на рис. 1 (п = 2).
В результате имеем толерантный сфероид Хп-1(/Зш) в 0(Х, х0). На рис. 2 изображены очевидные толерантные го-мотопии сфероидов (см. [3]).
(13)
(14)
(15)
И
. ш
£гПп
£1 •£■,
н
Хп-1(Рт)
И
£1
Рис. 1. Определение сфероида Хп-1 (Рш)
Рис. 2. Гомотопия </)„(хг7.-1(/Ъ-)) -
Эти гомотопии показывают, что фп([хп-1(/Зт)]) = [<£п(Хп-1(/Зт))] = [Ап]- Таким образом, сюръ-ективность отображения фп доказана.
Для доказательства инъективности фп предположим, что ^п([«т']) = [^п(«т')] = [£ш\- Следовательно, (Зш = — ¿ш- Последнее согласно определению 2 означает, что существует М е х N такое, что (^(скт'^м ж ~ е^(ге1^м)> ЧТ0> в свою очередь, означает наличие цепочки просто гомотопных толерантных сфероидов:
(^п(«то/))м,то — ^ &М,т ,т ~ '
Эти сфероиды определяют цепочку сфероидов в ), хп-1( Хп-1 непосредственной проверкой получаем:
Л*) Я— — рп РШ.т — Ь
M'
(16)
1ж
), j = О, t. Из (16) и определения
ам'ш' — Xn-l(^ ^ ~ Xn-li
'мщ
то)
Xn- 1(
'мщ
то) (£ei)/lf
Это означает, что [а,т'\ = [(£ei)n]- Таким образом, инъективность фп доказана. Библиографический список
1. Zeeman E.C. The topology of the brain and visual 3. Небалуев С. И. Высшие гомотопические группы то-perception // The topology of 3-manifolds and related лерантных пространств // Исследования по алгебре, topics. New Jersey, 1962. P. 240-256. теории чисел, функциональному анализу и смежным
2. Небалуев С. И. Гомологическая теория толерантных вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 2003. Вып. 2. пространств: учеб. пособие. Саратов, 2006. 111 с. С. 15-30.
УДК 517.984
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА А. А. ДОРОДНИЦЫНА ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ НА СЛУЧАЙ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Е. М. Малеко
Магнитогорский государственный технический университет, кафедра математики E-mail: [email protected]
Пусть A -- самосопряженный дискретный оператор с простым спектром, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H и имеющий там ядерную резольвенту, В -- самосопряженный и ограниченный в H оператор. Тогда можно подобрать такое е > 0, что собственные числа и собственные функции возмущенного оператора A + еВ будут вычисляться по методу А. А. Дородницына.
Ключевые слова: гильбертово пространство, возмущенный оператор, спектр.
Generalization of Method A. A. Dorodnicyn Close Calculation of Eigenvalues and Eigenvectors of Symmetric Matrices on Case of Self-Conjugate Discrete Operators
E. M. Maleko
Magnitogorsk State Technical University, Chair of Mathematics E-mail: [email protected]
Let the discrete self-conjugate operator A operates in separable Hilbert space H and has the kernel resolvent with simple spectrum. Self-conjugate and limited operator B operates also in H. Then it is possible to find such number £ > 0, that eigenvalues and eigenfunctions of the perturbation operator A+eB will be calculated on a method of Dorodnicyn.
Keywords: Hilbert space, perturbation operator, spectrum.
Часто при решении краевых задач важно знать не только их собственные числа, но и собственные функции. А. А. Дородницын разработал [1, с. 180-181] метод вычисления собственных чисел и векторов матриц вида
С (е) = А + еВ,
где А, В, С(е) — симметричные квадратные матрицы размера п х п, е > 0 — некоторое число. Собственные числа Аг = Аг(0) и вектора хг = хг(0) матрицы А предполагаются известными.
© Малеко Е. М., 2011
