CC BY
34
Вычислительные технологии
Том 16, № 5, 2011
Вырождение однородной изотропной турбулентности в пределе больших чисел Рейнольдса*
В.Н. Гребенёв
Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия
e-mail: [email protected]
Для замкнутой модели уравнения Кармана — Ховарта в пределе больших чисел Рейнольдса доказано существование и единственность решения начально-краевой задачи. Установлена асимптотическая устойчивость автомодельного решения по времени, и исследовано поведение решения начально-краевой задачи в области больших масштабов корреляции. Показано, что при определенных условиях интеграл Лойцянского является законом сохранения данной модели.
Ключевые слова: изотропная однородная турбулентность, замкнутая модель уравнения Кармана — Ховарта, группа преобразований, автомодельное решение, начально-краевая задача, разрешимость, асимптотические свойства решения.
Введение
Однородный изотропный турбулентный поток является классическим объектом исследований при моделировании развитой турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой с высокой степенью изотропии (см. [1, 2] и обзор литературы к этим работам). Отметим, что турбулентные течения характеризуются выравниванием процесса диффузии-возмущения и одной из основных задач в данном случае является определение законов затухания. В частности, это относится к вопросу об асимптотическом поведении при больших временах продольной двухточечной корреляционной функции флуктуации скорости ¿). Анализируя работы по динамике однородных изотроп-
ных турбулентных потоков, можно сделать вывод о неполноте математических исследований в этом направлении [2]. В настоящей работе изучается турбулентное движение с большими величинами скоростей пульсации, или с большими числами Рейнольдса, с использованием замкнутой модели уравнения Кармана —Ховарта, предложенной в [3, 4].
1. Уравнение Кармана — Ховарта
Уравнение Кармана — Ховарта для корреляционных функций поля скорости в однородной изотропной турбулентности имеет вид [5]
* Работа выполнена при финансовой поддержке программы Межрегиональные интеграционные проекты СО РАН (проект № 103).
(1)
где ^¿¿(г,= м/2/(|г!|,^), г = |г*11, и12 = 0,£) — интенсивность турбулентности. Для нормализованной корреляционной функции f (| гх |, уравнение (1) принимает вид
™|г'|-<) = (й^гщгм + ъ^тяы,*)) (2)
и представляет точное соотношение, связывающее нормализованную продольную корреляционную функцию f (|гх|,£) флуктуаций скорости и двухточечный момент третьего порядка Л,(|г1|,£), Система координат корреляционного пространства К3 = {г = (гх,г2,г3)} выбрана следующим образом: вектор г = х — х' совпадает с направлением оси гх; х € Я3 и х' € Я3 обозначают маркированные точки турбулентного потока в момент времени ¿. Уравнение (1) (или (2)) получается из уравнений Навье — Стокса после применения процедуры "осреднения" в предположении изотропии и однородности турбулентного течения (см., например, [5]), Появление градиента дБьь,ь/дг
-3/2
(дм'2(^) Л.(|гх |, ¿)/дг), который представляет собой дополнительную неизвестную функцию в правой части уравнения, является следствием нелинейности уравнений Навье — Стокса, Эта функция не может быть определена только из уравнения (1) без использования каких-либо дополнительных гипотез. Вопросу замыкания данного уравнения посвящено большое число работ (см., например, обзоры 1, 2), В работах [3, 4] использовалось предположение, что
Вьь,ь = (3)
дг
где коэффициент турбулентной вязкости предполагался пропорциональным произведению размера турбулентных вихрей на характерную скорость, т, е,
_ _
ут = к2г0111) Бьь = 2[и'2 - Вьь(г,г)}, и12 = Вьь(0,г), к2 = 5С<з/2 ■ (4)
Здесь — структурная функция второго порядка, С — универсальная постоянная, совпадающая с колмогоровской константой [5]. Отметим, что замыкающая гипотеза (4) по размерности величин не противоречит теории Колмогорова локальной изотропии турбулентных течений при больших турбулентных числах Рейнольдса (см, подробности в [3]), В работе [6] коэффициент турбулентной вязкости полагался равным (модель Миллионщикова)
Рт = К2^1/2т) ^2 = Вьь(0,г), (5)
что асимптотически совпадает с (4) па больших корреляционных расстояниях г, где Бьь ~ 0, Сравнение вычисленных по формулам (3), (4) и измеренных значений для тройной корреляции Бпоказало хорошее совпадение данных в пределах допустимых значений [4].
1.1. Группы симметрий, допускаемые уравнением Кармана — Ховарта
Для уравнения Кармана — Ховарта укажем две группы растяжений, допускаемых "невязким" представлением (2) (в пределе больших чисел Рейнольдса):
где / и к — соответственно нормализованные двухточечные двойные и тройные корреляции турбулентного поля скоростей. Уравнение (6) допускает следующие группы растяжений (см, [7, 8]):
Са1 : г* = г, г* = Са2 : Ь* = еа2 г, г*
еа1 г,
и
'2
е2а1и'\
г, и12 =е~2а2и12,
и группу переноса
Саз : г*
г + аэ,
г, и
'2
и
'2
/* = /, к* /* = /, к*
/* = /, к*
к,
к,
к,
(7)
(8)
(9)
где (а1; а2, аэ) — групповые параметры. В ипфипитезимальпом виде группы Са1 и Оа2 принимают вид
г) _ г) г) _ г)
(10)
д — д д — д Ха=г—+ 2и'2^, Ха2 = г— - 2и'2^. дг ди'2 2 т ди'2
Инфинитезимальные операторы Ха1 и Ха2 порождают двухпараметрическую группу точечных спмметрнй:
£^а1,а2 : г* Отметим, что
еа2 Ь,
еа1 г,
К
и
'2
е2(а1-а2) и/2
/* = /, к*
к.
(П)
ги
'2Э/2д//дг
г-3(а+1)/(а+3)
является дифференциальным инвариантом группы Оа1,а2. Таким образом, замыкающие соотношения (3), (4) не разрушают группу Оа1,а2. Последнее означает, что замыкание (3), (5) уравнения Кармана —Ховарта допускает интерпретацию в рамках групповой классификации незамкнутого уравнения (6). Другие инварианты группы Оа1 ,а2 имеют вид
£ =
Ь2/(а+Э)
/
и2/
г-2(а+1)/(а+Э) '
к
и
-Э/2к
г-Э(а+1)/(а+Э)
где а =
2а2 — 3а1 а1
(12)
1.2. Однопараметрическое семейство автомодельных решений
Двухпараметричеекая группа Оа1,а2 допускается "невязким" представлением замкнутой модели (3), (4) уравнения Кармана — Ховарта
<9ц/2(г)/(г,£) _ 1_д_ дг г4 дг
4 «л ~ди»Ш(г,г)
г 2к2г^и'2{1 - /)-—-
(13)
и инварианты (12) группы Са1,а2 позволяют ввести новые автомодельные переменные £,/: перемениая г "масштабируется" с помощью интегрального масштаба I а
г2/(а+э)
а интенсивность турбулентности и'2 ведет себя как и'2 ос ¿_2(°"+1)/(°"+3), Отметим, что группа переносов Оаз может быть использована в (13) для сдвига по времени.
Полученные инварианты позволяют уменьшить число переменных, и, как результат, уравнение (13) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (факторизация (13) по группе Оа1,а2)
2 к2 d
£5(1 — /)1/2
¿1
(14)
для которого ставятся краевые условия
£ = 0: /(£) = 1, £ — : /(£) — 0,
(15)
где
5
1
о + 1
(16)
о + 3' ' о + 3
Здесь о является параметром. Таким образом, параметр о порождает однопараметри-ческое семейство краевых задач (14), (15), Его физический смысл состоит в определении поведения продольной корреляционной функции на больших масштабах корреляции [9], Разрешимость нелинейной задачи на собственные значения исследовалась в [10], Для решения поставленной задачи применялся подход, разработанный в [11], который является обобщением некоторых методов теории возмущений. Решение задачи строится явно в виде (формального) ряда по специальному (полиномиального вида) базису разложения. Особенность данного метода в том, что он содержит управляющий параметр, позволяющий контролировать сходимость ряда. Кроме этого, коэффициенты ряда определяются рекуррентно и наличие еще одного параметра позволяет производить масштабирование коэффициентов для ускорения скорости сходимости. Тестирование метода проводилось сравнением полученного решения в рамках данного метода
о=0
Формальный асимптотический анализ поведения /при £ — то с учетом того, что (1 — /)1/2 — 1 при £ — приводит к следующей асимптотической форме уравнения (14):
2к2 d
(17)
В новой "масштабированной" переменной £ = (5/2к2)£ уравнение (17) записывается в канонической форме
1 с1
ы
£
9 ¿1
4
или
1 <1 ы
5
+ |§ + (а + 1)/ = 0, £ = 21^
(18)
При о + 1 € (0, 5) уравнение допускает везде убывающие положительные решения с алгебраической асимптотикой
/(£) = мг2^1)
..., М = eonst > 0;
о + 1 = 5
/ (£) = Ме-«2/4;
для о + 1 > 5 уравнение не имеет решений в классе положительных функций.
Рассмотрим снова задачу (14)-(16), В случае о = 4 уравнение (14) интегрируется явно (см. [3, 4]). Показатель о = 4 определяется из условия существования интеграла
Лойцянского [5]. Решение краевой задачи выписывается явно в виде обратной функции [3, 4]
~1 + (1 - /)1/2
£ = 7^2 1П
- 2(1 - /)
1/2
1 - (1 - /)1/2_
/
/(£) ~ ехр Для С > 1, /(£) ~ 1 - для £ ^
Непосредственная проверка показывает, что интеграл Лойцянского
(19)
(20)
А=и'2] г^{тМг = у епт 0 0
действительно сходится для данного автомодельного решения. Интенсивность турбулентности и'2(Ь) и интегральный масштаб 1г(Ь) ведут себя как
и
/2(г) а (Ь + а) 1 , I а (Ь + а)2/7, а € К.
(21)
Приведем геометрическую интерпретацию полученного автомодельного решения (19), Для этого перепишем (19) в виде
14к
-(1-/)1/2 + ^1п
1 + (1 - /)1/2 1 - (1 - /)1/2
Вводя новые переменные
х = £/14к2, у = /1/2, получаем хорошо известное уравнение трактрисы [12]
"а + (а2 - у2)1/2
х = х{у) = "(а2-у2)1/2+ | 1п
а - (а2 - у2)1/2
(22)
возникающее в дифференциальной геометрии. Кривая х = х(у) является образующей поверхности вращения Бельтрами [12], представляющей собой каноническую поверх-
-1
отноеительно плоскости уОг декартовой системы координат, получаем псевдосферу единичного радиуса (а = 1), которая является гиперболическим многообразием поето-
-1
точки, формирующие окружность потери гладкости многообразия. Параметрическое уравнение х = х(у) (или графика функции / ) имеет вид
х = 1п со! - — сое 9, у = вт 9, 0 < 9 <
п
Вращая эту кривую относительно оси Ох (или график функции / вокруг оси г1 в корреляционном пространстве К3, что допустимо в силу инвариантности решения относительно вращения и отражения), получаем универсальное накрытие поверхности Бельтрами
хш = х, уш = вт 9 сое ш, гш = вт 9 вт ш, -то <ш< то,
(23)
где ш — угол вращения плоскости ХУ, Значению угла 9 = п/2 соответствуют сингулярные точки поверхности. Таким образом, автомодельное решение / реализуется в корреляционном пространстве К3 как поверхность вращения отрицательной гауссовой кривизны (или двухмерное гиперболическое многообразие),
В следующем разделе показано, что полученное семейство автомодельных решений (параметризованных параметром о) являются предельным решением при £ — то соответствующих решений начально-краевых задач для уравнения (13),
Замечание 1. С учетом доказанного результата о геометрии автомодельного реше-о=4
цательной кривизны для решений соответствующей начально-краевой задачи. Данный результат является интересным с той точки зрения, что изучаемое уравнение является точным следствием трехмерных уравнений Навье —Стокса — его статистического аналога для однородной изотропной турбулентности. Как отмечено В,И, Арнольдом (в качестве гипотезы), при малой вязкости возможен выход решений уравнений Навье—Стокса на предельные режимы с экспоненциально неустойчивыми траекториями. Существование предельного множества со структурой гиперболического многообразия ведет к такому поведению траекторий. Итак, полученный результат может быть рассмотрен как практически физический пример реализации указанной гипотезы,
2. Начально-краевая задача
Исследуем детально начально-краевую задачу для изучаемой замкнутой модели уравнения Кармана —Ховарта в пределе больших чисел Рейпольдса,
2.1. Постановка задачи
В соответствии с пространственно-временной структурой автомодельного решения (па-
о
ботка решения [13] уравнения (13) имеет вид
вьь(г,г) = = (г + а3)-2(ст+1^+3)/(£ • (24)
где и'2(£) = (£ + а3) 2(ст+1)/(°"+3) и £ = г/(£ + а3)2/(ст+3). Тогда (13) преобразуется в уравнение
+ (25)
5/(е,т) = 2/са 5
дт е <эе
д №,Т)
дс
о + 4* д£ о + 3'
где т = 1п¿. Введем новую переменную д = 2£1/2, Тогда уравнение (25) запишется в виде
1 г Ж + ¿±1, (26)
дЦд.т) = 2к2 а
5т д9 дд
дд
о + 4 дд о + 3'
Будем также использовать следующий вид (26) для повой функции и =1 — /:
ди(£,т) 2к2 д 5т д9 дд
„9..1/2
Ч а Г)
дд
1 ди о + 1
+ г^-!)- (27)
о + 4^ дд о + 3
Полученное уравнение принадлежит классу уравнений нелинейной фильтрации.
Ввиду автомодельного представления ¿) изучается следующая начально-краевая задача для (26):
/Ыо) = Ш при д > 0, (28)
/(0, Ь) = 1 при д = 0, Ь > 0, (29)
/(д,Ь) ^ 0 при д ^ то, Ь > 0. (30)
Физический смысл имеют положительные всюду в [0, то) х [0, то) функции / такие, что для д > 0 / < 1,
2.2. Существование и единственность решения
Сначала докажем существование и единственность слабого решения задачи (26), (28)-(30), Затем покажем, что в области Q = (д > 0,Ь > 0) полученное слабое решение удовлетворяет уравнению (26) в классическом смысле. Чтобы ввести в рассмотрение слабое решение задачи, перепишем (26) следующим образом:
д£ _ 2 к2 д дт д9 дд
• 92Э(1-/)3/2
3 дд
1 д(д/) (а + 3) + 2(а + 1)(а + 4)
а + 4 дд
(а + 3)(а + 4)
/.
(31)
Введем следующее определение.
Определение 1. Функция /(д, т), определеныая в Q, называется, слабым решением задачи, (26), (28)-(30), если для, любых 0 < т1 функция / является, неотрицательной и ограниченной сверху единицей, / € С([0,т^],С[0, то)) и удовлетворяется, интегральное тождество
Т1 92
о Я!
я Лд9ф) _ (а + 3) + 2(а + 1)(а + 4) (т + Г дд (<т + 3)(<т + 4)
/д9ф > ^д^т = 0
(32)
для, всех неотрицательных пробных функций ф € С2,1 ([д1, д2] х [0, т]) с компактным носителем, в (д1, д2) х (0, т1) для, 0 < д1 < д2 < то, 0 < т^ < той, кроме того, выполняются начально-краевые условия (28)-(30).
Меняя знак равенства, в интегральном тождестве на, < (>), определим, слабое верхнее (нижнее) решение задачи.
Итак, будем предполагать, что /0(д) — непрерывная положительная функция такая, что для всех д > 0 /0(д) < 1.
Лемма 1. При выполнении вышеприведенных условий на, /0(д) слабое решение задачи (26), (28)-(30) существует.
у= 2г1/2 и и = и'2(Ь) -^¿¿(у, ¿), где для и(у,Ь) имеем
уравнение
дЬ у9 <9у ^ <9у <9£
(33)
в котором и/2(Ь) совпадает с автомодельным представлением, указанным выше. Уравнение дополняется следующими начально-краевыми условиями:
и(уЛ) = ад, у > 0, (34)
и(0, Ь) = 0, Ь > Ь0, (35)
у —У то. (36)
Предположим, что 110(у) £ С[0,оо) и 110(у) > [/5(г/,£0), и0(у) < и/2(£о)- Здесь С/"3(у,= и/2(£) — В&ьь(у,1), где В&ьь(у,1) = и/2(£)/(£) — автомодельное решение задачи (14), (15), Аппроксимируем (33)-(36) семейством задач
дип 2к2 д дЬ у9 ду
в Qn = (п-1, то) х (0, Т), Т > 0 п = 2, 3,..., с начально-краевыми условиями
ип(уЛ) = Ц)(у), у > п-1, (38)
С/га(п-1^) = С/0(п-1), ¿>¿0, (39)
ип(у,г) ~^и'2(1), у у то. (40)
В силу предположений и'2(Ь0) > и0(у) > и5(у,Ь0), где и5 — положительная функция, и теоремы сравнения получаем, что 113 является нижним решением для 11п(у,1) при каждом п, соответственно ип(у,Ь) < и/2(Ь), вде и'2(Ь) — верхнее решение. Существование и единственность приближенных решений ип(у,Ь) € C2,1(Qn) П С(<5п) есть следствие классических результатов [15], которые гарантируют, что ип(у,Ь) € С2,1(Qn) П С(<5п) Действительно, на боковой границе (п-1,Ь), Ь > Ь0, вде ип(п-1,Ь) = и0(п-1) > и5(п-1,Ь0), имеем ип(п-1,Ь) > и5(п-1,Ь), так как и5(п-1,Ь) < и5(п-1,Ь0), Отсюда в силу принципа максимума на ип(у,Ь) получаем оценку снизу, что гарантирует невырожденность уравнения и, следовательно, принадлежность ип(у,Ь) вышеуказанному классу. Внутренние шаудеровекие оценки [14] решения обеспечивают ограниченность производных и^(у,£) и ипуу(у, Ь) внутри Qn, Следовательно, существует такая подпоследовательность пк — то, что ипк — и равномерно на каждом компактном подмножестве из Более того, в окрестности любой точки (у,Ь) € вде и(у,Ь) > 0 (т.е. где уравнение не вырождается), имеем равномерную сходимость производных ипкг — и^, ипку — иу и ипкуу — иуу. По непрерывности можем продолжить полученную функцию и(у,Ь) вплоть до у = 0 и у —> то. Действительно, принимая во внимание, что Ит^оо 11п(п~1, ¿) = 0, получаем 11(0,1) = 0, а II (у,Ь) —>• и/2(£) при у оо, так как и5(у,Ь) < ип(у,Ь) < и/2(Ь) и и5(у,Ь) = и/2(Ь). Определим и(у,Ь) при Ь = Ь0, выби-
рая диагональную последовательность {ипк(у,Ь5)}, — Ь0, которая сходится к и0(у). Следовательно, и(у,Ь) € С([0,Т],С(Я+)) для Т < то, что позволяет найти функцию /(?, т) € С([0, Г1], С(Д+)) согласно формуле /(<?, т) = 1 — и/2(£) и(у,Ь). Полученные оценки на и (у, Ь) означают, что 0 < / (д, т) < 1, Проверка того, что / (д,т) удовлетворяет интегральному тождеству, является элементарной.
Лемма 2. Слабое решение задачи (26), (28)-(30) единственно.
Доказательство единственности основывается на технике, разработанной для уравнений нелинейной фильтрации. Записывая интегральные тождества для слабых ре-и1 и2
и1 - и2
снмметрпчных решений многомерного уравнения нелинейной фильтрации. Дальнейшие детали опускаются.
у9ип/2
дЦп ду
ди'2(г)
т
(37)
Лемма 3. В условиях леммы, 1 слабое решение задачи (26), (28)-(30) является классическим решением уравнения (26).
Для доказательства достаточно установить неравенство f (д, т) < 1 при д > 0 или показать, что и(у,£) > 0 при у > 0. Предположим, что существует точка (у0,£0) такая, что и(у0, £0) = 0. Из леммы 2 следует, что решение и(у,£) строится как предел последовательности ип(у,£), где ип(у,£) — решения соответствующей задачи (37)-(40). Тогда для любого достаточно малого е, выбирая п достаточно большим, заключаем, что ип(у0,£0) < е. Нижнее решение ия для ип в любой внутренней точки Q является положительной функцией, что означает и5(у0,£0) > 6 > 0 для некоторого 6, Так как ип(у,£) > и5(у,£) для всех ме является произвольно малым, приходим к противоречию.
2.3. Асимптотические свойства решения
Прежде всего изучим поведение решения задачи (26), (28)-(30) при больших значениях времени. Отметим, что стационарные решения уравнения (26) удовлетворяют уравнению
2К2 д
д9 дд
д9 г,-?<9/(д,т)
дд
1 .Л + 3°±1, = 0. (41)
о + 4 дд о + 3"
Слабое стационарное решение соответствующей задачи определяется так же, как в определении 1, в котором интегральное тождество заменяется на выражение
92
91
4 .да _ (. + 3) + 2(г+1)(г + 4) ^ _
о + Г дд (о + 3)(о + 4)
где ф € С2([д1, д2]), с компактным носителем (д1, д2) для любых 0 < д1 < д2 < то. Отметим, что автомодельное решение f (д) = /(£) является также слабым решением.
Лемма 4. Полученное слабое решение f задачи, (26), (28)-(30) сходится к стационарному решению (автомодельному решению f) задачи при £ — то в норме Ь1(д1,д2).
Обозначим через f (т) = f (т, •) орбит у Орбита f (т) является равномерно-ограниченной в Ь1(Д+) П Напомним, что уравнение (26) допускает группу переноса т
Т1 92
9
ЫЯ,Т + а„)^1> + 2к2|(1 - Я* г +
0 91
_Я_г( , ^(д9ф(д,т)
~—1Мт + ап)—д--
(а + 3) + 2(<т + !)(* + т + ^^ т) 1 ^ = о>
(о + 3)(о + 4)
где приняли ф(д, т) = ф(д)п(т), Устремляя ап — то, получаем последовательность f (тп) = f (д,т + ап), которая является относительно компактной в в С1ос(Я+),
Последнее следует из соответствующих результатов [15], полученных для уравнения нелинейной фильтрации с учетом того, что в области Q справедливо неравенство
2к2 д Щ < —- —
У9 дУ
дУ
Следовательно, можно перейти к пределу и получить ^-предельное множество и(/) = {/* € П Сгос(Я+) : Зтп - то такое, что /(т^.) - /*}.
Далее, переходя к пределу в (43) при ап. — то, убеждаемся, что справедливо равенство
92 91
д(д» (а + 3) + 2(а + 1)(а + 4)
_ у ■ д м ^у^ ^ = о. (44)
а + Г дд (а + 3)(а + 4)
Интеграл
Т1 92
0 91
ввиду равенства нулю п(т) при т = 0 т = т1ъ теоремы о повторных интегралах. Таким образом, неотрицательная ограниченная функция /*(д) удовлетворяет уравнению (41) в слабом смысле. Более того, предельная функция и*(д) = 1 — /*(д) является положительной для д > 0, Последнее означает, что функция / *(д) дифференцируем а при д > 0, Эта функция стремится к нулю на бесконечности в силу неравенства /(д, т) < / (д) и равна единице при д = 0. Тогда из леммы 2 следует, что /* совпадавт с / ,
Теперь изучим поведение полученного решения /(д, т) при д — то. Учитывая, что /(д) — верхний барьер для /(д,т), т. е, /(д,т) < / (д), и принимая во внимание асимптотики
/(д) = М1д-2(ст+1) + ... , д > 1 для а + 1 € (0, 5), /(д) = М2в-92/4 + ..., д » 1, /(д) = /(£) дляа + 1 = 5,
где константы зависят только от к2, получаем скорость сходимости /(д,т) к пулю при д — то. Напомним, что физический интервал вариаций значений а определяется замкнутым отрезком [2, 4]. Функция / в перемениых (£,т) убывает по крайней мере как дЛЯ сг < 4 и ехр(—£) при £ —у то для <т = 4, Таким образом, для и € [2, 4] можно гарантировать, что функция Д^(г, ¿) = и'2(£)/(г, ¿) при каждом фиксированном значении момента времени £ = ¿* убывает быстрее чем г-2 на бесконечности, что совпадает с физическими требованиями о поведении продольной корреляционной функции на больших масштабах.
Пусть <7 = 4, Тогда соответствующее данному значению автомодельное решение В£ь(г, ¿) = М'2(^)/(С) обеспечивает сходимость интеграла Лойцянекого Л, Этот интеграл не зависит от времени, т, е, инвариантен. Нормализованная корреляционная функция /(£) является верхним барьером для функции /, построенной в лемме 1, Следовательно, интеграл
те
„4
Л = м'2(^М г4/(г,^г (45)
д
для данной функции существует и может зависеть от времени ¿.Докажем, что Л является инвариантом. Сначала покажем монотонность полученного решения.
Лемма 5. Пусть ^¿¿(г, ¿) — решение, построенное в лемме 1. Предположим, что ¿0)/дг < 0. Тогда Д^(г,¿) является монотонно убывающей функцией по переменной г.
Нетрудно проверить, что ип принимает минимальное значение на боковой границе (п-1, ¿) прямоугольника Qn. Так как уравнение
dUn 2к2 д
dt у9 dy
y9Ul/2
dUn
ду
du'2(t) <9i
допускает дифференцирование по у, то применение принципа максимума для (y,t) завершает доказательство леммы.
оо
Лемма 6. Пусть Л(0) = J r4BLL(r, 0)dr < сю. Тогда, dЛ(t)/dt = 0 для, вс ext £ [0, то).
о
Умножая уравнение
dBLL (r,t) _ 2К2 d
dt
r4 dr
r4 ir^u'2(t)-BLL(r,t)
dBLL(r,t) dr
на r4 и интегрируя eго по r в Q, получим
А dt
s4BLL(s,t)ds = s^u'2(t) - BLL(s,t)dBL^%t)
Для доказательства леммы достаточно показать, что правая часть приведенной формулы сходится к нулю при г — то. Далее воспользуемся соотношением
те
„ , .ч Г дВьь{з Вььуг, ¿) = - -—-йз,
г
которое определено в силу того, что ^¿¿(г, ¿) — 0 при г — то. Умножая это равенство на г4, получим
4D / .4 4 f dBLL(s,t) Г BLL(r,t) = -Г --
ds — 0 при r — то
равномерно по t. Поскольку dBLL(s,t)/ds < 0, получим оценку
2r
—г4 I ———^————ds = —г^
dBLL(s,t)
ds
dr
< e
для произвольно малого е, г ^ 1 и 5* £ (г, 2г). Кроме того имеем оценку
— (2г)5 ЗВ^(^¿)/Зг|г=5* < 25е. г
мость
при г ^ то (в* ^ оо) независимо от ¿. Следовательно, справедливо равенство
д
те
^ У г4вьь(г,г)(1г = о. 0
Покажем, что поток Ф = и 1/2ди/ду является ограниченной функцией в (т = [0, то) х [0,Т], 0 < Т < то .
Ф
Пусть выполнены условия, сформулированные в леммах 1 и 6, Напомним, что поток Ф(у, ¿) определен в (т П {у > 0} ввиду положительности и(у,£). Слабое решение и задачи (33)-(36) допускает дифференцирование по у и ¿в Следовательно, производная ди/ду у > 0
ниченноеть производной ди/ду в каждой внутренней подобласти (т = [5, то) х [5, Т], 5 > 0, есть следствие классических результатов [14], Отметим, что оценка функции
зависит от расстояния до боковой границы (0, ¿) множества (т и тах Ф(у, ¿0), у € [0, то). Чтобы доказать ограниченность Ф вплоть до границы (0, ¿), сначала установим, что поток определен в точках (0, ¿), Затем оценим Ф на границе (0, ¿), Прежде всего получим оценку на и вблизи границы (0, ¿), Для этого вместо и рассмотрим функцию
V = зи1/2,
которая является аналогом "масштабированной" функции давления в теории уравнений нелинейной фильтрации. Обозначим через и + решение уравнения
ди+ 2к2 д
д£ у9 ду
Л/+1 /2^' ду
(46)
Тогда и + > и (следовательно V + > V) в силу теоремы сравнения при соответствующих начально-краевых условиях для и Функция V + удовлетворяет уравнению
дV+ , (д2V+ 9 \ (дV+ \2
~аГ= К2 \~а?~ + ~у) \~siJ ■ (47)
которое в (т имеет следующее семейство автомодельных решений {дс(у,£)} [16]: 0сЫ)= у2^(сп)/(т - ¿), п =(Т - ¿)уа, 0 < £ < Т.
Здесь с — произвольная положительная константа, функция < = <(п) _ решение нелинейного вырождающегося обыкновенного дифференциального уравнения 2
+ «V)2 - |(20 - а)/Г V + 14?Г2^2 - Г2^ + ТУ = 0
с начальными условиями <(0) = 0 и <'(0) = 1, где а — положительный параметр такой, что дс(у,£) является возрастающей функцией, В работе [16] доказано, что существует а* такое, что <(п) > 0 П > 0 для а < а*, где а* удовлетворяет неравенству 7/5 < а* < 2. Отсюда получаем 0 < 2 — а* < 3/5. Таким образом, #с(0,£) = 0 для £ € [0,Т] и
дс(у,Т) = су2-а ввиду граничных уелов ий для <^(п) при п = 0 Более то го, дс(у,£0) = с*0у2-а{1 + о(1)} при у — 0, Отметим, что автомодельное решение [/5(у,£) при о = 4, переписанное в терминах функции Vведет себя как Су2/3 вблизи у = 0 (С — некоторая положительная константа). Принимая значения а по крайней мере в интервале [7/5, а*), получаем, что существует с* такое, что дс* (у,£0) > У5(у,£0) для у < 1, Так как V5 —
ограниченная функция (V5 < 3-у/и/2(£)), а дс(у,¿о) —> оо при у —> оо, то существует с** > с* такое, что дс»»(у, £0) > Vs(y, £0) дая у € [0, оо), Выберем функцию дс**(у, £) для оценки V (у,£) вблиз и у = 0, Для этого в дополнение условиям леммы 1 предполагаем, что V(у, £0) < дс** (у, £0) дая у € [0, о). Отметим, что в силу вышеприведенных рассуждений это неравенство является совместным с неравенством V(у,£0) > Vs(y,í0), Установим оценку V(у,£) < дс** (у,£) дая £ € (£0,Т] и у < 1, Применение теоремы сравнения дает требуемый результат. Итак, получаем
с** 2
V < с**у2~а < с**у3/5 и 0 < и < — у6/5. (48)
Отсюда следует, что производная Зи/Зу определена для у = 0 и Зи/Зу < сош! • у1/5 в окрестности (0,£), а для потока Ф верпа оценка
0 < Ф(у,£) < сог^ • у4/5
для у < 1 и Ф(0, £) = 0,
Таким образом доказана следующая лемма.
Лемма 7. Пусть выполнены условия лемм 1 и 6. Предположим, что в начальный момент врем,ени, Ф(у,£0) < о для у € [0, о) и V(у,£0) < дс** (у,£0), у € [0, оо), о = 4. Тогда, 0 < Ф(у,£) < К < оо для, (у,£) € Qт, где К зависит только от шахФ(у,£0).
У>0
Кроме того, Ф(у,£) < соп^ • у4/5 для у < 1 м Ф(0,£) = 0.
Замечание 2. Физически допустимые значения о принадлежат интервалу [2, 4], Обозначим через /а семейство решений начально-краевой задачи (26),(28)-(30) для о € [2, 4], Применяя теорему сравнения к решениям и получаем, что /а>(у,£) < /а" (у,£) о ' < о'' при соответствующих начально-краевых условиях, что позволяет получить оценку (у,£) дая о < 4 вблизи границы (подобную (48)), используя результаты леммы 7,
Заключение
о
уравнения Кармана —Ховарта в пределе больших чисел Рейнольдса, Показана корректность постановки изучаемой начально-краевой задачи. Дана геометрическая интерпретация автомодельного решения задачи в случае о = 4, которое формирует в корреляционном пространстве векторов каноническую поверхность вращения отрицательной кривизны. Исследованы асимптотические свойства поведения решения задачи как для £ — о так и при г — о. Получены достаточные условия сходимости интеграла Лойцянского и его инвариантности.
Автор выражает благодарность проф. Г,Г, Черных за полезные дискуссии на предмет настоящей работы.
Список литературы
[1] Костомаха В.А. Экспериментальное моделирование изотропной турбулентности // Динамика сплошной среды. 1985. Т. 70. С. 92-104.
[2] Chernykh G.G., Korobitsina Z.L., Kostomakha V.A. Numerical simulation of isotropic turbulence dynamics // IJCFD. 1998. Vol. 10. P. 173-182.
[3] Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Об одном способе замыкания уравнения Кармана — Ховарта // Динамика сплошной среды. 1976. Т. 27. С. 124-130.
[4] Oberlack М.. Peters N. Closure of the two-point correlation equation as a basis for Reynolds stress models // Appl. Sei. Res. 1993. Vol. 55. P. 533-538.
[5] Хинце И.О. Турбулентность. \L: Физматгиз, 1963.
[6] Миллионщиков М.Д. Изотропная турбулентность в поле турбулентной вязкости // Письма в ЖЭТФ. 1969. Т. 10. С. 406-411.
[71 Oberlack М. On the decay exponent of isotropic turbulence // pa MM. 2000. Vol. 1. P. 101-104.
[81 Gre benev V.N., Oberlack M. A geometric interpretation of the second-order structure function arising in turbulence // Math. Phvs. Anal. Geom. 2009. Vol. 12, No. 1. P. 1-18.
[91 Rotta J.C. Turbulente Strömungen. Teubner, 1972.
[101 Llu z-> Oberlack M., Grebenev V.N., Liao S. Explicit series solution of a closure model for the von Karman — Howarth equation by means of the homotopv analysis method // ANZIAM J. 2010. Vol. 52. P. 179-202.
[Ill Liao S. Beyond of Perturbation: Introduction to Homotopv Analysis Method. Boce Raton: Chapman and Hall/CRC Press, 2002.
[121 mlchenko A.S., Fomenko A.T. Lectures on Differential Geometry and Topology. Moscow: Factorial Press, 2000.
[131 Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.D. Blow-up in Quasilinear Parabolic Equation. Berlin, New York: Walter de Gruvter, 1995.
[141 Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1968.
[151 Vazquez J.L. Porous Medium Equation. Oxford: Oxford Sei. Publ., 2007.
[161 Aronson D.G., Graveleau J.A. Self-similar solution to the focusing problem for the porous medium equation // Europ. J. Appl. Math. 1993. Vol. 4, No. 1. P. 65-81.
Поступила в редакцию 9 февраля 2011 г., с доработки — 1 марта 2011 г.
