CC BY
14
УДК 532.517.4
O.A. Пыркова, A.A. Онуфриев, А. Т. Онуфриев
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Поведение скорости в однородном изотропном турбулентном потоке
*
на начальном этапе
Рассматривается поведение скорости в однородном изотропном турбулентном потоке на начальном этапе в модели потока с учетом явления перемежаемости (чередования в потоке турбулентного и вязкого режимов). Для каждого из режимов существуют инварианты Лойцянского и автомодельности: колмогоровская для турбулентного режима и по Миллионщикову для вязкого. Характер вырождения скорости в первые моменты времени качественно совпадает с экспериментальными данными.
Ключевые слова: однородная изотропная турбулентность, перемежаемость, вырождение скорости.
I. Введение
Неустойчивые движения вязкой жидкости, широко распространенные в природе (движения воздуха в атмосфере, течения воды в океанах, морях, реках, каналах) и технических устройствах (течения в водопроводных трубах, в газопроводах, турбинах, насосах и компрессорах, в соплах ракетных и реактивных двигателей), при которых малые вначале возмущения растут, существенно изменяя характер начального движения, приводя его к хаотическим изменениям по времени и координатам, при которых могут быть выделены статистически точные их осредненные значения [1], называют турбулентными. Имеет место представление о непрерывном потоке энергии из крупномасштабных турбулентных областей в мелкомасштабные, где вязкие напряжения приводят к диссипации кинетической энергии этих движений в тепло. Без наличия внешних источников энергии турбулентные движения вырождаются. Действие вязкости кроме того приводит к тому, что турбулентность становится более однородной и менее зависит от направления.
Одним из первых экспериментов было измерение вырождения кинетической энергии турбулентности [2]. Оказалось, что на некотором промежутке расстояний х от решетки энергия рассеивается как
и-2 ~ (х — хо), (1)
и — среднеквадратичное значение компоненты пульсационной составляющей скорости (парал-
хо
Начальным периодом вырождения назван период времени, для которого справедлив закон вырождения (1), т. е. кинетическая энергия (в единице объема жидкости) обратно пропорциональна времени, отсчитываемому от (условного) момента, в котором энергия была бы бесконечно большой.
Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП 2.1.1/11133) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры
На больших расстояниях рассеяние энергии становится более быстрым, чем это следует из формулы (1).
Полученные при ряде предположений зависимости для начального периода вырождения скорости приводили в своих работах Хинце [1], Седов [3].
В настоящей работе принимается модель потока как смеси двух режимов [4, 5]: турбулентного (т), взятого с весом, равным значению коэффициента перемежаемости 7 = р1, и вязко го (и), взятого с весом (1 — 7). При этом для одноточечной Р1 и двухточечной Р2 плотностей вероятностей принимается:
Р = 7 (Рі)т + (1 — 7) (Рі)„
И р2 = 7 (р2)т + (1 — 7)(Р2)„ ■
Тогда
и2 = ги\ + (1 — 7) и1. (2)
При изучении динамики изотропной турбулентности используется уравнение Кармана-Ховарта [1,2,6], связывающее величины продольных корреляционных моментов второго Бьь = и2/ (/(г,Ь) — продольный коэффициент корреляции второго порядка) и третьего порядков Б^ь,ь = = и3к, (к(г,Ь) — продольный коэффициент корреляции третьего порядка), в качестве исходного соотношения:
дБЬЬ = 1 д I 4 I Б
дЬ г4 ' дг
LL,L
+ 2v-
дВ
LL
дг
(3)
здесь V — коэффициент динамической вязкости, г — расстояние между точками.
Следует отметить, что уравнение (3) незамкнуто, поскольку представляет собой одно соотношение, связывающее две неизвестные функции.
В случае однородной изотропной турбулентности непосредственно из уравнения (3), умножая его на г4 и интегрируя по г от 0 до то, получается
«Развитие научного потенциала высшей школы» (проект инновационной России на 2009-2013 годы».
соотношение [1,2,6]: д
— lu2 (t) J r4 f (r,t) dr I — (u3 (t) r4k(r, t))
= 2uv2{t) (V f
Принято считать, что все корреляции скорости при однородной турбулентности на больших расстояниях между двумя точками убывают по экспоненциальному закону, т. е. f стремится к нулю при r ^ то быстрее, чем r-5, и lim (r4 ) = 0- Что
же касается r4k(r, t), то его полагают тоже обычно
r
растает. Отсюда Лойцянским [7] был получен вы-
О
вод о том, что величина u2(t) f r4f (r,t) dr = Loi =
о
= const. Обычно этот интеграл называют инвариантом Лойцянского. Принимается [1], что (Loi)T ~ и2Л5 и (Loi)v ~ u?v А5, Л
дольный интегральный корреляционный масштаб
А
микромасштаб (вязкий режим).
Ради справедливости следует учесть замечание Хинце [1] со ссылкой на работы Бэтчелора и Пра-удмена, что в однородном неизотропном потоке lim (r4k(r, t)) = 0, т.е. в общем случае Loi =
Г—Ю
= Loi(t) и не является инвариантом.
В рамках модели, использующейся в настоящей работе, принято гипотетическое соотношение Loi(t) = y(Loi)T + (1 - y) (Loi)v.
II. Автомодельное решение в чисто турбулентном режиме
При очень больших значениях числа Рейнольдса Re «интервал энергии» и «интервал диссипации» далеко отстоят друг от друга.
В отсутствие вязкости V = 0, уравнение Кармана-Ховарта (3) принимает вид
ОБьь
дt
Для замыкания уравнения (4) используется градиентная гипотеза Ю.М. Лыткина и Г.Г. Черных [8] для режима колмогоровской турбулентности в инерционном интервале, выражающая момент третьего порядка Бьь,ь через момент второго порядка Бьь:
Бьь,ь = 2КТ , (5)
дг
где Кт — коэффициент турбулентной вязкости. Это позволяет получить автомодельное решение для режима чисто турбулентного движения.
Кт
жением [9], принятым в виде аппроксимации на основе развиваемой полуэмпирической модели переноса в соответствии с рядом предельных соотно-
/Г
шении: перехода к одноточечному описанию = = то), инерционного интервала и предельного перехода при Л ^ 0, где оно совпадает с выражением по Ю.М. Лыткину, Г.Г. Черных [8,10]:
2K+ =
V 3a1
продоль-
здесь Вьь = 2и1 (1 — /т) = С(єг)2/3 ная структурная функция, /т (г,Ь) — продольный
коэффициент корреляции второго порядка, є —
т 11 1
скорость диссипации, т2т = — • —-¡= ■ —, =
— время релаксации при двухточечном описании, Вц = Вьь + N — нормаль к т, С, а аь
ф1 — постоянные. В работе [6] на основе многих экспериментальных данных предложено значение С = 1.9.
Запись уравнения (4) с учетом (6) в виде
д {и2т/т (£1)) =1 1 о (/.42К д (:аТи (£0Л
дЬ £4 ■ Лт д£1 I412Кт д£1 Г
дает Bd£i =
г 2
где £1 = Л при б = 7 • -2^2
= VI—и ^
Решение последнего уравнения при граничных условиях /т|^1=0 = 1 /Т|?1=то = 0 имеет вид [8]:
B£i = —2\/l — (т+
+ ln (і + y/l — fT^ — ln (1 — V71 — f^ .
fT =
( 3 4 2/3
= exp(—B£i) при £1 ^ œ; 1 — fT ^ (§ B£ij при £i ^ 0.
В предположении существования инварианта Лойцянского:
по Колмогорову: —2
и0
[6Д1].
(Loi)T ~ u2 Л5 = const, ,2
(6)
1 л = ( t_\2/7
t w/T' Л \toJ
t
III. Автомодельное решение в чисто вязком режиме
В режиме чисто вязкой турбулентности, т. е. предельном случае, когда влияние вязкости становится преобладающим, согласно гипотезе Мил-лионщикова можно положить Bll,l = 0, и уравнение (3) принимает вид
—B
LL
LL
—t
= 1 д f 42 —B
r4 ' дг r 2v дг
Уравнение (7) замкнуто.
Существует инвариант Лойцянского:
(Loi)j,
u2v A5
const .
Имеют место следующие зависимости: —2 =
—0
1 Л _ / і Л
і б/2> Ло = V Ьо’ Ло
т0
где ^0
1
2'
Решение уравнения (7) ищется в виде (Бьь)^ = = и1>/и (£), где £ = Г- При этом уравнение (7) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению й (£5/ (£)) = й ^£4 ) с гранич-
ными условиями /т|^=о = 1 /т |5=то = 0. Его решение / (£) = ехр ^ описывает предельный
вязкий режим вырождения.
IV. Коэффициент перемежаемости
Рассматривая взаимодействие между молекулярным и турбулентным обменами в турбулентном пограничном слое [12], Л.Г. Лойцянский, по существу, ввел выражение для коэффициента перемежаемости:
7 =1 — ехр(—с1Д),
(8)
где с1 — постоянная, параметр Я = К+ = —Г-Имеем
(£ьь)1/2
2К+ =
ГЛ
1
Л
"3“і “ ■'Ш ,/і+¿л
2/7
і^(г) - 2Г(г)
1 /Ь\2/7 2Г (г)
і\5/Ч Ьо)
І0) VЧ
Для развитого турбулентного потока из (7) по-
лучаем
7 =1 — (1 — сіК+) = сіК+
сі Г (г)
±^3/7 ' І0
(9)
И так как величина коэффициента перемежаемости 7 с ростом времени стремится к нулю [4], то в соответствии с (5) Ьо1(£) стремится к (Ьо1)^. Это согласуется с выводом Седова [3] о том, что величина интеграла Лойцянского меняется с течением времени и поэтому, вообще говоря, не может рассматриваться в качестве характерной постоянной. И только на заключительном этапе вырождения интеграл Лойцянского становится инвариантом, когда принимает значение, равное (Ьо1)^.
V. Вырождение скорости на начальном этапе
Принято, что ии = ит = и0 в начальный момент времени (при £ = ¿0). Для изучаемой модели зависимость для скорости от времени в самом начале движения (при ^ — 1 ^ 1) можно рассматривать как следующую из колмогоровской автомодельности при большом значении числа Рей-
2 , н 10/7
нольдса Ие [11]: Ц- = (-¡-\ . Это соотношение
было получено при Ие = то, или коэффициенте динамической вязкости V = 0.
Из уравнения изменения энергии = —£>
к3/2
где скорость диссипации энергии £ = (2с) д , (2с) = 0.412, и инварианта Лойцянекого итЛ5 = = и0Л5, т.е. К Л5 = К0Л5, получае м =
= — (2с) = — (2с) пз/т (тЛН /' 0ткУДа
й—— = — (2С)
—17/Ю С) —-----т-пг, ИЛИ
І-0
й—
= —(2с)
йі
Ло—п1/Б '
ЮЛ- к17/1° лол0
Интегрируя последнее обыкновенное дифференциальное уравнение с разделенными переменными, получаем 10 л7/10 = (2с) -—„ 1• Ис-
Л о —П/5'
ходя из того, что в начальный момент
1
—
7/П 0
= 0.7(2с) = 0.7(2с)
і 0
Л0—п/5 ’
можно записать
1
—7/п0 —7/п
і 0 - і
гП/Ъ
Ло—о
—7 = _о 7(2С) і — і о Кі/2
—7/П0 °л(2с) Л 0 К0 >
1-
или
—
7/п0
—7/
п0
1+
+ 0.7(2с) К01 ■ А так как турбулентная энер-
гия К = 2ит [6], то из вышеизложенного следует:
і/2
1 + (2с) і/3 и^ . ]_(1 — 1 ' 'V 2 Ло 10 V Ьо
іо/7
■
Из сопоставления при Ие = то решений по спектру Кармана и Лыткина-Черных = 0.351
[8]. Тогда из (8) следует
Ьо 1
іо/7
Ьо)
іо/7
что совпадает с соотношением Колмогорова.
Для других значений чисел Рейнольдса в силу зависимости Иео = Кел|4—¿0 = —^ =
= —ЛТ’ Учитывая! чт0 Ло = —10—її, получим Иео = —^ = —Лі0 Откуда
—^ = ЙеТ (10Вел™а Л = Л (Ке^)
определяется по интерполяционной зависимости обобщенной модели Кармана для спектра [13]. В начальный момент времени = 1.23 +
+ 0.0351у/Кео (л/Иео — 1). Для согласования значений постоянных и используемых аппроксимаций в выражении ЛЛ принято значение постоянной 0.0351 вместо 0.040 у Дрисколла и Кеннеди. Таким образом,
иоЬо
Ло
12.3 0.351 \
--+0.351 — —= ^ео л/Кео)
і
(Н)
При іоо — 1 ^ 1 Р&складывая выражение в пра-
вой части (8) в ряд по степеням ( і~ — 1) и учиты-
2
1
2
и
о
2
и
2
и
о
2
и
вая (11), получаем
-0 = 1 + м- — 1
где А = (2с)
Иео
(12)
И при -Д-
к и -г о
2 ^ 12.3 + 0.351 Иео — 0.351
0.502 (что отвечает Ие0 ~ 63, со-
ответственно А = 1) из ((2) полнчаем приближен-
ное равенство
и-
1+
г
1=
г
То-
При иных
и \г 0
значениях числа Рейнольдса это соотношение — приближенное. Мерой неточности может служить продолжительность начального периода.
Как показывают расчеты (рис. 1), значение величины (2с) у/Г| иД- • 10, равной 0.7А, при числах Рейнольдса, превышающих 800, становится близко
(н
вуюгцих — 1^ ^ (0; 0.5), с точностью до 4% за-
-
висимость отношения Ц- от Т- продолжает оставаться линейной (рис. 2). Это согласуется с предположением Бэтчелора об универсальности закона убывания энергии на начальном этапе вырождения однородной изотропной турбулентности.
Рис. 1. Зависимость коэффициента А * 0.7 от числа Рейнольдса И,ел
т
и
Рис. 2. Вырождение скорости на начальном этапе для И,ел = 1000
VI. Дальнейшее поведение скорости
При малых значениях Иед в потоке происходит поочередная смена турбулентного и вязкого режимов. В рамках применимости степенных зависимостей согласно принятой в настоящей работе модели из (2) и (9) получаем
U Urp ч и,,
-2 = 7 • -T + (1 - 7 ) • -2 ;
1
7 = 70
Для чисто турбулентного режима, как отмеча-
лось ранее, справедливо
ит _______
Uo
1
(t/to)
10/7 •
В те-
и
чение длительного промежутка времени — —
и
- 70 ,Д 3/7 • Л 1 0/7 - Л 13/7 , Т-е- 3аТУ-
(t/t0)3/7 (t/to)
(t/t0)
13/7
1
(t/t0)o
зави-
хание скорости пропорционально
симости, указанной в работе [14]. С ростом времени степенные зависимости становятся непригодны, что видно по зависимости от времени I для отношения Д: Д —> 1.23 [1]. Используя инварианты Лойцянского, получаем Щг = (Д- I
Uv
и
и0
1
(t/t0)
5/2 Щ11 to
Кроме того, из-за убывания со временем коэффициента перемежаемости (9) величина 7 •и^ с не-
и-
которого момента времени становится меньше ве-
т.е турбулентный режим
личины
1
)5/2 !
—0 (і/іо)
затухает быстрее вязкого.
VII. Заключение
Предложенная в настоящей работе модель турбулентного потока с перемежаемостью качественно правильно описывает вырождение скорости потока в первые моменты времени на начальном этапе. Тем не менее стоит отметить, что рассматриваемая модель дает лишь общий характер универсальной зависимости в ограниченном интервале времени и груба для описания поведения потока вблизи самой решетки.
Литература
1. Хинце И.О. Турбулентность. - М.: Физмат-гиз, 1963. - 680 с.
2. Бэтчелор Дою. Теория однородной турбулентности. - М.: ИЛ, 1955. - 137 с.
3. Седов Л.И. Методы подобия размерности в механике. - М.: Наука, 1981. - 448 с.
4. Онуфриев А. Т., Пыркова О.А. Задача о затухании слабой турбулентности с учетом явления перемежаемости // Проблемы фундаментальной и прикладной математики. - М.: МФТИ, 2009. -С. 126-134.
5. Онуфриев А. А., Онуфриев А. Т., Пыркова О. А. Задача о затухании однородной изотропной турбулентности с учетом явления перемежаемости // Актуальные проблемы фундаментальной и прикладной математики. - М.: МФТИ, 2009. -С. 124-135.
6. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Т. 2. - М.: Физматгиз, 1967.
7. Лойцянский Л. Г. Некоторые основные закономерности изотропного турбулентного потока // Труды ЦАГИ. - 1939. - Вып. 440. - С. 3-23.
8. Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Об одном способе замыкания уравнения Кармана-Ховарта // Динамика сплошной среды: сб. ст. / СО АН, ин-т Гидродинамики. - Новосибирск, 1976. - Вып. 27. -С. 124-130.
9. Онуфриев А. Т. Описание турбулентного переноса. Неравновесные модели: учеб. пособие. -М.: МФТИ, 1995. - 170 с.
10. Коробицина К.Л., Черных Г.Г. О численном моделировании заключительного периода вырождения однородной изотропной турбулентности // Моделирование в механике / СО АН. -Новосибирск, 1992. - Т. 6(23), № 3. - С. 77-86.
11. Колмогоров А.Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости // Доклады АП СССР, 1941. - Т. 31, № 6. -С. 538-541.
12. Лойцянский Л.Г. Полуэмпирические теории взаимодействия процессов молекулярного и молярного обменов в турбулентном движении // Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. - M.-JL: АП, 1962. - С. 143— 166.
13. Driscol, Kennedy. Model for the turbulent energy spectrum // Phys. Fl. - 1983. - V. 2, N 5. -P. 1228.
14. Ling C., Huang T. T. Decay of Weak Turbulence // Phys. Fluids. - 1970 - V. 13, N 12. - P. 29122920.
Поступила в редакцию 13.01.2011
0
0
0
—»
