CC BY
55
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ
М.А. Голуб, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер, С.И. Харитонов
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ С ФОКУСАТОРОМ ГАУССОВА ПУЧКА В ПРЯМОУГОЛЬНИК С ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ
Введение
Фокальное распределение интенсивности от обычной линзы близко к точечному.
Однако в задачах технологии лазерного поверхностного упрочнения, легирования
/
материала, а также при создании генераторов изображений с прямоугольным растровым пятном возникает проблема фокусировки в фокальную область прямоугольной формы. Эффективные методы решения представляет компьютерная оптика [1]. Частная задача фокусировки в узкий прямоугольник (отрезок прямой) рассматривалась в [2, 3]. Данная работа посвящена исследованию фокусировки в прямоугольник произвольного размера методами вычислительного эксперимента.
Ввиду сложности обратной задачи фокусировки расчет фокусаторов лазерного излучения обычно производится в рамках геометрической оптики. Расчет фокусато-ра на ЭВМ и сложный технологический процесс изготовления приводят к дискретизации и квантованию фазовой функции фокусатора. Исследование работы фокусатора средствами вычислительного эксперимента позволяет оценить дифракционные эффекты, связанные с технологией расчета и изготовления фокусатора. В решалась задача создания прямоугольного распределения интенсивности в дифракционном приближении, однако в ней не рассматривалось влияние дискретизации и квантования на качество фокусировки. Кроме того, особый интерес представляет исследование ограничений налагаемых геометрооптическим расчетом фокусатора. Рассматриваемый ниже дифракционный расчет поля от фокусатора гауссова пучка в прямоугольник с постоянной интенсивностью позволяет выявить ограничения на физические параметры, требования к дискретизации и квантованию фазовой функции фокусатора, при которых возможна фокусировка.
1. Постановка задачи
Пусть гауссовский пучок с комплексной амплитудой и0(и)=с ехр(- ——) падает
2 оа
на квадратный фокусатор со стороной 2Ь, расположенный в плоскости и=(и, V) при г = 0 (рис. 1), который преобразует падающее излучение в поле ы(и, 0)=и (и)ехр<1ф(и)), где ф(и) - фазовая функция фокусатора. Задача состоит в отыскании фазовой функции фокусатора ф(и), обеспечивающей в фокальной плоскости г = 10 формирование светового поля с интенсивностью
1/Х, V =
|са, ика, |у|<а, О , иначе
соответствующей равномерно засвеченному прямоугольнику размера 26X26^,где х = (х, у) - декартовы координаты в фокальной области.
"о*"' V)
Рис. 1. Постановка задачи фокусировки гауссова пучка в прямоугольник с постоянной интенсивност ыо
Геометрооптичес кую фазовую функцию фокусатора гауссова пучка в прямоугольник в параксиальном приближении можно представить в виде
ф(и) » ф(и; а) ♦ ф(и;
где ф(и; а) - фазовая функция цилиндрического (линейного) фокусатора, преобразующего одномерный гауссовский пучок в отрезок с постоянной интенсивностью длины 26.
Вследствие (1) интеграл Кирхгофа, записанный в приближении Френеля, допускает представление в виде произведения интегралов, каждый из которых описывает Фокусировку одномерного гауссовского пучка в отрезок и, следовательно,
Их; V = X (х; 10, а) Ну; 10, 6,), (2)
с, |х|<а 0, иначе
Фазовая функция ф(и; а) находится в приближении геометрической оптики решением обратной задачи фокусировки одномерного гауссовского пучка в отрезок с постоянной интенсивностью из следующей системы уравнений:
где Их; f , а) =
I (и)
О
ах
тттттгзт " ни
. с!ф(и; а) ,
* = и+ ^ЗТ— *«
где I.(и)=с ехр(- —);
к = ~ , А. - длина волны.
В разделе 2 исследуются эффекты, связанные с геометрооптическим расчетом фокусатора, дискретизацией и квантованием его фазовой функции, дифракцией на апертуре фокусатора.
2, Метод дифракционного расчета
Фокусатор не позволяет получить прямоугольник с четкими границами вследствие явления дифракции. Для оценки дифракционных эффектов и погрешностей, обусловленных дискретизацией и квантованием фазовой функции, будем использовать интеграл Кирхгофа, записанный в приближении Френеля. Вследствие (2) расчет интенсивности поля К*, *в> от фокусатора гауссова пучка в прямоугольник сводится к расчету поля от цилиндрического фокусатора одномерного гауссовского пучка в отрезок. При проведении вычислительного эксперимента с цилиндрическими фокуса-торами возникает задача вычисления дифракционного интеграла
(3)
А ь
и(х, г) = Vт^у / А(и)ехр(1ф(и))ехр(1к(х-и)а/22)Ьи, 1 7 -Ь
где Л(и) - амплитуда падающего пучка; ф(и) - фаза пучка за фокусатором.
Численный расчет интеграла (3) преполагает [6] кусочно-постоянную аппроксимацию функций А (и) , ф(и) на сетке ип/ п=0, N
/7 N ип
ы(х, г) = чДу- £ А(ип)ехр(1ф(ип)) / ехрх-и)а)аи;
п=0 И "
п — .
(4)
+ ч п-1 п
ип " -5-' ив = ~ъ' = Ь.
Интеграл Их; и^,, ип> = /" ехр[-1|(х-и)а]аи вычисляется на основе метода
локальной линейной апроксимации фазовой функции f = у^-(х-и)2 на сетке )=1,к; чП1=ип_,, иПк=ип. Реализация этого метода выглядит следующим образом:
Кх; ип) = г (ип -и ) б 1 пс
)=1 ) ]-ч
гп(и -х)■(и -и )
П • п . п .
1_1 д-•■
А. 2
!1Т1(и -
-х)•(и -и )
где 5тпс(х) =
в!ПХ
Рассматривая фокусатор как дополнение к линзе с фокусом, формулы для расче-
киа
та поля при г = можно несколько упростить. Пусть ф(и) = ф'(и) - , тогда
о
/Т~ 1кха N ~ м<х; f0) = /^¡-р- ехр[^р-] • £ С А Сип)ехр [1ф1<йп)] *
'о - ■ о
(5)
Алгоритмы расчета 1(х; базируется на формулах (2), (А) и (5). Кусочно-
постоянная апроксимация фазовой функции фокусатора и использование квантованных значений фазы в расчетных формулах (4) и (5) позволяют оценить влияние эффектов квантования и дискретизации на качество фокусировки.
3, Характеристики качества фокусировки в прямоугольник
Для характеристики качества фокального изображения используются следующие величины: значение дифракционной эффективности 0 и среднеквадратичного отклоне»
/ЛСх, +0>аах
ния б. Величина 0 - ^- характеризует долю энергии пучка, попавшую в
//I <и)<1аи Б
область фокусировки, где Р = [-а, d] х , с11] - область фокусировки,
в = Ь] х [-Ь, ь] - область расположения фокусатора.
Величина
/шг У-*33чд>
характеризует близость распределения интенсивности I(x, f0> к постоянной велики-
р
не, где II Р II «Ad.d, - площадь области Р, I = j-jjj //Их; f0)dax - среднее значение
интенсивности в области фокусировки,
Результаты вычислительного эксперимента
Анализ данных вычислительного эксперимента (табл. 1, рис. 1-3) позволил сделать ряд выводов. Дифракция ограничивает размеры области фокусировки, а именно в вычислительном эксперименте с геометрооптической фазовой функцией была показана возможность фокусировки в прямоугольник, если размеры его сторон удовлетворяют следующим соотношениям:
2d>7n, 2d , >7ti , где г| - размер дифракционного пятна;
Л ■ ^ , о - параметр пучка.
При фокусировке в прямоугольник, дли-Таблица 1 НЬ1 сторон которого меньше, чем 7г|, на-
"2d-Ц^м—!-0, % ! 6, % блюдаются резкое падение дифракционной
50 71 . 5 36. 8 эффективности и ухудшение качества про-
100 8U. 0 27. 8 филя интенсивности. При изменении разме
200 91 . 3 19. 1 ров прямоугольника фокусировки до вели-
500 95. 1 11. 0 чины менее 2г) Фокусатор начинает рабо-
2000 98. 9 1. 6 тать как собирающая линза с фокусом
В табл. 1 приведена зависимость дифракционной эффективности и среднеквадра т и ч но го отклонения от длины стороны квадрата фокусировки. Расчет производился по формулам (4)-(5) при следующих параметрах Л=0.6328 мкм, + 0=100 мм, о = 0,659 Данные табл. 1 наглядно показывают улучшение качества фокусировки при увеличении стороны квадрата относительно величины 7т1=100 мкм.
На рис. 2 представлено распределение интенсивности в фокальной плоскости фокусатора в квадрат при следующих параметрах Л=0,6328 мкм, ^=100 мм, о=0,б59 мм, 2с1-200 мкм.
Рисунок За, б, в, г иллюстрируют распределение нормированной интенсивности в сечении фокальной плоскости по оси х для значений длин сторон квадратов фоку сировки равняющихся соответственно 50 мкм, 100, 20р и 500 мкм.
Существенное влияние на качество фокусировки оказывает дискретизация фазовой функции фокусатора. Кусочнопостоянная апроксимация фазовой функции, исполь зуемая в формулах (4) и (5), является допустимой, если шаг дискретизации может отразить осцилляции функции ехр[1ф(и)]. Второй вывод вычислительного эксперимента (см. табл. 2): при фокусировке в прямоугольник шаг дискретизации фазовой функции фокусатора должен удовлетворять следующим соотношениям:
(6)
где Ди/ Ду - минимальные размеры зон микрорельефа для цилиндрических фокусато-ров гауссова пучка в отрезки с длинами 2с1 и 2<Лл соответственно.
Полученные авторами формулы фазовой функции позволяют оценить размеры зон
Ди, Ду. Для фокусатора, рассматриваемого как дополнение к линзе, Ди = —д-
0 ^ Зо^
-т— , а для фокусатора плоского гауссовского пучка при -г—<
о
Д,,=Ди =
За
Рис. 2. Распределение интенсивности в фокальной плоскости фокусатора в квадрат; 2а=200 мкм
г
в
Рис. 3. Фокусировка в квадрат: а - распределение нормированной интенсивности в сечении фокальной плоскости по оси X (26=50 мкм); б - распределение нормированной интенсивности в сечении фокальной плоскости по оси X (26=100 мкм); в - распределение нормированной интенсивности в сечении фокальной плоскости по оси X (26=200 мкм); г - распределение нормированной интенсивности в сечении фокальной плоскости по оси X (26=500 мкм)
В табл. 2 приведены значения дифракционной эффективности и среднеквадратичного
Ли
отклонения при фокусировке в квадрат в зависимости от величины N = — , харак-
ди
тезирующей величину шага дискретизации Ди = Ду фазовой функции относительно значения Ди = Ду. Расчет производился для А.-0 .6328 мкм, *0— 10 0 мм, а-0.659 мм, ¿=61»1 мм. Фокусатор рассматривался как дополнение к линзе.
При йи<0.1Ди/ &и<0.1йу дискретизация не влияет на качество фокусировки.
Рассмотрим влияние эффектов квантования фазовой функции фокусатора. Вычислительный эксперимент также показал, что качество фокального изображения существенно ухудшается при числе уровней квантования фазы М<16; увеличение числа градаций фазы свыше 64 практически не улучшает фокального изображения (см. табл. 3). В табл. 3 приведены значения дифракционной эффективности и среднеквадратичного отклонения при фокусировке в квадрат в зависимости от числа уровней квантования фазы. Расчет производился для А.-0.6328 мкм, й = с!^ — 1 мм, ^-100 мм, 0-0,659 мм.
Таблица 2 Таблица 3
N 1 D, 1 ! 6, 1
1 Фокусировка отсутствует
2 65,0 31,0
3 79, 2 15,5
4 87,6 8,8
5 91 ,8 5,7
6 9^,2 м
10 97,8 1.7
15 98,9 1,6
м о, I ! 6, 1
98,9 1,6
64 97,8 3,0
32 97 ,2 5,9
16 95,8 10,0
• 8 90,5 20,4
6 86,0 30,6
4 75,2 53,8
2 Фокусировка отсутст вует
Выводы
Проведение вычислительного эксперимента с фокусатором гауссова пучка в прямоугольник позволило выявить ограничения на физические параметры фокусировки, требования к дискретизации квантованию фазовой функции фокусатора, при которых возможна фокусировка. Численное исследование показывает, что с энергетической эффективностью 0-85% и неравномерностью 6-25% невозможно сфокусировать излучение в прямоугольник с длинами сторон меньше • Для обеспечения работоспособности фокусатора на размере минимальной зоны микрорельефа следует брать по крайней мере два шага дискретизации, а число уровней квантования фазы должно быть не менее
ЛИТЕРАТУРА
1 . С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. Компьютерная оптика, достижения и проблемы // Компьютерная оптика: Сборник / МЦНТИ, М., 1987, ■Г 1 , С. 5-19.
2. Голуб М.А., Казанский Н.Л., С и с а к я н И.Н.,
С о й ф е р В.А. Вычислительный эксперимент с элементами плоской оптики // Автометрия, 1988, N" 1, С. 70-82.
3. Голуб М.А., Харитонов С,И. Дифракционный анализ поля вблизи фокальной линии / Оптическая запись и обработка информации. Куйбышев: КуАИ, 1986, С. 19-25.
1». Воронцов Г.. А. , Матвеев А.Н.,Сивоконь В.П. К расчету фокусаторов лазерного излучения в дифракционном приближении // Компьютерная оптика: Сборник / МЦНТИ, М., 1987, IT 1, С. 7|»-78.
5. Stamnes J.J., S p j e Evalyation of diffraction integrals approximations // Optica Acta, 1983,
k a v i k B., Pedersen H.M. using local phase and amplitude Vol. 30, N 2, P. 207-222.
