Вычисление суммы числового ряда методом интегрирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ/PHYSICAL & MATHEMATICAL SCIENCE

УДК 519.642

ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ ЧИСЛОВОГО РЯДА МЕТОДОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

CALCULATING THE SUM OF A NUMBER SERIESBY THE METHOD

OF INTEGRATION

©Апайчева Л. А.

канд. физ.-мат. наук, Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) ФГБОУВПО «КНИТУ», г. Нижнекамск, Россия, [email protected]

©Apaicheva L.

Nizhnekamsk Institute Of Chemical Technology (branch)FSFEI of HPE "KNRTU" Nizhnekamsk, Russia, [email protected]

©ГалеевЭ. И.

Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) ФГБОУ ВПО «КНИТУ» г. Нижнекамск, Россия, [email protected]

©Galeev E.

Nizhnekamsk Institute Of Chemical Technology (branch) FSFEI of HPE "KNRTU" Nizhnekamsk, Russia, [email protected]

Аннотация. Рассмотрен способ вычисления суммы числового ряда, использующий метод почленного интегрирования специально подобранного функционального ряда.

Abstract. A method for calculating the sum of a number series is considered, using the method of term-by-term integration of a specially selected functional series.

Ключевые слова: сумма ряда, метод интегрирования, рекуррентная формула.

Keywords: sum of the series, the method of integration, recurrent formula.

Ряды находят широкое применение в различных областях современной науки. В нашей работе [1] рассмотрены некоторые нестандартные подходы к решению задач по теме «Ряды». В практических задачах возникает также необходимость в вычислении суммы ряда, что в ряде случаев представляет особую сложность, так как решение таких задач требует изобретательности, догадки, творческого подхода.

Одной из важных целей данной работы является: дать возможность студентам более глубоко изучить курс математического анализа, способствовать развитию их интереса к математике, развитию творческого мышления, способностей применять теоретические знания в практической деятельности. Достижению этих целей помогает решение специально

№11 2017 г.

подобранных задач. Широкий выбор задач повышенной сложности имеется, например, в классическом сборнике задач [2].

В некоторых случаях удается подобрать функциональный ряд с известной суммой, почленное интегрирование которого приводит к нахождению суммы исходного ряда.

Рассмотрим пример. Вычислить сумму ряда

5

п=1

1^3...(2п — 1)(2п — 3) 2 • 4 ... (2п — 2)(2п)

Решение. Сначала докажем соотношение

п

2

= I

I = I cos2nxdx = —

п (2п — 1)(2п — 3)...3^1 2 2п(2п — 2) ... 4 • 2 '

Вычислим интеграл (1):

п

2

п

2

п

2

1= 1 cos^nxdx = 1 cos^n~-x cos2xdx = 0 0

п

2

= I cos2n 2x(1 — sin2x)dx = I cos2n 2xdx — I1.

(1)

(2)

Интеграл Ii будем вычислять по частям:

п

2

=I

cos2n 2х • sinx • sinxdx =

и = sinx, du = cosxdx dv = cos2n-2x • sinxdx 1

v = — ---cos2' 1X

n

2

2n—1

n

2

+

2^—1 Ic0s2UxdX== 2^—11

cos2nxdx.

sinx 2n — 1

2n—1 COS2' 1X

(3)

Из соотношений (2) - (3) получаем

I cos2nxdx = I cos2n 2xdx — --- I

J J 2n — 1J

cos2nxdx

Отсюда выводим рекуррентную формулу

0

0

0

I

1

0

0

0

п

п

п

2

2

0

0

0

и и и

2 2 2 f _ 2n—1f 7 (2n—1)(2n — 3)f _ .

I cos xdx =—-- I cos 2xdx = —„ ^-—-I cos 4xdx = ...

J 2n J 2n(2n -2) J

0 0 0 _n 3 ... (2n — 1)(2n — 3)

= 2 ^ 2^4...(2n — 2)^2n ' (4)

Воспользуемся последней формулой для вычисления искомой суммы ряда. Имеем

1^3...(2п—1)(2п — 3)

2 • 4 ... (2п — 2) • 2п

п=1

п п

т 2 2 т

2^ ..Г 2

= 2^(—1)П+1 J cos2nxdx = ^ J ^(—1)П+1 cos2nxdx. (5)

п ¿—I } п _

п=1 0 0 п=1

Вычислим интеграл в правой части равенства (5):

к

А = ¡^(С032Х — СОБ4Х + СОБ6Х — С058Х +----+ ( — 1)п+гС032пХ + ••• )dx .

Подынтегральной функцией является геометрическая прогрессия со знаменателем

7 /■ 7 „ « СОБ2Х

Ц = С0Б2Х (соб2х < 1) и суммой-— .

1+ С05 X

Следовательно,

п п

2 2 Г С082Х Г ( 1 \

А = -rГdx= 1(1---r-)dx. (6)

7 1 + С0Э2Х ) V 1 + С052Х)

00

Вычислим

—

2

dx

Г dx / и „ Г dt

I -=т- = dt 7 1=1 -з-

J 1 + cos2x dx=---,cos2x = --- J d , ,

0 1 + t2 1 + t2 0 (1 + t2)(1 + TTt2)

т

г dt 1 t

= ]—*=T2arct97i

0 2Л

0

Учитывая соотношения (5)-(6), находим искомую сумму ряда

y( 1)П+1^3.(2п — 1)(2п — 3) = 1—±

/-i( ) 2 • 4 ... (2п — 2)(2п) Л

п=1

т

№11 2017 г.

Решение задач не примитивных — на применение формул, а требующих от студентов не только прочных знаний по программе, но и творческого подхода, побуждает студентов развивать свою математическую интуицию, логическое мышление, помогает подготовке к математическим олимпиадам.

Список литературы:

1. Апайчева Л. А., Шувалова Л. Е. Некоторые способы решения нестандартных задач по теме «Ряды» // Инновация наука. 2017. Т. 4. №4. С. 8-11.

2. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука. 1967.

444 с.

Reference:

1. Apaicheva, L. A., & Shuvalova, L. Ye. (2017). Some ways of solving non-standard problems on the topic Rows. Innovatsionnaya nauka, 4, (4), 8-11

2. Berman, G. N. (1967). Collection of problems on the course of mathematical analysis. Moscow, Nauka, 444

Работа поступила Принята к публикации

в редакцию 07.10.2017 г. 11.10.2017 г.

Ссылка для цитирования:

Апайчева Л. А., Галеев Э. И. Вычисление суммы числового ряда методом интегрирования // Бюллетень науки и практики. Электрон. журн. 2017. №11 (24). С. 12-15. Режим доступа: http://www.bulletennauki.com/apaicheva (дата обращения 15.11.2017).

Cite as (APA):

Apaicheva, L., & Galeev, E. (2017). Calculating the sum of a number series by the method of integration. Bulletin of Science and Practice, (11), 12-15