Примеры решения студенческих математических олимпиадных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

научный журнал (scientific journal) Т. 4. №5. 2018 г.

http://www.bulletennauki. com

УДК 517.2: 517.3

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ СТУДЕНЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ

EXAMPLES OF STUDENT SOLUTIONS MATHEMATICAL OLYMPIAD PROBLEMS

©Шувалова Л. Е.,

Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Нижнекамск, Россия, [email protected]

©Shuvalova L.,

Kazan National Research Technological University, Nizhnekamsk, Russia, [email protected]

©Сороколетова В. И., Казанский национальный исследовательский технологический университет, г. Нижнекамск, Россия, [email protected]

©Sorokoletova V., Kazan National Research Technological University, Nizhnekamsk, Russia, [email protected]

Аннотация. Данная статья содержит условия и решения некоторых нетривиальных задач Всероссийской студенческой Интернет-олимпиады по математике.

Abstract. Some problems of the All-Russian student Internet Olympiad in mathematics are considered.

Ключевые слова: предел функции, определенный интеграл, неравенство Коши-Буняковского.

Keywords: limit of a function, a definite integral, the Cauchy-Bunyakovskii inequality.

Настоящая статья является продолжением работы [1], и преследует ту же цель — показать, что разбор олимпиадных задач способствует активизации научного творчества студентов. Кроме того, воспитывает нетривиальное мышление и умение быстро находить пути решения. Основу данной работы составляют задачи Всероссийской студенческой Интернет-олимпиады, которые подбираются из разных областей математики и имеют разные уровни сложности. Возможно, именно решение таких заданий подтолкнет студентов к серьезным результатам в научной деятельности.

Рассмотрим несколько видов таких задач. 5

Пример 1. Найти-—,

5 - -ж

научный журнал (scientific journal) Т. 4. №5. 2018 г.

http://www.bulletennauki. com

если s — площадь фигуры, ограничена графиком функции:

2n ■ tx 2 x sin--+

f(x) = lim -

J

2

x

2n

x

+1

и прямыми х = 0, х = 2, у = 0. Решение: Рассмотрим два случая.

Пусть 0 < х < 1, тогда х2 ^ 0, при п ^ и /(х) = х2 .Если1 < х < 2, то

x

f (x )= lim

. Tlx x sin — + —-2 x2

2 Л

n x2n Ii +

2n

= sin -

Tx

x

Итак, объединяя полученные результаты, имеем

x2, при 0 < x < 1;

f (x )=■

TX

sin — , при 1 < x < 2. 2

Фигуру, площадь которой необходимо найти (Рисунок), представим в виде объединения двух криволинейных трапеций 5 = 5! + 52:

^ /М

у = sin -

2

Рисунок.

1 1 „ 2 . ж , 2

S = J x dx = - S2 = J sin =

Отсюда

q 3 2 2 ж

научный журнал (scientific journal) Т. 4. №5. 2018 г.

http://www.bulletennauki. com

s = i+2.

3 л

Поэтому искомое значение выражения равно

5

S -

2

= 15.

л

Пример 2.

Непрерывная на отрезке [0;л] функция f (x) удовлетворяет соотношениям

л

л

jf(x)sinxdx = 1 и jf(x)cosxdx = 1. Найти

наименьшее возможное значение выражения

0

0

л

л\ f (x)dx. 0

Решение:

Учитывая, что функции /(х), sin(x), cos(x) непрерывны на промежутке [0;тс] и применяя свойство определенного интеграла, имеем

л

2 = {f (x)(sin х + cos x)dx. 0

Далее, воспользуемся неравенством Коши-Буняковского

'i

f f1 (x)f2 (x)dx < Л f12 (x)dx ^f f22 (x)dx.

a \ a

Отсюда получаем

л

2 = f f (x)(sin x + cos x)dx <

f f2 (x)dx ■ f (sin x + cos x)2 dx.

0 V 0

(1)

Поскольку

л 2 л

j (sin x + cos x)2 dx = j (1 + sin 2 x)dx = л, 0 0

то воспользовавшись соотношением (1) находим неравенства

2 <

\

л

j (f (x))2dx ■^л

4 <л\f 2(x)dx. 0

Итак, наименьшее возможное значение равно 4. Пример 3.

л

л

0

научный журнал (scientific journal) Т. 4. №5. 2018 г.

http://www.bulletennauki. com

Функция f (x) удовлетворяет условиям

0

Решение:

Сделав подстановку — = z , имеем

3x f-Л

J f- \dt = x • f (x), f (1) = 6 . Тогда f (3) - ? n V 3 J

3x с x

1 / = 31 /( 0 ^3) 0

Применив теорему о производной интеграла по верхнему пределу [2], находим

Г x Л

= (x • f (x)y,

3 1 / (г )й2

V 0 ,

3/ (х) = / (х) + х • /' (х).

Отсюда

х/' (х) = 2/(х).

Решаем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

^(/(х)) С^

Г d (f (x)) =2 f — J f (x) J x •

Имеем:

1п/(х) = 21пх + 1пс, /(х) = сх2, с = 6.

Окончательно находим

/ (3) = 54.

Полагаем, что разобранные выше задачи могут быть использованы при подготовке к будущим олимпиадам, математическим конкурсам и турнирам.

Список литературы:

1. Апайчева Л. А., Шувалова Л. Е. Некоторые способы решения нестандартных задач по теме «Ряды» // Инновационная наука. 2017. Т. 4. №4. С. 8-11.

2. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И., Шикин Е. В., Заляпин В. И. Вся высшая математика. М.: Едиториал УРСС, 2004. 192 с.

научный журнал (scientific journal) Т. 4. №5. 2018 г.

http://www.bulletennauki. com

References:

1. Apaycheva, L. A., & Shuvalova, L. E. (2017). Some ways of solving non-standard problems on the topic "Rows". Innovative science, 4(4), 8-11.

2. Krasnov, M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I., Shikin E. V., & Zalyapin V. I. (2004). All higher mathematics. Moscow, Editorial URSS, 192.

Работа поступила Принята к публикации

в редакцию 09.04.2018 г. 13.04.2018 г.

Ссылка для цитирования:

Шувалова Л. Е., Сороколетова В. И. Примеры решения студенческих математических олимпиадных задач // Бюллетень науки и практики. 2018. Т. 4. №5. С. 668-672. Режим доступа: http://www.bulletennauki.com/shuvalova-1 (дата обращения 15.05.2018).

Cite as (APA):

Shuvalova, L., & Sorokoletova, V. (2018). Examples of student solutions mathematical olympiad problems. Bulletin of Science and Practice, 4(5), 668-672.