Вычисление собственных чисел преобразования Березина Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 1.2 Пусть А = Л. Всякое конечномерное слабо неразложимое инвариантное относительно О пространство V состоит из многочленов f (х,у) степени ^ т по у и степени ^ к + т по совокупности х,у. Его размерность равна (к + 1 + т/2)(т + 1).

Таким образом, пространство V есть пространство решений системы уравнений:

д \ т+1 / д д \ к+т+1

ду) ^ ° (уд^ + ду) ^ °

Возьмем в V базис, состоящий из одночленов хгу'в, г + 5 ^ к + т, в ^ т. В этом базисе оператор Ді имеет жорданову нормальную форму. Базис для одной клетки образован одночленами хгуя с фиксированным в, количество жордано-вых клеток равно т +1, для всех клеток собственное число есть 0.

УДК 517.98

Вычисление собственных чисел преобразования Березина 1

© С. В. Цыкина

Ключевые слова: симплектические многообразия, псевдо-ортогональные группы, полиномиальное квантование, преобразование Березина.

Мы рассматриваем полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах G/H с псевдоортогональной группой движений G = SOo(p, q). Мы вычисляем собственные числа преобразования Березина на неприводимых конечномерных подпространствах.

We consider polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces G/H with the pseudo-orthogonal group G = SOo(p, q). We compute eigenvalues of the Berezin transform on irreducible finite dimensional subspaces.

Мы рассматриваем полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах О/И с псевдоортогональной группой движений О = ЯО0(р, д). Все такие пространства (с данной О) получаются факторизацией из "самого большого" пространства О/И с И = ЯО0(р — 1,д — 1) х ЯО0(1,1). Размерность всех этих пространств О/И равна 2п — 4, где п = р + д, сигнатура

хРабота поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

есть (n — 2,n — 2). Мы берем такое пространство G/H, которое есть G-орбита в алгебре Ли группы G.

Полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах ранга 1 было построено в [2]. В случае полиномиального квантования ковариантные и контравариантные символы являются многочленами на G/H. Наши пространства G/H с группой G = SO0(p, q) имеют ранг 2.

Одной из центральных формул для полиномиального квантования является выражение преобразования Березина через операторы Лапласа на G/H. Для того чтобы найти это выражение, надо знать собственные числа преобразования Березина на неприводимых конечномерных подпространствах. В работе [1] мы предъявили явную формулу для этих собственных значений. В настоящей работе мы указываем путь для их вычисления (достаточно трудоемкого).

Мы вводим в G/H орисферические координаты £,п Є Rn-2 согласно [2] и [3]. Для них должно выполняться условие N(£, п) = 0, где

N (£,п) = і— Ш,п) +

со стандартным скалярным произведением {^,п) в Rn-2. Мы отсылаем к [2] по поводу ковариантных и контравариантных символов. Ключевой момент состоит в том, чтобы построить в явном виде оператор A, для которого явно пишутся ковариантный и контравариантный символы.

Теорема 1.1 Собственные значения преобразования Березина B на неприводимых конечномерных подпространствах с весом (k + l,k — l), где k,l Є N,k ^ l имеют вид:

(а + n — 2)[к] (а + m + 2)[l]

b

'k,t

а(к) (а + m)(l)

Мы используем обозначения: х[г] = х(х + 1)... (х + г — 1), х(г) = х(х — 1)... (х — г + 1).

Чтобы найти собственные числа, достаточно проследить за каким-нибудь одним многочленом из конечномерного подпространства. В качестве такового возьмем младший вектор

р = (у, пУ Кб — Си-1 )(у, П) — (П2 — Уи-1)}к~1

N (С,п)к '

Он является контравариантным символом оператора

1 ( д д \к~1 А ------ГГп ^ ^--- оД1 ,

2k+l а(к)(а + m)(l4 д&-і

т

П—1

где А = ^2 Хкд2/д^1, Хк = —1 при к ^ р, Хк = 1 при к > р. В свою очередь, к=2

этот оператор А имеет ковариантный символ

Fi

(а + n — 2)M(g + m + 2)[l] {п, n)l{(6 — £п-і){п,п) — (п2 — Пп-і)}к 1

а(к)(а + m)(l)N(£, п)к

Литература

1. С. В. Цыкина. Асимптотическое разложение преобразования Березина для пространств ранга два Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. 1, 16-17.

2. V. F. Molchanov, N. B. Volotova. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces. Acta Appl. Math., 2004, vol. 81, Nos. 1-3, 215-232.

3. S. V. Tsykina. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces with pseudo-orthogonal group of translations. International workshop "Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics", Moscow, Aug. 25-30, 2007, vol. II, 63-71.