CC BY
25
УДК 517.98
Полиномиальное квантование 1
© В. Ф. Молчанов, Н. Б. Болотова, С. В. Цыкина, О. В. Гришина
Ключевые слова: группы и алгебры Ли; представления групп Ли; пара-эрмитовы симметрические пространства; многочлены; исчисления символов.
Строится квантование (исчисление символов) в духе Березина в многочленах на пара-эрмитовых симметрических пространствах.
В этой работе мы строим вариант квантования на пара-эрмитовом симметрическом пространстве С/Н, используя схему, изложенную в [6]. Пусть 7Гд
- представление группы С максимальной вырожденной серии. В качестве исходной алгебры операторов мы берем алгебру операторов 7Гд (X), отвечающих элементам X универсальной обертывающей алгебры Епу (д) алгебры Ли д группы (3. Тогда символами операторов являются многочлены на С/Н. Проведены явные вычисления для пространств ранга один, для пространств с псевдо-ортогональной группой С (здесь ранг равен двум), для комплексного гиперболоида в С3 (ранг равен двум). Мы существенно опираемся на статью [6] и будем часто использовать материал из [6] без специальных оговорок. Мы также используем обозначения из списка обозначений из [7].
§ 1. Полиномиальное квантование на параэрмитовых симметрических пространствах
Сначала сделаем некоторые добавления к § 2 и § 3 из [6] .
Нам потребуются явные формулы для вложения q~ х q+ > G/H. Запишем переразложение (2.15) из [6] несколько в другом виде:
ехр£ • ехр (—г]) = ехр (—У) • ехрХ • h, (1.1)
где X Е , Y Е ц+. Полученный элемент h Е Н есть тот же самый элемент /г(£, г)), что и в [6]. С помощью (1.1) образуем следующий элемент д(£, rj) Е G:
g(£,v) = ехрУехр£ = ехрХ ■ h ■ expr], h = /г(£,77). (1.2)
1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474 и Темпланом 1.5.07.
Тогда паре £, г] отвечает точка х = х°д, где д — д(£, г]).
При действии группы С элемент /г(£, т]) преобразуется следующим образом:
V) = • /г(£, г]) • Л,
где Н и /г, берутся из [6] (2.5) и (2.6). Следовательно, функция ЛГ(£,г}) преобразуется следующим образом:
N(1V) = V) • Ъ{Ъ)1/" • Ь&у1'”. (1.3)
Представления 7Гд группы С максимальной вырожденной серии мы рассмотрим в некомпактной картине: мы ограничиваем функции из Т>^(С) на подгруппы (?±, отождествляем эти подгруппы (как многообразия) с я*, а последние
- с Мт. Получаем:
(яд (зО/) (0 = ^ (/*)/(£), Ы(д)1) Ы = (Л)/(тт),
где £, /г, г}, /г получаются из разложений [6] (2.5), (2.6). Напомним, что
ша(Л) = |Ь(Л)ГА/Х.
Определим два оператора и 5л:
(Ах/№= [ М£,т,)\-х-*№<1£,
ш№= \
Jq+
где с1г) - евклидовы меры б?£ = ... с?£т и с1т] = с1т)1... (1г},п на q_ и q+ соответственно. Оператор у4д сплетает представление 7Гд с представлением а
оператор сплетает представление 7Гд с представлением 7г1А_><. Произведение В\А_х-к есть скалярный оператор:
0ЛЛ_А_„ = с(А)-1 • 1(1, (1.4)
где с(А) - некоторая мероморфная функция от Л, она инвариантна относительно замены Л на —Л — х.
Представления 7Гд и операторы А\ и В\ можно распространить на обобщенные функции на q~ и на q+.
Представление 7Гд универсальной обертывающей алгебры Епу (д) дается некоторыми дифференциальными операторами. Эти представления можно рассматривать на разных пространствах функций от £: например, на функциях класса С°° на q_, на пространстве Ро1^“) многочленов от £, на пространстве ^'(я-) обобщенных функций на q~, в частности, на пространстве Z обобщенных функций ОТ £, сосредоточенных В нуле, и др. То же самое ОТНОСИТСЯ И к 7Гд .
Отметим, что
(/*(£, 7?)) = |ЛГ(^’?)|А- (1-5)
Из (1.3) следует формула
№?7)|А = №»/)|А^л(ЛГ1-а;л(Л), выражающая инвариантность функции |/У(£, 77)|А:
[тгд(д) <8)тг+(з) |ЛГ(£,77)|а = |]У(£,г/)|А.
Теперь определим ковариантные и контравариантные символы. Это делается в точности по такой же схеме, что и в [6], - с использованием некомпактной картины представлений.
В качестве переполненной системы мы берем ядро оператора Л^х-к, а именно, функцию
Ф(£,т?) = Фа(£,'/?) = |АГ(£,т?)|А. (1.6)
Для оператора П = 7Гд (X), X £ Епу(д), назовем функцию
р(^л) ■= (^А РО® 1ЩМ (1-7)
ковариантным символом этого оператора. Рассмотрим £, г] как орисферические координаты на С/Н. Тогда ковариантные символы становятся функциями на С/Н и, больше того, многочленами на С/Н. Обозначим пространство этих символов через Л\.
В частности, ковариантный символ тождественного оператора есть тождественная единица на С/Н. Для операторов 7Гд (X), отвечающих элементам X алгебры Ли д, ковариантный символ есть с точностью до множителя, зависящего от А, линейная функция Вд(Х, ж), где Вд - форма Киллинга, ж е С/Н С д.
Оператор Б восстанавливается по своему ковариантному символу Р следующим образом:
(ЭД(0*с [ Р(£, у) ^ <р(и) <Ь(и, у), (1.8)
Л?/я Ф(и,у)
где с = с(А) берется из формулы (1.4). В самом деле, функция Ф обладает воспроизводящим свойством:
^=с / <р(и)<1х(и,у),
Зет Ф(и,и)
Iв/н
которое есть не что иное, как формула (1.4), переписанная в другой форме. Применяя к обеим частям этого равенства оператор Б и используя (1.7), получим (1.8).
Пусть и - представление группы С сдвигами в функциях на С/Н (ква-зирегулярное представление) - например, в пространстве С°°(С/Н). Пусть II -соответствующее представление алгебры Ли д. Соответствие I) 1—» .Р, сопоставляющее оператору его ковариантный символ, является д-эквивариантным, т.е.
если £ - ковариантный символ оператора Б = тг^(Х), X Е Епу(д), то [/(L)F, где Ь Е д, является ковариантным символом оператора 7Гд (аё Ь • X) ® 1.
Для Л общего положения пространство А\ есть пространство Б (С/Н) всех многочленов на С/Н.
Умножение операторов порождает умножение ковариантных символов, обозначим последнее звездочкой *. Именно, пусть ^1, /<2 - ковариантные символы операторов £>1, Дг соответственно. Тогда ковариантный символ ^ * Р2 произведения есть
№*£2 )(€,г])=[ В1(£,у)Р2(и,г))В(£,г)-,и,у)(1х(и,у), (1.9)
JG/H
где
= (1.Ю)
Назовем это ядро В ядром Березина. Его можно рассматривать как функцию от двух переменных на С/Н: В = В(х;у), х, у Е С/Н. Оно инвариантно относительно С:
В(Мд -х, Мд-у) = В(х,у).
Рассмотрим преобразование х х пространства С/Я, которое в орисфери-ческих координатах £, 77 есть перестановка £ и т] : (^, 77) 1—>• (?7, £)• Это преобразование вызывает преобразование Я ь-»• Р функций из Б (С/Н). Ядро Березина инвариантно относительно одновременной перестановки £ <-> ту и и <-> V. Отсюда по (2.7) следует, что преобразование ^ н ^ является антиинволюцией относительно умножения символов:
(^ * Г2у = Р2 * Рх.
Преобразованию символов £ Р отвечает сопряжение В Г) относительно билинейной формы, порождаемой оператором Л\\
(Лх<р,ф) = [ |ЛГ(£,Т7)ГА~*^(£Ж»7)^*7
J а~хс1+
??)ГА ¥>(0 1>{п) <*&(£> V)-
I
JG/н
Кроме того, если И = 7ГЛ (X), то
Ь = ТГА+(^),
где X I—>• Ху есть преобразование алгебры Епу (д), порождаемое взятием обратного элемента в группе С.
Таким образом, пространство А\ является ассоциативной алгеброй с единицей относительно умножения *. Преобразование £ •-> Р является антиинволю цией этой алгебры.
Определим теперь контравариантные символы. В соответствии с общей схемой функция .£(£, г)) есть контравариантный символ для следующего оператора А (действующего на функции ¥?(£)):
(Ар)(£) = с[ Р(и,и)*1^^(р(и)с1х(и,ь) (1.11)
./с/я
(отличие от (1.8) только в первом аргументе функции Р).
Если многочлен £ из 5((7/Я) является одновременно ковариантным символом оператора £> = X Є Епу(д), и контравариантным символом опе-
ратора А, то А = 7г1Л_^(Ху). Следовательно, А получается из О сопряжением относительно формы
№ л = [ по до <%.
J<]-
В терминах ядер это означает, что ядро £(£, и) оператора А получается из ядра К(£,и) оператора Б перестановкой аргументов и заменой Л на —Л — ус.
Соответствие Р і-> Л, которое каждому Р из А-х-к сопоставляет оператор А с контравариантным символом і*1, является д-эквивариантным, а именно, многочлен [/(£)£, где Ь Є д, является контравариантным символом оператора [п!х-„(Ь)(, Л] .
Таким образом, мы имеем два отображения: £> ■—> І7, ("ко") и Л ("контра"), связывающие операторы в функциях от £ и многочлены на Є/Н.
Композицию О =(контра)о(ко), отображающую оператор в оператор: И к-> А, мы уже рассмотрели выше, мы видели, что О есть отображение
ТГ-(Х) — 7г:Л_(ху).
Оно коммутирует с присоединенным представлением асі. Такое преобразование отсутствовало в теории Березина для эрмитовых симметрических пространств.
Композиция В =(ко)о(контра) отображает контравариантный символ оператора И в его ковариантный символ. Назовем В преобразованием Березина. Ядро этого преобразования есть ядро Березина.
Сформулируем нерешенные задачи (для произвольного ранга): найти выражение преобразования Березина В через операторы Лапласа - образующие в алгебре инвариантных дифференциальных операторов на Є/Н, найти его собственные числа на неприводимых составляющих, найти полное его асимптотическое разложение при А —» —оо, в частности выяснить, когда имеет место принцип соответствия (асимптотическое соотношение В ~ 1 — 1/А). Эти задачи решены для пространств ранга один (см. § 3, для простоты мы рассматриваем случай п = 2) и их комплексификаций (§ 4) и для пространств с группой С = ЭОо(р,д) (§ 5), в двух последних случаях ранг пространства равен двум.
§ 2. Надгруппа и полиномиальное квантование
В качестве надгруппы для С возьмем прямое произведение (7 = (? х (?. Группа содержится в (7 как диагональ {(д,д)},
Сначала опишем некоторую серию Яд, А € С, представлений группы С. Пусть Р - параболическая подгруппа группы б, состоящая из элементов (гк, /т), г Е , п 6 ф+, Л, € Я. Пусть из\ - характер этой подгруппы, равный ш\(К) на указанных элементах. Представление Яд группы С - это представление, индуцированное характером и)\ подгруппы Р.
Укажем реализации представлений Яд.
Пусть С - многообразие двойных классов смежности
У ~ Q+S2l «1,52€С.
Это многообразие - аналог конуса для представлений псевдо-ортогональной группы, связанных с конусом. Представление Я\ действует в пространстве функций / класса С°° на С, удовлетворяющих условию однородности
= и\(1г)/(811(Э~(3+82), (2.1)
следующим образом:
(Яд(<71, <72)/) {у) = /(й-Г^Зг), 91,92 6 С.
Возьмем в С два подмногообразия (сечения): "гиперболическое" сечение X и "параболическое" сечение Г.
Многообразие X есть подмногообразие в С, состоящее из классов смежности х — з-1(5~(5+з, в е С. Стационарная подгруппа начальной точки х° = (3_<3+ есть Я, так что X можно отождествить с С/Я. Многообразие Г есть подмногообразие в С, состоящее из классов смежности
7 = ехр(—77)(2~<2+ехр£, £ € Ч”, г/е я+. (2.2)
Это многообразие можно отождествить с ч" х ц+. Вложение х с\+ С/Р1 в терминах С выглядит следующим образом.
Пусть точка х — 8~1<3~С2+8, в Е й, имеет орисферические координаты £, Г]. По (1.1) и (1.2) имеем
й = ехрУехр£ = ехрХ •/10 • ехргу, /г0 = к(£,г]), (2.3)
поэтому мы можем записать точку х в виде
X = 8~1С2~(2+8
= ехр(-7?) • (2.4)
Таким образом, указанное вложение сопоставляет точке 7 € Г, задаваемой формулой (2.2), точку х Е X, задаваемую формулой (2.4), где /г0 = /г(£,гу).
Представление Яд можно реализовать в функциях на этих многообразиях X и Г.
Сначала рассмотрим X. Пусть х = s~1Q~Q+s, д\,д2 £ G. Тогда дх1хд2 = дх 1s~1Q~Q+sg2. Возьмем элемент sg2(sgi)~1, т.е. элемент sg2g±1s~1, и разложим его по Гауссу:
sg-igi's^ — ехр(—У*) ■ ехрХ* • h*, X* Е q_, Y* Е q+. (2.5)
Здесь элемент h* Е Я не зависит от выбора представителя s класса смежности.
Образуем элемент
s* — ехрУ* ■ sg2 = ехрХ* ■ h* sgi. (2.6)
Этому элементу отвечает точка х* Е G/H:
X* = (s*)~1Q~Q+s*.
По (2.6) она есть
х* = gi1s~1(h*)~1Q~Q+sg2.
Следовательно,
f(x*) = 0J\((h*)~1)f(gi1xg2), и потому R\ действует в функциях на G/H следующим образом:
{Rx(gi,g2)f](x)=ux(h*)f(x*). (2.7)
Теорема 2.1 В орисферических координатах £, т? на G/H представление R\ действует так:
(Ял(й,»)/)({,Ч) = Ф><ф‘(^)°а1) /(«•».Ч»Si), (2.8)
где h2 и h\ берутся из разложений (2.5) и (2.6) из [6] с g — g2 и g = g\, соответственно.
Доказательство. Пусть точка х = s~1Q~Q+s, s Е G, имеет орисферические координаты £, г/. По (1.4) и (1.1), (1.2) мы имеем:
sg2 = exp Y ■ exp £ • g2 = exp У • exp У2 ■ h2 ■ exp £2,
sgi = exp X ■ ho ■ exp 77-51 = exp X ■ ho ■ exp X\ ■ hi ■ exp 771.,
где £2 = £ • 92, Vi = V 0 9i- Поэтому
s* = ехрУ* • sg2 = ехрУз • h2 ■ exp £2, (2-9)
s* = exp X* ■ sgi = expX3 • h* ■ h0 ■ hi ■ exp 771. (210)
Следовательно, используя (2.9) и (2.10), мы получаем
х* = (s*)~1Q~Q+s*
= exp 771 • (h*h0h1)~1Q~Q+h2 ■ exp£2 = exp 771 • (h*hohi)~lh2 ■ Q~Q+ ■ exp £2-
По условию однородности (2.1) имеем
f(x*) = /(expm Q~Q+ ■ exp£2) • u\((h*hohi)*1^) (2.11)
С другой стороны, по (2.4) мы можем записать точку х* в виде
х* = exp?7i ■ [hl)~lQ~Q+ • exp£2, где /ig = Л-(£2, Vi)- Отсюда снова по условию однородности (2.1) получаем
/00 = Дехрт?! • Q~Q+ - exp £2) • ^л((^)_1)- (212)
Сравнивая (2.11) и (2.12), получаем
откуда
= ^ux(h^x(h2). u\(ho)
Подставим это в (2.7) и вспомним (1.5) и (1.6), в результате получим (2.8). □
Аналогично, если реализовать представление Да в функциях на многообразии Г, то мы получим, что оно выражается формулой:
(Дл($1.А2)/)(£>»7) =ш\0кд wxfc1) /(£ •22,?7 °3i)-Это показывает, что Rx эквивалентно тензорному произведению:
Да(flfi.Si) = ® я-аЫ-
Группа G содержит 3 подгруппы, изоморфные G. Первая - диагональная подгруппа, состоящая из пар (д,д), д Е G. Ограничение представления Rx на эту подгруппу есть представление U сдвигами на G/ Н:
{R\(g,9)f)(x) = f(g~lx9)-
В самом деле, из (2.5) и (2.6) при дг = д2 = д получаем h* = е и s* = sg.
Другие две подгруппы Gi и G2 состоят из пар (д,е), (е,д), д Е G, соответственно.
В силу теоремы 4.1 ограничение представления Rx на подгруппу С2 дается формулой
(Ял(е,®)/)«, Ч) = §^*л(Л)/К,ч) = ^7— ("Л <‘1>® 1) [/ '(&ч)ФлК.ч)
Аналогично, ограничение представления Ях на подгруппу С\ дается формулой
Перейдем от группы С к ее универсальной обертывающей алгебре Епу(д) и сохраним обозначения для представлений. Возьмем в качестве / функцию /о, тождественно равную единице. Тогда для X € Епу(д) имеем
Правые части формул (2.13) и (2.14) - это как раз ковариантный и контравари-антный символы оператора Б = 7гА (X) из полиномиального квантования.
Обозначим через Яд представление, которое получается из Ях перестановкой аргументов. Используя реализацию представления Я\ на сечении Г, мы получаем, что тензорное произведение А\ ® В\ сплетает представление Я\ с представлением Я^х-*- Переходя от Г к X и заменяя Л на — Л — х, мы получаем, что оператор с(\)А-х-х®В-х->с сплетает представление Я-д-х с представлением Яд и переводит контравариантные символы в ковариантные. Он имеет ядро Д\(£, г/]и, ь), т.е. он есть в точности преобразование Березина.
§ 3. Полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде
В этом параграфе мы рассматриваем ключевой пример, см. [8], а также [9]. Пространство С/Я есть однополостный гиперболоид в М3. Группа С есть 8Ь(2,М), подгруппа Я состоит из диагональных матриц, надгруппа С = Схб локально изоморфна псевдо-ортогональной группе 80о(2,2) (накрывает ее с кратностью 2). В этом конкретном примере мы несколько меняем обозначения по сравнению с предыдущими параграфами, например, вместо А в обозначении представлений группы (5 мы по традиции пишем 2сг, кроме того, мы рассматриваем несколько больший запас представлений группы С (кроме параметра о появляется еще параметр е = 0,1).
(Ях(д, е)/) (£, г) = у (1 ® тг|(а)) [/(£, ??)Фд(£, г,)
(Яд(0, Х)/о)(£, г]) = у(7Гл РО ® 1)Фа(£, V),
(2.13)
(2.14)
1. Представления группы 8Ь(2, К) [3]
Группа С = ЭЬ(2, М) состоит из вещественных матриц
9= ( “ <*8-0 7=1-
(3.1)
Подгруппы Н, Z^ N оі С состоят соответственно из матриц
к =
0 а~1 ) ’ 4 V І 1 ) ’ V 0 1
Имеют место разложения Гаусса и "анти-Гаусса": = NHZ и (7 = ZHN.
Группа С действует ъъ, Z тл N дробно-линейными преобразованиями:
с 7 с «£ + 7 - 6г) + /3
£*->£ = £•9= ас,х . -П^Т] = Г]од=-----— . (3.2)
+ о 777 + а
Мы можем свести второе действие к первому: 77 о д — 77 • д, где
5 7
/3 а
Алгебра Ли д группы С состоит из вещественных матриц X со следом 0. Она есть прямая сумма д = з + + п, где подалгебры 3, 1), п состоят соответственно
из матриц
0 0 \ /Л О Л /От?
£0у’ ^ 0 “Л / ’ (о 0
Они натянуты соответственно на элементы:
т „( 0 0 \ / 1/2 0 \ / 0 1
V 1 0 ^ ’ 1 V 0 -1/2 ^ ’ + V 0 0
Центр универсальной обертывающей алгебры Епу (д) порождается элементом
А0 = Ц. + 2 + £_£+).
Для а £ С, е = 0,1, обозначим через Х^ДМ) пространство функций / из С°°(М) таких, что функция
№ = ^’7(1Л)
тоже входит в С00(К). Представление ТСТ]£ группы О действует в 2\е(М) по формуле:
{т^Ш) <!) = №№ + *)*"•
Обозначим через Та^е "контраградиентное" представление д ^ Та>е(д), так что
(т^ш) (<) = + «)2гг,е-
Представления Та^£ и Та^£ эквивалентны с помощью оператора /•—>/.
Для базисных элементов из д имеем
Т^(Ьг) = -Т^Ьі) = - а, (3.3)
Тст,є(£+) = Т,,е(І_) = -і2 I + 2аі, (3.4)
Та,е(Ь.) = Т^є)(Ь+) = ^. (3-5)
Элементу Д0 отвечает скалярный оператор (умножение на число):
Т^(Ад)=Т^(Ад) = а(а + 1)-Е.
Билинейная форма
/ОО
F(t)g(t)dt (3.6)
■сю
инвариантна относительно пар (Та<е, і)Є) и (ТаЕ, TL^-i^):
(TUa)f, h) = (/, T.^g-^h) ,
и аналогично для Т. Оператор Аа>є, задаваемый формулой
/ОО
(1 -ts)~2a~2'£f(s)ds,
•ОО
сплетает Та є и Г_ст_ij£:
Т-а-\,є{д)Аа,е = Ао,єТа,є(д),
а также є и Т_а_1)£.
Композиция Л^£ и Л_ст_і!£ есть скалярный оператор:
А—а—1,е ■'4(т,е = ~7 Т ' Е) с(а, є)
где
. . 2сг + 1 ( —1)£ + COS2<77T
с(<7, є) = ---- ■ ------;— ---- .
2-7Г Sin 2сГ7Г
Оператор Аа^є симметричен относительно формы (3.6).
Формулы (3.3) - (3.5) порождают представление алгебры Ли g и ее универсальной обертывающей алгебры не только в X>ffi£(M), но и в других пространствах, например, в пространстве C00(R), в пространстве Pol (К) многочленов на М, в пространстве Х>'(М) обобщенных функций на R, в пространстве Х>о(М) обобщенных функций на R, сосредоточенных в нуле. Поскольку указанные формулы не зависят от є, мы не будем писать є в индексах. На базисе tm в Pol(R) представление Та алгебры Ли g таково:
Ta(Li) tm = (m — <т) tm,
Ta(L+)tm = (2 a-m)tm+1,
TCT(L_) tm = mtm~1.
Пространство Pq(M) состоит из линейных комбинаций дельта-функции 5(t) и ее производных d(m\t). На этом базисе имеем:
Tff(Li)5(m)(<) = (—сг — 1 — m)
Ta(L+)5^m\t) = -m(2a + m + l)5{m-l\t),
Ta(L_)5{m\t) = S^m+1\t).
Пространства Ро1(К) и 1?о(К) являются модулями Верма относительно Та. Сплетающий оператор Аа^е переводит базис в Ро1 (К) в базис 5^ в Т>'0(Ж) и обратно (с множителями):
/°° _1
(1 -^)"2а-2’£Г^ = {с(<х,е)(2а)(тп)} 5(т)(«),
•оо
А.а^е6^т) = (2<г)(т) Г.
Представление Та£ неприводимо, за исключением случая, когда 2а Е Ъ,
2 а = е.
Пусть 21 Е М, е = 21, тогда представление Т^е имеет инвариантное конечномерное неприводимое подпространство Ц, состоящее из многочленов степени ^ 21, так что сИтУ; = 2/ + 1. В этом случае обозначим через 7Г; и 7Г; ограничения соответственно 7]1£ и Т;1£ на У;. Число I называется старшим весом
представления 717. Всякое конечномерное неприводимое представление группы С эквивалентно одному из п/.
Одночлены 1 и £2г являются соответственно минимальным и максимальным векторами относительно представления щ, т. е. аннулируются соответственно подалгебрами 3 и п, относительно представления тг1 таковыми являются одночлены ^ и 1.
Представление тг 1 сохраняет следующую невырожденную билинейную форму В1 на V;: на базисных элементах она задается формулой
В1(Г,Г) = (- 1Г(^) 6т,21-р, (3-7)
дтр ~ дельта Кронекера. Такая форма - единственная с точностью до множи-теля. Наряду с ней рассмотрим форму В[(/,К) = Д(/, К), так что
*»,• (38)
Она инвариантна относительно пары (щ,щ).
2. ТеНЗОрНОе ПрОИЗВеДеНИе Щ ® 7Г;
Разложим на неприводимые компоненты представление Я/ = (21 Е N
группы С.
Пространство = Ц <8> Ц состоит из многочленов /(£, 77) от двух перемен ных £, г] степени ^ 21 по каждому из них. Его размерность равна (2/ + I)2 Представление Щ действует в И7/ по формуле
Шя)№, п) = п1 V) т + 5)Ы + «)]2г •
Соответствующее представление алгебры Ли д дается формулами:
- «I-”!•
ЩЬ.) = |-ч^ + 2,ч.
Многочлен
V) = 1 - &
обладает следующим свойством:
N »?) = >»?) [(/?£ + <*)Ы + а)]_1 •
Следовательно, многочлен
тч) = н£,ч)=т,'п)21
неподвижен относительно
Щд)$1 = Ф /•
Для т е {0,1,..., 2/} многочлены
У1,т = М‘21~тгГ, и^т = М2[-тГ
являются соответственно минимальным и максимальным векторами и являются собственными векторами для Ь\ с собственным значением —т. Они порождают неприводимое инвариантное подпространство \У[т^ в И7/, в нем Л; эквивалентно 7гт. Из совпадения размерностей: 1 + 3 + 5 + ... + (4/ + 1) = (21 + I)2, мы получаем разложения в прямую сумму:
XVI = И'/*4 + + • ■ • + \у[21)
и, соответственно,
Д/ = ТГО + 7Г1 + + К21.
Возьмем на ]У1 билинейную форму <3/, которая есть "тензорный квадрат" формы В[, см. (3.8), а именно, на чистых тензорах положим
0 ф, </?1 (8) фх) = в[((р, фх) В[(ф, </?!)
и распространим на все И^ по линейности. На базисных одночленах в силу (3.8)
имеем _х
а(Гч', гчг) = (-1Г+* (2Г') (1‘) ■ (з-9)
на остальных парах этих одночленов она равна нулю. Форма <3/ инвариантна
относительно
Подпространства \У!'т^ ортогональны относительно С^. Обозначим
Вычисление дает
<Ъ{Щ,т,У1,т) = (~1)тА (1,т).
т\2{21 — т)\(21 + т + 1)!
Л(/, т) =
(2т + 1)!(2/)!2
(3.10)
3. Однополостный гиперболоид
Рассмотрим в К3 билинейную форму
[ж, у] = -Х1У1 + Х2У2 + хзУз-
(3.11)
Пусть X и Х0 обозначают гиперболоид [ж, х\ = 1 и конус [ж, х] = 0, х ф 0, соответственно. Реализуем X как множество матриц
1 / 1 - ж3 ж2 - %1 х == — (
2 \ Ж2 + XI 1 + Х’з
с определителем равным нулю. Группа (7 действует транзитивно на этих матрицах сопряжениями:
(3.12)
х \—> д 1хд.
Стационарная подгруппа точки
х
(0,0,1) = -
1/00
0 1
есть подгруппа Н. Под действием матрицы д 6 С, заданной (3.1), точка ж0 переходит в точку
х = (сгу + {35, «7 — /35, аб + Р'у).
Действие (3.12) дает (правое) действие группы С на векторах а; € К3 матрицами из БО0 (1,2). Это дает нам гомоморфизм группы С на группу ЭОо (1,2) с ядром {±Е}.
Введем на X орисферические координаты £, г)\
= N 1 (£ + 77,£-V, 1 + ^), N = N(£,77),
(3.13)
отсюда
Хз + 1
в матричном виде получим:
1 ( -т£ -V
Х N \ £ 1
Эти координаты определены на X, кроме жз = —1. Действие (3.12) в этих координатах разделяется: если ж имеет координаты £, г], то д~1хд имеет координаты
£, 77, см. (3.2). Базисная точка ж0 имеет координаты £ = 0, т] = 0. Элемент д Е б переводит ж0 в точку с координатами
£ = т, 11 = -, (3.14)
о а
так что N = (а5)-1.
Действие группы О на функциях / на X сдвигами обозначим через и:
(и(д)/)(х) = / (д^хд) ,
в орисферических координатах:
(Щд)/Ш,л) = / (£ ?) ■
Напишем в координатах £, г/ меру с1,х, оператор Лапласа-Бельтрами Д и скобку Пуассона на X, инвариантные относительно С:
с1х — с?ж(£, 77) = ТУ-2 с?£б?77, д - (ЗЛ5) и ъ\ к2 (д?эн д*дн {/,Ч = N
Многочлен / на М3 называется гармоническим относительно формы (3.11), если
&_\
дх\ дх\ дх\)
Обозначим через Н(Х) и Нк(Х) ограничения на X пространства гармонических многочленов и однородных гармонических многочленов степени к, соответственно. Это отображение ограничения - взаимно однозначное соответствие. Пространство Н.(Х) совпадает с пространством ограничений на X всех многочленов на К3, а пространство
■Мк(Х) = Но(Х) + И-^Х) + ... + Пк(Х)
совпадает с пространством ограничений на X всех многочленов степени ^ к.
Пространство Нк(Х) инвариантно и неприводимо относительно С/, соответствующее представление эквивалентно 7г*;. Многочлены из этого пространства являются собственными для оператора Лапласа-Бельтрами:
Д/ = к{к + 1)/, 1ЕПк{Х).
(3.16)
Вспомним Ж; и Ф = Ф;. Отображение
/н+ф-1/, /Е\¥и
переводит ИГ1 в пространство Ф~1И/г некоторых рациональных функций от £, г/. Оно сплетает Л; и ограничение Г/; представления и на Ф_1И^.
Теорема 3.1 Пространство Ф-1^ совпадает с Л421(Х), а представление Щ эквивалентно С/*.
Доказательство. Достаточно для каждого т = 0,1,...,21 указать в Ф-1И^ хотя бы один элемент из Нт(Х). Таким элементом является, например, минимальный вектор
4. Конечномерный анализ на однополостном гиперболоиде
В этом пункте мы даем явные конструкции и формулы для разложения представления [/; группы О в пространстве М.2і{Х) и, следовательно, тензорного произведения = 7Г/ ® 7Г/.
Перенесем билинейную форму (2і с И^ на М.2і(Х) и обозначим полученную форму на М.2і{Х) через В[. В силу (3.9) мы имеем
-1 72Г
в, (ф-'Гг?8, Ф" W) = (-1 )r+s ^ (
Bi равна нулю на остальных парах базисных элементов Ф 1£гг/5.
Напишем преобразования Пуассона и Фурье - операторы, сплетающие Ui и 7Гт, т = 0,1,... ,21.
Подпространство Я-инвариантов в Vm относительно тгт нетривиально тогда и только тогда, когда т Е N. Тогда оно одномерно. В качестве базиса возьмем функцию
6m{t) = tm. (3.17)
Она определяет ядро Пуассона:
Рщ{х jt) = ^т(£) t) = (7rm(fll ) @т) (f),
где х = g~1x°g - точка гиперболоида X, а £, rj - ее орисферические координаты. Вот явные выражения:
Pm(x;t) = Рт(£,гy,t) =
(t-£)( !-¥)'
N&r,) = [*, у]™.
(3.18)
где у - следующая точка конуса Х0:
А2 + 1 £2 — 1
Ядро Рт определяет преобразование Пуассона
(Тт^)(х) = (‘Рт'РЖ, л) = Вт(Рт(х, •), <р), (3.19)
где Вт - билинейная форма (3.6). Это преобразование сплетает тгт и II. При фиксированном I ядро Пуассона есть многочлен из Нт(Х), поэтому образ преобразования Пуассона есть все Нт(Х). Оно отображает базис // в Ут в неко-
торый базис Рт>г в 7іт(Х). По (3.18) и (3.19) получаем
^=^(2Г)“е(”)(г:>^- (320)
Фактически суммирование идет по 0 ^ і ^ г для г ^ т и по г - т ^ і ^ т
для г ^ т. В частности, минимальный и максимальный векторы таковы:
_ / \ т / г \ т / і \ т
■ т I Х\ — Х2 \ „ / 4 \ / Х1 + х2
«■нзг-(^) • *--ш -т - (з-21)
Поскольку 'Нт(Х) неприводимо, значения формы Ві на базисе Рт,г только множителем отличаются от значений формы Вт на базисе V. По определению формы Ві и по (3.10) и (5.22) получаем
В^т^ Рш,2ш) = <2і(Уі,т, Щ.ш) = (“1 ГА(/,ш) = Л(/, ш) ■ Вт (і, І2™)
и вообще, (см. (3.7))
а(Р„,, = (-1)”+г(2“) = А(1,т) . Вт (Г, «»"-) .
Возвратимся к ядру Пуассона. Теперь мы можем его переписать в виде:
2т /От\
яго({,ч; <) = ЕНГ <3-22)
г=0 \ Г /
Определим теперь преобразование Фурье Ті,т : £2і(Х) —> следующим образом:
(^т^)(і)=В,(Рт(’,*),П
где і7 Є М2і(Х). Внося сюда (3.22), мы получаем
2771 /л \
№„р)(() = £(-іГ( Г) ВД**»-г, р)ґ.
г=0 \ Г /
Преобразование Фурье сплетает С/; с тгт и сопряжено преобразованию Пуассона Рт:
В№ Ттф) = Вт(^тк ф), (3.23)
где Р Е М.21{Х), <Р € Ут. Композиция этих двух преобразований в силу неприводимости 7гт есть скалярный оператор:
?1,пСРт = А(/, т) ■ Е.
Поэтому ДЛЯ Е Е Нт(Х) имеем
ад Р) = А(1,т)-хВт{^тЕ, Т1<тЕ)
И ДЛЯ произвольного Е Е М-21{Х) имеем
21
ЧР,Е) = ^А(1,т)-1Дпад ^,тП
771=0
Это равенство можно рассматривать как формулу Планшереля на М.21(Х), "мерой Планшереля" является А
Образ самого Я-инварианта дт при преобразовании Пуассона назовем сферической функцией, отвечающей представлению тгт:
Ф т = ГтОт- (3-24)
По (3.17) и по построению базиса РШ)Г мы имеем
Фто = (-1 )тРт,т,
так что по (3.20) получаем:
Это с точностью до множителя многочлен Лежандра Рт(х3):
Фт(аО -
см. [2] 10.10, выражение координат ж, через £,г] см. (3.13).
Из (3.24) и (3.23) мы имеем
в,(Фт^) = вт(0т>я,тп
что дает выражение для сферической функции как "обобщенной функции" ш
пространстве М.я{Х).
Сдвинутая сферическая функция С/(д_1)Фт есть аналог ядра Бергмана:
2ш /п \
1}(д 1)Фт(«,^) = Е(-1)Ч г
г=0
где £, г] отвечают д £ С по (3.14).
Пусть У - какая-нибудь функция из М.21(Х), инвариантная относительно Я. Сопоставим ей оператор Р У * Р в М.21^Х) - и назовем его сверткой с У
- следующим образом:
[У * Г)(х) = (У * Е)({,г,) = В1 (и (<д-1) У, Р) .
В частности, свертка с Ф-1 есть тождественный оператор, так что Ф-1 играет роль дельта-функции. Сдвинутая функция С/ (д~1) Ф-1 есть следующая функция от двух пар переменных:
Е1(х-,у) = Е1(£,гГ,и,у) - фМф&и)
Ф(£,г])Ф(и,у) [х, у] + 1
21
Эта функция только множителем отличается от ядра Березина, которое будет рассматриваться в следующем пункте. Таким образом, ядро Е; имеем следующее воспроизводящее свойство:
В1(Е1(х,-),Е(-)) = Е(х), ЕеМ21(Х).
Для сферической функции Фт свертка с А(/,ш)_1Фт есть проекция пространства М.21(Х) на подпространство Нт(Х).
Таким образом, мы имеем разложение:
21
ф-1 = 5^А(/,ш)"1Фт. (3.25)
771=0
Формула (3.25) также может рассматриваться как аналог формулы Планшере-ля (разложение дельта-функции по сферическим функциям).
5. Полиномиальное квантование на однополостном гиперболоиде
Применим к нашему однополостному гиперболоиду X в М3 схему из § 1.
В качестве алгебры операторов мы берем алгебру операторов Та(Х), X £ Ему (д), с параметром сг, действующих в функциях </?(£), £ Є М. В качестве переполненной системы мы берем ядро сплетающего оператора Л_а_і>є, а именно, функцию
ф(£,г?) = ф.,є(^) = ^(^)2<т’є
от двух переменных £, г/.
Ковариантным символом оператора И = Та(Х), X Є Епу (д), назовем функцию
Пі, ч) = (Т,(Х) ® 1)Ф({, Ч). (3.26)
Она не зависит от е. Рассмотрим £, г] как орисферические координаты на X. Тогда функции (3.26) превратятся в функции на X. Обозначим пространство ЭТИХ функций через Л2а-
Как следует из формул (3.3)—(3.5), функции F из А-ю являются линейными комбинациями функций N(£,r])~k, к € N, с коэффициентами, полиномиальными по а и по £,77. Поэтому Ача входит в 'Н.(Х). Оно инвариантно относительно операторов Та(Х) ®1 и 10 Та(Х).
В частности, ковариантный символ тождественного оператора есть тождественная единица на X. Ковариантные символы операторов Ta(L\), Ta(L+), TCT(L_) - это, соответственно, функции
—ахз, a(xi + x2), -а(хг - х2).
Ковариантный символ оператора Ta(Lr_) = (d/dt)r есть с точностью до множителя минимальный многочлен Fr<0 из 7ir(X), а именно:
cov.symb. Ta(Lr_) = (2ег)м(—1)г ■ (3-27)
Вообще, для элемента X € Env (g) степени к ковариантный символ оператора Т„(Х) есть многочлен из Мк(Х) с коэффициентами, зависящими от а полиномиально.
Оператор D = Т„(Х) восстанавливается по своему ковариантному символу
- в точности по формуле (1.8). Следовательно, ядро оператора D есть
* а.
J Ф(^, V) (1 ~ UVf
Здесь и дальше интегралы берутся по М или по R2. Обратно, ковариантный символ выражается через ядро:
F(£,V) = ^ J K(Z,u)$(u,rj)du.
Соответствие D i—> F коммутирует с действием алгебры Ли д: если F есть ковариантный символ оператора D = Та(Х), X G Env (д), то U(L)F, где L G д, есть ковариантный символ оператора
TCT(adL • X) = [Ta(L), D].
Отсюда и из (3.27) вытекает следующая теорема.
Теорема 3.2 Множество Л2а ковариантных символов всех операторов Та(Х), X 6 Env (g), есть все пространство ТС(Х) при 2а ф N и пространство М.2а{Х) при 2а G N.
Умножение операторов дает умножение * ковариантных символов. Интегральное выражение дается в точности формулой (1.9). В нашем случае ядро Березина В(£,г]; и,у), заданное (1.10), можно переписать в терминах гиперболоида X так:
([х,у) + 1'2а'Е В(х\ у) = с ■ ( -.2...
Преобразование функций Р(£, ту) на X, состоящее в перестановке £ и г/ (в координатах Хі это изменение знака у х2), является антиинволюцией для умно-
4-І
жения *: (Рі * Р2)“ = Рг * Рі-Итак, мы получили:
Теорема 3.3 Совокупность Лю ковариантных символов есть ассоциативная алгебра с единицей относительно умножения *. Преобразование Р *—> Р является антиинволюцией этой алгебры.
Одночлен
(г,8<т) (3.28)
есть ковариантный символ для оператора
{*э-г2Г
так что ядро К(£,и) этого оператора есть
771 5 / \ і
* «■ “) = Е (т :') г* - «>■
Контравариантный символ Р оператора А мы определяем в точности формулой (1.11). Ядро Ь(£,и) такого оператора есть
г / л \ [гV Л Ф(М <Ь>
Щ, и) = с Р(и, V) —------г Т-------гх .
4 ' J Ф (и,ь) (1 - иь)2
Обратно,
где мы обозначили
Ф*({, Ч) = Ч) = ф({, ,)(!_{,)! ■
Для многочленов F(£, rj) из 'Н.(Х) соответствующие операторы А - это дифференциальные операторы. В частности, одночлен (3.28) есть контравариант-ный символ для оператора
-2 (т)й^. №)“•'■*'' »■»
так что ядро этого оператора А есть
m-s , \ 1
£«- “) - Е ("7 “) нТГгута? ”'+3' г"+я(“ - О-
Рассмотрим композиции О = contra о со, В = со о contra. Последнее есть преобразование Березина.
Теорема 3.4 Пусть А = O(D), т.е. многочлен F есть одновременно ковари-антный символ для оператора D = Та(Х) и контравариантный символ для оператора А. Тогда А = T_ff_i(Xv). Следовательно, А получается из D сопряжением относительно формы (3.6). В терминах ядер это означает, что ядро L(£,u) оператора А получается из ядра К(£,и) оператора D перестановкой аргументов и заменой а на —а — Ї:
Щ,и) = К(и,£)
а—>—сг—1
Для доказательства надо сравнить (3.29) и (3.30).
Для преобразования Березина В мы имеем следующие теоремы. Первая следует из формул (1.11) и (1.8).
Теорема 3.5 Пусть = ВР, т. е. Р и Рі - это соответственно контра- и ковариантный символы одного и того же оператора А. Тогда Рі получается из Г с помощью интегрального оператора с ядром Березина:
Fi(f, V) = J F(u, v)B(£, 77; и, v) dx(u, v).
Теорема 3.6 Преобразование Березина определено на А-2<х-2- На всяком 7im{X), входящем в Л-2а-2, оно есть умножение на число
Г(—2<т + т) Г(—2(т — m — 1) , .
W<t) =-------Г(-2<т) Г(—2сг - 1)-------------------------‘ (3'31)
Доказательство. В силу g-эквивариантности перехода к символам достаточно взять какой-нибудь один многочлен F из Нт(Х). Возьмем минимальный вектор: F = Fmfl = (rj/N)™, см. (3.21). Тогда по (3.30) оператор А есть
А =
(-2<т-2)М \d£
В свою очередь, этот оператор имеет по (3.26) ковариантный символ Рх =
6т(сг)Р, где
М^ = (_2^2)(тГ(2^(-1Г
что и есть (3.31). □
Теорема 3.7 Преобразование Березина В выражается через оператор Лапласа-Белътрами А следующим образом:
^ _ Г(-2сг + г) Г(—2а - т - 1)
Г(—2сг) Г(—2<т — 1)
В самом деле, А = т(т + 1) на ТСт{Х), см. (3.16).
(3.32)
т(т+1)=Д
Пусть теперь а —* —оо. Из (3.32) с помощью [1] 1.18 (4) мы получаем
В~1--^Д, (3.33)
ср. [6] (5.6). Отсюда по (3.15) мы получаем
2а д£ от]
Это дает нам, что для алгебры ковариантных символов верен принцип соответствия [6] (5.4), (5.5).
Более того, мы можем написать не только два члена асимптотики, как в
(3.33), но и полное асимптотическое разложение преобразования В в явном виде. Но надо разлагать не по степеням /і = —1/2а, а использовать обобщенные степени переменной —2а — 2. Тогда разложение оказывается рядом, обрывающимся на каждом 7іт(Х).
Теорема 3.8 Справедливо следующее разложение преобразования Березина: Д (Д — 1 • 2) (Д — 2 ■ 3) • • • (Д — (к — 1 )к) 1 /о см\
В = Е---------------------й (-2а-2)(*)' (^4)
к=0
Доказательство. Используя формулу дополнения для гамма-функции, мы переписать (3.31) так:
Г(—Л-1)Г(—А)
Г(—А —т- 1)Г(-А + ш) '
где Л = —2а — 2. Это есть значение гипергеометрической функции в единице: Ьт = £(т + 1, -т; -Л; 1), так что
(т + 1)^1 тп^
Ьт = ' к=О
Числитель дроби может быть записан как
т (т + 1^ • [т (т + 1) — 1 • 2^ (т [т + 1) — 2 • 3^... (т (т + 1) — (к — 1) • к^.
Но это и есть как раз собственное число на 7іт(Х) оператора, стоящего в числителе первой дроби в (3.34). □
Из (3.34) видим, что на пространстве МГ(Х), г Є N, преобразование В есть дифференциальный оператор (некоторый многочлен от А).
§ 4. Полиномиальное квантование на комплексном гиперболоиде
В этом параграфе мы переносим на комплексный гиперболоид в С3 результаты из § 3 для вещественного гиперболоида, см. [4].
Представления основной серии группы С = БЬ(2,С) определяются следующим образом. Для Л 6 С, к € 2, а € С\{0}, обозначим
Пусть a G С, 2т G Ъ. Обозначим через Рст,т пространство функций tp(z) из С°°(С) таких, что функции z2o',2"V(—1/z) тоже принадлежат С°°(С). Представление ТсТ:ГП основной серии действует в Va^m по формуле
(T,„(g)v){z) = v{^±^j(l3z + 5f^, «,= (“ 1У aS — /З7 = 1.
Меняя местами а с 5 и (3 с 7, получаем контраградиентное представление Представления Та>т и Тат эквивалентны. Оператор с ядром (1 — zw)~2lT~4:~2m сплетает Та<т и Т_ст_2 _т, а также Тст>т и Г_ст_2 -т.
Аналитическое конечномерное представление щ, 21 G N, группы G действует в пространстве Vi многочленов <p(z) от z степени ^ 21 по формуле
(тгi(g)ip) (2) = <р (Pz + Sfl-
Антианалнтическое представление tti получается комплексным сопряжением. Всякое конечномерное неприводимое представление группы G есть тензорное произведение 7Г;ь;2 = 71\ tg) 7Г, ;2
Введем на С3 билинейную форму [х,у] = —х\у\ + х2у2 + %зУз- Обозначим через X гиперболоид [х, х] = 1. Это пространство может быть реализовано как пространство матриц
_ 1 / 1 - Х3 Х2 - ХХ \
Х ~ 2 \ Х2 + Xi 1 + х3 )
с определителем сіеі х = 0. Группа б действует на таких матрицах: х д~ххд. На X она действует транзитивно, стационарной подгруппой точки х° = (0,0,1) является подгруппа Н диагональных матриц.
Введем на X орисферические координаты т/:
где N = 1 — £г]. На X имеется два оператора Лапласа Д и А (образующие в алгебре инвариантных дифференциальных операторов), где Д = 7У292/д£дг).
Конечномерный анализ для комплексного гиперболоида связан с разложением на неприводимые составляющие тензорного произведения произвольного неприводимого конечномерного представления группы й и его контраградиент-ного. Такие тензорные произведения реализуются в многочленах на гиперболоиде. Мы находим действие соответствующих сплетающих операторов (преобразований Пуассона и Фурье), вычисляем сферические функции и устанавливаем "формулу Планшереля". Все это построение идет параллельно § 3, оно сводится к тензорному произведению комплексификаций конечномерных представлений из § 3 на комплексно сопряженные.
Полиномиальное квантование на комплексном гиперболоиде (ковариантные символы, контравариантные символы, преобразование Березина) в точности повторяет § 3. В качестве алгебры операторов мы берем алгебру операторов О = Та^т{Х), где X - элементы универсальной обертывающей алгебры для алгебры Ли группы С, действующие в функциях от £, и где а Е С, но т должно быть целым. В качестве переполненной системы мы берем ядро сплетающего оператора Л_ст_2,-т, а, именно,
Для а общего положения пространство ковариантных символов есть пространство всех многочленов на С/Н.
Теорема 4.1 Преобразование Березина выражается через операторы Лапласа:
где надо положить Д = А(А + 1), Д = /х(/х + 1).
Следовательно, при а —> —оо преобразование Березина имеет асимптотику:
ф(£ г]) = АГ2<т’2т = (1 - ^)2а'2т
В
х
Г(—а — т + А)Г(—о — т — А — 1) Г(—ст — т)Г(—<г — т — 1)
Г(—+ т 4- //)Г(—и + т — ц — 1) Г(—а + т)Г(—сг + т — 1)
В ~ 1 —(Д + д).
а
Отсюда следует выполнение принципа соответствия.
Справедливо также следующее полное разложение преобразования Березина:
А(А - 1 • 2)(А - 2 • 3)... (А - (к - 1)к) 1
к\ (—а — т — 2)(^
х А(А — 1 • 2)(А — 2 • 3)... (А — (г — 1)г) 1
г! (—а + т — 2)(г)
г=О 4 7
Таким образом, в отличие от вещественного случая для комплексного гиперболоида мы имеем счетное число полиномиальных квантований, они нумеруются целым числом т.
§ 5. Полиномиальное квантование на пара-эрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой движений
В этом параграфе мы рассматриваем полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах й/Н ранга 2 с псевдо-ортогональной группой б = БОо(р,я)- Связная компонента единицы группы Я есть Не = 8О0(р - 1,<? — 1) х 80о(1,1). Мы считаем, что (7/Я есть С-орбита в присоединенном представлении группы (7. Размерность пространства б/Я равна 2п —4, где п = р + д.
1. Псевдоортогональная группа и ее алгебра Ли
Введем в пространстве К" следующую билинейную форму:
П
[;X, у] = ^ \XiVi,
г—1
где А1 — ... — Ар — 1, Ар+1 — ... — Хп 1, ах - (х^,..., хп), у (у\,..., уп)
- векторы из К". Пусть С = 8О0(р, я) - связная компонента единицы в группе линейных преобразований пространства М" с определителем 1, сохраняющих форму [х, у]. Мы будем считать, что й действует линейно в К" справа: х к-> хд, так что векторы х из М” будем записывать в виде строки. Мы рассмотрим общий случай р > 1, <7 > 1.
Будем записывать матрицы д £ (7 в блочном виде, отвечающем разбиению п= 1 + (п — 2) + 1. Подгруппа Я в С образована матрицами
а 0 Р
0 V 0
Р 0 а
где о? — (З2 = 1, v G SO(p — 1, <7 — 1). Она состоит из двух связных кусков. Ее связная компонента единицы Яе состоит из матриц (5.1), где а = cht, (3 — sht. Следовательно, Не = SO0(l, 1) х SO0(p — 1 ,q — 1).
Алгебра Ли g группы G состоит из вещественных матриц X порядка п, удовлетворяющих условию XI + IX' = 0, где I = diag {Ai,..., А„}, штрих означает транспонирование. Возьмем в алгебре Ли f) группы Я элемент
/0 0 1\
Z0 = 0 0 0 .
V 1 о о у
Стационарная подгруппа матрицы Z0 в присоединенном представлении есть в точности подгруппа Я, так что многообразие G/H есть как раз G-орбита в алгебре д относительно присоединенного действия, содержащая Zq.
Оператор adZo имеет три собственных значения: —1, 0, +1. Алгебра Ли д распадается в прямую сумму соответствующих собственных подпространств
s = q~ + f) + q+-
Подпространства q~, q+ состоят соответственно из матриц
/ 0 £ 0 \ /От? 0 \
Х6 : Г 0 С I , Yv : г;* 0 —rf I ,
V 0 н О ) V 0 11 0 J
где £, ?7 - векторы-строки из М"~2, <р* обозначает 1\ф, где I\ — diag {А2,..., An_i}. Оба пространства q± являются абелевыми подалгебрами в д и имеют размерность п — 2. Подгруппа Я сохраняет подпространства q“ и q+. Под действием элемента h € Я, см. (5.1), координаты £ и г) из q_ и q+ преобразуются следующим образом: £ > (а + /3) £ v, т) * (а — (3) г] v.
2. Представления группы G, связанные с конусом [5]
Пусть С - конус [ж, ж] = 0, ж ^ 0, в R". Группа G действует на нем транзи-тивно. Возьмем в конусе две точки
5- = (1,0, ...,0,-1), S+ = (1,0,... ,0,1).
Рассмотрим следующие сечения конуса (проходящие через эти точки соответственно):
Г- = {ж! - ж„ = 2}, Г+ = {xi + хп = 2}.
Они пересекаются один раз почти с каждой образующей конуса С. Поэтому линейное действие группы G на конусе порождает соответствующие дробнолинейные действия на Г- и Г+:
2
ж I—> х = -т-----тт • хд, же Г-, (5.2)
[хд, s+J
ж и—» ж = --—-—т ■ хд, ж € Г+. (5.3)
[хд, s-J
Стационарными подгруппами в группе G точек s“ G Г- и s+ G Г+ служат максимальные параболические подгруппы Р+ = Q+H и Р~ = Q~H соответственно. Здесь Q~ = exp q_, Q+ = exp q+. Группы Q~ и Q+ действуют просто транзитив-но на Г- и Г+ соответственно. Это позволяет ввести координаты на Г- и Г+ с помощью координат £ из q~ и 77 из q+, а именно, для точек и G Г- и v G Г+ положим:
и = «(£) = s~expX^ = (1 + (£,£), 2£, -1 + (£,£», (5-4)
„ = -u(ry) = s+expy„ = (1 + (77,77), 2т?, 1 - (77,77)), (5.5)
где (if, -ф) обозначает билинейную форму в М"~2 с матрицей Д.
Пусть сг G С, е = 0,1. Обозначим через Т>а>£(С) пространство функций / класса С°° на конусе С, однородных "степени сг, е":
f{tx) = ta’£f(x), х £ С, t G R* = R \ {0}.
Обозначим через представление группы G, которое действует в Т>а^е{С)
сдвигами:
СTa,e{g)f) W = /Сад).
Реализуем представление в функциях на сечениях Г"1" конуса С. Ограничения функций из Т>а^е(С) на Г* образуют некоторые пространства Р^ДГ*). Они содержатся в С'°°(Г±) и содержат Т>(Т±). В координатах £,77 представление Та,е группы G действует по формулам
(Ta,e(g)f)(0 = /Й){-^Ка+]} ’ . (TUg)f) (v) = f(v)^-\[vg,s~]
где и = и(£), v = v(rj) определены в (5.4), (5.5), действия £ н-> £ и 77 н-> rj порождаются действиями (5.2), (5.3).
Определим в DrT>c(r±) оператор следующим образом:
(Aa,J№= [ m,v)2-n^’£f(v)dr7, (5.6)
где
W(f,7?) = “2 М'О’К7?)] = 1 - 2(^>^7) + (tOiViV)-
Функция iV(£, 77) есть многочлен от £,77. Оператор сплетает представления и Т2-п-а,Е- Эти представления действуют в функциях на разных сечениях. В (5.6) можно £ заменить на 77 и наоборот. Произведение Ач-п-а>гАа^ есть скалярный оператор:
А-2—п—а, еА-о% е = с((7, £■) • Е,
где
с(а, є)-1 = 237Г
-1 _ оЗ_п-з Г(<7+1)Г(3—п —ст)
(2(7Н-п — 2) йіп (а+п/2) 7Г
. а—є . а — є+р . сг+є+д . а+є+п
X вІП——— 7Г • вт--- ---7Г • біп- ---7Г ■ 8іп- ---7Г .
3. Пространство О/ Я
Рассмотрим следующую реализацию пространства С/Я. Пусть Г2 - множество матриц:
-йу (5-7)
где х,у Є С, у* = 1у'. Ранг и след этих матриц равны 1. Присоединенное действие г н-> д~ггд сохраняет О. Подгруппа Я является стационарной подгруппой матрицы 2°, соответствующей паре х = в~, у = я+, так что Г2 есть как раз Є/Н.
Возьмем в (5.7) в качестве х, у векторы и = и(£) ту — у(г}), см. (5.4), (5.5). Получаем вложение Г- х Г+ —» Г2, задаваемое формулой
и*и
* = з(£, Г]) = --г, и = «(£), V = у(г])
[и, у\
(определенное почти всюду: N{£,77) ф 0). Поэтому £,77 являются локальными координатами на £1 Присоединенное действие группы С на £2 сводится к ее действию на £ и на 77.
Касательное пространство к (7/Я в начальной точке г° можно отождествить с пространством q в алгебре Ли д. Пусть £(я) - алгебра многочленов на 4. Группа Я действует на ч и, следовательно, в 5(ч).
Теорема 5.1 Алгебра 3(с\)н многочленов, инвариантных относительно Н, порождается двумя многочленами (£,77) и (£,0(77,77).
Пусть О (С/Я) обозначает алгебру дифференциальных операторов на (3/Я, инвариантных относительно С. Эта алгебра находится во взаимно однозначном соответствии с алгеброй 5(я)я. Образующими в ней являются операторы Д2 и Д4, соответствующие образующим (£,77) и (£, £) (77,77) в алгебре 5(я)я. Назовем эти операторы операторами Лапласа на С/Я. Оператор Д2 есть оператор Лапласа-Бельтрами на (3/Я. Эти операторы являются дифференциальными операторами второго и четвертого порядка соответственно. Явные выражения
этих операторов достаточно громоздки. Нам достаточно знать явные выраже-
0 0
ния лишь для их радиальных частей Д2 и Д4, которые получаются следующим
( 0 0 . ■ 0 ^
0 0 . . 0 Ь
^1 0 . . 0 0
^ 0 І2 . 0 0 )
образом. Возьмем в q картановское подпространство а, которое состоит из матриц
А(і\, —
где ^1,^2 € К- Введем в а* лексикографическое упорядочение по координатам. Пусть п обозначает подалгебру в д, образованную соответствующими положительными корневыми подпространствами. Рассмотрим множество точек г в П, которые получаются из г° сдвигом сначала на элемент о = а(^,42) = ехрЛ(^1,^2) и затем на элемент п £ N = ехрп, т. е. г = п~1а~1г°ап. Эти точки заполняют некоторую окрестность и точки 2°. Параметры £2 и параметры из подгруппы N являются координатами в этой окрестности.
Пусть функция /, заданная в С/, не зависит от п € N. Тогда она есть
функция от *1,^2; = Р(Ь,Ь)- Пусть Б - дифференциальный оператор из
о о
О(С/Я). Тогда £)/ также не зависит от п & М, так что £>/ =И Е, где Б есть некоторый дифференциальный оператор от <1,<2, он называется радиальной частью оператора И.
о
Теорема 5.2 Радиальная часть И оператора И € О (С/Я) есть дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.
Введем операторы
п 2
А =
£>2 =
д д ш1 + дГ2+п _д____д_ "
(2п - 7)
- (2п — 7).
Теорема 5.3 Имеем
о
А2
о
Л4
— - {1?1 + Д2 — (п = 1)А + 2(п-4)3
4)(п — 6)},
4. Преобразование Березина
Построение полиномиального квантования (ковариантные символы, контра-вариантные символы, преобразование Березина) в точности повторяет построения из § 1 и § 3. В качестве переполненной системы мы берем ядро ІУ(£, г)У'є сплетающего оператора А^-п-а^- Для 17 общего положения пространство Ла ковариантных символов есть пространство 5{С!/Н) всех многочленов на С/Я.
Напишем выражение преобразования Березина В через операторы Лапласа Д2 и Д4 на С/Я, см. [10]. Обозначим т = (п — 4)/2.
Теорема 5.4 Мы имеем:
_ Г(сг + п — 2 + &)Г(сг + 1 — к) Г(ег + т + 2 + /)Г(сг + т + 1 — /) . .
Г(и + п — 2)Г(сг + 1) Г((т + т + 2)Г(сг + т + 1)
Здесь к, I - переменные. Фактически, правая часть (5.8) зависит от Л2 и А4,
где Л2 = 2(а\ + а2), Л2 = 16(а1а2 — та\ + т2а2) и ах = к(к + п — 3), а2 = /(/ + 1).
Теперь вместо Л2 и Л4 надо подставить Д2 и А4 соответственно.
Доказательство (аналогично доказательству теорем 3.7 и 3.6). Представление группы (3 сдвигами в пространстве 5(С/Я) распадается в прямую однократную сумму конечномерных неприводимых представлений 7Га}ь со старшими весами (а, Ь), а, Ь £ а ^ Ь, относительно а. Собственное число оператора В на неприводимом подпространстве со старшим весом (к + I, к — I) есть
_ {а + п- 2)Щ (а + т + 2)^ к’1 а№ (а + т)(1'>
Отсюда следует формула (5.8). □
Заметим, что на конечномерных подпространствах в 5(6/Я) преобразование Березина есть дифференциальный оператор.
Пусть а —> —оо. Первые два члена асимптотического разложения преобразования Березина В таковы:
В ~ 1-----А2.
а
Отсюда вытекает принцип соответствия (в качестве "постоянной Планка" надо взять /г = —1/а).
Напишем формулы для полного асимптотического разложения преобразования Березина. Во-первых, с помощью формулы (3.32) мы находим:
оо р оо п
В = У'— • V----—----------------------------------
5=0 £=о
где
1 1 4-т
^ = — П(“1 -1(1 + п-з)}, = ^ ПЬ ~Ш +1^-
5' 3=0 ' 3=0
Во-вторых, здесь надо привести подобные члены. Это можно сделать разными
способами. Например, так:
- многочлен от Д2 и Д4 (Sst - символ Кронекера).
Литература
1. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Гипергео-метрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука. 1965.
2. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука. 1966.
3. Н. Я. Виленкин. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука. 1965.
4. О. В. Гришина. Конечномерный анализ на комплексном гиперболоиде. Вестник Тамбовского Унив. Серия: Естеств. и техн. науки. 2008. Том 13. Вып.
6. 485-498.
5. В. Ф. Молчанов. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом. Матем. сб.. 1970. Том 81. № 3. 358-375.
6. В. Ф. Молчанов. Квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах (см. настоящий том).
7. В. Ф. Молчанов, А. А. Артемов, Л. И. Грошева. Канонические и граничные представления (см. настоящий том).
8. V. F. Molchanov, N. В. Volotova. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского Унив. Серия: Естеств. и техн. науки. 1998. Том 3. Вып. 1. 65-78.
9. V. F. Molchanov, N. В. Volotova. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces. Acta Appl. Math.. 2004. Vol. 81. Nos. 1-3, 215-232.
10. S. V. Tsykina. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces with pseudo-orthogonal group of translations. Intern. Workshop "Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics". Moscow. Aug. 25-30. 2007. Vol. 2. 63-71.
Поступила в редакцию 25 апреля 2009 г.
Keywords: Lie groups and algebras; representations of Lie groups; para-Hermitian symmetric spaces; polynomials; symbol calculi.
Quantization (symbol calculus) in the spirit of Berezin in polynomials on para-Hermitian symmetric spaces is constructed.
