Вычисление расхода для течения газа в микроканале Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:533.7

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАСХОДА ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В МИКРОКАНАЛЕ

Т. Г. Елизарова*^, Д. Г. Ершов

(.кафедра математики) E-mail: [email protected]

Построены приближенные формулы для вычисления расхода газа в длинных изотермических мижрожаналах. Пожазано, что жвазигазодинамичесжие уравнения с условиями сжольжения Мажсвелла предсжазывают существование минимума расхода в жанале — таж называемого минимума Кнудсена. Предложены поправжи, позволяющие выписать приближенные формулы для расхода, справедливые во всем диапазоне чисел Кнудсена.

Введение

Эксперименты Кнудсена, выполненные в начале 1900-х гг., показывают наличие минимума удельного расхода газа для течений в длинных изотермических каналах при числах Кнудсена порядка 0.2 (так называемый эффект, или минимум, Кнудсена) [1, 2]. Возможность описания этого эффекта с помощью различных теоретических моделей интересует исследователей и до сих пор. При использовании кинетических подходов эффект Кнудсена был получен в целом ряде работ. В частности, в [2-5] эта задача решалась с помощью вариационных подходов к решению уравнения Больцмана в БГК приближении и уравнений Барнетта.

В работе [6] было показано, что квазигидродинамические уравнения с граничными условиями скольжения Максвелла для скорости позволяют описать течения газа в микроканалах вплоть до чисел Кнудсена порядка единицы. В настоящей работе на основе указанного подхода построены приближенные аналитические формулы, описывающие эффект Кнудсена. Предложены поправки, позволяющие выписать приближенные формулы для расхода в плоских и цилиндрических каналах, справедливые во всем диапазоне чисел Кнудсена.

Уравнения газовой динамики и течение

Пуазейля

Система уравнений газовой динамики может быть записана в виде законов сохранения:

^ + div/m = 0,

д(ри)

at

' div(jm <g> и) + Vp = div П,

д_ at

р(у+е) + div jm (у + е + -) +divq< =

= div(II • и).

(1) (2)

(3)

Здесь использованы обычные обозначения. Символы ® и • обозначают прямое тензорное и скалярное произведение соответственно. При вычислении дивергенции от диадного произведения {¡т ® и) оператор применяется к первому вектору. Индекс ()Т означает транспонирование.

Согласно [7, 8], различный выбор вектора плотности потока массы /т, тензора вязких напряжений П и вектора теплового потока позволяет построить три взаимосвязанные системы уравнений. Для уравнений Навье-Стокса [10] эти величины вычисляются как

(4)

/т=ри, =

Пд?5 = ® и) + (V ® и)т - (2/3)/ и].

Для двух других систем уравнений — квазигазодинамической и квазигидродинамической (КГД) [7-9] — вектор плотности потока массы определяется в виде

/т = р{и-ш).

Для квазигазодинамической системы замыкающие соотношения имеют вид

w = - [div(pu Р

П = п

TU(

u) + Vp], р(и ■ V)M

Vp - pF

tI

q = 4ns- три

(и • V)p + 7p divu («• V)e+ /?(«•

(5)

(6) (7)

Характерное время т и коэффициенты вязкости г) и теплопроводности к связаны между собой:

Рг '

V

Sep'

к:

(8)

где г/ = г/(Т) = щ(т/Tq^ , Рг — число Прандтл? Se — число Шмидта.

Институт математического моделирования РАН.

Для квазигидродинамической системы уравне-

нии

П = UNS + р(и ® w), 4 = 4ns,

w=-[p(u-V)u + Vp]. Р

(9)

Обе КГД системы отличаются от системы Навье-Стокса дополнительными слагаемыми с малым параметром размерности времени т. Для стационарных течений дополнительные слагаемые имеют порядок 0(т2).

Добавим к приведенным системам уравнений соотношения для идеального политропного газа р = рЙТ, е = <..';. Т.

Для получения приближенной формулы массового расхода газа в длинном канале будем следовать методике работы [6]. Рассмотрим течение газа в плоском канале длины Ь и ширины Я. Пусть на входе и выходе канала давление равно р\ и р2, где р\ > р2- Следуя [10], предположим, что градиент давления вдоль канала невелик и на малой длине канала йх плотность газа р можно считать постоянной. Будем искать решение системы уравнений (1)-(3) в виде

их = и(у), иу = 0, р = р(х), Т = Т0. (10)

При этом все три выписанные системы уравнений сводятся к одному уравнению

dp(x) d2u(y)

dx

Vo-

dy2

(11)

Используя в качестве граничных условия скольжения Максвелла для скорости [11]

— er du\

а dy)

у=о

= 0,

— а du

и dy

у=Н

= 0,

найдем профиль скорости, который имеет вид модифицированной параболы Пуазейля

и, ■■

1 dp(x) 2щ dx

уШ-у)

и

ХН

и

Здесь а — коэффициент аккомодации для скорости, Л — средняя длина свободного пробега частиц, которая связана с коэффициентом вязкости:

Л = A-Vrt,

Р

(12)

где А = у/ж/2 (формула Чепмена [11]) или А = 2(7 - 2ш)(5 - 2ш)/ ^15\/2тг) (формула Бер-да [12]).

Вычисление массового расхода

Для уравнений Навье-Стокса плотность потока массы ]'тх = рих. Следуя методике работы [10], осуществим замену р = р!Ш§. Тогда массовый расход

газа, протекающего через некоторое сечение канала, вычисляется как

н

н

Jns =

jmx dy

pux dy ■■

Я3

2 dp 42-3^dx а

a dp X ~PTxH

(13)

8щЙТ0

Для обеих КГД моделей ¡тх = р(их — тх), причем для рассматриваемой задачи величина тх для обеих моделей одинакова и равна

т dp 7} 1 dp

р dx рБс р dx'

В рамках КГД подхода расход газа через сечение канала равен

w, =

н

н

н

/ =

р(их - wx) dy

А V

рих dy- —

Я3

8щЙТ0

[2 dp

dx

о

. 2—а dp X а dx Я

1 dp(x) р dx

dy

-Р

/М2'

А2 Эе^^х \Я/ , (14)

Последнее слагаемое в этой формуле получено с использованием замены коэффициента вязкости на длину свободного пробега по формуле (12).

Первое слагаемое в формуле (14) соответствует расходу, определяемому параболой Пуазейля с условиями прилипания, второе описывает увеличение расхода за счет условий скольжения скорости, третье увеличивает расход за счет процессов самодиффузии. Третье слагаемое имеет порядок 0(т2) или 0(Кп2), где число Кнудсена Кп = Л/Я. Для стационарных течений именно такое отличие существует между уравнениями Навье-Стокса и КГД моделями.

Согласно [1], массовый расход в плоском канале для свободномолекулярного течения равен

4Я2л/2 йр

fy _ _

0 Ъ^Щ dx'

(15)

Выражая коэффициент вязкости через длину свободного пробега (12), вычислим нормированное значение расхода (14)

Qxy — тхи —

/ _ 3 ^А

гКп

,ху

Jo

8л/2

а

а

А2 Sc

Кп

(16)

Отсюда следует, что величина Q имеет минимум при числе Кнудсена

А /Sc Knm = -yy.

Положение минимума не зависит от коэффициента аккомодации а. При Sc = 1, А = \/ж/2, Knm = 0.36.

В работе [2] на основе БГК приближения для молекул — твердых сфер (ш = 0.5) вычислен рас-

ход в плоском канале. Результаты не выражаются аналитически и представлены в виде таблиц и графиков. Для малых чисел Кп (Кп—>-0) приведена приближенная формула для расхода в виде

Qee г =

Кп

■ а + (2а2 — 1) Кп .

(17)

При а = 1 выражения (16) и (17) отличаются численным коэффициентом порядка единицы.

Вычисление расхода для разреженных течений

Присутствующие в КГД уравнениях добавки, пропорциональные малому параметру т, связаны с дополнительным осреднением, или сглаживанием, по времени при определении газодинамических параметров. Величина т с точностью до коэффициента порядка единицы равна среднему времени свободного пробега частиц. При увеличении разреженности газа величина т неограниченно возрастает. Для течений достаточно разреженных газов, когда А ^Я, т.е. Кп = А/Я ^ 1, естественно ограничить время осреднения и связать его дополнительно с характерным размером задачи. Для этого в выражение для т (8) введем поправку вида

V

Т = р Эс(1 + Кп)' (18)

При Кп -л 0 выражение (18) вырождается в (8). Учитывая выражение для Л вида (12), получим, что при больших числах Кнудсена (Кп>> 1)

Я

V

V

(19)

р Sc(l + Кп) pScKn Sc AVRT' Таким образом, для разреженных течений т ~ ~ Н/л/RT имеет порядок характерного времени свободного пробега молекул между столкновениями с границами рассматриваемой области.

Используем модифицированную формулу для т при вычислении расхода в канале. В выражение (18) введем калибровочный коэффициент 1: т = v/(p Se( 1 + а Кп)). Тогда формула для локального расхода в сечении плоского канала (14) примет вид

/ =

Я3

8щЙТ0

2 dp ^2 — а^dp X

dx а

PdxH

8 dp/ Л\2 1

A2ScPdx\HJ (l+aX/H)

(20)

нормированное значение расхода (аналог формулы (16))

Qxy — jXy —

Jo

_ Ъурк А

Кп^

а

Кп

а Л2 Sc (1 + аКп)

(21)

Нормированный расход имеет минимум при числе Кнудсена

где Knm определяется как положительный корень соответствующего квадратного уравнения. При Sc = 1, А = л/ж/2, а = 1, величина Knm = 0.56. Условие существования минимума Кнудсена Knm >0 накладывает ограничение на величину а:

а <

aVSE

2\/3

3.

При Кп >> 1 расход в канале будет равен расходу при свободномолекулярном течении и выражение (21) примет вид

Qxy — rXU —

/ 30F А

тХу

Jo

8 V2

а

а аА2Sc

= 1. (22)

Отсюда можно определить величину коэффициента а. При а = 1

а:

6Vi

Л Sc (8^2-3Л Vi) '

Если А = \/ж/2, Эс = 1, то а = 1.82.

Аналогично удается получить нормированное значение расхода для цилиндрического канала радиуса Я:

Qrz — .,., — Jo

А

8 ^2

Kn^

а

Кп

а Л2Sc (1 + аКп)

(23)

где массовый расход для свободномолекулярного течения [11

тгг_

Jo —

4Я3 / 2ж dp ^VWqH'

Нормированный расход имеет минимум при числе Кнудсена

Л [Sc

А [Sc^

Сопоставление выражений (21) и (23) с результатами [2] приведено на рис. 1 и 2 для а = 1, Л = \/ж/2, Эс = 1. Нижняя кривая соответствует уравнениям Навье-Стокса с условием прилипания для скорости, кривая 1 — уравнениям Навье-Стокса с условиями скольжения для скорости, 2 — КГД модели для а = 0, 3 — а = 1, пунктирная линия (Сег) — данные [2]. На рис. 2 кривая 4 соответствует а = 2.

Qxy

Рис. 1. Зависимость удельного расхода 0ху от числа Кп в плоском канале

Рис. 2. Зависимость удельного расхода С}гг от числа Кп в цилиндрическом канале

Таким образом, показано, что полученная в рамках КГД уравнений формула для расхода газа в длинных каналах предсказывает эффект Кнудсе-

на. Введение поправки в параметр релаксации позволяет получить выражение для расхода в длинных изотермических каналах, которое хорошо совпадает с результатами кинетической теории во всем диапазоне чисел Кнудсена.

Литература

1. Present R.D. Kinetic theory of gases. McGraw-Hill Book Company, Inc. 1958.

2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М., 1978.

3. Cercigniani С., Sernagiotto F. // Phys. Fluids. 1966. 9, N 1. P. 40.

4. Cercigniani С., Lampis M., Lorenzani S. // Phys. Fluids. 2004. 16, N 9. P. 3426.

5. Кип Xu, Zhihui Li. // J. Fluid Mech. 2004. 513. P. 87.

6. Elizaroua T.G., Sheretov Yu.V. // La Houille Blanche. Revue Internationale de l'Eau. 2003. N 5. P. 66.

7. Шеретов 10.В. I ! Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1997. С. 127.

8. Шеретов 10.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь, 2000.

9. Елизарова Т.Е. Математические модели и численные методы в динамике газа и жидкости. Ч. 1, 2. М., 2005.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Гидродинамика. М., 1986. '

11. Абрамович E.H. Прикладная газовая динамика. М., 1991.

12. Bird G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. Oxford, 1994.

Поступила в редакцию 01.03.06