CC BY
50
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Томі 1970
№ 6
УДК 533.6.011.8
ТЕЧЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ
С. Л. Горелов, М. Н. Коган
Методом Монте-Карло решается линейная задача о течении разреженного газа между двумя бесконечными пластинами, под действием градиента давления (течение Пуазейля) и под действием градиента температуры вдоль пластин. Кратко описан применяемый метод. Результаты расчетов расхода в зависимости от числа Кнудсена сравниваются с данными, полученными другими методами и экспериментальными данными. Представлены профили скорости для разных чисел Кнудсена. Решается задача о скачке скоростей и течении в слое Кнудсена, вызванном градиентом температуры. Даны результаты расчетов профиля скорости в этом случае. Все расчеты проведены для модели молекул в виде .максвелловских сфер", сечения которых изменяются обратно пропорционально относительной скорости молекул.
Известно, что в основе расчета всевозможных трубопроводов и каналов лежит классическое течение Пуазейля. Однако полученное в рамках уравнений Навье—Стокса решение Пуазейля применимо лишь при числах Кнудсена
V — к
------0, т. е. когда длина пробега молекул X мала по сравнению с диаметром й канала. В настоящее время для расчета многочисленных вакуумных ■систем необходимо иметь аналогичное решение для произвольного числа Кнудсена. Экспериментально такие течения исследовались еще Кнудсеном [1], который обнаружил, что при изменении числа Кп расход газа через трубу меняется не монотонно, а имеет минимум (парадокс Кнудсена).
Наряду с течениями, вызванными градиентами давления в разреженном газе {при Кпф 0), возникают течения при наличии градиентов температуры вдоль канала. Исследования этих течений требуют решения уравнения Больцмана. Задача о течении Пуазейля решалась с помощью модельного уравнения в работах [2] — [5]. Для течения, вызванного градиентом температуры, с помощью модельного уравнения получено асимптотическое решение при Кп -»0 [6] и приближенное решение при не слишком малых числах Кп [7]. К последней задаче тесно примыкает задача о скачке скоростей и течении в слое Кнудсена, вызванных градиентом температуры, которая для модельного уравнения решена в работах [5] и [в].
В настоящей статье все три задачи впервые решаются для полного линейного уравнения Больцмана. Решение находится методом Монте-Карло, аналогичным применявшемуся в работах [9] — [11]. Расчеты проводятся для модели молекул в виде „максвелловских сфер', сечения которых изменяются обратно пропорционально относительной скорости молекул.
1. Рассмотрим газ, находящийся между двумя параллельными пластинами. Координата л: направлена перпендикулярно пластинам. Пусть газ будет в состоянии равновесия с пластинами, тогда равновесную функцию распределения
скоростей обозначим /<*>, а вероятнность пролета пробной молекулы по некоторой траектории —В70. В случае истинных граничных условий вероятность пролета по той же траектории обозначим Ш, а искомую функцию распределения—/.
Функция /00 есть некоторая максвелловская функция распределения, и функция / мало отличается от /(»:
и=щ(шг;Т<|Л)
где т — масса молекулы; к — постоянная Больцмана; £ — скорость молекулы; <р — малая величина, квадратом которой можно пренебречь; щ и 7"0 - некоторые характерные плотность и температура.
Пусть нужно вычислить величину некоторого молекулярного признака А, переносимого молекулами через плоскость, параллельную пластинам. Если молекулы находятся в состоянии равновесия с границами и имеют функцию распределения /оо, то средняя величина переносимого признака А
N В {а) .
<'*
здесь N—число разыгрываемых траекторий (траектории начинаются и кончаются <яа стенках); V = £ | 5* ] /00 <26 —действительный поток числа частиц, „вылетающих" «з стенок; — перенос признака А по а-траектории при Р-м пересечении рассматриваемой плоскости; | ^ — модуль скорости молекулы в а-траектории
пересекающей рассматриваемую плоскость в р-й раз. Всего а-траектория пересекает рассматриваемую плоскость В(а) раз. Так как в исследуемом течении вероятность пролета молекулы по той же траектории в Й^/П^о раз больше, то
Л - N 2- 1г0Л 2* | ег |ар ■ (к3)
а = 1 р—1
Вычитая (1.2) из (1.3), исключаем ошибки, связанные с рассмотрением ненужной для задачи равновесной функции /00:
I/ ** , \г/ \ В(а) А
»■*>
а=1 р=1 к
Рассмотрим отношение вероятностей №1\№о:
_____ (1.5)
«'о а0 Ь0 с0 К
Здесь а/а0—отношение вероятностей вылета с поверхности со скоростью, лежащей в интервале [£, £>/60 — отношение вероятностей пробега без
столкновения времени т и столкновения в интервале с/со — отношение вероятностей столкновений с молекулой, обладающей скоростью в интервале [£,,
I, + й?]| и т. д.
Рассмотрим подробнее сомножители (1.5):
16,|/,(6)<№ |5х|/оо(6)^
“о — Г I 6 I ' I1-™
Л 6*1/.(6) </6 ’ /16,|/оо(6)*6
где /щ, — функция распределения на границе. Для .максвелловских сфер"
пйх ехр ^ — а0 ^ лйт | ; й0 = я0а0йгехр[—^оп0]; (1.7)
ш. ,
и = — сечение столкновения, ^ = | с — 1 — относительная скорость молекул
лри столкновении;
/(61) (&) _ /оо (61) g^^ (м) ^«1 ,, оу
Линеаризуя (1.5) и считая, что я = /і0(1 +"*)> а ^ — малая добавка, получаем:
X
^ ■ = 1 + (0 — °0 П0 | + (р (£,) + . . . .
1^0
(1.9)
о
Из (1.9) следует, что для определения И7/и^0 надо знать функцию <р, которая находится следующим образом. Для V согласно (1.4) можно записать
N В («)
1 Г, V V’/' ИР л 2 (1.10>
«о
\^х І а'і
Разбивая поле скоростей на скоростные ячейки, записываем (1.10) в виде суммы:
■V
ІX /о° У* ді - щ - X £ (■
//А а=1
у?_
\ №0
В (а)
(1.11)
Здесь индексом 1]к отмечена скоростная ячейка с центром в точке (£*,-, £уу,-
Ег*) и со сторонами Д?*, Д£у, Д?г, Д£ = Мх Д£у 46*. Отсюда легко найти <р/уй:
.V В (в)
= у у / у \ -у 1 лу<юу*Д£ ~ \ 470 I ^
(1.12)
Задача решается методом последовательных приближений. В первом приближении принималось <р = 0.
2. Рассмотрим течение между двумя бесконечными параллельными неподвижными пластинами. Пусть температура пластин постоянна и одинакова, течение происходит под действием малого градиента давления и стенки отражают молекулы по максвелловскому закону с температурой, равной температуре стенок.
На фиг. 1 представлена зависимость объемного расхода <3 от числа Кп (кривая 2):
2<?
<2Л>
(ро
Кп
сР <1р\ -Ж Г
Ро Іг ) V
Рой Г
2кТа
2кТв
Здесь ро — характерное давление, й — расстояние между пластинами, - коэффициент вязкости.
Кривая 1 (см. фиг. 1)—точное решение Черченьяни [2] модельного уравнения методом дискретных скоростей; кривая 3—решение линейного уравнения Больцмана для модели твердых сфер четырехмоментным методом; кривая 4 — решение линейного уравнения для модели максвелловских молекул шестимоментным методом. Эти решения получены Хуангом [3]. Кроме того, приведены экспериментальные данные Донга (результаты взяты из [2] для различных газов: кружочки— водород, треугольники — воздух, крестики — углекислый газ).
На фиг. 2 представлены профили скорости и для -...........................
разных чисел Кп (верхний график):
2 и
dp_
dz
V-
2 kT0 m
(2.2)
3. Рассмотрим теперь течение между двумя бесконечными параллельными пластинами, вызванное малым градиентом температуры вдоль пластин. Молекулы отражаются от стенок по максвелловскому закону с температурой, равной температуре стенок.
На фиг. 1 представлена зависимость объемного расхода (2 от числа Кп (кривая 5):
2 Q
( d2
\Т0
2кТ0
(3.1)
где То — характерная температура.
Интересно отметить, что в отличие от задачи Пуазейля здесь нет минимума расхода, кривая расхода изменяется монотонно. Кроме того, на фигуре нанесены результаты приближенного решения модельного уравнения [7] (кривая ,5).
На фиг. 2 представлены также профили скорости и для разных чисел Кп (нижний график):
(3.2)
2 кТп
4. Перейдем к задаче о скачке скоростей и течении в слое Кнудсена, вызванном градиентом температуры. Эта задача легко получается из задачи о течении газа между двумя параллельными пластинами под действием градиента температуры вдоль пластин заменой граничного условия диффузного отражения на верхней стенке граничным условием отражения с навье-стоксовской функцией распределения. На фиг. 3 представлен профиль скорости в слое Кнудсена. Здесь
_ ират I йТ (41^
2 цо £ / d'C
Криповый коэффициент равен (1) = 0,402 + 0,002.
Из решения модельного уравнения в работе [5] получено х = 0,42, а в работе [8] х(1) = 0,383.
Скорость скольжения определяется выражением
2 |х0 к dT Ръ т dx
и (I) = X (1)
(4 2)
ЛИТЕРАТУРА
1. Knudsen М. Thermischer Molekulardriick in Rohren. Annalen der Physik, 1927, B. 83.
2. Cercignani C., Daneri A. Flow of a rarefied gas between
two parallel plates. J. Appl. Phys., 1963, v. 32, № 12.
3. Huang A. B., Stoy R. L. Rarefied gas channel flows for three molecular models. Phys. Fluids, 1966, v. 9, № 12.
4. Huang A. B., Qiddens D. P., В a gn a 1 C. W. Rarefied gas
flow between parallel plates based on the discrete ordinate method. Phys. Fluids, 1967, v. 10, № 3.
9—Ученые записки № 6
129
5. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., ,Наука", 1967.
6. S one Y., Yamamoto К. Flow of Rarefied gas through a circular pipe. Phys. Fluids, 1968, № 8.
7. Коган М. H., Макашев H. К. О течении газа в плоском канале, вызванном продольным градиентом температуры при произвольном числе Кнудсена. Ученые записки ЦАГИ, т. I, № 2, 1970.
8. Sone Y. Thermal creep in Rarefied gas. J. Phys. Soc., Japan, 1966, № 21 ,
9. Власов В. И., Горелов С. Л., Коган М. Н. Математический эксперимент для вычисления коэффициентов переноса. ДАН СССР, т. 176, № 6, 1968.
10. Горелов С. Л., Коган М. Н. Решение линейных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло. МЖГ, 1968, Ms 6.
11. Г о р е л о в С. Л., К о г а н М. Н. Решение задачи о скачке температуры (течение в слое Кнудсена) и линейной задачи о передаче тепла между двумя параллельными пластинами в разреженном газе. МЖГ, 1969, № 4.
Рукопись поступила 13/1 1970
