Вычисление интеграла Пуассона, без испоьзования двойного интеграла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.382

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПУАССОНА, БЕЗ ИСПОЬЗОВАНИЯ

ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

О. В. Новоселов, Д. С. Опокин

*

Научный руководитель - Е. И. Яковлев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

В настоящей заметке, с помощью формулы Валлиса, не прибегая к помощи двойного интеграла, вычисляется интеграл Эйлера-Пуассона. Опираясь на этот результат, получается формула для плотности многомерного нормального распределения.

Ключевые слова: формула Валлиса, интеграл Эйлера-Пуассона, многомерное распределение Гаусса, ковариационная матрица.

THE CALCULATION OF THE POISSON INTEGRAL, WITHOUT THE USE

OF DOUBLE INTEGRAL

O. V. Novoselov, D. S. Opokin, Scientific Supervisor - E. I. Yakovlev

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation

E-mail: [email protected]

In this note, using the formula of Wallis, not resorting to double integral, calculate the integral of Euler-Poisson. Based on this result, it turns out the formula for the density of multivariate normal distribution.

Keywords: formula of Wallis, the integral of the Euler-Poisson, multivariate Gaussian distribution, covariance matrix.

Вся техника, которая отправляется на орбиту, обязана соответствовать самым высоким критериям надежности. В теории надежности распределение Гаусса используют для описания постепенных отказов, когда распределение времени безотказной работы в начале имеет низкую плотность, затем максимальную и далее плотность снижается. Для нормального распределения важную роль играет следующий интеграл

x Ax2 Г!

J e~dx = Jf. (1)

—x

С. Д. Пуассон предложил весьма простой приём для вычисления этого интеграла. Впервые же этот интеграл был вычислен в 1729 году Л. Эйлером, поэтому называется также интегралом Эйлера-Пуассона.

Имеется несколько путей вычисления интеграла Пуассона (см., например, [1; 2]. Рассмотрим два интеграла:

п/2 1

Im = J sinmxdx = J tm (1 — 12)—0 5 dt = Jm .

0 0

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2017. Том 2

Равенство Im = Jm объясняется заменой t = sin x. Применим формулу интегрирования по частям

л/2

Im = J sinm 1 xd(— cos x)

• m—1

= - Sin x cos x

л/2

0

л/2

(m — 1) J sinm 2 x cos2 xdx.

из которой вытекает рекуррентное соотношение и формулы для четных и нечетных т

(2п-1)1! п (2п)!! 1т = -----, т = 2п ; 1т =——, т = 2п +1.

Im =

m — 1

m—2 :

т (2 п)!! 2 (2 п +1)!!'

Так как с ростом т, интеграл 1т убывает, то верны неравенства 12п+1 < 12п < 12п-1, которые

в свою очередь приводят к неравенствам

(2n)!! (2 n — 1)!!

1 л

< — <

2 n +1 2

(2 n)!! (2 n — 1)!!

J_ 2 n

Поскольку разница между крайними членами неравенства стремится к нулю, то при стремлении п к бесконечности получаем формулу Валлиса

lim

(2 n)!! (2 n — 1)!!

1

л

2 n +1 2

Для интегралов 1т, а значит и для интегралов Jт справедливы соотношения

1 > J 2n+1

—> ; (2 n+i)^-!=?; ( и+i)(— п+i )2—

J 2П (2 П + 2- 2

Из этих соотношений и формулы Валлиса вытекают равенства

lim(2 П + 1)(J2 п+i )2 = ^; lim^ •J 2 п+i =^

п^-да 2 п^-да 2

2 2 -1

В интеграле Jm, сделав замену х = 1 - z п , получим соотношение

л

J2n+1 2

Jm =J

1 xm

0 VT— x"

-dx =

x 2 = 1 — z 2 n—1; xdx = — zdz;

>/ñ ¡

-Í ( z 2n—1

= J -fñ z\[n

2 > n

z dz.

n J

m—1

Г2"

-(—zdz).

Тогда, при т = 2п +1, имеем 4nJ2n+1 = 11 1 -

о V

Переходя к пределу в обеих частях, при неограниченном увеличении п, получаем равенство

да I

Г е-йх = ^. { 2

Из которого, в силу четности подынтегральной функции, вытекает формула (1) и которое часто также называют интегралом Эйлера-Пуассона. Возьмем произведение интегралов Пуассона.

12 12 К 2 2ч /i \n/2

—-a1x , Г —~anx, Г —2(a1xl +...+anxn К (2Л)

— I ^ ... dxn —

f —2a1x Л f —2a"x Л f

I е 2 dx... I е 2 dx =1

R

R"

Va1-an

Поэтому для диагональной матрицы с положительными элементами на главной диагонали будет сразу вытекать следующее равенство

j e 2 dx = v '

Vdet A '

(2)

Пусть теперь А - произвольная, невырожденная, симметричная, положительно определенная матрица. Такие матрицы называются ковариационными (см. [3, с. 301]). Найдется Q - ортогональная матрица, т. е. (QTQ = Е), такая, что QT AQ = Б, где Б - диагональная матрица с поло-

жительными элементами на главной диагонали djj > 0; ] = 1,...,п . Сделаем замену х = Qy, тогда, модуль якобиана перехода

D( xj,..., xn)

D (yx,..., Уп)

= |det Q = 1.

i---(xAxT) p

e 2 dx =1 e

-2(yQAQryr) D(x1,..., xn)

D( Уl,..., Уп)

dy = j e

П

-2( yD/) d = (2я)2

dy =

-s/det D '

Но так как А = Б, то формула (2) остается справедливой для матриц А из вышеуказанного класса. Добавим к линейный множитель (Ь,х) = Ь1 х1 +... + Ъпхп к показателю экспоненты, тогда формула (2) примет вид

\п/2

f --2(^)+(ъx)d (2я)- f 1 I e 2 dx =\ ' expl — • bA 1b I.

i -s/detA 1 ~ 1

(3)

Действительно, для диагональной матрицы А, матрица А-1 также диагональна, с элементами, (аг7) 1 на главной диагонали. Дополним в формуле (3) квадратичной формы в показателе экспоненты до полного квадрата.

1 T 1

-2(xAx )+(b, x) - 2

(

(

a

11

Ъ1

a

(

2

... an

11 у

x-

a

пп у

2 (bA-1bT).

Для окончания доказательства формулы (3) достаточно указать на равенство

QA-QT

R

Библиографические ссылки

1. Зорич В. А. Шар, сфера и всё-всё-всё // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2016. № 3. С. 16-19.

2. Неклюдов А. В. Некоторые нестандартные доказательства и задачи в курсе математического анализа [Электронный ресурс] // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. Вып. 5. URL: http://engjournal.ru/catalog/pedagogika/hidden/743.html (дата обращения: 14.04.2017).

3. Ширяев А. Н. Вероятность-1. М. : Изд-во МЦНМО, 2004. 520 с.

© Новоселов О. В., Опокин Д. С., 2017