CC BY
10
УДК 517.552
О формуле перестановки повторного особого интеграла Бохнера—Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях
Анастасия С. Кацунова*
Институт космических и информационных технологий, Сибирский федеральный университет, Киренского, 26, Красноярск, 660074,
Россия
Получена 18.08 2010, окончательный вариант 25.09.2010, принята к печати 10.10.2010 В 'работе получен аналог формулы Пуанкаре-Бертрана для интеграла Бохнера-Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях.
Ключевые слова: интеграл Бохнера-Мартинелли, главное значение особого интеграла, строго псевдовыпуклая область.
Введение
Для С, я € Сп обозначим через V(С, я) ядро Бохнера-Мартинелли, т.е.
п ___
( 1)1 Е(-1)к-1(Ск - ^) <[к] Л <
V(С, я) = (п -1)! • -2-,
' (2пг)п |С - я|2п '
где ¿С = Л ... Л ¿Сп, ¿С[к] = ¿11 Л ... Л <к-1 Л <к+1 Л ... Л ¿Сп-
Теорема 1 ([1]). Для любой функции f, голоморфной в области Б и непрерывной в ее замыкании (f € О(Б) П С (Б)), где Б — ограниченная область в Сп с гладкой границей дБ, справедливо интегральное представление
f (z)^ f (С) иz G D.
дБ
Главное значение у.р. по Коши определяется следующим образом (см., например, [2]):
у.р. У f(С) V(С, я) = Дшо у f(С) V(С, я),
дБ дБ\Бг (е)
где Бг(£) = (С : |С - г| < £>.
Известно [2, гл. 1], что для областей с гладкой границей
У.р. У V(С, я) = 2, я € дБ.
дБ
* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved
Для повторного особого интеграла Бохнера-Мартинелли справедлива формула Пуанкаре-Бертрана.
Теорема 2. Пусть / € Са(дВ х дВ), тогда
I и К*) У / (С,™) и (С,™)=у У / (С, ад) и (ад, г) и (С,^) + 1 / (г, г), г € дВ.
дБи дВс дВс дБи
Теорема 2 есть теорема 22.6 в [2], доказанная для ограниченной области, интегралы рассматривались в смысле главного значения по Коши.
Пусть В — ограниченная строго псевдовыпуклая область в Сп с границей дВ класса С3, т.е. В = {* € П : р(*) < 0}, где р(*) — вещественнозначная строго плюрисубгармоническая функция класса С3 в некоторой окрестности П замыкания области В и такая, что ¿р = 0 на дВ.
Известно (см., например, [3] ), что в П существует барьерная гладкая функция Ф(С, *) переменных (С, *) € П х П такая, что Ф голоморфна по * € П при фиксированном £ € П,
п
2 Ие Ф(С, *) ^ р(С)—р(*)+7 1С—*|2 для некоторой константы 7 > 0, Ф(£, *) = ^ Рк (С, *МСк —
к = 1
), где Р = (Р1,..., Рп) — гладкая вектор-функция переменных (£, *) € П х П, голоморфная по * € П при фиксированном £ € П.
Если функция р(£) является строго выпуклой, то Ф(С, *) можно выбрать в виде
п
к=1
ф(с,*) = е • (Ск — *к).
Для интегрируемой на дВ функции /(£) и точки * € дВ рассмотрим главное значение у.р.И. в смысле Керзмана-Стейна [4, 5]:
у.р.и. у / (С) и (С, *) = Дшо У / (С) и (С, *),
дБ дВ\Ег(е)
где Е(е) = {£ € дВ : |Ф(С, *)| < е} — это "эллипсоид" , вытянутый вдоль комплексных касательных направлений.
Теорема 3 ([6]). При п > 1 справедлива формула
у.р.И. У и (С,*) = 2, * € дВ.
дБ
Целью данной работы стало получение аналогичной формулы Пуанкаре—Бертрана в случае, когда В является строго псевдовыпуклой областью, а главное значение определено в смысле Керзмана—Стейна.
1. Вспомогательные результаты
Обозначим О+ и О- — области в Сп, О+ = Ое = {С : |Сп| < е}, О- = {С : |Сп| > е}, где С = (С1,..., Сп). Тогда дОе = —дО- = {С € Сп : |Сп| = е}. В дальнейшем нам понадобится следующая
Лемма 1. Если f € С1 (Од) и f имеет компактный носитель в Од, тогда
«Йо/ ^И Л = 0, ^
дО£
|р ^Л ¿СИ=0 (2)
дО£
Доказательство. Применяя формулу Стокса, получим
1 = lim I ^^ dZ [k] Л dZ = - lim / d ( ) Л dZ [k] Л dZ-
—-+»у izг sl j s ."+»у vic|2v
sg£
Обозначим F(Z) = IAи, учитывая свойство дифференциальных форм, рассмотрим
/С) 1С I
отдельно
dF _ 1 d/(Z) n Zk / (Z)
dZk ICI2" dzk IZI2"+2 •
Тогда
f 1 d/(Z) n Ct /(Z)
1=ä J <-1>" licF'IZf -IzF+^j dZ Л
G-
Сделаем замену Z = er, тогда dZ = e" dr. Областью интегрирования в новых переменных является G' = {т G C" : |rn| > 1} и
1 = lim (— 1) k 1 Г ■ ^П - 2/2)) dr Л dr.
. "+» V ; G VirI2" dZk e |r|2"+2 )
Разобьем последний интеграл на два и рассмотрим отдельно:
* = lim f Л- ■ Ö/^ dT Л dr = Ö/(0) I dT Л dT
+»G |rI2" dZk dZk G |rI2" '
Имеем
12 = lim f rk, /,(ero) dr Л dr = 2 £"+»У e |r|2"+2
G'
r /(er) - /(0) rk Г /(0) rk lim - ■ -—^—dr Л dr + lim -■ —-7;—-r dr Л dr.
е"+»У e |r |2"+2 e"+» У e |r |2"+2
G' G'
/(er) - /(0) ^ / d/(0) d/(0) N
V = gHjrj + j +o(1), e^0-
Так как по условию леммы f имеет компактный носитель в Од, то остается рассмотреть интегралы вида
И
1<|т„|<Д
dr Л dr
= I |r |2" '
11 = J Irp2 dr Л dr *22 = у dr Л dr 13 = / dr Л dr-
1<|r„|<R 1<|r„ |<R 1<|г„|<Д
Для их нахождения введем полярную систему координат ту- = т3- вг1Р:>, ] = 1,... ,п. Тогда ¿тЛ ¿73 = 2гт3- ¿т3- Л .
2п 2п Д
/¿т Л ¿т С С С С С т ¿т
|т |2п =(2г)^ - / ¿^п / т1 ¿П . . / тп-1 ¿тп-1^ (т2 + т2 ..."+ т2 )п
1<|г„|<д оооо 1 п
\п (г,„\п Л АП 1 [ ¿тп _млп 2 1п Д
<2"п'<2^ Ш /¿тп = <2")' (п — 1)Г
1
Интеграл
2 ] |т |2п+2
1<|т„|<Д
для любых и к. Например, в случае ^ = к = п
/1 = I т1 Ткп ¿т Л ¿т = 0
2
11 = / Л ¿т =
1<|т„|<Д
2п 2п 2п Д з
^ [ I д,„ I А2шп , [ „ , ¡' , [ тз ¿тп
(2г)^ .. . I ^п-1 У т1 ¿т1 ...у тп-1 ^п-^ (т2 + т2 ... + т2 )п+1 -
о о о о о 1 п
2п Д п-1
= (2г)^ (2п)п-^ е^" ¿^У • • ^ = •е2г^"|оП ^ Ь Д = 0.
о1
Для интегралов /| и /3 проводятся аналогичные вычисления. Таким образом, получим
г2 = Г (2пг)п ^, У = к, 2 \0, ^ = к,
тк
|т |2п+2 1<|Тп|<Д
/2 = —|2п+2 ¿т Л ¿т = 0 для любого к.
Следовательно,
г = , - о, л ^ =( 1)к-1 д/(0) Г Л ¿т
ДшоУ /Р <Гк]Л ^ = (—1)к
Е^+о ^ |2п ^ J Ь У ^ дС к У |т |2п
дСе 1<|т„|<Д
— ( — 1)к-1- п]Г
3=1
^ / 1Р2 ¿т Л ¿т + д/М / ¿т Л ¿т| —
\ 1<|тп|<Д 1<|Тп|<Д
— ( —1)к-1 • п • /(0) • Иш 1 / , ¿т Л ¿т
у 7 у / Е^+о е У |т|2п+2
1<|т„|<Д
= ( — 1)к-1 • • (2п.Г • — (_1,к-1 • п. /2 . (2„)п • Ц* = 0.
дц к (п 1)1 дт к п-
п
Для доказательства равенства (2) достаточно перейти к сопряжению. □
Пусть I = («1,..., ), J = (^1,...,^р) — возрастающие мультииндексы, т.е. 1 ^ «1 < ... < ^ п, 1 ^ < ... < ^ п, 0 ^ р, д ^ п. Рассмотрим дифференциальные формы (д ^ п - 1)
^(С, я) = (-1)р(п-д-1) ((П-^ Е' Е к) *() ¿С[I, к] Л ¿СИ ^ Л ^,
(2пг) к// ^
где ¿я/ = ¿яд1 Л ... Л форма ¿Сполучается из формы вычеркиванием диф-
ференциалов ¿(д штрих у знака суммы означает, что суммирование ведет-
ся по возрастающим мультииндексам I и J. Знаки ст(/, к) и ) определяются так: ст(/, к) ¿я = Л ¿я/ Л к], ст( J) ¿я = ¿я/ Л Положим, что Цр1-1 = Цр1П = 0.
Лемма 2 ([2]). Имеют место формулы
(С, я) = -Цте-^п-д-^, С),
дС ^ (С, я) = (-1)Р+д д* ^,,-1^, я), р, д = 0, 1, . . . , П,
в частности, д^Цр1о = д2Цр1П-1 = 0.
Заметим, что V(С, я) = Цо^С, я).
Лемма 3. Если Б — ограниченная строго псевдовыпуклая область в Сп с гладкой границей и 7 — дифференциальная форма типа (р, д) с коэффициентами класса С 1(Б), то
д* У 7(С) Л ^д-^С, я) = У.р.к У 7(С) Л д*^^(С, я), я € дБ.
Б Б
Доказательство. Пусть 7 имеет вид 7(£) = f (С) ¿С/ Л ¿О. Вычислим сначала
д ( С, - ^ -
«к/ '«> ¡с-Д « Л ¿С"
Б
Для этого рассмотрим
Сд - Ъ - . „ 1 ^ д ^ 1
Тогда
у |(с) ^ л =т-п уf(с) 1 ¡с-^; л =
Е* (е) Е*(е)
I '> ^ «ЛИ- 1-П / ^ ¡с-?п-2 «Л¿с.
дЕ* («) Е* (е)
д I' Сд - ^ -Щ 1 ™»¡с-# «Л « =
= (-1)п+1 у f (С) ¿С Л ¿С0+ у ¿С Л ¿С.
дЕ* (е) Е* (е)
Вместо области В можно рассматривать В' = : |£'|2 — 1ш £п < 0| и, отбрасывая бесконечно малые величины, дифференциальную форму ир д(6£, 0), где ЬС = (61С1,..., 6п-1Сп-1, 6пСп), 6п = 1 (подробнее см. в [6, 7]). Тогда
т /к>
Сд — |С — *12п
¿С Л ¿С = | д*- I /(6С)
6Д 0 *д 7/Та
|ьс — *|2п
¿(6С) Л ¿(6С)
Иш |6|2
Е—^ + о
/
д
д*к . \ В'\Е*(Е)
^ [ / (60 *2п ¿с Л ¿с + ^ / / (60 ¿С Л ¿с
|6С — *1
Е* (Е)
|6С — *1
|6|2 (Ф1(0) + Ф2(0)),
здесь
(
Ф1(0)= 111+о
Е—+ о
^ / /(6С) ¿С Л ¿с
д*к _ \ В'\Е* (Е)
|6С — *1
2 = о
Иш
Е—+ о
В'\Ео(е)
¿С л ¿С:
2 = о
д А 6Д Сд — *д
= ^^ /(.с) ^ — ,р
В'
где Ео(е) = {С € дВ' : |Ф(С,0)| = 2 |Сп| < е} , а
¿С л ¿С,
/
Ф2(0)= 111+о
Е—+ о
^ / /(60 ¿С Л ¿С
д
д*к _
\ Е* (Е)
|6С — *|
2 = о
Иш
(—1)"+' // «) ^ *Л ¿с и +Е—ш Д / ^/Р № л « = 0
дЕо(Е) Ео(Е)
е —То 6Д } ' |6С' Е —+о 6Д } дСД 1С|2п
где первое слагаемое равно нулю по лемме 2, а второе слагаемое — в силу абсолютной интегрируемости подынтегральной функции.
Используя определение ир,д-1, получим утверждение леммы для * € В. □
Лемма 4.
и *) и (С, = д^ / и *) Л иод(С, С € дВ, * = С
дВи
(ио1(^,™) — ядро Коппельмана).
Доказательство аналогично доказательству леммы 22.7 в [2], в котором для интеграла рассматривалось главное значение по Коши.
В
В
о
2
о
2
п
о
2
В
Лемма 5. Пусть f € Са(дБ х дБ), тогда
У ¿аН У f (С,^) V(С,*)=У V(С, я) У f (С,^) ¿а(™), я € дБ.
дВс дБ»
дБ» дВс
Доказательство аналогично доказательству леммы 22.4 в [2]. Имеем
/1 (*)= У ! (С,^) V (С, я), V (С,^^ f (С,™) ¿а(™)
дБ» дВс
/2(я) = I V (С, я)
дВс дБ»
Тогда
|/1(я) - ад| <
<
+
Jf (я,™) ¿а(™) У V (С, я) + У ¿а(™) У (f (С,™) - ! (я,™)) V (С, я)
дБ» дБс ПЕа (е) дБ» дБ ПЕ. (е)
дБс ПЕ. (е)
+
У V(С,™) - f(я,™)) ¿а(™) + У V(С,*) У !(я,™) ¿а(™)
дБс ПЕ. (е)
дБ»
дБс ПЕ. (е)
дБ
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Так как по условию леммы ! € Са(дБ х дБ),
то
f (я, ¿а(™)
дБ»
< С1, а
(!(С,™) - f(я,™)) ¿а(™)
дБ
< С К - я|а.
Тогда
У а (с,™) -! (я,™)) V (с, я)
дБс ПЕ. (е)
< С У |С - я|а+1-2п ¿а(С),
дБс ПЕ. (е)
У V(С,я) У (!(С,™) - f(я,™)) ¿а(™) < С4 У К -
дБсПЕ. (е) дБ
а / V(С, я) ^ 0 при £ ^ 0.
дБс ПЕ.(е)
Остается оценить
|а+1-2п
/ |С " '|
а+1-2п
дБс ПЕ. (е)
Как показано в [8],
поэтому
дБс ПЕ.(е)
С | Ф(С,я)| < |С - 4
Сб | Ф(с,я)|а+1-2п > |С - я|а+1-2п,
У |С - я|а+1-2п ¿а(С) < С6 У | Ф(С,
|а+1-2п
дБс ПЕ. (е)
дБс ПЕ. (е)
£
Проводя аналогичные рассуждения, как при доказательстве леммы 3 (см. [6, 7]), получим, что вместо дВ^ можно рассматривать дВ£ = |с : |С'|2 — 1ш Сп = 0|, а вместо (е) — область Ео(е) = {С : |Сп| < 2е} . Оценим
I |Сп|а+1-2п ¿а(с).
дВ£ ПЕ0(Е)
Для этого перейдем к сферической системе координат, в которой вместо области интегрирования дВ^ ПЕо(е) будем рассматривать область , а сам интеграл будет иметь следующий вид:
/,, 2п-1
|СпГ+1-2п ¿а(С) = та+1-2п • т2п-2 • Ц 81пк-1 ^к ¿т Л Л ... Л ^2п-1.
V 7-,_о
дВ' ПЕо(Е)
Тогда
п
к=2
£
у |^п|а+1-2п ) ^та-1 ¿т = еа ^ 0 при е ^ +0,
9В' ПЕо(Е) о
У | СпГ+1-2п ¿а(С) ^ 0 при е ^ +0.
дВ ' ПЕ0(е)
□
Лемма 6. Для функции Ф(*, определенной формулой
Ф(*,ад) = У / (С) |С — и * € дВ, / € С а(дВ) и 0 <^< 2п — 1,
дВ
справедлива оценка |Ф(*, ™)| ^ С |* — для любого е > 0.
Доказательство аналогично доказательству леммы 22.3 в [2], в котором для интеграла рассматривалось главное значение по Коши.
Теорема 4. Пусть /(*, = /о(*, |* — , 0 ^ V < 2п — 1, а /о € Са(дВ х дВ), тогда справедлива формула
У ¿аН У /(С,™) и(С,*)=У и(С,*) / /(С,™) ¿а(^). (1)
дВ„ дВс дВс дВ„
Доказательство аналогично доказательству теоремы 22.5 в [2], в котором для интеграла рассматривалось главное значение по Коши.
2. Основной результат
Теорема 5. Пусть / € Са(дВ х дВ), тогда
У и К*) у / (С,™) и (С,™)=у у / (с,™) и и (с,™) + 1 / (*,*), * € дВ.
дВи дВс дВс дВ„
т.е.
Доказательство. Преобразуем интеграл
VКя) у f(С,™) V(с,™)
дБ» дБс
= I VКя) у !(с,™) -f(™,™)) V(С,™)+ у V-!(я,™)) V(С,™)+
дБ» дБс дБ» дБс
+ I VКя) у !(я,™) - f (я, я)) V(С,™) + f М У VКя) У V(С,
дБ» дБс дБ» дБс
В первых трех слагаемых по теореме 4 можно поменять порядок интегрирования, а
у V м у V (с,™)=4.
дБ» дБс
Поэтому
У VКг) у !(С,V(С,™)= у у (!(С,™) - f(я,я)) V(™,я) V(С,™) + 1 f(я,я).
дБ» дБс дБс дБ»
Рассмотрим отдельно
У у VV(С,™), я € дБ.
дБс дБ»
По определению и лемме 4
У У VV(С,™)= Ип1о У У VV(С,™) =
дБс дБ» дБс\Е.(е) дБ»
Ишо у д^ у Vя) Л ^ 1(С, ™)= Игп^ у J Vя) Л ^(С,™) =
дБс\Е.(е) А. дБсПдЕ.(е) А.
игп^ у у vя) л аде,™).
И
Б» дБсПдЕ.(е)
Так как ядра инвариантны относительно сдвигов и унитарных преобразований, можно считать, что я = 0, и, сделав замену £ ^ ^, ™ ^ ^, получим
Ишо у у V я) л адс,^ 1п+о У У V 0) Л ^(С,™)
Б» д£>сПдЕ.(е) 1 Б» 1 д^ПдЕо(1)
= 1 У V0) Л аде,™) = 2 У У V0) Л аде,™)
П» ТсПдЕо(1) ТсПдЕо(1) с»
(где Пш - касательный конус к Бш в точке я = 0, а Т^ - касательная плоскость к дБ^ в точке я = 0).
Но интеграл
У и0) л иод(с, ад)
с и
состоит из слагаемых вида
[ (Cj — ^) — ^ (Ск — ^к) ,
-,—Г75-тт-^- Л ¿ад,
У |ад|2" |С — ад|2"
си
которые равны нулю. □
Список литературы
[1] Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков, Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, Новосибирск, Наука, 1979.
[2] А.М.Кытманов, Интеграл Бохнера—Мартинелли и его приложения, Новосибирск, Наука, 1992.
[3] Г.М.Хенкин, Метод интегральных представлений в комплексном анализе, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления (Итоги науки и техники), 7(1985), 23-124.
[4] W.Alt, Singulare integrale mit gemischten homogenitaten auf mannigrfaltigkeiten und anwendungen in der funktionentheorie, Math. Zeit., 137 (1974), №3, 227-256.
[5] N.Kerzman, E.M.Stein, The Szego kernel in terms of Cauchy-Fantappie kernels, Duke Math. J., 45(1978), №3, 197-224.
[6] А.С.Кацунова, О нахождении главных значений интеграла Бохнера-Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях, Сиб. эл. матем. изв., 7(2010), 132-139.
[7] М.Билз, Ч.Феффермен, Р.Гроссман, Строго псевдовыпуклые области в Cn, М., Мир, 1987.
[8] А.М.Кытманов, С.Г.Мысливец, О главном значении по Коши особого интеграла Хенкина-Рамиреза в строго псевдовыпуклых областях пространства Cn, Сиб. матем. журн., 46(2005), №3, 625-633.
On the Formula of Change of Integration Order for the Singular Bochner—Martinelli Integral in Strictly Pseudoconvex Domains
Anastasiya S. Katsunova
It is obtained, the Poincare-Bertrand formula for Bochner-Martinelli integral in strictly pseudoconvex domains.
Keywords: Bochner-Martinelli integral, principal value of integral, strictly pseudoconvex domains.
