CC BY
21ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ В ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ РОДА 2 И ПРОБЛЕМА КРУЧЕНИЯ В ЯКОБИАНАХ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ М. М. Петрунин (г. Москва) E-mail: [email protected]
В последние 25 лет усилиями целого ряда математиков (Flynn, Leprevost, Howe, Poonen, Ogawa, Elkies и других, см. [1-11]) было доказано существование Q-точек кручения якобианов гиперэллиптических кривых рода 2, определённых над Q, следующих порядков: 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 34, 35, 39, 40, 45, 60, 63, 70. Эти точки были получены с использованием различных методов, индивидуальных для отдельных порядков.
В 2010 г. В. П. Платоновым в работе [12] был предложен принципиально новый подход к проблеме кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел. Этот новый подход базируется на вычислении фундаментальных единиц в гиперэллиптических полях. С помощью указанного подхода в работах [13], [14] было доказано существование точек кручения новых порядков. Полное изложение нового метода и полученных на его основе результатов содержится в [15].
В. П. Платонов высказал гипотезу, что если рассмотреть S, состоящее из конечного и бесконечного нормирования, и изменить соответствующим образом определение степени S-единицы, то порядки Q-точек кручения, как правило, будут определяться степенями фундаментальных S -единиц.
Основным результатом настоящего сообщения является построение фундаментальных S-единиц больших степеней методами, основанными на подходе В. П. Платонова. Вычисление базируется на методах непрерывных дробей и матричной линеаризации ([16, 17]).
В настоящем сообщении получили развитие эффективные алгоритмы вычисления S-единиц методом непрерывных дробей в случае S, состоящего из бесконечного и конечного нормирования первой степени. Также получено доказательство корректности условия остановки алгоритмов, основанных на методе непрерывных дробей, и в качестве следствия получено необходимое и достаточно условие соответствия S-единицы вида un, где u — фундаментальная S-единица, и подходящей дроби к л/f/d
для некоторого d, делителя f, где f - свободный от квадратов многочлен нечетной степени. Улучшенные алгоритмы позволили построить упомянутые выше фундаментальные S -единицы больших степеней.
В качестве следствия получено альтернативное доказательство существования Q-точек кручения некоторых больших порядков в соответствующих якобианах гиперэллиптических кривых.
Библиографический список
1. Flynn E. V. Large rational torsion on abelian varieties //J. Number Theory. 1990. Vol. 36.
2. Leprevost F. Famille de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels dordre 13 // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1991. Vol. 313, № 7.
3. Leprevost F. Familles de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels d'ordre // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1991. Vol. 313, № 11.
4. Leprevost F. Points rationnels de torsion de jacobiennes de certaines courbes de genre 2 // C.R. Acad. Sci. Paris. 1993. Vol. 316, № 8.
5. Ogawa H. Curves of genus 2 with a rational torsion divisor of order 23 // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 1994. Vol. 70, № 9.
6. Leprevost F. Jacobiennes de certaines courbes de genre 2: torsion et simplicite // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux. 1995. Vol. 7, № 1.
7. Cassels W. S. Prolegomena to a middlebrow arithmetic of curves of genus 2. Cambridge Univ. Press, 1996.
8. Howe E. W, Poonen B. Large torsion subgroups of split Jacobians of curves of genus two or three // Forum Mathematicum. 2000. Vol. 12.
9. Nicolas B., Leprevost F., Pohst M. Jacobians of genus-2 curves with a rational point of order 11 // Experiment. Math. 2009. Vol. 18, № 1.
10. Elkies N. D. Curves of genus 2 over Q whose Jacobians are absolutely simple abelian surfaces with torsion points of high order. Preprint, Harvard University, 2010.
11. Howe E. W. Genus-2 Jacobians with torsion points of large order // Bulletin of the London Mathematical Society. 2015. Vol. 47, № 1.
12. Платонов В. П. Арифметика квадратичных полей и кручение в якобианах // Докл. РАН. 2010. Т. 430, № 3.
13. Платонов В. П., Петрунин М. М. Новые порядки точек кручения
в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел // Докл. РАН. 2012. Т. 443, № 6.
14. Платонов В. П., Петрунин М. М. О проблеме кручения в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел // Докл. РАН. 2012. Т. 446, № 3.
15. Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН, 2014. Т. 69, вып. 1(415).
16. Платонов В. П., Петрунин М. М. Фундаментальные Б-единицы в гиперэллиптических полях и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых // Докл. РАН. 2015. Т. 465, № 1.
17. Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы Б-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 11.
