CC BY
30
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 16. Выпуск 4.
УДК 511.6.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ В ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ПОЛЯХ РОДА 2 И ПРОБЛЕМА КРУЧЕНИЯ В ЯКОБИАНАХ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
КРИВЫХ 1
М. М. Петрунин (г. Москва)
Посвящается 75-летию академика В. П. Платонова
Аннотация
В 2010 г. В. П. Платоновым был предложен принципиально новый подход к проблеме кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел. Этот новый подход базируется на вычислении фундаментальных единиц в гиперэллиптических полях. С помощью указанного подхода было доказано существование точек кручения новых порядков. Полное изложение нового метода и полученных на его основе результатов содержится в [2].
В. П. Платонов высказал гипотезу, что если рассмотреть S, состоящее из конечного и бесконечного нормирования, и изменить соответствующим образом определение степени S-единицы, то порядки Q-точек кручения, как правило, будут определяться степенями фундаментальных S-единиц.
Основным результатом настоящего сообщения является построение фундаментальных S-единиц больших степеней методами, основанными на подходе В. П. Платонова. Вычисление базируется на методах непрерывных дробей и матричной линеаризации.
В настоящей статье получили развитие эффективные алгоритмы вычисления S-единиц методом непрерывных дробей. Улучшенные алгоритмы позволили построить упомянутые выше фундаментальные S-единицы больших степеней.
В качестве следствия получено альтернативное доказательство существования Q-точек кручения некоторых больших порядков в соответствующих якобианах гиперэллиптических кривых.
хРабота была выполнена при поддержке грантами РФФИ 13-01-12402 и 15-01-02094-а.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
251
Ключевые слова: фундаментальные единицы, S-единицы, гиперэллиптические поля, якобиевы многообразия, гиперэллиптические кривые, проблема кручения в якобианах, быстрые алгоритмы, непрерывные дроби, матричная линеаризация, Q-точки кручния.
Библиография: 19 названий.
CALCULATION OF THE FUNDAMENTAL
S-UNITS IN HYPERELLIPTIC FIELDS OF GENUS 2 AND THE TORSION PROBLEM IN THE JACOBIANS OF HYPERELLIPTIC
CURVES
M. M. Petrunin (Moscow)
Abstract
A new approach to the torsion problem in the Jacobians of hyperelliptic curves over the field of rational numbers was offered by Platonov. This new approach is based on the calculation of fundamental units in hyperelliptic fields. The existence of torsion points of new orders was proved with the help of this approach. The full details of the new method and related results are contained in [2].
Platonov conjectured that if we consider the S consisting of finite and infinite valuation and change accordingly definition of the degree of S-unit, the orders of torsion Q-points tend to be determined by the degree of fundamental S-units.
The main result of this article is the proof of existence of the fundamental S-units of large degrees. The proof is based on the methods of continued fractions and matrix linearization based on Platonov's approach.
Efficient algorithms for computing S-units using method of continued fractions have been developed. Improved algorithms have allowed to construct the above-mentioned fundamental S-units of large degrees.
As a corollary, alternative proof of the existence of torsion Q-points of some large orders in corresponding Jacobians of hyperelliptic curves was obtained.
Keywords: fundamental unit, S-unit, hyperelliptic fields, Jacobian, hyperelliptic curves, torsion problem in Jacobians, fast algorithms, continued fractions, matrix linearization, torsion Q-points.
Bibliography: 19 titles.
1. Введение
В последние 25 лет усилиями целого ряда математиков (Flynn, Leprevost, Howe, Poonen, Ogawa, Elkies и других, см. [8]-[18]) было доказано существование Q-точек кручения якобианов гиперэллиптических кривых рода 2, определённых над Q, следующих порядков: 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29,
252
М. М. ПЕТРУНИН
30, 32, 34, 35, 39, 40, 45, 60, 63, 70. Эти точки были получены с использованием различных методов, индивидуальных для отдельных порядков.
В. П. Платоновым в работе [1] был предложен принципиально новый подход к проблеме кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел. Этот новый подход базируется на вычислении фундаментальных единиц в гиперэллиптических полях.
С помощью указанного подхода в работах В. П. Платонова и М. М. Петру-нина [3], [4] было завершено доказательство гипотезы существования Q-точек любого порядка Q 30, были единообразно построены все Q-точки простых порядков p Q 29, а также было доказано существование Q-точек порядков 33, 36 и 48 в якобианах соответствующих кривых рода 2. Полное изложение нового метода и полученных на его основе результатов содержится в [2].
Для формулировки результатов настоящей статьи нам понадобятся некоторые определения из [2].
Пусть f (x) = a2sx2s + • • • + a0 E Q[x], многочлен f (x) является свободным от квадратов и a2s = Y2, Y E Q*.
Обозначим
Df = Q[x](/f) = {a + p/ \a,p E Q[x]}
Предположим, что Df обладает нетривиальными единицами. Тогда мультипликативная группа Df = Q* х {и), где {и) — бесконечная циклическая группа. Элемент и называется фундаментальной единицей кольца Df. Поле L = Q(x)(vf) имеет два бесконечных нормирования wQto), w2(to).
Пусть S = {wQto), w2(то)}, тогда и является фундаментальной S-единицей, причём степень deg и равна порядку класса дивизора w1(x>) — w2(x>) в A°(L), группе классов дивизоров степени 0 поля L.
В. П. Платонов высказал гипотезу, что если рассмотреть S, состоящее из конечного и бесконечного нормирования, и изменить соответствующим образом определение степени фундаментальной S-единицы, то порядки Q-точек кручения, как правило, будут определяться степенями фундаментальных S-единиц.
Основным результатом настоящего сообщения является построение фундаментальных S-единиц больших степеней методами, основанными на подходе
В. П. Платонова. Вычисление базируется на методах непрерывных дробей и матричной линеаризации из работы [6]. Были построены фундаментальные S-единицы в гиперэллиптических полях рода 2 степеней 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 30, 32, 34, 40.
В работе [6] была установлена связь проблемы построения S-единиц и теории непрерывный дробей в функциональных полях. Более того, в работе приведён алгоритм построения S-единицы с помощью аппарата непрерывных дробей. В формулировке упомянутого алгоритма использовалось утверждение, доказательство которого было опущено. А именно, в описании алгоритма утверждается, что если для некоторого d, делителя многочлена f, мы нашли первую
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
253
подходящую дробь ^ к d-L, для которой выполняется соответствующий аналог норменного равенства, то это означает, что мы нашли фундаментальную S-единицу, для некоторого S. Априори это равенство может выполнятся для нескольких делителей, и тогда мы не можем утверждать, что найденная S-единица фундаментальная. В настоящей статье показано, что алгоритм позволяет построить фундаментальную S-единицу по первой найденной паре d, .
Более того, будет доказано, что если такой делитель многочлена f существует, то он единственнен с точностью до константы.
В качестве следствия получено доказательство следующего факта, связанного с вычислением S-единиц. В случае, если группа S-единиц нетривиальна, упомянутый алгоритм позволяет построить и — фундаментальную S-единицу, зафиксировав некоторый делитель d многочлена f степени строго меньше | deg f. При использовании матричного метода поиска и построения S-единицы из [6] каждой S-единице ип можно сопоставить минор соответствующей бесконечной ганкелевой матрицы, ранг которого будет меньше максимального. Иными словами, если продолжить выполнять шаги матричного алгоритма после нахождения фундаментальной S-единицы, алгоритм позволит построить все S-единицы вида ип, n > 1. Алгоритм, основанный на использовании непрерывных дробей, ведет себя несколько иначе. В данной работе показано, что при любом d — делителе f — никакому u2r не соответствует (в смысле теоремы 5.8, [6]) никакая подходящая дробь к ^, в то время как при единственном с точностью до константы d для всякой u2r+l соответствует некоторая подходящая дробь к .
В настоящей статье получили развитие эффективные алгоритмы вычисления S-единиц методом непрерывных дробей. Существенное уменьшение числа вычисляемых коэффициентов и, как следствие, числа арифметических операций позволило значительно сократить время работы алгоритма и построить упомянутые выше фундаментальные S-единицы больших степеней.
В качестве следствия из существования S-единиц больших степеней получено альтернативное доказательство существования Q-точек кручения некоторых больших порядков в якобианах кривых рода 2. А именно, порядков 20, 21... , 30 и 32, 34, 36, 39, 40, 48. Существование S-единицы степени 39 было доказано в неопубликованной работе В. П. Платонова и В. В. Беняш-Кривеца, а доказательство существования в гиперэллиптических полях рода 2 фундаментальных S-единиц степеней 23, 28, 29, 36, 48 было получено в работах [3], [4], [5], и здесь приведено для полноты изложения.
2. Предварительные сведения
Для дальнейшего изложения нам понадобится напомнить некоторые факты и понятия.
Для неприводимого многочлена h(x) Е Q[x] через vh будем обозначать нор-
254
М. М. ПЕТРУНИН
мирование поля Q(x), задаваемое равенством
щ{h(x)m Ш)=т'
где P(x),Q(x) Е Q[x], h(x) \ P(x), h(x) \ Q(x), т Е Z. Через vо будем обозна-
чать бесконечное нормирование поля Q(x)
ЦQQ^y) = deg Q(x) - deg P(x).
Пусть теперь f = a2s+1 x2s+l + ■ ■ ■ + a0 Е Q[x], a2s+1 = 0 — многочлен нечётной степени, свободный от квадратов. Тогда поле L = Q(x)(y/f) обладает одним бесконечным нормированием v0. Предположим, что Vh обладает двумя неэквивалентными продолжениями v'h и v'h на поле L. Положим далее S = {v0,v'h}. Для конечного поля констант проблема построения S-единиц была решена в [6]. Большинство результатов из §2, [6] остаются верны и в случае, когда Q является полем констант. В частности, верен следующий факт: нетривиальная S-единица существует тогда и только тогда, когда существует фундаментальная S-единица и = а + в\Л, где а, в Е Q[x]. Иными словами, вид такой фундаментальной S-единицы остаётся таким же, как и в случае двух бесконечных нормирований.
Норма нетривиальной S-единицы и = а + в\Л при указанном S принимает вид N (и) = а2 — в 2f = bhm. Это позволяет определить понятие степени S -единицы следующим образом (см. [5]).
Определение 1. Степенью S-единицы и = а + в\Л называется число deg и = т, где т — показатель степени многочлена h в норменном уравнении
а2 — в 2f = bhm. (1)
Существование нетривиальной S-единицы при указанном S равносильно наличию решения норменного уравнения а2 — в2 f = bhm для некоторого т > 0 в многочленах а, в Е Q[x], b Е Q*. Далее без ограничения общности будем рассматривать только S-единицы положительной степени, заменив при необходимости и на и-1.
Предложение 1. ([5]) Поле L = Q(x)(y/f) имеет нетривиальную S-единицу тогда и только тогда, когда класс дивизора v'h — lv0, где l = deg h, имеет конечный порядок в группе классов дивизоров A°(L). При этом степень фундаментальной S-единицы равна порядку класса дивизора v'h — lv0 в A°(L).
Из предложения следует, что степень фундаментальной S-единицы равна порядку соответствующей Q-точки кручения в якобиане Jf.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
255
3. S-единицы и нормирование первой степени
Здесь и далее по тексту §3 будем считать, что deg h = 1, h Е Q[x]. В этом случае мы будем применять метод непрерывных дробей для построения S-единиц из [6]. В оригинальной работе авторами были сформулированы и доказаны результаты для случая Fg в качестве поля констант. Однако, большая часть утверждений и теорем справедлива и для случая Q в качестве поля констант. Приведем адаптированные для поля Q результаты работы [6], относящиеся к указанному методу, а также утверждения, которые необходимы для понимания основных результатов настоящей статьи.
3.1. Разложение в непрерывную дробь элемента квадратичного поля
Пусть £ Е Q(x), vh(£) = 0, и пусть У - выбранная в Q[x] фиксированная система представителей смежных классов по идеалу (h), состоящая из всех многочленов степени меньшей, чем deg h. Представим £ в виде формального степенного ряда
£ = У dj hj,
j=o где dj Е У. Для произвольного степенного ряда
ф = Y^ bjhj , ф Е Q(x)
j=e введем обозначение ф] = j£ bjhj ’ если e Ф 0
0, если e > 0
Положим a0 = [£] = d0. Если £ — a0 = 0, то положим
£i = т~— Е Q(x), ai = [£1]-£ — а0
Далее по индукции определяем элементы а*, £у если — ai-1 = 0, то
£i
1
£i-1 ai-1
Е Q(x), ai
[£i]-
В результате мы получим непрерывную дробь
ao +
1
1
a1 + i
a2 + :---------
a3 + • • •
(2)
256
М. М. ПЕТРУНИН
Справедливо утверждение, что непрерывная дробь вида (2) произвольного элемента ф £ Q(x) конечна тогда и только тогда, когда ф £ Q(x).
Будем использовать стандартную сокращенную запись [a0,a1,a2,...] для непрерывной дроби (2). По построению, £n = [an,an+1,...].
Определим по индукции элементы pi,qi £ Q(x). Положим
Р-2 = 0, p-i = 1, q-2 = 1, q-i = 0
и если n ^ 0, то
pn — anpn-1 + pn—2, qn — anqn-1 + qn-2-
(3)
Тогда pn/qn = [a0,a1,a2,... ,an] при n ^ 0. Стандартным образом можно показать (см. [7]), что для n ^ —1 справедливы соотношения
qnpn-i — pnqn-i = (—1)
t (—1)n
qn£ — p £ =
qn£n+1 + qn-1 pn£n+1 + pn-1 qn£n+1 + qn-1
(4)
(5)
(6)
Дробь pn/qn назовем n-й подходящей дробью к £. По построению, vh(an) = = vh(£n) < 0 для n ^ 1.
3.2. Квадратичная иррациональность
Пусть £ £ Q((h)) является корнем квадратного многочлена H (X ) = Х2X2 + А^ + Ао, где Ао, А1, А2 £
Тогда элемент £ называется квадратичной иррациональностью. Пусть £ = [a0,a1,...] — разложение £ в непрерывную дробь. Положим
D = Л2 — 4А0А2, H(X, Y) = Л2Х2 + A1XY + AoY2.
Тогда из (6) получаем
£n+1 =
Bn + А2£
;
где
An =(—1)n+1H (pn,qn),
Bn = (—1)n (^2pn-1pn + А^п-Щп + ^0qn-1qn)-
По аналогии с рассуждениями из [6] можно показать, что An,Bn являются многочленами из Q [x], причем их степени не превосходят
Л = maxjdeg А0, deg Ац deg А2}.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ У-ЕДИНИЦ ...
257
Пусть £ = f для некоторого делителя d многочлена f, 0 ^ deg d < 2 deg f. В этом случае
H (X) = dX2 - 7 d
Выражение (8) в нашем случае имеет вид
t Bn + л/7
V«+1 ,
An
(9)
Стандартным образом можно вывести следующие рекуррентные формулы:
ВП anAn-1 Bn-1)
(10)
An An-2 + an (Bn-1 Bn) ■
(11)
3.3. Наилучшие приближения
В дальнейшем нам потребуется понятие наилучшего приближения к элементу ф Е Q(x). Если a/b Е Q(x), где a,b Е Q[x] — взаимно простые многочлены, то разложим а и b по степеням h:
а = ао + a1h + ф ф ф + aeh , b = bo + b 1 h + • • • + bth ,
где ai, bi Е У, ae = 0, bt = 0. Тогда, разделив a и b на hr, где r = max{e,t}, мы представим дробь a/b в виде
a = c-kh к +--+ co (12)
b d-ih-1 + ■ ■ ■ + d0 ,
где ci,di Е E, c-k = 0, d-i = 0, r = max{k,l}, c0 и d0 одновременно не равны нулю. Будем в дальнейшем предполагать, что все элементы из Q(x) записаны в виде (12).
Определение 2. Несократимая дробь p/q Е Q(x) является наилучшим приближением к ф Е Q(x), если для любой другой несократимой дроби a/b = p/q, такой, что vh(b) ф vh(q), справедливо неравенство
Ун(ф - Р) > vh(ф — a)■ qb
Приведем здесь без доказательства некоторые важные для изложения результаты из [6], относящиеся к понятию наилучшего приближения.
Теорема 1 ([6]). Дробь p/q является наилучшим приближением к ф тогда и только тогда, когда vh(ф — p/q) > -2vh(q).
258
М. М. ПЕТРУНИН
Предложение 2 ([6]). Если дроби a/b и c/d — такие наилучшие приближения к ф, что vh(b) = vh(d), то найдется константа y Е Q* такая, что a = yc, b = Yd.
Теорема 2 ([6]). Справедливы следующие утверждения:
1. n-я подходящая дробь pn/qn к ф является наилучшим приближением к ф;
2. Если дробь a/b является наилучшим приближением к ф, то найдется такая подходящая дробь pn/qn к ф и такая константа c Е Q* , что a = cpn, b = cqn.
3.4. Теорема о вычислении фундаментальной S'-единицы
Сформулируем аналог теоремы 5.8 из работы [6] для поля Q.
Теорема 3. Предположим, что для некоторого .минимального натурального m уравнение
а2 - в2! = chm (13)
имеет решение в многочленах а, в Е Q[x], в = 0 для некоторой константы c Е Q. Справедливы следующие утверждения
1. Если m = 2t + 1, то ^ является наилучшим приближением к \ff. Таким образом, а = pn для некоторой подходящей дроби — к J1.
в qn qn
2. Если m = 2t, то найдется делитель d многочлена f, deg d < 1 deg f, такой что уравнение
!-в\ - da2 = bht, (14)
d
где b Е Q, имеем решение в многочленах а\,в1 Е Q[x]. При этом а является наилучшим приближением к Sr и, следовательно, От = ~ для
d Pi qn
некоторой подходящей дроби lpn к —df.
Наоборот, если а\,в1 Е Q[x] — решение (14), то является наилучшим
приближением к , ос = ^ для некоторой подходящей дроби lpn к ^ и многочлены а и в, определяемые по формулам
а = 2 ^daf + ^в1^ , в = ахвх, (15)
являются решением уравнения (13) для m =2t.
Отметим, что теорема 3 становится неверной в случае deg h > 1. Контрпример приведён в [6] (примеры 3.7 и 5.7).
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
259
3.5. Единственность делителя и полугруппа монарных S -единиц
Как отмечалось во введении, утверждение о единственности делителя d, упомянутого в теореме 3 требует доказательства. Без него, в частности, нельзя дать ответ на следующий вопрос. Если для некоторого d, делителя многочлена f, мы нашли ^ — первую подходящую дробь к -d, для которой выполняется
равенство dp2n — dq2n = bhm, где b G Q, означает ли это, что мы нашли фундаментальную S-единицу? В этом параграфе мы докажем, что ответ положительный. Мы покажем, что алгоритм позволяет построить фундаментальную S-единицу по первой найденной паре d, . Более того, мы докажем, что если такой делитель многочлена f существует, то он в единственнен с точностью до константы.
Прежде чем перейти к формулировке основного результата параграфа нам потребуется ввести понятие монарной S-единицы и показать, что без ограничения общности многочлены f и h можно считать монарными, т.е. многочленами, старшие коэффициенты которых равны 1. Напомним, что здесь, как и на протяжении всего §3 мы считаем, что deg h = 1.
Пусть f (x) = c2s+1x2s+l + ■ ■ ■ + со, c2s+1 = 0. Для a = 0,a G Q замена
(x,y) ^ (x/a,y/aS)
переводит Q-точки кривой Cf, заданной уравнением y2 = f (x), в Q-точки кривой (y/as)2 = f (x/a). Такая замена является изоморфизмом кривых. При этом, если положить a = c2s+1, то многочлен f (x) перейдет в монарный той же степени, поэтому далее без ограничения общности будем считать, что f (x) монарный.
Мы будем считать, что наибольший общий делитель (а, [3) двух многочленов а, в G Q[x] всегда является монарным многочленом. В этом случае утверждение: «степень (а, в) равна 0» можно равносильно записать следующим образом: «(а, в) = 1».
Существование двух продолжений нормирования Vh на поле L влечет (h, f) = 1. Без ограничения общности многочлен h(x) также положить монарным, поскольку для изучения подгруппы кручения якобиана Jf (Q) нас в первую очередь интересуют корни многочлена h(x). В силу нечетности степени многочлена f (x) коэффициент b норменного уравнения (1) по абсолютной величине является квадратом старшего коэффициента одного из многочленов а или в. Значит можно поделить обе части (1) на \b\ и далее рассматривать норменное уравнение вида
а2 — в2f =(—1)mhm (16)
где старшие коэффициенты многочленов f и h удовлетворяют следующим соотношениям: lc(f) = 1, lc(h) = 1. Кроме того, хотя бы один из многочленов а2 или в2 в (16) также монарный.
260
М. М. ПЕТРУНИН
Если уравнение (16) имеет решение а, в и и = а + в\Л - S-единица, то —и = = —а—вл/f также является S-единицей, а пара —а, —в является решением (16). Чтобы устранить устранить эту неопределённость, введём следующее понятие.
Определение 3. Будем называть S-единицу и = а + вл/f, а, в G Q[x], .монарной, если 1с(а) = 1 в случае, когда степень S-единицы и является чётным числом, и 1с(в) = 1 в противном случае.
Заметим, что в случае монарной S-единицы выполняется (а, h) = 1 и N (и) = hm для некоторого натурального т, то есть многочлены а и в удовлетворяют монарному норменому уравнению (16). Легко видеть, что если и1,и2 — монарные S-единицы, то произведение U1U2 также является монарной S-единицей.
Существование S-единицы положительной степени влечет существование монарной S-единицы той же степени, так как разрешимость норменных уравнений (1) и (16) эквивалентна. Кроме того, возведение в степень монарной фундаментальной S-единицы порождает также монарную S-единицу. Поэтому множество всех монарных S-единиц образует полугруппу. Пусть ui - фундаментальная монарная S-единица. Элемент и G Us также назовем монарным, если и = и1 для некоторого целого k. Тогда множество монарных элементов Us образует группу обратимых монарных элементов кольца Oh — S-целых элементов поля L. Эта группа изоморфна Us/Q.
Рассмотрим уравнение
dФ2 — f Г2 = ht, (17)
d
с параметром t G N и неизвестными d, Ф, Г G Q[x], причем (Ф, h) = 1 и d — некоторый монарный делитель многочлена f. Это уравнение более общего вида, чем норменное уравнение (16). Далее мы покажем, что из разрешимости уравнения (17) следует разрешимость (16) и обратно. Также покажем, что при фиксированных параметрах t и т каждое из уравнений имеет не более одного решения. В частности, отсюда будет следовать, что решение (17) может существовать только для одного конкретного монарного делителя d многочлена f.
Лемма 1. Пусть фиксировано t = t0 и уравнение (17) имеет решение, тогда это решение единственное. Кроме того, d = (а + ht,f), где многочлен а = dФ2 + d Г2.
Доказательство. Пусть для некоторого t = t0 G N и собственного мо-нарного делителя d многочлена f, уравнение (17) имеет решение Ф, Г. Тогда многочлены а, в, определенные по формулам
а = dФ2 + f Г2, в = 2ФГ, (18)
d
являются решением диофантового уравнения
а2 — fв2 = h2t. (19)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
261
Из (18) и (17) следует, что
а + h* = 2^Ф2, а - h* = 2f Г2.
d
С другой стороны, из (19) имеем
(а — к)(а + hl) = ff32. (20)
Учитывая, что многочлен f бесквадратный, получаем d = (а + h*, f).
Так как по условию леммы полугруппа монарных S-единиц нетривиальна, то существует единственная монарная S-единица степени 2t0, следовательно пара многочленов а, [3 однозначно определена. По а, [3 мы можем однозначно восстановить многочлены d, Ф, Г, удовлетворяющие условиям леммы. Действительно, положим
f
d = (а + h*,f), а + к = 2dw1, а — к = 2—w2. (21)
d
Заметим, что (w\,w2) = 1, так как иначе многочлен а делился бы на h и а + в к! не была бы монарной S-единицей. С другой стороны, из (20) следует, что 4wiw2 = в2, а значит можем положить
wi = Ф2, w2 = Г2, (22)
причем Ф — монарный, если t четно и Г — монарный в противном случае. Следовательно, набор (d, Ф, Г) является решением (17) и совпадает с решением, данным в условии леммы.
Если в условии леммы решение (17) существует при d = 1, то Ф + Гл/f является монарной S-единицей степени to, и в полугруппе монарных S-единиц она единственная. Кроме того, а + h* = 2Ф2, значит (а + h*,f) = 1. □
Отметим, что уравнение (17) имеет решение для некоторого монарного делителя d многочлена f тогда и только тогда, когда уравнение
М2 — f Г2 = bh* (23)
d
имеет решение для делителя d многочлена f с произвольным старшим коэффициентом и некоторой постоянной b £ Q. Действительно, необходимость очевидна. Для доказательства достаточности преобразуем (23) к виду
dФ2 — f Г2 = h*, b bd
причем в силу нечетности степени f имеем Yi = у2, где
Yi = deg ■^iГ2, Y2 = deg d^, t = max(yb y2).
bd b
262
М. М. ПЕТРУНИН
Если t = yi, то в силу монарности многочленов f и h имеем 1с(Г)2
lc(d) lc(d) 2
и число----^ является полным квадратом, то есть--------^ = к , к
Тогда
d
lc(d) • f d
f = JL
d lc(d)’
ф
г
lc(r)!
г = к - ф
и справедливо (17). Если t = у2, то
—b • lc(d), ^ G Q.
lc(Ф)2
b
lc(d) ’
d = -^г , Ф lc(<d)
к2 = b • lc(<d) , к
Ф
цф)’
г = Г
К
b
lc(Ф)’
и также выполнено (17).
Таким образом, справедливо предложение.
Предложение 3. Норменные уравнения (1), (16), (23), (17) одновременно либо имеют либо не имеют нетривиальное решение.
Далее мы покажем, какие из решений уравнений (16), (17) могут соответствовать наилучшему приближению к л/f или ^, и тем самым выясним, какие S-единицы могут быть вычислены с помощью аппарата непрерывных дробей.
Напомним, что если u = ui — фундаментальная монарная S-единица, то полугруппу всех монарных S-единиц можно записать следующим образом:
Us = {uj = и> ’ j = 1 ’2 ’...} ’
uj = aj + РрЛ’ aj’ Pj G QM ’ (aj’ h) = 1 ’ j G N-
Из доказательства леммы 1 следует, что любой монарной S-единице uj = aj + +Pp/f степени mj = 2t можно по формулам (21) и (22) взаимно однозначно сопоставить набор dj’ Фj’ Tj, удовлетворяющий (17) и (18), причем Ф2^- = aj и r2j = [5j. Теперь результаты этого параграфа можно сформулировать в одной теореме.
Теорема 4. Пусть u = ui — фундаментальная монарная S-единица степени т.
Если т нетто, то существует собственный монарный делитель d многочлена f такой, что d2j = 1, d2j-i = d для любого j G N. При этом уд—) —
j-1
наилучшее приближение к —пf, а отношение ф1 = От не является наилучшим
в
приближением к \ff.
Если т нечетно, то для любого чётного j G N: d2j = 1, а для нечётного j: d2j = f. Многочлены d2j-i не определены. При этом а^—\ — наилучшее
приближение к \ff, а отношение а1 не является наилучшим приближением
Ку/7.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
263
Доказательство теоремы 4 разобьем на четыре леммы. Пусть и — монарная фундаментальная S-единица степени m.
Лемма 2. Если т = 2t, то существует собственный монарный делитель d многочлена f такой, что d2j—1 = d для любого j Е N.
Доказательство. Пусть и = а + fy/f, тогда
U2j-i = u2j—1, a2j-\ = а2з—1 + fR,
где R Е Q[x]. Следовательно,
a2j-i - ht(2j—1) = (a — ht)(a2j-2 + ••• + h(2j—2)t) + fR, (24)
a2j-i + ht(2j—1) = (a + ht)(a2j-2-+ h(2j—2)t) + fR. (25)
Положим d = (a + ht, f), тогда в силу монарности f, а и d из (20) получаем
(а — ht, а + ht) = 1, (а — ht, f) = f,
d
и аналогично
d2 j — 1 = ^2j-1 + h*, f), (a2j—1 — ht(2j 1), f ) = J ,
d2j— 1
Д2—1 — ht(2j—1) ,а^—1 + ht(2j—1)) = 1.
Из равенства (25) следует, что d2j—1 делится на d, а из равенства (24) следует df г делится на d, откуда с неизбежностью заключаем d2j—1 = d.
Отметим, что если d = 1, то уравнение (17) имеет вид (16) что противоречит минимальности т = 2t в условии леммы. □
Лемма 3. d2j = 1 при чётном jm, и d2j = f при нечётном jm, j Е N.
Доказательство. Рассмотрим монарную фундаментальную S-единицу и степени т, возведенную в четную степень
Q^2j + f2j\f] = u2j = u2 = (uj )2 = (аj + fj\f])2. (26)
Тогда по лемме 1 при t = jm и формуле
а2 — f fj = (—h)jm,
а также формулам (26), (21), (22) при чётном jm получаем, что
> f г2
'd2i 12'
2ffj = U2j — hjm = 2f Г2
264
М. М. ПЕТРУНИН
поскольку уравнение (17) имеет единственное решение. Следовательно,
(a2j — hjm, f) = f, d2j = (a2j + hjm, f) = 1.
При чётном jm получаем
2fej = a2j + hjm = 2d2j Ф2j,
Следовательно,
d2j = (a2j + hjm, f) = f■
□
Лемма 4. Если m четно, то а = щ1 не является наилучшим прибли-
ej г 2 j
жением к = \Л для любого j Е N. Если m нечетно, то jt не является наилучшим приближением к л/J для любого чётного j = 2k, k Е N.
Доказательство. Так как хотя бы одно из чисел m или j четно, мы можем записать mj = 2t для некоторого t Е N. Тогда в силу предложения 2.1, [6] мы можем считать, что v'h(aj — вр/f) = 0, v'h(aj + [p/f) = 2t. Разложим aj и [j
по степеням h:
aj = bo + b\h + • • • + be-ihe 1 + he, [ = Co + c\h + • • • + cr hr,
причем из вида норменного уравнения (16) в силу нечетности deg f и четности deg Uj = 2t, многочлен aj монарен, e = t и г < e, а также c0 = 0, b0 = 0, так как иначе h | (aj, [j), а это не так.
Рассмотрим элемент о- + [dp/J, где
a ■ —[
dj = О- = boh-e + ■ ■ ■ + 1, j = [- = coh-e + ■ ■ ■ + Cr hr-e.
he he
Так как имеет вид (12) и
ej
vh (aj + ) = 2t — e =e = —vh ([j),
то по теореме 1 дробь а = 221 не может являться наилучшим приближением
ej ej
к . Тогда по теореме 2 отношение а = — ни для какой подходящей дроби
ej qn
к vf. □
qn v J
Из леммы 4 и теоремы 1 о наилучшем приближении следует, что •
• среди подходящих дробей ^ к л/J не найдётся такой дроби, для которой а и для многочленов a и [ выполнено (16) для какого-либо четного
m Е N;
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
265
• если существует фундаментальная S'-единица и её степень - чётное число, то среди подходящих дробей — к л/7 не найдётся такой дроби, что для
qn
многочленов Ф и Г, для которых ф = рф, ф = ф^1 для некоторого j Е N и выполнено (17) для какого-либо t Е N и d - монарного делителя 7.
Далее в лемме 5 мы докажем, что при условии существования S-единицы
• перебирая различные подходящие дроби рф к при всевозможных мо-нарных делителях d многочлена 7, мы найдем многочлены d, Ф и Г, для которых ф = рф и выполнено (17) для некоторого четного m Е N тогда и
только тогда, когда р = i для некоторого j Е N;
• перебирая различные подходящие дроби рф к -yf, мы найдем многочлены а и в, для которых а = lpL и выполнено (16) для некоторого нечетного m Е N тогда и только тогда, когда р| = а^-\ для некоторого j Е N.
Лемма 5. Если m четно, то р— — наилучшее приближение к = df для любого j Е N. Если m нечетно, то а^-\ — наилучшее приближение к л/7 для любого j Е N.
Доказательство. В силу того, что при d = 1 вид уравнений (16) и (17) совпадает, то без ограничения общности для доказательства леммы мы можем рассматривать только уравнение (17) с разделением случаев d = 1 при нечетном t и deg d > 1 при четном t. Покажем, что в каждом из этих случаев отношение ф является наилучшим приближением к фL.
Запишем (17) в виде
d(Ф - тг Г) (Ф + тгГ)
(27)
Так как v'h(d) = 0, v'h= 0, то в силу предложения 2.1, [6] мы можем считать, что
v'h (Ф - if Г) = “• vh (Ф + 61 Г) = t.
Разложим Ф и Г по степеням h:
Ф — bo + bih + ''' + behe, Г — cq + 0\h + • • • + crhr,
где bi, Ci Е Q, be = 0, cr = 0. Сравнивая степени в левой и правой части (27) имеем
t = max(deg d + 2e, deg 7 — deg d + 2r),
откуда в каждом из двух рассматриваемых случаев получаем e < t/2, r < t/2. Пусть l = max(r, e). Рассмотрим элемент Ф + фLГ, где
Ф
hv
Г
Г
h'
266
М. М. ПЕТРУНИН
Так как Ф имеет вид (12) и
- J1- -
< (Ф+dГ)= 1 - l>l = -V'h (Г)’
то по теореме 1 дробь Ф = ф является наилучшим приближением к ^. Тогда по теореме 2 получаем ф = рф- для некоторой подходящей дроби рф- к ^. Теорема 4 доказана. □
3.6. Базовый алгоритм метода непрерывных дробей
В [6] отмечено, что теорема 3 дает алгоритм для вычисления фундаментальной S-единицы в случае degh = 1. Пусть d\,... ,dr — все делители многочлена f степени, не превосходящей 1/2 deg f. Будем последовательно вычислять подходящие дроби к y/f, л/f/di,... ,\/f/dr и для каждой подходящей дроби pn/qn проверять, выполняется ли равенство (14):
— dial = bhf,
di
pn al
qn в'
Алгоритм заканчивает работу, как только мы найдем подходящую дробь pn/qn, удовлетворяющую (14). Тогда по формулам (15) находим решение а, в норменного уравнения (13). В этом случае либо а + в\Л, либо а — N1 будет фундаментальной S-единицей.
Выше было показано, что в случае существования фундаментальной S-единицы существует единственный делитель d £ {1,d1,... ,dr}, для которого в приведенном алгоритме найдется соответствующая подходящая дробь pn/qn, дающая решение (14).
С вычислительной точки зрения алгоритм имеет следующие особенности. Во-первых, на предварительном этапе нам потребуется вычислить O(n2) коэффициентов каждого yf /d для нахождения подходящей дроби pn/qn. Во-вторых, количество коэффициентов, вычисляемых при проверке равенства (14) и нахождении дробно-рациональных функций pn,qn на каждом шаге, растет линейным образом, а следовательно, общее количество коэффициентов растет квадратичным образом относительно текущего шага алгоритма. Кроме того, существенным этапом является этап разложения многочлена f на множители, и поиск делителей. На эту тему имеется большое количество работ (см., например, [19] и цитируемую там литературу), и обсуждение этого вопроса выходит за рамки настоящей статьи.
На практике реализация этого алгоритма с полем Q в качестве поля констант не позволяет вычислить pn, qn для достаточно больших n за разумное время.
Ниже будут приведены два алгоритма, каждый из которых с вычислительной точки зрения существенно превосходит указанный алгоритм. В частности,
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ У-ЕДИНИЦ ...
267
оба алгоритма требуют вычисления фиксированного количества коэффициентов на каждом шаге, включая предварительные вычисления.
3.7. Алгоритм с вычислением коэффициентов подходящих дробей
В основе нижеприведенного алгоритма лежит следующее замечание. Оказывается, функция An = An(pn,qn) имеет вид (14). Как показано выше, An — многочлен, и его степень не превосходит deg f. В этом случае, наша задача сводится к вычислению и проверке того, что An имеет вид bht,b £ k,t £ N, на каждом шаге с номером п. Для этого нам достаточно вычислять ограниченное число коэффициентов у каждой из функций An, Bn, an,qn и pn.
В этом параграфе запись g(h) для произвольной рациональной функции g подчеркивает, что функция g разложена по степеням многочлена h. И когда речь идёт о коэффициентах функции g подразумеваются коэффициенты именно в этом разложении, если не указано иное.
Рассмотрим данный алгоритм подробнее. Для каждого делителя d = dj многочлена f, 0 ^ deg dj ^ s, deg f = 2s + 1 достаточно вычислить разложения
f
— = Cy hY + ■ ■ ■ + Co, d = bKhK + ■ ■ ■ + bo,
d
где y = deg f — deg d > deg d = к, а также необходимо знать 2(s + 1) коэффициентов степенного ряда л/f.
На каждом шаге вычисляем коэффициенты многочленов
An = An(h) = (— 1)n {dpi — fq^j ,
0 < deg An(h) ^ Y, An(0) = 0,
Bn = Bn (h)
(—1)n+1 ^ dpnpn-i — dqnqn-i^j
0 ^ degBn(h) ^ Y,
причем достаточно знать к +1 “старших” коэффициентов числителя дробнорациональных функций pn-1 = pn-1(h), pn = pn(h) и y +1 “старших” коэффициентов числителя дробно-рациональных функций qn-1 = qn-1(h) и qn = qn(h), где функции pn и qn имеют вид
pn
qn
pn,tn htn + pn,tn-1htn 1 +-----+ pn,o
htn
qn,t„ htn + qn,tn-1htn 1 + ■ ■ ■ + qn,o
htn '
tn = vh(pn) = vh(qn) = ^2 vh(aj).
j=1
268
М. М. ПЕТРУНИН
Если vh(An) = deg An(h), то подходящая дробь pn/qn дает решение (14), тем самым алгоритм завершает работу.
Формула (9) дает возможность вычислить коэффициенты an+1, причем
sn+1 vh{An)}
£n+1An = Bn + y/f, an+1 = [£n+l]j
an+1 = an+1,sn+ih Sn+1 + • • • + an+1,0 •
Далее из рекуррентных формул
Pn+1 = an+1Pn + Pn-1, qn+1 = an+1qn + qn-1
находим соответственно к +1 и у +1 “старших” коэффициентов числителей дробно-рациональных функций pn+1 = pn+1(h) и qn+1 = qn+1 (h).
Суммарно к n-ому шагу в данном алгоритме будет вычислено не более 5n(2s + 2) + O(1) коэффициентов.
С вычислительной точки зрения, приведённый алгоритм значительно повысил скорость работы его программной реализации. Однако, на практике скорости работы всё ещё не достаточно для вычисления S-единиц больших степеней с Q в качестве поля констант.
3.8. Алгоритм без вычисления коэффициентов подходящих дробей
Следующим этапом развития данного подхода являлось использование рекуррентных равенств для вычисления коэффициентов многочленов An и Bn, что позволило не вычислять pn и qn явно. В настоящем параграфе мы сформулируем улучшенный алгоритм.
На очередном шаге с номером n +1 вычислим коэффициенты an+1 по формуле (9). Далее вычисляем коэффициенты многочленов An+1 и Bn+1 по рекуррентным формулам (10), (11)
Bn+1
an+1An Bn
An+1 An-1 + an+1(Bn Bn+1).
Если vh(An) = deg An(v), то подходящая дробь pn/qn дает решение (14), тем самым алгоритм завершает работу.
Суммарно к n-ому шагу в данном алгоритме будет вычислено не более 3n(2s + 2) + O(1) коэффициентов.
Существенное уменьшение числа вычисляемых коэффициентов и, как следствие, числа арифметических операций, а также отсутствие необходимости вычислять pn, qn позволило значительно сократить время работы алгоритма и построить S'-единицы больших степеней с Q в качестве поля констант.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
269
3.9. S-единицы больших степеней
С помощью вышеуказанного алгоритма метода непрерывных дробей удаётся построить S-единицы больших порядков, где S = {v'h, v^}, deg h = 1.
Рассмотрим многочлены
/2 0 = (x4 — 2 x3 + 4) (x + 2)x /20 = (4 ж4 — 2 x + 1) (2 x + 1) h.20 = x — 1.
Лемма 6. Кривая О^0 бирационально эквивалентна кривой Cf20.
Доказательство. Рассмотрим замену x = X, У = Хз. □
Теорема 5. Пусть S20 = [v'h20,v^}, тогда поле L20 = Q(x)^//2o) обладает фундаментальной У20-единицей, степень которой равна 20 и совпадает с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf20.
Доказательство. Коэффициенты u20 = а20 — в20л//20 имеют следующий вид:
а20 = 4 h20 16 h20 172 h20
3009
~Т~
h20-
14087
8
h20-
4925
2
h20-
17349 , 4 9765 , 3 3429 , 2 1377 , 243
------- h20 — ------ hj20 — ----- hj20 — ----- h20 — -----,
8 20 8 20 8 20 16 20 32 ’
^20 = h20 + ~8~ ^20 + ~ h20 +
20 685
У
20 1273
l4 303 l3 1269 l2 351,
8 h20 + ~2~ h20 + h20 + ^6 h20 +
81 32 ’
a20 f20^20
1
16
h
20 20-
□
Рассмотрим многочлены
/2i = (x5 + 2 x4 — x3 + 6 x2 — 7 x + 8) x /2i = 8 x5 — 7 x4 + 6 x3 — x2 + 2 x + 1
h2i = x - 1 .
Лемма 7. Кривая Cf^ бирационально эквивалентна кривой Cf21.
Доказательство. Рассмотрим замену x = X, У = Y. □
Теорема 6. Пусть S21 = {vh , v^}, тогда поле L21 = Q(x)(vfi) обладает фундаментальной У21-единицей, степень которой равна 21 и совпадает с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf21.
270
М. М. ПЕТРУНИН
Доказательство. Коэффициенты п21 = а21 — в^л/727 имеют следующий вид:
а21
25,10 ооо ,9 6087,8 31711 h7 110055 h6 135999
25 Иц 332 (i21 „ h21 — h21 - л h21
21
4
21
8
21
16
21
61749 j4 82215 j2 19683 j2 12393 2187
h21-----77“ h21-----— h21-------77— h21 —
8
16
21 787
T
8
3663
21
16 10881
в21 = i81 + 37 h21 + T~ i61 + 7 h21 + 77: h21 +
8
16
16
2619
~T~
+
16
7047
Чб~
i21 — h21+
729 729
+ T ft'21 + 76 •
a21 — f21e21 = —8 i21'
□
Рассмотрим многочлены
722 = (x4 + x2 — 16 x + 16) (x + 1)x f22 = (16 x4 — 16 x2 + x + 1) (x + 1) ,22 = x — 1.
Лемма 8. Кривая Cf^2 бирационально эквивалентна кривой Cf22.
Доказательство. Рассмотрим замену x = X• У = Хз. □
Теорема 7. Пусть S22 = 22 тогда поле L22 = Q(x)(v722) обла-
дает фундаментальной S22-единицей, степень которой равна 22 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf22.
Доказательство. Коэффициенты п22 = а22 — ф22\/722 имеют следующий вид:
□
—i — 24 Щ — 284 i|2 — 7729 il2 — 8738 — 44425 h
а22 = —77 h22
270361
в:
22
h5 _ 64021 h4 _ h2 _ 401 h2 _ Ц h _4 96 22 4 8 22 4 22 6 h22 2 h22 3
, 8 257,7 1343 , 6 _ „ , 2 17969 , 4 347,2
h22 + 777 h22 + ТГ7 h22 + 214 h22 + 77 h22 + 7“ h22 +
12
12
96
4
89 2 1
+ h22 + 3 ,22 + 6 •
6
22
а22 722в22
1
9
h
22
22-
Рассмотрим многочлены
722 = (4 x2 + 12 x4 — 68 x2 + 45 x + 81)(x + 1) f22 = — 24 x2 + 153 x4 — 36 x2 — 8 x2 — 8 x + 4
h 22 = x 1 .
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
271
Лемма 9. Кривая Cf2_ бирационально эквивалентна кривой Cf23.
Доказательство. Рассмотрим замену x = XX~, У = X_. □
Теорема 8. Пусть S23 = {vh 23 ,v™}, тогда поле L23 = Q(x)(vf23) обла-
дает фундаментальной S23-единицей, степень которой равна 23 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf23.
К сожалению, предъявить здесь S-единицы степеней 23 и выше не представляется возможным, ввиду величины и количества коэффициентов. Однако, для того, чтобы у читателя возникло представление о значениях коэффициентов указанной единицы, приведём их частично.
Доказательство. Коэффициенты u23 = а23 — ф23\/ф23 имеют следующий вид:
а23
—63 h13 + 1626 h20 — 1601
10809
h9 —
h23 —
156621
h8
h23
^23 = h23 — 82 h23 +
2
h7
h23
2 ’~23 4
11527Jfi 173331 + ТА h23 —
+
1280743
48
23
+
12
16
2899719 ,3 3851307,2 649539 177147
h23-----ЕУЕ h23------~A h23 —
h5 558495 h4
h23 r h23
16
64 23 128
a23 — f23в23 = 24 h23-
23
64
128
□
Рассмотрим многочлены
f2 4 = (2 x4 + x3 + 2 x2 + x + 2) (2 x + 1)(x + 2) f24 = (8 x4 — 5 x3 + 14 x2 — 12 x + 8) (3 x + 2) h24 = x — 2.
Лемма 10. Кривая Cf бирационально эквивалентна кривой Cf24.
Доказательство. Рассмотрим замену x = ХХ2, y = Х_. □
Теорема 9. Пусть S24 = {v'h24,v^}, тогда поле L24 = Q(x)(vf24) обладает фундаментальной S24-единицей, степень которой равна 24 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf24.
Доказательство. Коэффициенты u24 = a24 — e24vf24 имеют следующий вид:
a24
в24
2
a24
-A hi2-57 h41- 2576 hw-887888 h9 - 8633472 h8 -
19 h24 57 h24 25 76 h24 19 h24 19 h24
l2 1620 l8 __l7 398720
h-24 +—77T~ h24 + 2016 h24 4-—— h2.
19
19
24
+
2234112
19
h24 + • • •
f o2 = 16 ,24
/24Р24 = 361 h24 •
1
272
М. М. ПЕТРУНИН
□
Рассмотрим многочлены
f25 = (x5 + 30 x4 + 165 x3 - 900 x2 + 900 x + 972) x f25 = 972 x5 + 900 x4 - 900 x3 + 165 x2 + 30 x + 1
h-25 = x - 1.
Лемма 11. Кривая 5 бирационально эквивалентна кривой Cf25.
Доказательство. Рассмотрим замену x = X, y = Y. □
Теорема 10. Пусть S25 = {Vh25 тогда поле L25 = Q(x)^/f25) обла-
дает фундаментальной S25-единицей, степень которой равна 25 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf25.
Доказательство. Коэффициенты u25 = а25 — в25\[ф25 имеют следующий вид:
«25
в25
а25
175
"з”
hw -
h25
f25^225
h15 +
775
27
h10 -h25
35
27
^5 + -X h«25
440
243
—972 h25.
7250 h9 + 648125 h8
243 h25 + 177147 h25 20675 l7 321175
________h7 +________
19683 25 531441
880625
531441
25
h6 —
h25
105475
531441
h25 + • • •
5
□
Рассмотрим многочлены
f26 = (18 x4 — 9 x3 — 24 x2 + 21 x — 4) (2 x + 3)x f26 = —(4 x4 — 21 x3 + 24 x2 + 9 x— 18) (3 x + 2) h-26 = x — 2.
Лемма 12. Кривая Cf26 бирационально эквивалентна кривой Cf26.
Доказательство. Рассмотрим замену x = X, У = Xs. □
Теорема 11. Пусть S26 = Wh26 ,vтогда поле L26 = Q(x)(vf2e) обладает фундаментальной S26-единицей, степень которой равна 26 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf26.
Доказательство. Коэффициенты u26 = а26 — e26QJ26 имеют следующий вид:
«26
в26
2
а26
3 hit —16 h.‘2 + 2р h26 +1504 hi° — 26+ л, — X+ hi, +...
8
3
9
27
81
h™-95h2 +343h8 +254# _ 49444h2 _ 11 h2 + 44269h4 +
h26 6 h26 + 6 h26 + 27 h26 81 h26 9 h26 + 27 h26 + • • •
f26в86
9
64
h
26
26.
5
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
273
□
Рассмотрим многочлены
/2 7 = (x5 + 5 x4 + 9 x3 + 3 x2 — x — 1)(x — 1) f27 = 16 x5 + 57 x4 + 70 x3 + 39 x2 + 10 x + 1 h,27 = x.
Лемма 13. Кривая Cp27 бирационально эквивалентна кривой Cf27.
Доказательство. Рассмотрим замену x = — Х-1, У = Y. □
Теорема 12. Пусть S27 = {Vh27 ’v^}’ тогда поле L27 = Q(x)(v/27) обла-
дает фундаментальной S27-единицей, степень которой равна 27 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf27.
Доказательство. Коэффициенты u27 = а27 — в2п//27 имеют следующий вид:
а27
^27
а27
—49 h23 — 4891 h27 — 12551 h17 — 121425 h17 — 57842 h97 — 69044 h%
h11 + 225 h10
227 =
27 +
/27$
4
27+
27
3195
4
h27 +
27
12091
4
h27 +
27 10621 2
h27 +
27
21089
4
27
hU27 + • • •
—16 h27.
5
□
Рассмотрим многочлены
/28 = (16 x3 + 20 x2 — 8 x + 9)(4 x2 + x + 4)x f28 = (9 x3 — 8 x2 + 20 x + 16)(4 x2 + x + 4)
h28 = x — 1 •
Лемма 14. Кривая Cf28 бирационально эквивалентна кривой Cf28.
Доказательство. Рассмотрим замену x = X, y = Хз. □
Теорема 13. Пусть S28 = [v'h28,v^}, тогда поле L28 = Q(x)(v72s) обла-
дает фундаментальной S28-единицей, степень которой равна 28 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf28.
Доказательство. Коэффициенты u28 = а28 — в28л//2« имеют следующий вид:
а28
в28
2
а28
18 .14 49 .13 3430 .12 325703 .11 19033756 hl0
-- h28 49 h28 h28 h28 - -- h28 •
49
28
28
27
28
243
28
tnlW 4819 l2 874006 l8 103701248 l7
h28 + 42 h28 + 7— h28 + 77777— h28 + 7777---- h28 + • • •
243
6561
/28028
324 .28 2401 ^
5
274
М. М. ПЕТРУНИН
□
Рассмотрим многочлены
/2 9 = (x5 + x4 — 4 x3 + 12 x2 — 12 x + 4)(x + 1)
/29 = 32 x5 — 47 x4 + 20 x3 + 2 x2 — 4 x + 1 h29 = x — 1.
Лемма 15. Кривая Cp29 бирационально эквивалентна кривой Cf29.
Доказательство. Рассмотрим замену x = X+1 , У = . □
Теорема 14. Пусть S29 = К 29 тогда поле L29 = Q(x)(v/29) обла-
дает фундаментальной S29-единицей, степень которой равна 29 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf29.
Доказательство. Коэффициенты u29 = а29 — I329QJ~29 имеют следующий вид:
а29 = —89 h29 — 3670 h19 — 45230 h22 — 263316 h29 — 882052 h29 — ... , в29 = h22 + 122 h19 + 2332 h19 + 16648 h9,9 + 59244 h89 + 121872 h729 + ... ,
a29 — f29^29 = — 32 h29.
□
Рассмотрим многочлены
/3o = (9 x4 + 27 x3 — 12 x2 — 60 x + 4)(x — 1)x
/30 = — (32 x4 — 33 x3 — 123 x2 — 63 x — 9) (x + 1)
3
h30 = x +4.
Лемма 16. Кривая Cf 0 бирационально эквивалентна кривой Cf30.
Доказательство. Рассмотрим замену x = — X-1, y = Х?. □
Теорема 15. Пусть S30 = {v'h30,v^}, тогда поле L30 = Q(x)X//3o) обла-
дает фундаментальной S30-единицей, степень которой равна 30 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf30.
Доказательство. Коэффициенты u30 = а30 — в30\/0 имеют следующий вид:
а30
в30
2
а30
8
21
— — Ь15 + 42 Ь14
h30 + 42 h30
Х2- ^ h- +
h30 h30 +
336
f fj2 = h30
f30P30 = 441 h30.
11525 13 5202887 12
'IT h13 + “шГ h»
369799 10 489975 9
АЙТ h30 --щ- h‘0 -
20529531
h11 .
3584
1502455
4096
30
h8 +
h30 + . . .
5
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
275
□
Рассмотрим многочлены
/32 = (18x4 + 63x3 - 69x2 - 24x - 4)(2x + 1)(x - 1)
/32 = -(16x4 - 99x3 - 228x2 - 135x - 18)(3x + 2) h-32 = x.
Лемма 17. Кривая Cf бирационально эквивалентна кривой Cf32.
Доказательство. Рассмотрим замену x = -XX-3, У = Y. □
Теорема 16. Пусть S32 = [v'h32,v^}, тогда поле L32 = Q(x)(v/2) обладает фундаментальной S32-единицей, степень которой равна 32 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf32.
Доказательство. Коэффициенты u32 = а32 - 032\[/32 имеют следующий вид:
□
а32
24 hi*- 53 hi5 + 2467 hi4 _ 2631595 hi3 _ 766708927 h u _
53h32 32 + 3 32 38 1 6 32 4 5 7 9 2 32 "
5447
в32 = h32 Лгп "'32
159
+ 187943 +
h32 + h32 +
1272
4859569
5724
h32 +
64444735
40704
h3,2 + •
а32 - /320;
576
h
32
32.
2809
Рассмотрим многочлены
/34 = (4 x3 + 2 x2 - 6 x + 3) (2 x2 + 1) (2 x + 5)
/34 = - (32 x3 - 59 x2 + 28 x - 4)(27 x2 - 20 x + 4)
h 34 = x.
Лемма 18. Кривая Cf бирационально эквивалентна кривой Cf34.
Доказательство. Рассмотрим замену x = ЩХг, У = Хз. □
Теорема 17. Пусть S34 = [v'h34,v^}, тогда поле L34 = Q(x)^//34) обладает фундаментальной S34-единицей, степень которой равна 34 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf34.
Доказательство. Коэффициенты u34 = а34 - 034О/34 имеют следующий вид:
а34
034
2
а34
hZ - 277 h36 +
220136 U5 235233784 U4
h34 ~ T7777 h
27
2493
34
432 277
, 14 432496 , 13 799052 , 12 53823040 , 11 24331952 , 10
h14 - -^r- h]03 + тттг: h04------^7— h11 + —T3-------h34 -
472487072 i3 + ^83^ h33
7479
831
7479
831
34
f Я2 = 186624 h34 J34P34 = —----h
76729
34
5
276
М. М. ПЕТРУНИН
□
Рассмотрим многочлены
/36 = (12 x4 - 8 x3 - 8 x2 + 28 x + 3)(3 x + 4)x /36 = (3 x4 + 28 x3 - 8 x2 - 8 x + 12) (4 x + 3)
h36 = x + 2-
Лемма 19. Кривая Cf 6 бирационально эквивалентна кривой Cf36.
Доказательство. Рассмотрим замену x = X, y = XA. □
Теорема 18. Пусть S36 = [v'h36,v^}, тогда поле L36 = Q(x)(v/36) обла-
дает фундаментальной S36-единицей, степень которой равна 36 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf36.
Доказательство. Коэффициенты u36 = а36 - (в36у//ж имеют следующий вид:
а36
в36
2
а36
□
36
-1 у| - 54 У6 - 2+1 h- - 2+1+ h“
9 36 36 6 36 243
hi5 , 25799 U4 + 1597891 + 6849617
h36 + ^ h36 + ^ h36 + ~ - h3«
162
f36e36 = 81 h36
243
81
36
Рассмотрим многочлены
108463667,14
243 h34 + •••
1056283 , 11 -------h36 — • • •
9 36
/39 = (36 x5 + 72 x4 - 12 x3 + 24 x2 + x + 2)(x + 2) f39 = 192 x5 + 3 37 x4 - 1056 x3 + 852 x2 - 288 x + 36
h39 = x - 3 •
Лемма 20. Кривая Cf3g бирационально эквивалентна кривой Cf3g.
Доказательство. Рассмотрим замену x = 2X+ 1 , y = Y. □
Теорема 19. Пусть S39 = [v'h3g,v^}, тогда поле L39 = Q(x)^//39) обладает фундаментальной S39-единицей, степень которой равна 39 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf3g.
Доказательство. Коэффициенты u39 = а39 - в39л//39 имеют следующий вид:
а39
^39
2
а39
„ ,9 851171,1 8 268660479,1 7 55600732287,1 6
-345 h39----h39----------—-----hH-------—------h36 - •••
h39 +
39
7373
24
24
256
39
4096
39
3800211
h16 + hi5 +
h39 + h39 +
256
1055613113
4096
hi4 +
h39 +
132974896587
65536
hi3 +
h39 +
/39в29 = -192 h39
39
□
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
277
4. S-единицы и нелинейное нормирование
Метод непрерывных дробей является эффективным методом вычисления S-единиц, для S указанного выше вида. Однако, как отмечалось ранее, он работает только в случае deg h = 1. Следовательно, для некоторых кривых его применение невозможно. Для более общего случая необходимо использовать метод матричной линеаризации из [6]. Точно также как и в случае метода непрерывных дробей авторами метода были доказаны результаты для случая поля Fg в качестве поля констант. Приведём основные результаты, относящиеся к данному методу для случая поля Q в качестве поля констант.
4.1. Метод матричной линеаризации
Напомним, что каждый элемент из пополнения Q(x) можно представить в виде формального степенного ряда с коэффициентами из У, где У - выбранная в Q[x] фиксированная система представителей смежных классов по идеалу (h), состоящая из всех многочленов степени меньшей, чем deg h.
Введем следующее обозначение. Если a(x) = а0 + ащ + ■ ■ ■ + arxr Е Q[x], то через а = («о,.. •, ar) будем обозначать вектор-столбец коэффициентов а.
Для дальнейшего изложения необходимо привести здесь аналоги некоторых важных утверждений из [6] для случая Q в качестве поля констант.
Предложение 4 ([6]). Пусть h(x) = h0 + h1x + ■ ■ ■ + hlxl, hl = 0, — фиксированный неприводимый многочлен и пусть a(x) = a0 + a1x + ■ ■ ■ + al-1x1-1, b(x) = b0 + b1x + ■ ■ ■ + bl-1x1-1 — многочлены из Q[x]. Разделим ab на h с остатком: ab = gv + r, где g = g0 + g1x + ■ ■ ■ + gl-2x1-2, r = r0 + r1x + ■ ■ ■ + rl-1x1-1. Тогда существуют (l xl)-матрицы Ah(a) и Bh(a), коэффициенты которых являются линейными функциями от a0,..., al-1 с коэффициентами из Q, такие, что
r = Ah(a)b, ^ = Bh(a)b.
Предложение 5 ([6]). Пусть u1 = i=si aivi, u2 = i=s2 bV — два элемента из пополнения Q(x). Положим Ch(asi) = Ah(asi) и Ch(ai) = Ah(ai) + Bh(a-) при i > S1. Тогда щщ = Yj=si +s2 Ljvj, где
Lj — ^ ^ Ch(ai)rs-
i+s=j
Предположим, что для заданного m норменное уравнение (1) имеет решение в многочленах а, в Е Q[x], [3 = 0. Поскольку нормирование vh имеет два продолжения на L, то yj Е Q(x). Представим а, [, л/f в виде формальных степенных рядов:
а = а0 + а^ + ■ ■ ■ + агhr, [ = [0 + [1 h + ■ ■ ■ + [ehe, \ff ''"У ] jv,
i=0
278
М. М. ПЕТРУНИН
где ai} Pi, fi £ У. Сравнение степеней левой и правой части в (1) что
m У
deg f m m deg h — deg f
deg h V 2 J ,e= 2 deg h
1
показывает,
где [z] означает целую часть числа z. Кроме того, степени многочленов ar и fe должны удовлетворять следующим соотношениям:
r1 = deg ar
(
m
~2 - Г
deg
h
О,
[ ^ ] ,
если m четно, если m нечетно,
ei = deg ве
1R 2
1
где R — остаток от деления m deg h — deg f на 2 deg h. Положим Ch(fi) = Ci и рассмотрим матрицу
Dm ( Cr-e Cr-e+1 Cr-e+1 ■ Cr-e+2 ■ . Cr ■ Cr+1
\^Cm-e—1 Cm-e ■ ■ Cm-1
Пусть Dm — матрица, которая получается из Dm вычеркиванием первых r1 + 1 строк и столбцов с номерами е1 + 2,..., deg h (если e1 + 2 > deg h, то столбцы не вычеркиваются).
Следующая теорема является основой для матричного алгоритма нахождения фундаментальной S-единицы.
Теорема 20 ([6]). Для натурального m У deg f/ deg h норменное уравнение (1) имеет решение в многочленах а, в £ Q[x]; в = О, тогда и только тогда, когда ранг матрицы Dm меньше, чем e deg h + e1 + 1.
5. Алгоритм метода матричной линеаризации
Приведём здесь алгоритм, основанный на методе матричной линеаризации из [6].
Чтобы найти фундаментальную S-единицу поля L, вначале нужно разложить yf в формальный степенной ряд. Затем, вычисляя последовательно ранг матрицы Dm, начиная с m У deg f / deg h, находим минимальное натуральное m такое, что ранг Dm меньше, чем e deg h + e1 + 1. После этого, решая однородную систему линейных уравнений с матрицей Dm, находим ненулевой многочлен в, а по формулам
е
ai ^ ^ Cjfj' , 0 ^ i <r, аг ^ ^ Сг—рвр1
j+j'=i,j'Ze p=0
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ ...
279
где Ci — матрица, которая состоит из первых Т\ + 1 строк матрицы Ci, находим многочлен а. Искомая фундаментальная S-единица имеет вид а + fi\fj.
5.1. S-единицы больших степеней
С помощью метода матричной линеаризации удаётся построить S-единицы больших порядков, где S = {v'h, v^}, в том случае, когда для данной кривой подходящего нормирования первой степени не существует.
Рассмотрим многочлены
J4o
j40
h40
(32 x4 + 32 x3 - 38 x2 - 23 x - 67) (2 x + 3)(x - 1) -(64 x4 - 125 x3 - 250 x2 - 160 x - 32) (5 x + 2) x2_ Ц x_ 8 55
Лемма 21. Кривая Cfo бирационально эквивалентна кривой Cf40.
Доказательство. Рассмотрим замену x = -X-1, у = Хз. п
Теорема 21. Пусть S40 = [v'h40,v^}, тогда поле L40 = Q(x)(\j0) обладает фундаментальной S40-единицей, степень которой равна 40 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf40.
Доказательство. Коэффициенты u40 = а40 - (340\J0 имеют следующий вид:
а40
fi40
2
а40
-128 h20 + -7L
913 40 1826
h40 (120 x - 721) +
(8390045x - 160114702) 1460800
h18 + h40 + • • •
1
913
h40(60x - 9 1 3) -
17
36520000
h40 (7475085 x - 26535266) -
j40fi40
16384
833569
h
40
40.
1
п
Рассмотрим многочлены
J4 8
j48
h48
(18 x4 + 45 x3 + 21 x2 -(64 x4 + 225 x3 + 264 x2
x +4 x - 2-
24 x + 4) (2 x - 1)(x ■ + 117 x + 18) (x + 2)
1)
Лемма 22. Кривая CfA8 бирационально эквивалентна кривой Cf48. Доказательство. Рассмотрим замену x = -X-1, у = Хз. п
280
М. М. ПЕТРУНИН
Теорема 22. Пусть S48 = ivh48,v<x>}, тогда поле L48 = Q(x)(vfs) обладает фундаментальной S48-единицей, степень которой равна 48 и совпадает, с порядком соответствующей Q-точки якобиана Jf48.
Доказательство. Коэффициенты u48 = а48 — e48vfs имеют следующий вид:
а48
в48
2
а48
□
64
344387 1
h24 -
h48
255 688774
hf8 (1020 x + 346073) — ...
344387
h48(510 x + 344387) +
(4454762690x + 429814442277) 22040768
h21 +
h48 + . . .
f48 ^48
4096
118602405769
h
48
48.
5
6. Заключение
В настоящей статье получили развитие эффективные алгоритмы вычисления S-единиц методом непрерывных дробей в случае S, состоящего из бесконечного и конечного нормирования первой степени. Также в работе приведено доказательство корректности условия остановки алгоритмов, основанных на методе непрерывных дробей, и в качестве следствия получено необходимое и достаточно условие соответствия S-единицы вида un, где и — фундаментальная S-единица, и подходящей дроби к л/f/d для некоторого d, делителя f.
Улучшенные алгоритмы позволили построить фундаментальные S-единицы больших степеней, а именно 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 30, 32, 34.
Кроме того, методом матричной линеаризации была построена фундаментальная S-единица степени 40 для S, состоящего из бесконечного и конечного нормирования второй степени.
В качестве следствия из существования упомянутых S-единиц больших степеней, а также S-единиц степеней 23, 28, 29, 36, 48, существование которых было доказано ранее, получено альтернативное доказательство существования Q-точек кручения больших порядков в якобианах кривых рода 2. А именно, порядков 20, 21..., 30 и 32, 34, 36, 39, 40, 48.
Указанные выше результаты доказывают верность гипотезы Платонова для перечисленных порядков Q-точек кручения о том, что рассмотреть S, состоящее из конечного и бесконечного нормирования, то порядки Q-точек кручения, как правило, будут определяться степенями фундаментальных S-единиц.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Платонов В. П. Арифметика квадратичных полей и кручение в якобианах // Доклады РАН. 2010. Т. 430, №3. С. 318-320.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ У-ЕДИНИЦ ...
281
2. Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел / / УМН. 2014. Т. 69, вып.1 (415). С. 3-38.
3. Платонов В. П., Петрунин М.М. Новые порядки точек кручения в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел / / Доклады РАН. 2012. Т. 443, №6. С. 664-667.
4. Платонов В. П., Петрунин М. М. О проблеме кручения в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел / / Доклады РАН. 2012. Т. 446. №3. С. 263-264.
5. Платонов В. П., Петрунин М. М. Фундаментальные S-единицы в гиперэллиптических полях и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых / / Доклады РАН. 2015. Т. 465, №1. С. 23-25.
6. Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Математический сборник. 2009. Т. 200, №11. С. 15-44.
7. Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Мир, 1970.
8. Flynn E. V. Large rational torsion on abelian varieties // J. Number Theory. 1990. P. 257-265.
9. Leprevost F. Famille de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels dordre 13 // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1991. Vol. 313, №7.
P. 451-454.
10. Leprevost F. Familles de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels d’ordre // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1991. Vol. 313, №11.
P. 771-774.
11. Leprevost F. Points rationnels de torsion de jacobiennes de certaines courbes de genre 2 // C.R. Acad. Sci. Paris. 1993. Vol. 316, №8. P. 819-821.
12. Ogawa H. Curves of genus 2 with a rational torsion divisor of order 23 // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 1994. Vol. 70, №9. P. 295-298.
13. Leprevost F. Jacobiennes de certaines courbes de genre 2: torsion et simplicite // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux. 1995. Vol. 7, №1. P. 283-306.
14. W. S. Cassels E. V. F. Prolegomena to a middlebrow arithmetic of curves of genus 2. Cambridge Univ. Press, 1996.
15. E. W. Howe F. L., Poonen B. Large torsion subgroups of split Jacobians of curves of genus two or three / / Forum Mathematicum. 2000. Vol. 12. P. 315-364.
282
М. М. ПЕТРУНИН
16. Nicolas B., Leprevost F., Pohst M. Jacobians of genus-2 curves with a rational point of order 11 // Experiment. Math. 2009. Vol. 18, №1. P. 65-70.
17. Elkies N. D. Curves of genus 2 over Q whose Jacobians are absolutely simple abelian surfaces with torsion points of high order // preprint, Harvard University. 2010.
18. Howe E. W. Genus-2 Jacobians with torsion points of large order // Bulletin of the London Mathematical Society. 2015. Vol. 47, №1. P. 127-135.
19. Hart W., Van Hoeij M., Novocin A. Practical polynomial factoring in polynomial time //Proceedings of the 36th international symposium on Symbolic and algebraic computation. - ACM, 2011. P. 163-170.
REFERENCES
1. Platonov, V. P. 2010, "Arithmetic of quadratic fields and torsion in Jacobians" , Dokl. Math, 81, 1, pp. 55-57
2. Platonov, V. P. 2014, "Number-theoretic properties of hyperelliptic fields and the torsion problem in Jacobians of hyperelliptic curves over the rational number field" , Russian Math. Surveys 69, 1, pp. 1-34.
3. Platonov, V. P. & Petrunin, M. M. 2012, "New orders of torsion points in Jacobians of curves of genus 2 over the rational number field" , Dokl. Math, 85, 2, pp. 286-288.
4. Platonov, V. P. & Petrunin, M. M. 2012, "On the torsion problem in jacobians of curves of genus 2 over the rational number field" , Dokl. Math, 86, 2, pp. 642643.
5. Platonov, V. P. & Petrunin, M. M. 2015, "Fundamental S-units in hyperelliptic fields and the torsion problem in jacobians of hyperelliptic curves" , Dokl. Math, 92, 3, pp. 23-25.
6. Benyash-Krivets, V. V. & Platonov, V. P. 2009, "Groups of S-units in hyperelliptic fields and continued fractions" , Sb. Math, 200, 11, pp. 1587-1615.
7. Lang, S. 1966, "Introduction to diophantine approximations" , Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co.
8. Flynn, E. V. 1990. "Large rational torsion on abelian varieties" , J. Number Theory, pp. 257-265.
9. Leprevost, F. 1991. "Famille de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels dordre 13" , C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math, 313, 7, pp. 451-454.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ У-ЕДИНИЦ ... 283
10. Leprevost, F. 1991b. Familles de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels d’ordre. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math, 313, 11, pp. 771774.
11. Leprevost, F. 1993. "Points rationnels de torsion de jacobiennes de certaines courbes de genre 2" , C. R. Acad. Sci. Paris, 316, 8, pp. 819-821.
12. Ogawa, H. 1994. "Curves of genus 2 with a rational torsion divisor of order 23" , Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci, 70, 9, pp. 295-298.
13. Leprevost, F. 1995. "Jacobiennes de certaines courbes de genre 2: torsion et simplicite" , Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 7, 1, pp. 283-306.
14. W. S. Cassels, E. V. F. 1996. "Prolegomena to a middlebrow arithmetic of curves of genus 2" , Cambridge Univ. Press.
15. E. W. Howe, F. L. and Poonen, B. 2000. "Large torsion subgroups of split Jacobians of curves of genus two or three" , Forum Mathematicum, 12, pp. 315364.
16. Nicolas, B. et al. 2009. "Jacobians of genus-2 curves with a rational point of order 11" , Experiment. Math, 18, 1, pp. 65-70.
17. Elkies, N. D. 2010. "Curves of genus 2 over Q whose Jacobians are absolutely simple abelian surfaces with torsion points of high order" , preprint Harvard University.
18. Howe, E. W. 2015. "Genus-2 Jacobians with torsion points of large order" , Bulletin of the London Mathematical Society, 47, 1, pp. 127-135.
19. Hart W., Van Hoeij M.& Novocin A. 2011. "Practical polynomial factoring in polynomial time" , Proceedings of the 36th international symposium on Symbolic and algebraic computation, ACM, pp. 163-170.
Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук (ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН). Поступило 10.03.2015.
