Выбор метода аппроксимации частотных характеристик фильтровых устройств на основе оценки допустимых искажений сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Выбор метода аппроксимации частотных характеристик фильтровых устройств

на основе оценки допустимых искажений сигналов

Борис ЗМИИ, д. т. н., профессор РоманАНТИПЕНСКИЙ, к. т. н.

[email protected]

В статье рассмотрено решение задачи выбора полиномов, аппроксимирующих частотные характеристики фильтровых устройств радиоэлектронной аппаратуры с минимальной неравномерностью группового времени запаздывания и максимальным запасом устойчивости при допустимом уровне искажений сигналов.

При проектировании фильтровых устройств радиоэлектронной аппаратуры возникает задача воспроизведения требуемых характеристик физически реализуемой передаточной функцией:

-Яр) _ьтрт+ь«-іР+---+ьо (1)

у(р) ря+ая_1ряг-1 + — + а0’

где V (р) — полином Гурвица. Определение коэффициентов Ъ{ и а{ составляет основу решения задачи построения математической модели заданных характеристик.

Построение модели (1) можно осуществить с использованием известных полиномов Баттерворта, Чебышева и Золотарева [2]. Однако не всегда ясно, какой из них наиболее целесообразен, если заданы достаточно жесткие требования к неравномерности затухания фильтра в полосе пропускания, коэффициенту прямоугольности и гарантированному затуханию в полосе задерживания. Кроме того, могут быть заданы жесткие требования и к линейности фазочастотной характеристики.

При построении фильтровых устройств в области частот до сотен килогерц наиболее целесообразно использование ЛИС-элемент-ного базиса, что приводит к необходимости решения задачи повышения устойчивости и стабильности частотных характеристик устройств. Задача обеспечения требуемой устойчивости становится весьма важной при жестких требованиях к избирательности, поскольку с ее повышением возрастают значения добротности полюсов передаточной функции (1).

В работе анализируются классические решения задачи аппроксимации частотных характеристик фильтровых устройств радио-

электронной аппаратуры и определяются требования к моделям амплитудно-частотных (АЧХ) и фазочастотных характеристик (ФЧХ) на основе допустимых искажений сигналов.

Сравнительная оценка известных математических моделей характеристик фильтровых устройств

К числу классических решений задачи аппроксимации постоянной амплитудно-частотной характеристики относятся полиномы Баттерворта, Чебышева, Золотарева. В справочной литературе приводятся еще полиномы Лежандра, Раковича и инверсные полиномы Чебышева [2, 4].

Сравнение рассматриваемых полиномов произведем по нескольким показателям: порядку передаточной функции, устойчивости, неравномерности группового времени запаздывания при заданных требованиях к неравномерности затухания в полосе пропускания (для примера 3 дБ) и гарантированному затуханию в полосе задерживания (для примера 40 дБ). Порядок полинома, аппроксимирующего постоянную амплитудно-частотную характеристику, определяется коэффициентом прямоугольности:

КП = юк/юх.

Запас устойчивости полиномов оценивается расположением корней аппроксимирующих полиномов. В связи с этим целесооб-

Рис. 1. Результаты расчета коэффициента запаса устойчивости различных аппроксимирующих полиномов

н .5 И 0 И

• * • • • •

-3 - • -5*. 0 1 5 3 -1 • • 0 1 5 -3 -1 5 • 0 1 5 :і

Рис. 2. Расположение корней:

а) аппроксимирующих полиномов Баттерворта; б) инверсных полиномов Чебышева; в) полиномов Золотарева

Рис. 3. Неравномерность группового времени запаздывания для различных аппроксимирующих полиномов

разно запас устойчивости вычислять на основании выражения [3]:

К

ЗУ -

1 + (2ашіп/® шах^

(2)

где юш;п, юшах — наименьшая вещественная и наибольшая мнимая части корней аппроксимирующих полиномов. Результаты расчетов по формуле (2) представлены в виде графиков на рис. 1.

При анализе результата вычислений можно сделать вывод о преимуществе инверсных полиномов Чебышева при любых коэффициентах прямоугольности и порядке реализующей функции. Это является доказательством того, что корни инверсных полиномов Чебышева располагаются на наибольшем расстоянии от мнимой оси по сравнению с другими видами полиномов. На рис. 2 для примера представлены рассчитанные корни различных аппроксимирующих полиномов для коэффициента прямоугольности КП =1,5 согласно требованиям по гарантированному затуханию в полосе задерживания 40 дБ и неравномерности затухания в полосе пропускания 3 дБ.

Сравним частотные характеристики фильтровых устройств, полученные на основе аппроксимации классическими полиномами,

жесткие, то необходимо решать задачу коррекции характеристики ГВЗ фильтра или строить такую математическую модель, которая обеспечивала бы удовлетворение требований по избирательности и неравномерности АЧХ и ГВЗ в полосе пропускания.

Сравнение полиномов по величине искажений сигналов

На основе решения задачи анализа допустимых искажений сигналов фильтровыми устройствами, построенными с использованием различных аппроксимирующих полиномов, можно сформулировать требования к характеристикам устройств. В общем виде задача предъявления рациональных требований к математическим моделям характеристик частотно-избирательных устройств может быть сформулирована следующим образом:

орі

н[Аа ашіп, КП

ігр [Аі] при Рош

(3)

по групповому времени запаздывания (ГВЗ), неравномерность которого может приводить к значительным искажениям формы сигналов. Результаты расчетов группового времени запаздывания для различных полиномов приведены на рис. 3.

При анализе графиков рис. 3 можно установить, что инверсные полиномы Чебышева имеют явные преимущества по минимальной неравномерности группового времени запаздывания. Особенность инверсных полиномов Чебышева — это расположение максимума ГВЗ за полосой пропускания (со^шах = 1,1), в связи с чем значительно облегчается коррекция группового времени запаздывания до постоянного в пределах полосы пропускания фильтра.

Таким образом, аппроксимация постоянной АЧХ инверсными полиномами Чебышева является наилучшей с точки зрения устойчивости и линейности фазочастотной характеристики при реализации заданных требований по коэффициенту прямоуголь-ности, неравномерности характеристики затухания в полосе пропускания и гарантированному затуханию в полосе задерживания.

Если требования к линейности фазочастотной характеристики (постоянству ГВЗ) более

где Да — неравномерность АЧХ в полосе пропускания; аш;п — минимально допустимое затухание в полосе задерживания; КП— коэффициент прямоугольности; Дt — неравномерность ГВЗ в полосе пропускания. То есть необходимо определить характер изменения и максимальные значения неравномерностей характеристики затухания Да и группового времени запаздывания Д^ при которых ошибка воспроизведения сигнала на выходе не превышает допустимой Рош [8еых(^] < P0, при условии выполнения требований к минимально допустимому затуханию в полосе задерживания яш1п и коэффициенту прямоугольности КП.

Задачу (3) можно решить путем имитационного моделирования процессов преобразования сигнала в линейных устройствах с различными видами аппроксимации частотных характеристик и на основе полученных результатов сформулировать требования к неравномерности характеристики затухания Да и группового времени запаздывания Дt для безыскаженной передачи сигналов. С этой целью представим модель частотно-избирательной цепи в виде комплексной передаточной функции (КПФ) с коэффициентами при переменной ;ю, выраженными через полюсы корней аппроксимирующего полинома рк:

Бк = 2Ке(Рк); Ск = Кер)2+1ш(Рк)2. (4)

Тогда модель КПФ фильтра нижних частот (ФНЧ) можно записать в виде:

вд»)=П-

1

X

і=і -ю +Вк](й+Ск

х/(тосі(и,2)^0,—!—,1). (5)

УЮ+А,

Начх С/®)

п —

к=\ -ш +Вк](й+Ск

хДтоф, 2) Ф 0, . 1 ,1)

7®+Я*

( п/2

#гю(/ю)=1хехр II

_ 1Ы

х /(тосІ(и, 2) Ф0,—

У®+3,

.1)

(6)

(7)

^АЧХ,ГВЗ 0®)

хехр

, — X/(тосі(и, 2) Ф 0,---, 1)

и^2+вк]<*+ск ^ >+£„

]агё

п

к=\ "

Гт!2

п

1

1

1

ы ~(02+Ьк](д+Ск

х/(тосі(и,2) ф 0, . 1 ,1)

№+К

Н(ю) = 1-| (ю-ю0)”|

(8)

Условная функция в выражении (5) означает, что для нечетных порядков фильтра произведение необходимо умножить на выражение (1/(;ю+В„)). Чтобы исследовать влияние только неравномерности АЧХ, сформируем модель, в которой модуль АЧХ соответствует исследуемому фильтру, а характеристика ГВЗ постоянна во всей полосе частот. Полагая ФЧХ постоянной и не вносящей искажений в сигнал, запишем модель цепи с равноволновой аппроксимацией в виде (6).

Множитель 2п10-6 в степени экспоненты означает, что ФЧХ постоянна и не вносит искажений в выходной сигнал (время задержки = 10-6 с).

Для исследования влияния неидеальности ГВЗ можно принять модель с постоянной АЧХ в полосе частот и характеристикой ГВЗ, соответствующей исследуемому фильтру. Тогда модель цепи (ФНЧ) с равноволновой аппроксимацией характеристики ФЧХ (ГВЗ соответственно) и постоянной АЧХ примет вид (7).

Для исследования совместного влияния характеристик АЧХ и ГВЗ на искажения сигнала необходимо включить в выражение для КПФ обе варьируемые части КПФ (АЧХ и ФЧХ), обозначив соответствующим образом коэффициенты. То есть необходимо раздельно формировать две КПФ, а в модель неидеальности включать модуль первой КПФ для исследования влияния АЧХ и аргумент второй КПФ — для исследования влияния характеристики ГВЗ. Тогда модель неидеальности характеристик ФНЧ с равноволновой аппроксимацией будет иметь вид (8).

Максимально плоская аппроксимация частотных характеристик фильтров может быть представлена в виде функции:

Максимально плоская характеристика ГВЗ может быть представлена выражением:

1д(ю) = х0+(1-(ю - ю0)п)Аґ, (11)

где то — время задержки сигнала цепью; Д£— неравномерность характеристики ГВЗ в полосе пропускания фильтра.

Тогда модель неидеальности характеристики ГВЗ для ФНЧ с максимально плоской аппроксимацией будет иметь вид:

Нгвз О'®) = 1X ехр ( 71 (Х„+

+ (1-(СО-®0)л)ДОЛо) . (12)

Для исследования совместного влияния характеристик АЧХ и ГВЗ с максимально плоской аппроксимацией на искажения сигнала модель неидеальности примет вид:

^4зд;/взО®) = 0—1(®—®о) |)Х

хехр(у|(т0+(1-(а>-со0)’,)ДОАо). (13)

Для примера рассмотрим моделирование влияния неидеальностей характеристик полосового фильтра с полосой пропускания 23-73 кГц и коэффициентом прямоугольно-сти КП = 1,5 на искажения сигнала с квадратурной амплитудно-фазовой модуляцией (КАФМ) с параметрами т = 8, /о = 48 кГц, коэффициент округления спектра сигнала а = 0,4.

Равноволновую аппроксимацию АЧХ полосового фильтра можно получить, используя выражение (6) или задав в виде норми-

Т:=—!— і:= 0...1000 Ь^МО-* 36000

бСИ, т) := -

(9)

рованной функции Н (/) = 1-Лх$т(2к]:хі+$ії), где А, і и $й — амплитуда, частота и фазовый сдвиг волн (неравномерностей) соответственно. На языке программы MathCAD модель АЧХ полосового фильтра может быть представлена листингом 1.

1 := 1..10 000 £;:=М00-6.28 £г; := £1/6.28

частота волн фазовый сдвиг волн амплитуда волн а:= 120-10-6 эа:=0.2 А := 12-10-2

НЗ; := 1-А(яп(£;-а+за)) £1 := 23 000 £2 := 73 000

Листинг 1

Временное представление сигнала с квадратурной амплитудно-фазовой модуляцией сформируем на основе следующей модели [1]:

Гхвіп—

.______Т,

СОБ-

аш

1-4а х

ХСОБ

ти

~т

г п

2к ІЇ+ т —

V 4,

, (14)

где а — коэффициент округления спектра, т — множитель фазового сдвига, Т — тактовый интервал, f— несущая частота сигнала. Для т = 8 с фазовым сдвигом п/4 получим описание временного представления КАФМ сигнала на языке системы MathCAD в виде, представленном в листинге 2.

В каждой из реализаций мы осуществили сдвиг момента начала сигнала на интервал времени 4Т, чтобы видеть полные временные представления сигналов. На график временной формы КАФМ сигнала, представленный на рис. 4, выведены все восемь реализаций сигнала для удобства анализа и оценки совмещения нулевых значений — моментов времени, когда амплитуда сигнала равна нулю.

Расчет амплитудного спектра одной из реализаций сигнала показан в листинге 3. Здесь же авторы сформировали комплексную передаточную функцию Н1 полосового фильтра, выполнив операцию получения комплексно-сопряженного массива.

р0 := сШ($0) р£0; := 1р0;1 Н3; := Щ£1<£г;<£2,Н3;,0) Н1; := Н3;

Листинг 3

8 |2-Я'48000-1:1 +т- — |

I V

где юо — частота среза фильтра. Тогда модель неидеальности характеристики для ФНЧ с максимально плоской аппроксимацией примет вид:

НачхС/ю) = (1-1 (ю-Юо)п | )хе^2*10-6. (10)

т . ( т ЛМиМП

Т*т? "Гт” (

) :=----і----1-----*------і— сое 2-Я-4

(“) И?Г

в0| := —Т-4,0) Бш := с£Л(вО) V} := | 8мг£І ^ :=

аіі := яСіі—Т-4,1) в2£ := 8(^-Т-4,2) в34 :=в(Ц-Т-4,3) в4£ :=

в5і := в(гі-Т-4,5) вб; := в^-Т-^б) в7і := в(^-Т-4,7) Листинг 2

:= тах(у) V} := — г

}(^-Т-4,4)

Р0і := р0,-Н1, S0 := Яе(ісГЛ(Р0))

Листинг 4

На рис. 5 показаны АЧХ полосового фильтра с равноволновой неравномерностью а = 2 дБ и амплитудный спектр сигнала.

Используя спектральный метода анализа прохождения сигналов через цепи, вычислим комплексный спектр каждой из реализаций сигнала на выходе полосового фильтра. Выполнив обратное преобразование Фурье к£Й(х) [5], получим массив комплексных отсчетов сигнала S0 на выходе во временной форме. Листинг 4 демонстрирует рассмотренные операции для одной реализации сигнала р0, аналогичным образом следует ввести программный код для остальных реализаций р1-р7.

Временное представление КАФМ сигнала на выходе полосового фильтра с равноволновой неидеальностью АЧХ представлено на рис. 6. Установлено, что для равноволновой аппроксимации неидеальность АЧХ (или частотной характеристики затухания) в 2 дБ приводит к незначительным искажениям сигнала и может считаться допустимой (неточность совмещения нулевых значений сигнала меньше 5%).

Теперь оценим искажения сигнала при его прохождении через цепь, имеющую плоскую АЧХ в полосе пропускания и линейную ФЧХ с равноволновой аппроксимацией. Для этого введем параметры неравномерности фазочастотной характеристики и сформируем комплексную передаточную функцию цепи в соответствии с выражением (7) (листинг 5).

Вычислив производную массива Бш, можно вывести график характеристики группового времени запаздывания и определить смоделированную неравномерность характеристики (рис. 7).

На рис. 8 показаны искажения КАФМ сигнала на выходе цепи с равноволновой неравномерностью ГВЗ 20 мкс. Видно превышение 5%-ного порога несовмещения нулевых значений сигнала.

Результаты моделирования искажений КАФМ сигнала позволили установить, что для характеристики ГВЗ максимально допустимая неравномерность в полосе пропускания не должна превышать 9 мкс, при которой искажения сигнала незначительны. С увеличением неравномерности характеристики ГВЗ искажения сигнала увеличиваются, и при М = 10 мкс искажения, вносимые цепью, превышают 5%-ный порог несовмещения нулевых значений, что вызывает необходимость коррекции искажений.

Результаты моделирования неидеальнос-ти характеристик АЧХ и ГВЗ с максимально плоской аппроксимацией (10-13) позволяют сделать вывод о предпочтительности последней по сравнению с равноволновой. Так, величина допустимой неравномерности АЧХ составила 5 дБ, при которой искажения сигнала незначительны.

Искажения сигнала зависят также от ограничения полосы пропускания при прохож-

дении через фильтр с максимально плоской аппроксимацией. Изменяя частоту среза фильтра в области верхних частот и варьируя тем самым величину максимального допустимого затухания в полосе пропускания, получим, что на верхней граничной частоте спектра сигнала /22 (по уровню 0,5) необходимо обеспечить уровень затухания не более 3 дБ (0,707 по характеристике АЧХ). Неточность совмещения нулевых значений при

ЭО

Б2

БЗ

34

35 Б6 Б7

Рис. 6. Временное представление КАФМ сигнала на выходе полосового фильтра с равноволновой неидеальностью частотной характеристики затухания 2 дБ

частота волн фазовый сдвиг волн амплитуда волн время задержки

а:= 105-10-6 эа:=0.5 А := 10-10-2 а1 := 0-10-6

Ь^ := а1-£-А-$т(^-а+$а) Ші := 1-ехр[(^-1)-Ь^] Бші := а^(Ші)

Листинг 5

Рис. 8. Искажения КАФМ сигнала на выходе цепи с равноволновой неравномерностью ГВЗ 20 мкс

этом не превышает 5%. При увеличении затухания атах >3 дБ неточность совмещения нулевых значений превышает 5%-ный порог. То есть искажения сигнала в этом случае таковы, что возникают ошибки в регистрации принимаемой информации. Поэтому величина затухания атах = 6 дБ (для характеристики АЧХ по уровню 0,5) недопустима на верх-

ней граничной частоте спектра сигнала /22. В этом случае необходимо или уменьшать коэффициент округления спектра, или расширять полосу пропускания фильтра. При увеличении степени функции (ю- юо)” в выражении (10) характеристика АЧХ становится более прямоугольной, и искажения сигнала уменьшаются при фиксированной

граничной частоте полосы пропускания фильтра.

Исследования влияния неидеальности характеристики ГВЗ на искажения сигнала показали, что для характеристики ГВЗ с плоской аппроксимацией допустимая неравномерность в полосе пропускания фильтра составляет At = З0 мкс.

На примере анализа искажений сигнала с КАФМ показана целесообразность применения разработанных моделей неидеально-стей характеристик линейных устройств с целью определения величины и характера искажений сигналов при их прохождении через избирательные цепи реальных устройств РЭА. С помощью разработанных моделей оценки неидеальностей характеристик сделан вывод о предпочтительности инверсных полиномов Чебышева перед другими видами аппроксимирующих полиномов на основании того, что при одинаковых требованиях к избирательности фильтровые устройства с максимально плоской аппроксимацией характеристик вносят меньшие искажения в выходной сигнал. Модели характеристик, рассмотренные в статье, доступны на сайте журнала. Для их запуска необходимо наличие установленной на ПК системы MathCAD 2001. ■

Литература

1. Антипенский Р. В. Разработка моделей сигналов с дискретной модуляцией // Компоненты и технологии. 2007. № б.

2. Букашин С. А., Власов В. П., Змий Б. Ф. и др. Справочник по расчету и проектированию ARC-схем / Под ред. А. А. Ланнэ. М.: Радио и связь, 1984.

3. Змий Б. Ф. Синтез устройств обработки сигналов на активных четырехполюсниках высших порядков. Воронеж: ВАИУ, 2008.

4. Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных электронных схем. М.: Связь, 1978.

5. Saffe R. C. Random Signals for Engineers using MATLAB and MathCAD. Springer — Verlag, 2000.